第10讲 双曲线（8大题型）（讲义）-2026-2027学年新高二苏教版数学暑假进阶

第10讲双曲线 目录 01思维导图与题型归纳… …2 02基础知识梳理 .3 知识点一：双曲线的定义 。。,。。。。。。。。。。。。。。。。。 知识点二：双曲线的方程、图形及性质， …3 03题型精讲举一反三 .6 题型一：双曲线定义与标准方程.… 6 题型二：焦点三角形周长.....，，，， 8 题型三：距离和差最值.12 题型四：双曲线轨迹问题.···。 ….15 题型五：双曲线几何性质..·。 .19 题型六：离心率取值与范围.…… 0……23 题型七：焦点三角形面积..... ........29 题型八：双曲线综合应用..... 04过关测试 .39 1/57 01 思维导图与题型归纳 G 双曲线的定义 标准方程 图形 双曲线及其性质 集距 范国 双曲线的简单几何性质 对称性 顶点 离心率 渐近线 题型五：双曲线几何性质 题型一：双曲线定义与标准方程 题型六：离心率取值与范围 题型二：焦点三角形周长 题型归纳 题型七：焦点三角形面积 题型三：距离和差最值 题型八：双曲线综合应用 题型四：双曲线轨迹问题 2/57 02 基础知识梳理 知识点一：双曲线的定义 平面内与两个定点F,E的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于F)的点的轨迹叫做双曲线 (这两个定点叫双曲线的焦点).用集合表示为MM-M5=2a0<2a<5FD} 注意：(1)若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支， (2)当2=FE时，点的轨迹是以F和B为端点的两条射线：当2a=0时，点的轨迹是线段F5的 垂直平分线. (3)2a>FF时，点的轨迹不存在. 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件：>2a”是否成立：②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定2，b的值），注 意a2+b2=c2的应用. 知识点二：双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质 x2 y2 标准方程 =1(a>0,b>0) y2 x2 a28F=1a>0,b>0) y= B 图形 a 焦点坐标 F(-c,0).E(c,0) E(0,-c).F(0,c) 对称性 关于x,'轴成轴对称，关于原点成中心对称 项点坐标 4(-a,0).A,(a,0) A(0,a).A(0,-a) 范围 px≥a y≥a 实轴、虚轴 实轴长为2a,虚轴长为2b 3157 b2 离心率 e== a (e>D x2 y2 x2 渐近线方程 令a2 6 =0→y=x 令a2 焦点到渐近线的距离为b 焦点到渐近线的距离为b >1,点(x)在双曲线内 >1,点(x,)在双曲线内 点和双曲线 t3 (含焦点部分) y2 x2 (含焦点部分) 的位置关系 6 =1,点(x)在双曲线上 a? b2 =1,点(x,y)在双曲线上 <L,点(x,y)在双曲线外 <1,点(x,y)在双曲线外 共焦点的双 x2 y2 =1(-a2<k<b2) y2 -=l1(-a2<k<b2) 曲线方程 a2+k b2-k a2+k b2-k 共渐近线的 x2 y2 =(几≠0) yx 双曲线方程 a2 b2 a2 b2 =(2≠0) 切线方程 Xox_yoy=1,(Xo:Yo) a2 为切点 yy_=1,) 为切点 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中x换为，)换成 切线方程 yy便得 xox yoy a2 b2 =1,(x,yo) 切点弦所在 为双曲线 学著= 为双曲线外一点 直线方程 外一点 点(，)为双曲线与两渐近线之间的点 设直线与双曲线两交点为A(G,),B(x,),k4B=k 则弦长 =i+k-=+E-为0】 弦长公式 k-x=V(x+x)}-4x2= 其中“a”是消“y”后关于“x”的一元二 次方程的“x”系数. 2b2 通径 通径（过焦点且垂直于B的弦）是同支中的最短弦，其长为a 焦点三角形 双曲线上一点P(x,%)与两焦点F,F构成的△PFF成为焦点三角形， 4157 c0s0=1-2b2 设∠FPR=0,PF=片，PE=5,则os P(xo,Yo) ⊙ 215sin0= 1 sin0 b2 ∫cyo,焦点在x轴上 1-cose 01 tan cx,焦点在y轴上 2 焦点三角形中一般要用到的关系是 PF-PF=2a(2a >2c) SPFsin ZFPF FE=PE+PF-2PFIPF COS ZFPF 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线一a=b一离心率e=V2台 等轴双曲线 两渐近线互相垂直÷渐近线方程为y=土r台方程可设为x-y=(≠0) 5157 03 题型精讲举一反三 。 题型一：双曲线定义与标准方程 x2 y2 例1.M是双曲线421上一点，点F:F分别是双曲线左右焦点，若M=5,则M= 【答案】9 【解析】由双曲线42l,得a=2'c=Va+6=4 若M在左支上，则M≥2，此时MF-ME=4,故M引=9： 若M在右支上，则M≥a+c=6,这与M=5矛盾， 所以MF=9. 例2.(2026高二北京海淀阶段检测)已知双曲线45 亡士=1的左、右焦点分别为F?F:点P(-3,m) 在双曲线上，PF-PF引= 【答案】-4 【解析】点P(-3,m在双曲线 号=1止，面3<0则点p在该双战的左支上， 45 又F,E分别为该双曲线的左、右焦点，因此PFPF1, 所以PF-PE引=-2×2=-4 故答案为：-4 例3，（2026高二新疆马谷木齐期中)已知双用线C:兰- :云161的左右焦点依次为F:F?且FE1=10: 若点P在双曲线的右支上，则PF-PF= 【答案】6 【解析】双曲线中，FE=2c=10,所以c=5,Q=Vc2-b2=V52-16=3 由双曲线的定义可知，PE-PF=2a=6 故答案为：6 变式1.(2026高二全国单元测试)已知双曲线c:3664 。=1的左、右焦点分别是E,B,P是双曲线C 6157 上一点，若P=15,则PF=一· 【答案】27 【解析】根据双曲线方程，a2=36,a=6,b2=64,b=8」 c2=a2+b2=36+64=100,∴.c=10 根据双曲线的定义，由已知PF-PF=15-PF=12, 又PF≥c-a=4, 所以PF=27. 故答案为：27 变式2。(2025有二灵州贸阳阶假检测)已如双自线C:号云-a>06>0的新近战方积为y-N5 其右焦点坐标为(2,0)，则双曲线C的标准方程为 【答案】x父-1 3 【解析】名N5.2=32,代入。2=a2+6,由右焦点(2,0)得c=2”c2=4 b 代入c2=4a2→4=4a2，故a2=1,b=3, 故双曲线c的标准方程为- =1. 3 放答案为：2-)=1 3 变式3.(2026高二黑龙江黑河阶段检测)以y=V3x和y=-√3x为渐近线，且经过点（-3,3)的双曲线标 准方程是 【答案】 xy =1 618 【解析】渐近线为√3x±y=0的双曲线可设为3x2-y2=元， 7/57 又双曲线经过点(-3,3)，代入曲线解得入=18 x2 y2 所以，双曲线的标准方程为6一18 1 故答案为：618 =1 变或1(20方上黄请为)双线条过两点4川反-同4否 则双曲线。的标准 方程是 【答案】x =1 3 【解析】设双曲线的方程为mx2+y2=1,mn<0, 2m+3n=1 m=1 由题意可得： 3m+2n=1,解 1 n-3 所以双曲线T的标准方程是- 31 故答案为：x2少 =1. 3 变式5.(2026：高二北京延庆期末)双曲线的一个焦点坐标是(-2,0)，且双曲线经过点(2，V2),则双曲 线的实轴长为 标准方程为」 x2 y2 【答案】 =1 22 22 【解析】因为双曲线的一个焦点坐标是(-2,0)， x2 y2 所以设双曲线的标准方程为。厅=1a>0,b>0), 42 又因为双曲线经过点(2，V2),则有行存1，又因为+6=4： 所以a2=2或a2=8,因为a2+b2=4,所以a2=2,b=2, 双曲线方程为22 x y 所以双曲线的实轴长为2a=2√2：标准方程为2-2 =1, 8157 故答案为： r=1. 22；22 题型二：焦点三角形周长 x 例4。(2026高二江苏泰州期中)已知双曲线C:4少=1的左右焦点为万，F,过5的直线，与双曲 线C的右支交于A,B两点，若AB=2,则△ABF的周长为() A.12 B.14 C.10 D.8 【答案】A 【解析】 F 由题意可得a2=4→2a=4, △ABE的周长为AE+BF+AB, 由双曲线定定义可得AE-AF引=BF-BF=4, 又AF+BF=AB=2 所以AE+BE+AB=AE-AF+BF-BF+2AB=4+4+4=12, 所以△ABF的周长为12， 故选：A 例5.(2026高二安徽安庆阶段检测)已知双曲线C: 164 =1的左、右焦点分别为下、F,在左支上 过E的弦AB的长为4，那么△ABE的周长是() A.24 B.20 C.16 D.8 【答案】A 9157 【解析】 由题意得，A-A=2a=8,BF-BE=2a=8,AB=AE+BEl, 所以△ABF的周长为AF+BF+AB=8+AE+8+|BF+AB=16+2AB=24 故选：A 例6.(2025高二四训资阳期未)已知双线C:片-0m>0)的左、右焦点分别为R:F,直线， 经过E且与C的右支相交于A,B两点，若AB=2,则△ABE的周长为() A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】B 【解行】双自线-片=网>0)的安半轴长。- m 由双曲线的定义，可得4-A引=2a=2,BF-BF=2a=2, 所以AE=2+AF,BF=2+BF引， 则三角形ABF的周长为A+BE+AB=AE+BF+6=AB+6=8 故选：B x2 y2 变式6。（2026高二陕西成阳阶段检测)已知双曲线C:京厅=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F: E,过点E的直线与双曲线的右支相交于A,B两点，|BF=2BF=4A引，△ABF的周长为10，则双曲 线C的焦距为() A.3 B.万 g2②i 67 D 3 5 10/57 【答案】C 【解析】设AE引=m,BF=2m,BF=4m, 由双曲线的定义知：A-AE=BF-BF=2a=2m, :.AE=3m,m, ∴.有m+2m+3m+4m=10,解得m=1, ,在△AFE和△BFF中，cos∠FEA+cos∠FFB=0 “由余弦定理得 4c-9,ct4-16=0,解得c= 2V21 4c 8c 子，可得双曲线的焦距为3 故选：C y2 x2 变式7.(2026·高二辽宁铁岭阶段检测)已知双曲线 m 2 =1(m>0),直线I过其上焦点E,交双曲线 上支于A,B两点，且AB=4,F为双曲线下焦点，△ABE的周长为18，则m值为() 25 A.8 B.9 C.10 D.4 【答案】D 【解析】由题意知AB+|AE+BR=18 又AB=4, 所以|AE1+|BF=14 根据双曲线的定义可知2WmAE-|AFHBF|-BF, 所以4√mAE1+BE1-0AE,1+|BE,D=14-4=10, 25 解得Vm=2,所以m= 4 故选：D 变式8，(2026高二浙江湖州期未)已知双曲线C父的左、右焦点分别为B,E,点。为双曲到 916 C第一象限内的一点，∠FPB的角平分线为1，过原点O作PF的平行线，分别与PF和1交于M,N两点， 若MN-PE.则APFE的周长为《) A.48 B.50 C.52 D.56 【答案】C 11/57 D力 【解析】 .x2y2 916=l,a2=9,B=16c2=a2+2=9+16=25” .a=3,b=4,c=5,.E(-5,0)E(5,0) :O为F的中点，过原点O作PF的平行线，分别与PF和I交于M,N两点， Mol-IPE, ,NO-1 M-INOl-WNI-WwOI--IP 设直线1交FF于点D(m,0). 点P为双曲线C第一象限内的一点，.m>0, ~∠FPE的角平分线为1， NO DO NO 1.DO1 PFDE'PF6'…DFg6'∴6D0=lDE: E(-5,0),E(5,0),D(m,0),D0=m,DF=5-m, 六6m=5-m’m= 7 40 FD n=m+5+59”Dr=5990时 303 Γ77 1 :PD是∠FPF的角平分线， PF FD4 P时D时iPml-P 点P为双曲线C第一象限内的一点，PE-PE=2a=6, 等PF-PF=6,Ps=18.Pf-等Pr-音x18=24 :PF+PF+FF=24+18+10=52,△PEE的周长为52 故选：C 12/57 题型三：距离和差最值 ,2026:江西藤州一模)已知点A03,双曲线E:的左焦点为e,点。在双曲线的 ·27 右支上运动当△4PF的周长最小时，AP+PF=() A.6W2 B.7√2 C.8v2 D.9√2 【答案】C 【联折1由双日线5号号-1将到。万6：5。g衣高点P代0： 设右焦点F(3,O)当△4PF的周长最小时，AP+PF取到最小值，所以只需求出|AP+PF的最小值即可 l4P+PF=4P+PFl+2a2l4Fl+2a=/(0-3)+(3V7-0)+22-8/2 故选：C. 例8.(2026宁夏银川：模拟预测)已知点p是双曲线3664 花广1的右支上一点，M'N分别是圆 (x+10)+y2=4和(x-10)+y2=1上的点，则PM-PN的最大值为() A.12 B.15 C.16 D.18 【答案】B 【解析】 在双曲线3664 1中，a=6b=8’c=10 所以双曲线的焦点F(-10,0),E(10,0),PF-PF引=2a=12, 因为MP≤PF+MEl,PN≥PF-NEL, 所以PM-PN≤PF+MEl-PF+|NF=15. 例9.(2026高二湖北阶段检测)P是双曲线69=1的右支上一点，从N分别是圆(x+5)+y广=1和 13/57 (x-5)+y2=1上的点，则PM-PN的最大值为() A.7 B.8 C9 D.10 【答案】D 【解析】.双曲线方程为69 式-号=1，则G=16.6=9d=d2+6=25,abc>0 a=4,b=3,c=5. ∴.F(-5,0),F(5,0),PF-P℉=2a=8 又·M、N分别是圆(x+5)+y2=1和(-5+y2=1上的点， 即M、N在以F(5,0),B(5,0)为圆心，半径为5=5=1的圆上， .PM PF+r =PF+1,PNn PF2-n=PF-1, PM-PNI PMI-PNInin =PF+1-(PF2-1)=PF-PF+2=8+2=10 故选：D V x2 y2 变式9.(2026高二宁夏石嘴山阶段检测)已知46,2：双曲线C:45 =1的左焦点为F,P是双 曲线C的右支上的动点，则PF-PA的最大值是() A.-1 B.2 C.V109 D.9 【答案】D 【解析】设C为双曲线右焦点C(3,0),则PF-PC=2a=4,AC=5, 而kc②5 2>2,故直线4C与双曲线的右支交于两个不同的点， 14/57 而PA≥PC-AC,仅当P,C,A共线且A在P,C之间时等号成立， 所以PF-PAS PF-PC+AC=4+5=9, 当P,C,A共线且A在P,C之间时等号成立. 故选：D 变式10，(2026高三云南曲靖阶段检测)已知P是双曲线-y1的左焦点，M亿3，P是双曲线右 支上的一动点，则PF+PM的最小值为(). A.10 B.25-10 C.23+V10 D.2V5+32 【答案】C 【解析】设双曲线的右焦点为F', x2 由3-=1可知。=5'c=2则F(2,0) 因为P是双曲线右支上的一动点，根据双曲线的定义可知： PF-PF=2a=2V3 所以PF+PM=23+PF'+PM, 因为PF+PM≥MF1, 当且仅当F',P,M三点共线时，达到最小值MF, 因为M(1,3),F'(2,0),所以MF=0 即PF+PM的最小值为2V5+MF1=2V5+o 故选：C 变式11，(2026高二浙江金华阶段检测)已知圆C:x2+(0y-4)2=1上有一动点P,双曲线 M:y 97 =l的左焦点为F,且双曲线的右支上有一动点Q,则Pg+|QF的最小值为() A.4v2-1 B.4V2-5 C.4V2+7 D.4V2+5 【答案】D 15/57 【解析】 .在双曲线M:X少 97 =1中，a2=9”b2=7 .c2=16,.F(-4,0) 设双曲线的右焦点为F,则E(4,0), ·Q在双曲线的右支上， loF-oF |=2a=6,oF=OF +6. 由题知，圆心C(0,4),半径r=1,P在圆C上， .lPg≥l0C-1, 则Pg+lQF=|Pg+lQF+6≥lgC+loF+5, 当C,Q,F三点共线且9位于另两点之间时，|QC+QF取得最小值为CF引=4V2, 此时Pg+QF≥l0C+|oF+5=4v2+5, 、Pg+QF的最小值为42+5. 故选：D, 题型四：双曲线轨迹问题 例10.(2026高二山西太原期末)已知4(4,0)、B(4,0),P是圆0：x2+y2=9(0为坐标原点)上任 意一点，Q是圆O外一点，若∠AQP=∠BOP,且PO⊥BP,则点的轨迹方程为() =1 D.g16 【答案】A 【解析】如下图所示： 16/57 D 当点P在y轴右侧时，连接OP,延长BP交直线AQ于点E, 因为LAQP=∠BOP,BP⊥PO,故P为线段BE的中点， 所以△BQE为等腰三角形，所以BQ=QE, 又因为O为AB的中点，所以AE=2OP=2x3=6, 此时A-lQB=|QE+AE-lQB=AE=6: 当点P在y轴左侧时，同理可得QB-QA=6, 所以2A-QB=6<AB=8. 故点Q的轨迹是以点A、B为焦点，且实轴长为6的双曲线， 2a=6 由题意可得 2c=8?则a=3'c=4所以b=2-a=6-9=7 x-1 因此点0的轨迹方程为97 故选：A 例1.(2026高二广东惠州阶段检测)动圆M过定点A(-4,0),与定圆B:(x-4)+y2=16外切，则动 圆圆心M的轨迹方程为() 412 。号品-≤刘 n舌若-es列 【答案】C 【解析】由题设A(-4,0),B(4,0),圆B的半径为4，则MB=MA+4, 17/57 B 所以MB-MA=4<AB=8,点M的轨迹是以A,B为焦点， 所以2a=4,a=2的双曲线的左支， 又2c=8,则c=4,故b2=c2-a2=12. x2 y 动圆圆心的轨迹方程为4121(x≤-2) 故选：C 例12.已知定点F(-2,0),E(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点，点F关于点N的对称点为M,线段 FM的垂直平分线与直线FM相交于点P,则点P的轨迹方程是() A.7x2+=1 B.x-上-1 3 3 x c.3+y=l. D.3=1 【答案】B 【解析】如图，当点P在y轴左侧时，连接ON,PF,由点F关于点N的对称点为M,得N是线段MF中 点， 而点O是线段FF的中点，则FM=2|ON=2, 由PN为线段ME的垂直平分线，得PF=PM=PF-EM=PF-2, M 于是PE-PF=2<FF=4,当点P在y轴右侧时，同理PF-PF=2<FF=4, 则PFPF=2<FF引=4， 18/57 所以点p的轨迹是以F,乃为焦点，实轴长为2的双曲线，对应的方程为- 31 故选：B 变式12.2026商=吉林长春阶段检测)已知圆G:(c+2+y-空G:(-2+产-片，动圆p与 4 圆CC2都外切，则动圆圆心P的轨迹方程为() A.x2-二=10x>0 B.x-2=1x<0) 3 3 c-号=0e>0叭 D.x2 5=16r<0) 【答案】A 5 【解析】由题可得圆c圆心(-2,0)，半径为2：圆c圆心(2,0)，半径为 由图设动圆P与圆G,圆C外切切点分别为A,B.则C,A,P共线，C2,B,P共线 则lPC-PC,=PA+AC-(PB+BC),注意到PA=PB, 则PC-PC,=AC-BC=2,又|CC,=4>2,则点P轨迹为以CC,为焦点双曲线的右支 吸双电线方程为号>0，由思可得。c2:c一重 故相应抗选方程为：-号=>0 故选：A D B 变式13.(2026高二浙江期中)已知圆M:(x+2)+y=4,M为圆心，P为圆上任意一点，定点 A(2,0),线段PA的垂直平分线1与直线PM相交于点Q,则当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为 () A.￥--10x5-2) 412 412 3≤-)D.x C.x2 3s1 19/57 【答案】D 【解析】因为线段PA的垂直平分线1与直线PM相交于点Q, 所以有QA=QP, 由(x+2)+y2=4,得M(-2,0),该圆的半径为2， 因为点P在圆上运动时， 所以有lOP-M=2,于是有№A-M=2, 所以点Q的轨迹是以A,M为焦点的双曲线，所以2c=4,2a=2→c=2,a=1→b2=c2-a2=3, 所以点0的轨迹方程为-二=1， 3 故选：D 变式14.(2026高二广西柳州期中)设点A-25,0,B(25,0,M为动点，已知直线AM与直线BM 的斜率之积为定值3，点M的轨迹方程是() A号若-400 A后若-w0 e.号-r-g*0 之卫=100) D.86 【答案】B 【解析】设M(x,y),x≠±2√5 则kM·kgM= 1 x+25x-25-12,整理可得24=1， 之上=100) 所以点M的轨迹方程是24 故选：B. 变式15.(2026高二湖北武汉期末)己知圆A:(x+3犷+y=4,B(3,0),点P在圆A上运动，设线段 PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q,则Q点的轨迹方程为() A.-g=1B.r-2=1c.y-1 =1 8 6 8 D.y 6 【答案】A 20/57 B 【解析】 圆A的圆心为A(-3,0)，半径为r=2,由中垂线的性质可得P=QB, 所以OB-l№A=l№P-l№A=r=2<ABl 所以2点的轨迹方程是双曲线，且c=3,2a=2,a=1,b2=c2-a2=8, 所以Q点的轨迹方程为-。=1 8 故选：A 题型五：双曲线几何性质 例13.（多选题）(226高二山东枣庄期末)已知双曲线C:9y2-16xr2=144,则() A.C的焦点坐标为(5,0)，(-5,0) B.C的实半轴长为4 5 C.c的离心率e= 4 D.c的渐近线的方程是4x±3y=0 【答案】BCD 【解析】 色知双曲线C:9v2-16x2=144'即、r】 =1, P169 则a2=16,解得a=4,b2=9,解得b=3,c2=a2+b2=16+9=25,故c=5, 焦点坐标为(0,5)，(0，-5)，故A错误： 实半轴长为a=4,故B正确： c 5 离心率e a4,故C正确： 21/57 渐近线方程为=士岩=士 3,即4x士3y=0,故D正确。 故选：BCD 例14（多选题）(226高三江苏宿迁期中)已知双曲线C号6，则下列说法正确的是( A.双曲线C的实轴长为8 B.双曲线C的焦距为10 C.双曲线c的离心率为3 D.双自线c的新近线方程为=导 【答案】BC 【解折1由C:若云15a=3h=4→6=V+车=5. 916 所以双曲线C的实轴长为2a=6；双曲线C的焦距为2c=10; 双曲线C的离心率为。3：因为双曲线的焦点在纵轴上， 所以双曲线C的渐近线方程为y=±号→y=±子， 3 因此B,C正确，A,D错误， 故选：BC 例15.（多选题）(2026离三河北邢台开学考试)若双商线c的方程为少-1，则《) A.C的焦距为25 B.C的渐近线方程为y=±2x C.C的离心率为V5 D.C的虚轴长为2 【答案】AD 【解折1因为双线C的方程为号-少户-1， 所以a=2,b=1,所以c=Va2+b2=√5， 所以C的焦距为2√5，所以A正确： 22/57 C的南近线方程为y=合=±与，所以B情误： 5 c的离心率为e=C 2, 所以C错误： C的虚轴长为2b=2,所以D正确： 故选：AD x2 y2 变式16。（多选题）已知双曲线C:京京=1(a>0,b>0)的实轴长为4，左、右焦点分别为5'5：左 顶点为A,平行于x轴的直线1与C左、右两支分别交于M,N两点，且直线AM,AN的斜率之积为一4， P为C的右支上一点，若PS1PE,则() A.C的渐近线方程为少=±) B.C的离心率为√5 16 C.M到两渐近线的距离之积为5 D.PE·F,E=64 【答案】BCD 【解析】设M(x%)则N(-x,%)有-6 5-点=1，即ax元 则k山·kw=.⅓ b2 +a+aa2a=4,又2a=4 1, 则。=2'b=4'c=25,所以C的方程为416 b 故渐近线方程为y=±二x=2x,A错误： a e=C=V5,B正确： a 五发=1，即4话-6=16 因为M(x,)则416 所点到C鸭两紧近我面高之为，空是--小-学c商： 由双曲线定义得PF=PF+4.由PR⊥PE, PF+PF=(PE+4)+PFP=2PEP+8PE+16=80 解得PF引=4，则PF=8, 所以PF·FE=FPFE=FP·(GP+PE)=FP+FPPE=PE=64,D正确. 23/57 故选：BCD M 变式”（多选愿）（多选）已知B分别为吸商线C千 京方=1a>0,b>0)的实轴端点，p'Q是 1 双曲线c上关于原点对称的两点（异于实轴端点），且kk=4,则下列说法中正确的是() 5 A.双曲线的离心率不确定 B.双曲线的离心率为2 1 C.kok,的值不受点p,Q位置的影响D.双曲线的渐近线方程为y=± 【答案】BCD 【解】设P小则=怎 设A(-a,0)'B(a,0) 得kkpg=少 y .b21 x+a x-a x2-a2 a,则。4 所以e= ,,b25 a√+后=2，故B正确，A不正确。 1+ 由于P,Q是双曲线C上关于原点对称的两点（异于实轴端点）， 因为四边形APB0为平行四边形，所以人=水，所以，o:=k。香，故C正确。 1 由于。2，则渐近线方程为=±2x,故D正确 故选：BCD 24/57 题型六：离心率取值与范围 例16.已知双曲线厂的左，右焦点分别为F,F.以厂的实轴为直径作圆2，又过F作2的切线交厂的右 3 支于点p若cos∠FPS=亏，则r的离心率为 V13 【答案】 2 【解析】依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过作圆Ω的切线切点为G, 所以0G⊥PR,所以OG=a,l0F=c,lGF=VOF2-OG2=vc2-a2=b, 设∠FPE=a,∠FFP=B, 3 3 4 由cos∠FPE=5,即cosa= szs子—一今子— 在△F,FP中，sin∠FEP=sin(π-a-)=sin(a+B) =simc+cossiB=4×b+3×4_3a+46 2cPF PF5c 由正弦定理得sina sinB sin∠FF,P2' 所以PE=Ssin∠FE,P=C×色=22.，IPg=≤sip 25c 2c2, PFI-PF;]-3a+4b_5a_4b-2a 22 2 4h-2a=2a, 又pF-|PF=2a,则2 b3 所以2b=3a’即a2, b2 V13 所以双曲线的离心率e= a 2 7,.(2026高二贵州遵义期末)设双曲线C:。-方=(a>0,>0)的左、右焦点分别为F,F, 25/57 的直线1与圆x2+y2=a相切，切点为P,延长FP交c的右支于点Q,且QP=2PF,则C的离心率为 【答案】 22 Q M P 【解析】 F 不妨设点P在轴x上方，如图所示：取PO中点为M,连接MF, 因为直线FQ与圆x2+y2=a2相切，即OP⊥F2, 所以在RIAFOP中，|EP=VEO-|OP=-VC2-a=b, 又QP=2PE 所以QP=2EP=2b,lQFl=3b,MP=|PF=Mg=b 由双曲线的定义知：lQF-lQF=2a 所以F=3b-2a, 在aFEM中O、P分别为FFFM的中点， 所以OP为△FF,M的中位线， 所以FM11oP,且FM=2OP=2a, 又OP⊥F2,所以EM⊥F2, 在RtaF,Mg中，Mg+ME-lE, 所以a2+(2b)2=(3b-2a)2, b3 化简得：。2 所以双袋的兴心率：=日小+合-号- 例18、(2026高二河南期中)已知F是双曲线C:二片 :立京=1(a>0,b>0)的右焦点，关于原点对称的两点 26/57 P,Q均在C上，且2F-PF=3b,则C的离心率为 【窃1 【解析】 如图所示，设双曲线C的左焦点为F,连接PF,Q. 因为P,Q两点关于原点对称，所以QF=PF, b2 所以由双曲线的定义可得QF-PF=PF-PF=2a=3b,即。3： 3 变式18.(2026高二·福建福州期中)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（山，2），则 它的离心率为！ 【答案】V5 b 【解析】由题意可得焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±二x, a 因为条渐近线经过点（化2），所以日=2， b 2 故双曲线的离心率为e= =√+4=√5 式19.(2026高三福建三明阶段检测)已知双曲线C:。片口>0，b6>0的左、右焦点分别为F, 点p在C上，且∠RPR=子，PFl=2Pg,则c的离心率e= 【答案】V3 【解析】如图，设PF=x,则PF=2x.由双曲线定义可得PF-PF=2x-x=2a,即x=2a, 所以Pg=2a,P=:又1FK上2c,∠RP明-骨. 在aPF5中，由余弦定理得cos∠RP5-4a+2a-(2c】 2.4a2a 21 27/57 解得c=5a:故c的离心率e=后=5. 变式20.(2026高二浙江杭州期中)已知、6分别是椭圆C和双曲线C的离心率，FB是它们的公 21 共焦点，M是它们的一个公共点.且FM⊥F,M,则g+e,的最大值为 【答案】√10 【解析】 设椭圆C的长半轴长为a,半焦距为c,根据椭圆的定义M+M引=2a 设双曲线C,的实半轴长为a,半焦距为c,根据双曲线的定义M-ME引=2a2, 不妨设M>ME引，则有ME-MF=2a 联立得MF=a+a,M=a,-a. 因为FM1E,M,所以根据勾股定理有M+ME=(a+a,}+(a,-a)}=2(a+a)=4c2, 11 化简得：a+=2c2,两边同除以c2可得：日+e =2 则根据柯西不等式得 V10 当且仅当2e=e2= 2 21 所以。+名的最大值为0 变式21。（2026高二浙江衡州期中)已知双曲线C: 京京=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F,5,以 28/57 C的实轴为直径的圆记为D,过F作园D的切线与C交于M,N两点，且o0sFN识=音，则C的离心率 为 V34 【答案】 V10 或3 【解析】设双曲线的方程为。方=1L(a>0,b>0), 则圆的方程为x2+y=a,直线N与圆的切点为P连接OP, ①如图所示，当M,N在双曲线的两支上时， VA 由题可知F5上2c,1oF卡c,OP作a,则sin∠NF5=g 因为s∠R诉-是所以乐识-吕 5 IFEI INEI 在三角形FN5中由正弦定理得到sin∠FN,sin∠NFE' 2c_IWF】 即1设&，得到N5上2ca3-13a: 13 c126 由双曲线的定义得到N-NF=2a,所以W=2a+NE=25a 6 在三角形FNF,中由余弦定理得 IFF P=NF+NF2 P-2INF II NF2 I-COs ZFNF, 即(2c)2 6 +(13a-2.25a.13.5 663化简得到e2=2=。 V34 此时，离心率为 3 ②如图所示，当M,N在双曲线的左支上时，sin∠PFE=a 29/57 s血∠5=5n(-∠P5)=m∠PFB-名，由正弦定理得N上 6: 由双血线的定义得到N-W=2a,所以N9=Ng-2a=号， 在三角形FNE,中由余弦定理得 IFF P=NF+INF -2.INF II NF I-COs ZFNF -2g 6613,化简得到e2=C-10 a2=9 10 此时，离心率为3 34 综上c的离心率为3 10 或 3 变式22.(2026高二湖北随州：期末)己知F,B是焦点在x轴上的椭圆9和双曲线C公共的焦点，若椭 圆C,和双曲线C在第二象限的交点为P,点Q既在第一象限，又在双曲线C,上，且QF=2PF,若椭圆 G的离心率的取值范用为台剖 则双曲线C,的离心率的取值范围为 4+V13 【答案】 【解析】设椭圆的长半轴长为a',双曲线的实半轴长为a,半焦距为C,双曲线的离心率为已， 延长PF交双曲线于点T, 因为QE=2PF,由对称性得TE=2FP 设PF=x,则T=2x,由双曲线的定义得PF=x+2a,|TE引=2x+2a, 由cos∠PFF2+cos∠TFE=0 知+4cx+2a,+4c-（2a+2-0. 2×2c·x 2×2c×2x 4,所以ad=++2a=x+a 3c2-3a2 3c2+a2 化简得x= 2 4a, 30/57 4ac 4e 则椭圆的离心率为a=3c2+a32+1' 又椭圆c的离心率的取值范围为 4+V13 又e>1'解得1<e< 3 4+V13 所以双曲线。的离心率的取值范围为 3 4+V13 故答案为： 3 题型七：焦点三角形面积 x2 例19.(2026高二全国期末)已知双曲线r:5少=1的左、右焦点分别是F、万，P是r右支上的 点.若PFPF=3,则PF·PE的值为一. 【答案】1 【解析】由题可知a=V5,b=1,c=√6，所以PF1-1PE卡2V5,1F5=26, 所以由余弦定理 PFP+PEP-IFEP cos∠EPF2= 2 PFPF (PEHPE+2IPEL-PEI-IFEP 2 PFPF 20+6-241 2×3 =3 所以P所.丽=-cs.∠FPR=3x写l 故答案为：1. 31/57 x2 y2 例20，(2026高二天津期中)双曲线。下1（>0'6>0)的左、右焦点分别为F、R点P在双 曲线右支上，直线PF的斜率为3若△PF是直角三角形，且面积为3，则双曲线的方程为 2=1 【答案】23 【解析】如下图：由题可知，点P必落在第四象限，∠FPF=90°， 设PF=m,∠PF,E=,∠PEE=0,则ks=tan8=3, tana sin =3 由 =cos8,,解得sin6=0 3 sin20+cos20=1 因为∠RP明=90，所以5ms=-1,求得s=子，即n8 3 tan sine 1 cos0,3,解得sim0,= 1 sin20,+cos202=1 10 由正弦定理可得：PF:PFFE=sin8:sin0,:sin90°=3：1：vo, 则由PF=m,得PF=3m,FF=2c=0m, 由S5PRHP=23mm=3,得m=2 PF=2PRI=3V2,RF|=2c=2V5,c=V5 所以PE-PE=2a=22,a=2,b=c2-a=5, 所以双曲线的方程为2一3 故答案为： 23 例21.（2026商=浙江台州期中)设万，月是双曲线- 4=1的两个焦点，p是双曲线上的一点，且 24 32/57 4|PE=3PF|,则△PFF的面积等于 【答案】24 【解析】由题设，令PF卡3m,PF=4m且m>0,则4m-3m=2a=2,即m=2, 所以PE=6,PE=8,而FE=2C=10,则1PRP+1 PEP-FEP, 所以△PFE为直角三角形，且PF⊥PE,故其面积为)×6x8=24 故答案为：24 变式23。(2026高二上海青浦阶段检测）双曲线-兰-1的左右两个焦点为万，F,第二象限内的 4 点P在双曲线上，且∠FP听=，侧三角形FPR,的面积是 455 【答案】33 【解析】 由x2、 4 =1可得：a=1,b=2,c=5,如图，设1PE=m,P5卡m,则1-m=2①， 在aPFE中，由余弦定理，20=m2+n2-2 mncos2π ，即：m2+n2+mm=(m-n）}2+3mm=20② 由0@联立，解得：mm=16 对三布形架的方血告-台手5 故答案为：手5 式24.(2026高二四川达州期中)已知双曲线C:。-。1的左、右焦点分别是E,E,点M为双画 线上一点，若M到原点的距离MO=5,则△MFF,的面积是 【答案】16 【解析】如下图所示： 33/57 不妨取点M在双曲线的右支上，由M0=5可得点M在圆x2+y2=25上， 又易知FE引=10，所以FF即为圆x2+y2=25的直径， 所以Mg⊥MF 利用双曲线定义可得M-M引=6，利用勾股定理可得ME+M,=100, 所以（ME-ME)=ME+ME-2 MFMF=36,可得MEME=32, 因此aMF5的面积为S=MM=I6 故答案为：16 题型八：双曲线综合应用 x2 y 例22.（2026高二上海阶段检测)已知双曲线。厅=1(a>0,6>0)的实轴长为8，焦距为10，两个焦 点分别为FE,P为双曲线上一点 (1)求双曲线的标准方程，以及双曲线的渐近线方程： )设∠FPR,=3,求APFE的面积 【解析】(1)由题意知，2a=8,2c=10,即a=4c=5, 所以b2=c2-a2=25-16=9,b=3, x2y2 所以双曲线的标准方程为169 =1 3 双曲线的渐近线方程为y=±4x,即3x+4y=0和3x-4y=0 (2)如图， 34/57 F 设PF=m,|PE=n, 由双曲线的定义可得：|m-n上2a=8,则有m2+2-2mn=64,① 又由∠FPK-经，则有m2+-2mcos 2元=4c2=100,② 联立①②解可得n=12, n号-x12x-35 则△pFR的面积5：msin任-号 2 x2 y2 例23.(2026高二云南玉溪：期末)已知双曲线C:京存=1a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F: 过点F的直线与C的左支相交于P,O两点，满足Pg⊥PE,且12PO5PF引，PF-PF=I0 (1)求双曲线C的方程： (②)过点（⑤，0）与直线P平行的直线I与双曲线C交于A,B两点，求△ABE的面积 【解析】(1)解法一：由12PO=5PE引，设Pg5m,PF=12m, 由Pe⊥PE,得Q=l3m, PF=12m-2a,OF =13m-2a, 而Pr+lQl=lPg,解得m=号， 因此P听1=，P所=1。 令EE=2c,在△PEE中，由PE+PF=EE', 35157 4d214d=4c, 得25+25 则e=c、v37 a5, 由PF-PF=2a=10,可得a=5,c=37,b=c2-a2-12, 所以双曲线方程为C: x2 y2 25121: 解法二：由题意，设PF=l2t,1PO上5， 所以F=13t, 设P=m,则12-m=10①，QF=51-m, 所以5t-m+10=13t②， 由①②解得t=1,m=2, 又因为PE+PF=4c2,所以c=37, 因为2a=PF-P=10,所以a=5,a2=25, 所以b2=12, 所以双曲线方程为C: 2=1 2512 (2)由(1)得：tan∠PFE= PF1=6 PF 结合对称性，图中P,Q位置可互换，则直线PQ的斜率为±6，故直线I的斜率为±6， 设点A(x,),B(:,), y=6(x-5) 当直线1的方程为 时，联立x2y2 y=6(x-5) 2512 =1 190 可得 x2+15x-38=0,解得x=5,5 37,h30 7 1301 因此，S,4=2X3 7*4-s小=1537-75 37 结合对称性，当直线1的方程为y=6(x-5)时，结果不变， 5V37-75 综上：△AB5的面积为 37 例24（2026湖南长沙三模)已知动点M(k)与定点F2,0)的距离与它到定直线1：x-35 2的距离 36157 的比是常数V2, (I)求动点M的轨迹： (2)过上述轨迹上一点P作轨迹的切线与两直线y=±x分别交于A、B两点，证明：三角形AOB的面积是 定值 x-32+y2 【解析】(1)根据题意得 32 ,则可得 2 x-32+y=5-32, 2 将上式边r方--- 整理得x2-6N2x+18+y2=2x2-62x+9,所以x2-y2=9, x2 y2 所以g9 =1 (2)设点M坐标为(xo,),设曲线在点M处的切线方程为y-y。=k(x-x), y-yo=k(x-xo) 与双曲线方程联立-少=9，消去y,可得x-[(x-)+=9 整理得1-k2)x2+(2k20-2)x-k2x+2x0-片-9=0， 所以1-2≠0且△=(2k2x-2-41-k2)(-k2x号+2x--9）=0, 解得k=七 ,代入y-。=k(x-x)’得y-g=x-x 所以切线方程为xox-oy=9, 9 9 与y=x联立得无-见，与y=-x联立得= xo+yo -9 变式25.(2026：高二湖南株洲-阶段检测)己知中心在坐标原点O的椭圆D经过点A52,0,B(0,5). (1)求椭圆D的方程： (2)已知圆M:x2+(y-5)'=9,双曲线G与椭圆D有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求 双曲线G的方程， 【解析】(1)根据题意，得a=5√2，b=5, 37/57 所以椭圆D的方程为50+251 x2 y (2)椭圆D50+25=1的焦点坐标为：（←5,0(6,0) x2 y2 设双曲线方程为：示厅=1(a>0,b>0), 如图： 直线oC与圆M:x2+(y-5)=9相切， 设直线oc的倾斜角为g,则kc=tan0=tan∠OMC=4 c=5 b4 c=5 所以双曲线焦点在轴上，且 a3 a=3 G c2=a2+b2 b=4 x2 y2 所以双曲线G的标准方程为： =1 916 变式26.(2026高二·上海宝山期末)己知焦点在x轴的双曲线，实轴长为2，焦距为4，、F分别为 双曲线的左、右焦点，过右焦点2的直线I与双曲线交于A、B两点 (1)求双曲线方程： (2)若直线1的斜率为1，求△ABF的面积： 1 ③)记左顶点为M,直线AM、BM分别交直线x=2于P、Q两点，证明：P瓦·Q为定值 【解析】(1)因为2a=2,所以a=1, 又因为2c=4,所以c=2,b2=3, 所以双曲线的方程为：- 31 38/57 (2)由(1)知F(2,0),则直线方程为y=x-2, y=x-2 与双曲线方程联立 x2-上=1消去v得 3 x2+4x-7=0 7 由韦达定理得x+名=-2，名=一2 则弦长AB=V2V(x+x)2-4xx2, 5,2-43=6 左焦点F到直线的距离为d-上22=25， √2 所以5mh8,d=6v5； (3)如图所示： B 当直线，的斜率不存在时，42,3，B2-》则22引Q行引 所u丽-3引丽-引则所丽-》0 当直线1的斜率存在时，设直线方程为y=k(x-2), y=k(x-2) 与双曲线方程联立， 1·消去少得 x2、2 -k2)x2+42x-4k2-3=0 3-2,5s-42+3 42 由韦达定理得x+x2= 3-k2 w=+0.令安w可则P 1 3y 39/57 13y2 同理22(x,+可 则PQ5=3x3+ 3y 3y2 222(:+1)2(x2+1) 9 9y y2 44(xx3+x+x2+1) 91+ 2(:53-2(:+5)+4) 4 xx2+x+x2+1 91+k2)xx+(1-2k2)(x+x3)+1+4k2 x2+x+2+1 -（1+k2)(4k2+3)（1-2k2）42 9 +1+4k2 3-k2 3-k2 =0 x3+x+2+1 综上：PF·QF为定值0. 变式27.（2026高=吉林长春期未)已知双曲线r:r- 存=1b>0),左右顶点分别为4,4过点 M(-2,0)的直线交双曲线T于P,Q两点 (1)若T的离心率为2，求b: 若66AMP为等三用形，且点。在第一象限，求点的型 【解析】(1)由双曲线r的方程知，a=l,c=V1+b2, 因为r的离心率为2，所以。=2，所以c=2, 从而得2=V1+b,解得b=5. 包当b20时·双曲线x卡=可6>0，.可府么汤 3 因为点P在第一象限，所以∠M4,P为钝角又△MA,P为等腰三角形， 所以4，P=4,M=1-(-2)=3 40/57 V(-1)}+场=3 设点 ,且 ,则 ,解得，=2 P(xo:Yo) x>0,>0 %=2V2 所以点P的坐标为(2,2V2) 41/57 04过关测试 1.(2026高二广西柳州期中)已知点F是双曲线，-=1(a>0)的右焦点，0 O是坐标原点，以OF为 直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点A,若△AOF的面积为5，则该双曲线的离心率为() 3 √7 A.5 B D. 2 c. 2 【答案】C 【5】为国：由密有o1L:由攻直线位质有hF方A0-C。 所以O4=a所以5ro4a1=央=5， 2 所以b=10又双曲线方程 上=1(m>0),则a=m.2=5 m 5 ，b25 所以a2=m=20' 则双曲线离心率e=C-, a= 1+- 2 2（2026高二浙江期中)若双曲线C:,+少 3十m+m51(m∈R),离心率为e则“m=-1”是“e e=2 的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由C:,+. 3十m+m-31eR)表示双曲线，可得(6+m)(m-5列<0，解得3<m<5 =√2 当 时，双曲线方程为C:父-上=1，则 b =2,即“ m=-1 26 =V6:其离心率为e=e=,l+ a a m=-1 是“e=2”的充分条件： 「a2=3+m 由上分析知双曲线方程为C:-广1，则好=5一 3+m5-m 42/57 当e=2时，由e2=1+ b =14，解得1甲三”是“。=2”的必条件 3+m m=-1 e=2 故“m=-1”是“=2”的充分必要条件。 x2 y2 3.(2026高二浙江期中)己知双曲线的方程为云存=1(a>0,6>0),若过点(a,0),(0,b)的直线的倾 斜角为120°，则双曲线的离心率为() A.V6 B v今 C.3 D.2 2 【答案】D b-0=b=-5 【解析】若过点(a,0),(0,b)的直线的倾斜角为120，则0-。 a 所以双曲线的离心率二= =1+3=2 a 4（2026高二河南新乡期中)已知双曲线C:-上 43=1,过原点o作直线，与双曲线c交于P,Q两点， 设双曲线c的左，右焦点分别为F,F,若∠PFQ= 3,则APFF的面积为（） A.4W3 B.3V3 C.3W2 D.2V2 【答案】B 【解行】如图。由双曲线的对称性可知四边形PFOF为平行四边形，由∠PrQ-否。则∠FPF-否， 不妨设P在双曲线的右支上，设PF=m,PF=n,又FF=2c=27, 由双曲线的定义可得|PF-PF=m-n=2a=4, 在。Fpr中，由余弦定理可得：PF=PF+PF-2PF1 PFcos 即28=m2+n2-mn=(m-n)2+mn=42+mn,解得mn=12, 所以Sm=PF1 Hin12x5-3N5 32 43/57 3（2026商二湖北期肿)在平面直角坐标系0，中，凤0：+：4与双重线C:于是 a=1相交于 A,B,C,D四点，若点A,B,C,D构成圆O圆周的四等分点，圆O的直径长度是双曲线C实轴长的2倍，则 双曲线C的离心率为() A.2 B.5 4v5 D. 5 7 【答案】B 【解析】由已知圆0：x2+y2=4的直径为4，又直径长度是双曲线C实轴长的2倍，所以4=2×(2），所 以a=1. 因为点A,B,C,D构成圆O圆周的四等分点，所以四等分点到圆心的距离为半径， 且四点与原点构成的连线互相垂直即如图所示： 设圆与x轴交于点N,所以OA⊥OB,且∠AON=∠NOB=45°， x2+y2=4,x2+y2=4, 所以设(x,y)是圆与双曲线的交点，所以 y=x, ”或y=-x, x=2,x=-2,x=2,[x=-2, 解得 =5,或1y=-2,或=-2，或=2， 所以四等分点的坐标为(N2,V②)，(-V2,-V2) (点同，入若芳-1，是-1， x y 解得62=2'所以双曲线C的离心率e=1 x2 y2 6,(2026黑龙江齐齐哈尔二模)双曲线E:厅？=1(a>0,6>0)的右焦点为p过点p且斜率为 2v5 的直线与y轴交于点A,线段AF与B交于点B,若B为4F的中点，则B的离心率为（） 44/57 435 D.5 5 c.5 【答案】C 【降防1记Fc0则：5k-Q.整理得2x+5,2c 则0 因为B为的中点，所以85后) c-c c2 因为点B在双曲线E上， 4a2561,令 =1 得45c2-可1 化简得(5c2-4(c2-5)=0,又c>a=l,则c=5,故离心率e=5 x2 y2 7.(2026陕西成阳：二模)已知双曲线c:下方1（a>0'6>0)的渐近线方程为，=r:右焦点为 F,过F且斜率大于0的直线交C的右支于A,B两点，若AF,BF=2Q,则直线AB的倾斜角为 () A.30° B.45° C.60° D.75° 【答案】C 【解析】因为双曲线C的渐近线方程为y=±x, 则b=a,c=V+6=2a,可知F(N2a,0,双曲线C:x2-y=ad, 设直线AB的倾斜角为8，根据题意结合渐近线性质可得45°<8<90°， 设直线A8:x=my+V5a:A(5,y),Bk,),其中m= ∈(0,1)， tan 45/57 联立方程：清去可用-p+25ar+=0:则 x=my+2a 又=0小-+m二-02 即+m2)a 2a,可得前3即ms日 1-m1 3 则tan8=V5,可得0=60°， 所以直线AB的倾斜角为60°. 8（2026高二贵州贵阳阶段检测)已知圆C:(K-2八+y=1与双曲线E:二广 :。F=1(a>0,b>0)的渐近 线相切，则双曲线E的离心率e=() A.V6 2V3 B 3 3 c. D. 3 【答案】D 【解析】双曲线E:士 行F=1(Q>0,b>0)的渐近线方程为bx±ay=0 因为圆C:(x-2}+y2=1与双曲线E的渐近线相切， 所以圆心2.0到切线的距离等于半径1，即万1，化简可得。=362， 2b 因为e2=0+h,代入可得c2=子0， 3 42W3 所以双曲 E的离心率e=C。, a V3 3 9.(多选题)（多选）如图，。是坐标原点，p是双曲线E:-I(a>0,b>0)右支上的一点，F是 双曲线E的右焦点，延长PO,PF,分别交双曲线E于Q,R两点，已知QF⊥FR,且QF=2FR,则 ( 46/57 A.S.POR=6S.POF B.S△ROr=3S△PoF 7 C.双曲线E的离心率为3 17 D.双曲线E的离心率为 【答案】AC 【解析】如图，设双曲线E的左焦点为F',连接PF',QF',RF'. 由对称性和QF⊥FR可知，四边形PF'OF是矩形，则PF'=OF,PF'∥QF FR =m,FO =PF"=2m,PF=2m-2a,RF"=m+2a,PR=3m-2a. 在RFpR中，(2m矿+m-2如=a+2a,解得m-智或网=0（会去》， 所以PF1-,1P9= 在F中，+-4，整理得号 c217 故离心率为e=C=7 a3，故C正确，D不正确. 因为PH-台，F网9，o是0的中点， 所以SaOR=3 SAPOF=6 SAPOF,S△Or=2 SAPOF=4 SAPOF,故A正确，B不正确. 故选：AC 10.(多选题）（2020高二河南许昌期末)已知0为坐标原点，：万分别是双面线C:2- =1的 3 左、右焦点，点A在C上且OA=2,则() A.C的离心率为2 B.点F到C的一条渐近线的距离为3 C,△4FE的面积为3 v6 D.以F,F为焦点且经过点A的椭圆的离心率为 7 47/57 【答案】ACD 【解析】因为双曲线C:x- -3l,所以a=1'6=5c=+=+3=2 对于A,C的离心率为后2，故A正确 对于B,左焦点F(-2,0),渐近线方程为y=±2x=士V3x 所以点E到渐近线的距离为d= ±5x-2=5,故B错误： V1+3 对于C,在△AEE中，OA=OF=OF=2,所以△AFE为直角三角形， 4F-4F=2 a+1h=r,得aa=6 由1 所以AAFF的面积为A4=x6=3,数C正确： AFAF2=6, 对于D,由 4A+A=16,得A+4=2万 |EF42√7 所以椭圆的离心率为aG+42万=7，故D正确. YA 山，（多选惠)(2026高二广东扩广州期末)双曲线C兰Q>0叭的焦点分别是F,5,下列合图 正确的有() A.双曲线C上一点M满足M=5,FE引=8，则ME的值为1或9 B.以F,B为直径的圆与双曲线C相交于点卫，则△PF的面积为12 C.双曲线C的焦点到其渐近线的距离为2√3 2 D.若直线y=3x与双曲线C交于A,B两点，且A,B两点的横坐标之积为-9，则双曲线C的离心 48/57 率为3 【答案】BCD 【解析】选项A:由FF=2c=8,得c=4,又2=12，所以a2=c2-b2=4,解得a=2, 由双曲线定义得M-M=2a=4,则5-M=4,解得MF,=1或9， 由M+M>FE,得5+ME>8,即ME>3, 所以ME=9,故A错误： 选项B:因为以F,F为直径的圆与双曲线C相交于点P, 所以PR⊥PE,则PF+PE=EF=4c2, 不妨令P为第一象限的交点，则PF-PF引=2a, 所以PE-PE=PE+PE-2PEPF=4a2, 则4c2-2PFPF=4a2,解得PEPF=2c2-2a2=2b2=24, 所以APF5的面积S=×刘PEb-PE.l=2,故B正确； 选项C:设双曲线渐近线方程为y=±合x,即h加士心=0，焦点Fc,0, 则焦点￡到渐近线的距离=】 -bc=bc=b=25,故C正确： b2+a2 c x2 y2 =1 a212 选项D:联立 y-2x,得11 2 a227 x2-1=0 3 -1 设 a0,,以》则空了9 a227 ，解得a2=27, 4 49/57 b2 .125 所以离心率e=。V+ 1+ 273,故D正确 4 故选：BCD 12.(多选题)(2026高二黑龙江齐齐哈尔期末)已知双曲线C:X-y=(1>0)的焦距为2√2，点 A,B是C的左、右顶点，F,F是C的左、右焦点，P为双曲线C上除A,B两点外的任意一点，则下 列说法正确的是() A.=1 B.若PF=3,则PF引=1或5 C.直线PA与直线PB的斜率之积为-1 D.点P到C的两条渐近线的距离之积为定值 【答案】ABD 【解析】2=入2>0可转化为，方 对于A:由2W2元=2V5,解得入=1，故A正确： 对于B:由A可知，双曲线C:x2-y2=1,a=1,c=2,由双曲线的定义知PF-PF=3-PF引=2， 解得PF=1或5，根据焦半径的取值范围PF≥c-a=V2-1, 解得的PE=1或5均符合条件，故B正确： 对于C:设P(m,n),则m2-n2=1又A(-1,0),B(1,0), 所以kkg=”Xn三n2n m+1m-1m2-序=1，故C错误 对于D:双曲线C的渐近线方程为x-y=0或x+y=0, 则mm+,m-. 2一=2，即点。到。的两条渐近线的距离之积为定值，故D正确 故选：ABD. x2 y2 13.(2026全国模拟预测)已知双曲线。方=1(a>0,6>0)的左、右焦点分别是F:F,过点F的直 线与双曲线的右支交于点A,C,连接AE交双曲线的左支于点B,若B⊥AC,A引=3，CF=2, 则△ABC的面积是 【答案】10 50/57 【解析】连接CE,由A=3,CF=2,得AE=2a+3,CF=2a+2. 设BF=m,则BF=m-2a,AB=AF-BF=4a+3-m 由BE⊥AC得|AB=AE+BF, 即(4a+3-m)2=9+m2, 得m=8知+12a 4a+3· coS∠BAF3= AF3 3 3(4a+3) 在 中， AB 4a+3-m Rt△ABF, 4a+3-8a2+12a8a2+12a+9. 4a+3 在△4CF中，由余弦定理，得cos∠R4C=(2a+3+25-(2a+2 15+2a 2×(2a+3)×5 5(2a+3)' 3(4a+3)15+2a 所以80+12a+952a+3),得2a+3a-9=0 所以a-子：m=4B4 故。4BC的面积为2ACBF=x5x4=10 故答案为：10. B m 14.(2026高二上海奉贤期末)曲线mx2+my2=mn(m≠m,mn≠0)的离心率为、5，则n= 【答案】-2或2 【解析】因为mr2+my2=mn(m≠几，mn≠0)可化为元+m =1, 因为曲线mr2+y2=mn(m≠n,mn≠0)的离心率为√5，所以曲线必然为双曲线， 51/57 b2 =-m 所以当n>0>m时，双曲线的焦点在x轴上，。=” 所以e=1+a= 1-m=5,则"=-2： n n b2 _-n 时，双曲线的焦点在y轴上，。=m m>0>n 所以e=1+ 1-”=5,则”=-2，所以=-： m n 2 综上，=-2或2 15,(2025高二云南楚谁期未)已如0为坐标原点。F,5分别为双自线C号云=e>ab>0叭的太右 焦点，以OF为直径的圆在第一象限与C交于点P,延长FP与C的另一个交点为Q,若P为QF的中点， 则双曲线C的离心率为 【答案】V3 【解析】因为点P是以OB为直径的圆在第一象限与C的交点，则有OP⊥PF, 因为OP是△FQF的中位线，所以OP/IFO,又OP⊥PF,所以QF⊥F. 由题意得点p在双曲线C的右支上由PE-PF=2a,令PF=m,则PF=m+2a, 又P为QE的中点，则点Q在双曲线C的左支上 因为QF-F2=2a,且p是r的中点， 所以E=2PF=2m,所以F=2m-2a 在Rt△OFP中，由勾股定理可得PF=EQ+PQP, 即(m+2a)2=(2m-2a)}+m2,整理可得m=3a. 在RtAOFF,由勾股定理可得FE'=FO+OF, 即(2c)2=(2m-2a)2+(2m)2,化简得c2=2m2-2ma+a2, 52/57 又m=3a,所以c=Ba,则e-台E 故答案为：3 16、（2026商二渐江台州期未)已知5,5是双曲线C:号-是 “云尔=1的左右焦点，过F的直线，与双曲线 C的左右两支分别交于A,B两点若A=BF引，且AE⊥BE,则双曲线C的离心率为 【答案】V3 x2 y2 【解析】设双曲线C:a =1的焦距为2c BF-BF =2a AB =4a AF2-AF =2a AF =BF,=2V2a 由题可知，得 BF-AF=AB AF=BF2 ，所以4=2(V2-1a AF+BF=4B |BFl=2(N2+1)a 因为A引=BF,且AE⊥BF,所以∠ABE=45 △BFE中，由余弦定理得|FE=BF+BF-2 BFBF cos4 45°， 所以4c2=43+22)a2+8a2-2x2V2+1ax22ax5 21 化简得c=3d,所以双曲线c的离心率为e=日5 故答案为：√3 B 17.(2026高二江苏南通期末)在平面直角坐标系x0中，已知双曲线C x2y2 aF=1(a>0,b>0)的左 右顶点分别为A(-a,0),4,(a,0),渐近线方程为y=±3x. (1)求C的离心率： (②)若点P在C上，且异于A,4,求证：直线4P与4，P的斜率之积为定值： 53/57 (③)若直线1：y=x+mk≠士⑤)与C只有一个公共点M,直线1与y轴交于点N,且OM.ON=-3,求 C的方程。 【解新】山双线C:号长-1a>0b>0的南近我方程为=±兰 小南近线方程为y=tx:台5，甲6=50 a c=Va2+b2=Va2+3a2=2a, e=-20=2 aa ②设点Pk小在双线L,代入双线方行得手荟=1，可方-（代-） 直线4P的斜率与本。：直线人P的期车人，：五 xo-a' 发 2oa2(8-a)b x6-a2 ?=3,故斜率之积是定值。 AOA■ (3)联立直线：y=x+m与双曲线C的方程，代入b2=3a2得： (3-k2）x2-2kmx-(m2+3a2）=0, 当3-2≠0时，直线与双曲线相切，判别式△=42m2+4(3-k2)(m2+3a2)=0, 即m2=a2(k2-3),则切点M kam3m） 3-k23-k2: 设M(,),直线1与y轴交点N(0,m),则OM·ON=my=-3, 3m 即m3-尺=-3，故m2=k2-3: m2=a2(k2-3)=k2-3,解得a2=1,故a=1,b=5, 54/57 故双曲线方程为r-上=1， 3 18. (2026高二湖北武汉期末)在平面直角坐标系中，有两个圆C:(x+V2+y2-1,和圆C,: (x-V2+y=1,一动圆p与圆C内切，与圆C,外切动圆圆心P的轨迹是曲线E,直线y=c-1与曲线 E交于A,B两个不同的点，且OAOB>5(O是原点)· (1)求曲线E的方程； (2)求实数k的取值范围 【解析】(1)依题意可知圆C的圆心为C(V2,0),半径5=1：圆C,的圆心为C,(√2,0，半径5=1，易 知两圆外离，如下图所示： 设动圆P的半径为R, 由动圆P与圆C内切，与圆C,外切可得PC=R-5=R-1,PC=R+5=R+1: 因此可得动圆圆心P的轨迹满足PC,-PC=2<C,C=2W2, 由双曲线定义可知P的轨迹是以C,C2为焦点的双曲线的左支， x22 设轨迹方程为。存=lx≤-a,易知2a=2,2c=22因此。=Lc=V2.b=1: 所以曲线E的方程为x2-y2=1,x≤-1： (2)设A(x,y),B(x,y2), x2-y2=1,x≤-1 联立 y=kx-1 整理可得(1-k2)x2+2x-2=0: △=4k2+81-k2）>0 2k 依题意可知 ,且+名=积<-2， 2 1-k2≠0 12>1 x2=一 55/57 解得-V2<k<-1, 由OA.0B>5可得0A0B=6,+y%=(2+1)x-k(:+x)+1>5, 低+刊))40，又因为5<<-可得 2 2 <k<-1, （2026高=广东佛山期未)已知双曲线r:￡-广 19. 。F=1a>0,6>0)的右焦点为F(2,0),且经过点 P3,2), (1)求双曲线Γ的方程： (2)过F的两条直线分别交T的右支于A,B两点和C,D两点，且FFB=FCFD,证明：直线AB与 直线CD的斜率之和是定值： 【解析】（山因为双曲线Γ：-广 :aF=1a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),且经过点P3,V2): [22=a2+b2 13(2 [a2=3 所以 =1B=1,因此双曲线的方程为x → -y2=1 3 (2)由题意可知直线AB,CD都存在斜率且不为零，且不相等， 设直线AB的斜率为k,方程为y=k(x-2),与双曲线方程联立，得 y=1s0-3）241212-30, 不等于0 y=k(x-2) 1-3k2 所以有△=144k-4(-12k-3)1-3)=12(k+1)>0, 设A(,),B(x,2) 5+52>05=23>0,解得>行 1-3k2 1-3k2 FA=(:-2)2+=:-2)+(:-2}=1+kx-2 同理FB=V1+kx2-2, 56/57 所以FAFB=V1+kx-2×1+kk-2=(1+k)xx2-2(x+x)+4 设直线CD的斜率为k2, 同要可得：P四D-点 因为FA·FB=FCFD, 所以3法(+)3好-)=(+号)3-1)→片=足， 1+k21+3 因为k≠k2,所以k=-k2→k+k3=0, 因此直线AB与直线CD的斜率之和是定值. 57/57第10讲双曲线 目录 01思维导图与题型归纳… …2 02基础知识梳理 .3 知识点一：双曲线的定义 。。,。。。。。。。。。。。。。。。。。。 知识点二：双曲线的方程、图形及性质， …3 03题型精讲举一反三 .6 题型一：双曲线定义与标准方程.… 6 题型二：焦点三角形周长...，.，....，8 题型三：距离和差最值..12 题型四：双曲线轨迹问题.· ….15 题型五：双曲线几何性质..·。 20 题型六：离心率取值与范围.………… 0….23 题型七：焦点三角形面积..... 题型八：双曲线综合应用..... 04过关测试 .39 1/18 01 思维导图与题型归纳 G 双曲线的定义 标准方程 图形 双曲线及其性质 集距 范国 双曲线的简单几何性质 对称性 顶点 离心率 渐近线 题型五：双曲线几何性质 题型一：双曲线定义与标准方程 题型六：离心率取值与范围 题型二：焦点三角形周长 题型归纳 题型七：焦点三角形面积 题型三：距离和差最值 题型八：双曲线综合应用 题型四：双曲线轨迹问题 2/18 02 基础知识梳理 知识点一：双曲线的定义 平面内与两个定点F,E的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于F)的点的轨迹叫做双曲线 (这两个定点叫双曲线的焦点).用集合表示为MM-M5=2a0<2a<5FD} 注意：(1)若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支， (2)当2=FE时，点的轨迹是以F和B为端点的两条射线：当2a=0时，点的轨迹是线段F5的 垂直平分线. (3)2a>FF时，点的轨迹不存在. 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件：>2a”是否成立：②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定2，b的值），注 意a2+b2=c2的应用. 知识点二：双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质 x2 y2 标准方程 =1(a>0,b>0) y2 x2 a282=1a>0,b>0) y= B 图形 a 焦点坐标 F(-c,0).E(c,0) E(0,-c).F(0,c) 对称性 关于x,'轴成轴对称，关于原点成中心对称 项点坐标 4(-a,0).A,(a,0) A(0,a).A(0,-a) 范围 px≥a y≥a 实轴、虚轴 实轴长为2a,虚轴长为2b 3/18 b2 离心率 e== a (e>D x2 y2 x2 渐近线方程 令a2 6 =0→y=x 令a2 焦点到渐近线的距离为b 焦点到渐近线的距离为b >1,点(x)在双曲线内 >1,点(x,)在双曲线内 点和双曲线 t3 (含焦点部分) y2 x2 (含焦点部分) 的位置关系 6 =1,点(x)在双曲线上 a? b2 =1,点(x,y)在双曲线上 <L,点(x,y)在双曲线外 <1,点(x,y)在双曲线外 共焦点的双 x2 y2 =1(-a2<k<b2) y2 -=l1(-a2<k<b2) 曲线方程 a2+k b2-k a2+k b2-k 共渐近线的 x2 y2 =(几≠0) yx 双曲线方程 a2 b2 a2 b2 =(2≠0) 切线方程 Xox_yoy=1,(Xo:Yo) a2 yy_=1,) 为切点 为切点 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中x换为，)换成 切线方程 yy便得 xox yoy a2 b2 =1,(x,yo) 切点弦所在 为双曲线 学著= 为双曲线外一点 直线方程 外一点 点(，)为双曲线与两渐近线之间的点 设直线与双曲线两交点为A(G,),B(x,),k4B=k 则弦长 =i+k-=+E-为0】 弦长公式 k-x=V(x+x)}-4x2= 其中“a”是消“y”后关于“x”的一元二 次方程的“x”系数. 2b2 通径 通径（过焦点且垂直于B的弦）是同支中的最短弦，其长为a 焦点三角形 双曲线上一点P(x,%)与两焦点F,F构成的△PFF成为焦点三角形， 4/18 c0s0=1-2b 设∠FPR=0,PF=片，PE=5,则os P(xo,Yo) ⊙ 215sin0= 1 sin0 b2 ∫cyo,焦点在x轴上 1-cose 01 tan cx,焦点在y轴上 2 焦点三角形中一般要用到的关系是 PF-PF=2a(2a >2c) SPFsin ZFPF FE=PE+PF-2PFIPF COS ZFPF 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线一a=b一离心率e=V2台 等轴双曲线 两渐近线互相垂直÷渐近线方程为y=土r台方程可设为x-y=(≠0) 5/18 03 题型精讲举一反三 题型一：双曲线定义与标准方程 x2 y2 例1.M是双曲线4121上一点，点F:万分别是双曲线左右焦点，若M=5,则M= 例2.(2026高二北京海淀阶段检测)已知双曲线4=1的左、右焦点分别为R:R,点P(3,m川) 在双曲线上，PF-PF= 例3.（2026高二新疆乌鲁木齐期中)已知双曲线C:-上 云16=1的左右焦点依次为F:F:且55=10， 若点P在双曲线的右支上，则PF-PF= 变式1.(2026高二全国单元测试)已知双曲线c:3664 ,。士-1的左、右焦点分别是F,万，P是双曲线C 上一点，若PF=15,则PF= 变式2.（2026高二贵州货阳阶段检测)已知双曲线C:号 :a存=la>0,b>0)的浙近线方程为y=士5x, 其右焦点坐标为(2,0)，则双曲线C的标准方程为 变式3.(2026高二·黑龙江黑河·阶段检测)以y=√3x和y=-3x为渐近线，且经过点(-3,3)的双曲线标 准方程是 变式4.(2026高二·上海黄浦期中)双曲线。经过两点4-√2，-V3 √15 B 则双曲线。的标准 方程是 变式5.(2026高二北京延庆期末)双曲线的一个焦点坐标是(-2,0)，且双曲线经过点(2，V2),则双曲 线的实轴长为 ,标准方程为 题型二：焦点三角形周长 x 例4，(2026高二江苏泰州：期中)已知双曲线C:4广=1的左右焦点为F,B,过F的直线，与双曲 线C的右支交于A,B两点，若AB=2,则△ABF的周长为() 6/18 A.12 B.14 C.10 D.8 5(2026高二安撒安庆阶段检测)已双曲线C白的左、有焦点分别为R6,在左支刻 164 过F的弦AB的长为4，那么△ABE的周长是() A.24 B.20 C.16 D.8 例6.（2026高二四川资阳期未)已知双曲线C:2- =1(m>0)的左、右焦点分别为F,E,直线， m2 经过E且与C的右支相交于A,B两点，若AB=2,则△ABF的周长为() A.6 B.8 C.10 D.12 变式6.(2026高三陕西成阳阶段检测)已知双曲线C:之，京1Q>0,b>0)的左、右焦点分别为F, F,过点F的直线与双曲线的右支相交于A,B两点，B=2BF=4AF引，△ABF的周长为10，则双曲 线C的焦距为() 6W7 A.3 B.万 c.21 3 D. 5 变式7.(2026高二辽宁铁岭阶段检测)已知双曲线 y2 x2 21(m>0),直线'过其上焦点5，交双曲线 上支于A,B两点，且AB=4,F为双曲线下焦点，△ABF的周长为18，则值为() 25 A.8 B.9 C.10 D.4 变式8。(2025高二浙江湖州期未已知双曲线C:。打的左、右焦点分别为B,点。为双曲线】 916 C第一象限内的一点，∠FPE的角平分线为1，过原点O作PE的平行线，分别与PF和I交于M,N两点， 若N-号PF,则APF5的周长为() A.48 B.50 C.52 D.56 题型三：距离和差最值 例7.（2026江西赣州一模)已知点A0,3),双曲线E:号号 :27=1的左焦点为p’点p在双曲线E的 7/18 右支上运动当△4PF的周长最小时，AP+PF=() A.6√2 B.7N2 C.8v2 D.9√2 x2 y2 例8。(2026宁熨银川模拟预测)已知点p是双曲线36641的右支上一点，M'N分别是圆 (x+10)+y2=4和(x-10)+y2=1上的点，则PM-PN的最大值为() A.12 B.15 C.16 D.18 x2 y 例9.（2026高二湖北：阶段检测)P是双曲线69=1的右支上一点，MN分别是圆(x+5}+y'=1和 (x-5)}+y2=1上的点，则PM-PN的最大值为() A.7 B.8 C.9 D.10 x2 y2 变式9.(2026高二宁夏石嘴山阶段检测)己知45,2)：双曲线C:45 =1的左焦点为F,P是双 曲线C的右支上的动点，则PF-PA的最大值是() A.-1 B.2 C.109 D.9 变式10.（2026高三·云南曲靖阶段检测)已知P是双曲线；-广=1的左焦点，ML,3),P是双曲线右 支上的一动点，则PF+PM的最小值为(). A.V10 B.2V5-√10 C.2W3+V10 D.25+32 变式11.(2026高二浙江金华阶段检测)已知圆C:x2+(0少-4=1上有一动点P,双曲线 M:。-号=1的左焦点为F·且双曲线的右支上有一动点Q则P阳+Q的最小值为〈） 97 A.4V2-1 B.4V2-5 C.4V2+7 D.4V2+5 题型四：双曲线轨迹问题 例10.(2026高二山西太原期末)己知4(4,0)、B(4,0),P是圆0：x2+y2-9(0为坐标原点)上任 意一点，O是圆O外一点，若∠AQP=∠BOP,且PO⊥BP,则点O的轨迹方程为() C. D.=1 97 916 916 例1.(2026高二广东惠州阶段检测)动圆M过定点A(4,0),与定圆B:(x-4)+)2=16外切，则动 8/18 圆圆心M的轨迹方程为() B.412 c苦首-s动 u君若-0cs习 例12.已知定点F(-2,0),F(2,0),N是圆0：x2+y2=1上任意一点，点F关于点N的对称点为M,线段 FM的垂直平分线与直线FM相交于点P,则点P的轨迹方程是() A.7x2+父=1 B.r-上=1 3 3 e苦1 。若1 变式12.(2026有二吉林长春阶段检测)已知圆G:(c+2+户-至C:(-2旷+y-4,动国p与 圆C,C都外切，则动圆圆心P的轨迹方程为() A.x2 -=1(x>0) B.x2 -=1(x<0) 3 3 c.2-2=10x>0) 5 n.-号=<0 变式13.(2026高二浙江期中)已知圆M:(c+2)+y=4,M为圆心，P为圆上任意一点，定点 A(2,0),线段PA的垂直平分线1与直线PM相交于点Q,则当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为 () A若若=es-2 c.r号=s-0D.- 31 变式14.(2026高二广西柳州期中)设点A-25,0,B25,0),M为动点，已知直线4M与直线BM 的斜率之积为定值3，点M的轨迹方程是() A.若=10≠0) 93 B.号二10≠0) 124 c.号r=0*0) n5名-00 变式15.(2026高二湖北武汉期末)己知圆A:(x+3)+y=4,B(3,0),点P在圆A上运动，设线段 9/18 PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q,则Q点的轨迹方程为() 8 6 C.y2 D.2 6s1 题型五：双曲线几何性质 例13.（多选题）(2026高二山东枣庄期末)已知双曲线C:9y2-16x2=144,则() A.C的焦点坐标为(5,0)，(-5,0) B.C的实半轴长为4 C,c的离心率e= 4 D.C的渐近线的方程是4x±3y=0 创1H(多途超)Q26高二江苏宿迁期中)已知双用发c:号。1，则下列悦法的是() A.双曲线C的实轴长为8 B.双曲线C的焦距为10 C.双曲线c的离心率为 D.双曲线c的渐近线方程为y=± x 例15。（多选题）(2026商三河北邪台开学考试）若双曲线c的方程为4-广=1，则() A.C的焦距为2V5 B.C的渐近线方程为y=±2x C.C的离心率为5 D.C的虚轴长为2 x2 y2 变式16，（多选慰)己知双面线C,广=1>06>0)的实铂长为4，左、有焦点分别为万：5，左 顶点为A,平行于x轴的直线1与C左、右两支分别交于M,N两点，且直线AM,AN的斜率之积为一4， P为C的右支上一点，若PF1PF,则() AC的新近线方据为=宁子 B.C的离心率为√5 16 C.M到两渐近线的距离之积为5 D.P℉F,E=64 变式识（多选题》（多滤）已知B分别为双自我C于-后 。示=1(a>0,b>0)的实轴端点，p'Q是 10/18 双曲线C上关于原点对称的两点（异于实轴端点），且。=子，则下列说法巾正确的是() A.双曲线的离心率不确定 B.双曲线的离心率为2 C,,的值不受点p,O位置的影响D.双曲线的浙近线方程为y宁 题型六：离心率取值与范围 例16.已知双曲线Γ的左，右焦点分别为，.以Γ的实轴为直径作圆2，又过F作2的切线交Γ的右 皮子点p若c0s☑FP吧，，则的离心率为 例17.(2026高二费州避义期末)设双曲线C:若若-0060的左、右焦点分别为万，月，过万 的直线1与圆x2+y2=a2相切，切点为P,延长FP交C的右支于点9，且QP=2PF,则C的离心率为 例18。(2026高二河南期中)已知F是双曲线C:兰-兰 :立京=1(a>0,6>0)的右焦点，关于原点对称的两点 P,Q均在C上，且l2F-PF=3b,则C的离心率为 变式18.(2026高二福建福州期中)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（山，2），则 它的离心率为 变式19.(2026高三福建三明阶段检测)已知双曲线℃，千片>0,6>0)的左、右焦点分别为F,B 点p在c上，且∠RP阳=行，|PFl=2P,则c的离心率e= 变式20.(2026高二浙江杭州期中)已知e分别是椭圆C和双曲线C的离心率，FB是它们的公 2.1 共焦点，M是它们的一个公共点.且FM⊥E,M,则gg,的最大值为 变式21.<2026高二浙江衢州期中已知双曲线C:。卡=1a>0,6>0的左右焦点分别为F,E,以 C的实轴为直径的圆记为D:过F作圆D的切线与c交于M,N两点，且osFN5=3,则c的离心率 为 变式22.(2026高二湖北随州：期末)已知F,B是焦点在x轴上的椭圆C和双曲线C2公共的焦点，若椭 11/18 圆C和双曲线C,在第二象限的交点为P,点Q既在第一象限，又在双曲线C,上，且QF=2PF,若椭圆 C的离心率的取省范国为) 则双曲线C,的离心率的取值范围为， 题型七：焦点三角形面积 例19.(2026高二全国期未)已知双曲线T:5-少广=1的左、右焦点分别是F5P是r右支上的 点.若PFPF=3,则PF·PE的值为。 x2 y2 例20.(2026高二天津期中)双曲线。=1（a>0'6>0)的左、右焦点分别为F5点P在双 曲线右支上，直线PF的斜率为3若△PF是直角三角形，且面积为3，则双曲线的方程为： 2孔，(2026高二浙江台州期中)设万E是双曲线×的两个焦点，p是双曲线上的一点 41PF=3PF|,则△PFF的面积等于 变式23，(2026高=上海青浦阶段检测)双曲线- =1的左右两个焦点为F,F,第二象限内的一 4 点P在双曲线上，且∠FPR=?,则三角形FPF,的面积是 变式24，(2026高二四川达州期中)已知双曲线C:。 :9161的左、右焦点分别是F,E,点M为双曲 线上一点，若M到原点的距离MO=5,则△MEE的面积是 题型八：双曲线综合应用 x2 y2 例2.(2026高二上海阶段检测)已知双曲线7厅-1(a>0,b>0)的实轴长为8，焦距为10，两个焦 点分别为，P为双曲线上一点 (1)求双曲线的标准方程，以及双曲线的渐近线方程； ®没∠FP片=，求AP听R的面积 12/18 x2 y2 例23.(2026高二云南玉溪期未)已知双曲线C:京存=1a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,B: 过点F的直线与C的左支相交于P,O两点，满足Pg1PF,且l2PF5PF,PF-PF=10, (1)求双曲线C的方程： (2)过点(5，O)与直线P0平行的直线I与双曲线C交于A,B两点，求△ABE的面积 例24（2026湖南长沙三模)已知动点Mk,)与定点F62,0)的距离与它到定直线1：x=35 2 的距离 的比是常数V2, (1)求动点M的轨迹： (2)过上述轨迹上一点P作轨迹的切线与两直线y=±x分别交于A、B两点，证明：三角形AOB的面积是 定值. 变式25.(2026高二湖南株洲阶段检测)已知中心在坐标原点O的椭圆D经过点A52,0,B(0,5), (1)求椭圆D的方程： (2)已知圆Mx2+(y-5)=9,双曲线G与椭圆D有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求 双曲线G的方程. 变式26.(2026高二·上海宝山期末)已知焦点在x轴的双曲线，实轴长为2，焦距为4，F、F分别为 双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线1与双曲线交于A、B两点 (1)求双曲线方程： (2)若直线I的斜率为1，求△ABF的面积； 13/18 i记左顶点为M,直线4M~BM分别交直线x=于p、Q两点，证明：P丙-O5为定位 变式27。(2026高三吉林长春期末)已知双曲线：x三b>0,左，有顶点分别为4，过 M(-2,0)的直线交双曲线T于P,Q两点， (1)若T的离心率为2，求b: (2)若b=26 ,△M4,P为等腰三角形，且点p在第一象限，求点p的坐标 14/18 04过关测试 个(2026高二产西柳州期中)已知点P是双曲线。Q>0)的右焦点，0 O是坐标原点，以OF为 直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点A,若△AOF的面积为5，则该双曲线的离心率为() 3 A,2 B D. 2 2 2 2(2026高=浙江期中)若双曲线C:, C3+m+m51m∈R,离心率为e则“m=-1”是 es2” 的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 x2 y2 3.（2026高二浙江期中)己知双曲线的方程为。存=1(a>0,b>0),若过点(a,0).(0,b)的直线的倾 斜角为120°，则双曲线的离心率为() A.V6 B D.2 3 C.3 4(206%二河向新乡期)已知双自线c:首号-1，过尿点o直线，与双曲线c交于R0内点， 设双简线C的左右点分划为F,若∠PF0-行，则，Pr的面积为() A.4v3 B.3V3 C.3√2 D.2v2 2026高三溯北期中)在平面直角坐标系x0中，圆0：+：4与双曲线C: a=1相交于 A,B,C,D四点，若点A,B,C,D构成圆O圆周的四等分点，圆O的直径长度是双曲线C实轴长的2倍，则 双曲线C的离心率为() A.2 B.5 C.35 4v7 D. 5 7 x2 y2 6,(2026黑龙江齐齐哈尔二模)双曲线E:京尔=1(a>0,6>0)的右焦点为p·过点p且斜率为 2W5 的直线与y轴交于点A,线段AF与B交于点B,若B为4F的中点，则B的离心率为（） 15/18 A35 D.5 5 C.5 x2 y2 7.(2026陕西成阳：二模)已知双曲线c:日方=1（a>0°6>0)的渐近线方程为，=±x右焦点为 F,过F且斜率大于0的直线交C的右支于A,B两点，若ABF=2,则直线AB的倾斜角为 () A.30° B.45° C.60° D.75° 2026高二贵州贵阳阶段检测)己知圆C:x-2+y2=1与双曲线上：，2广6京=1(a>0,b>0)的 线相切，则双曲线E的离心率=() B. 3 3 D.35 3 (多选惠)（多选）如图，O是坐标原点，p是双曲线E。Q>06>0右支上的一点，B园 双曲线E的右焦点，延长PO,PF,分别交双曲线E于O,R两点，己知QF⊥FR,且lQF=2FR,则 () A.S.POR =6S POF B.S△ROF=3S△PoF C双曲线e的离心率为 3 17 D.双曲线。的离心率为 10,（多选题）（2026离二河南许昌期末)已知0为坐标原点，厂，5分别是双曲线C- 31的 左、右焦点，点A在C上且OA=2,则() A.C的离心率为2 B.点F到C的一条渐近线的距离为3 16/18 C.△4E5的面积为3 7 D.以F,E为焦点且经过点A的椭圆的离心率为7 11.(多选题)(2026高二广东广州期末)双曲线C x2 y2 a212 =l1(a>0)的焦点分别是F,E,下列命题 正确的有() A.双曲线C上一点M满足M=5,F=8,则ME的值为1或9 B.以F,F为直径的圆与双曲线C相交于点P,则△PFF的面积为12 C.双曲线C的焦点到其渐近线的距离为2V3 2 D.若直线y=x与双曲线C交于A,B两点，且A,B两点的横坐标之积为g,则双曲线C的离心 5 率为3 12.(多选题)(2026高二黑龙江齐齐哈尔期末)已知双曲线C:r-y=1(亿>0)的焦距为2√2，点 A,B是C的左、右顶点，F,F是C的左、右焦点，P为双曲线C上除A,B两点外的任意一点，则下 列说法正确的是() A.=1 B.若PF=3,则PF=1或5 C.直线PA与直线PB的斜率之积为-1 D.点P到C的两条渐近线的距离之积为定值 1B.(2026全国模拟预测)己知双曲线。=1(a>0,6>0)的左、右焦点分别是F:5,过点R的直 线与双曲线的右支交于点A,C,连接AE交双曲线的左支于点B,若BE,上AC,AF=3,CP=2, 则△ABC的面积是. 14.(2026高二·上海奉贤期未)曲线mx2+y2=mn(m≠n,mn≠0)的离心率为、5，则n 15,（2026商二云南楚雄期末)已知0为坐标原点，万.5分别为双酯线C:兰-广 :京京=1(a>0,6>0)的左、右 焦点，以OF为直径的圆在第一象限与C交于点P,延长FP与C的另一个交点为Q,若P为QF的中点， 则双曲线C的离心率为■ 16,（2026高=浙江台州期未)已知F.5是双曲线C:三-广 :。京=1的左右焦点，过￡的直线，与双曲线 17/18 C的左右两支分别交于A,B两点若4=BF引，且AE⊥BF,则双曲线C的离心率为 17。（2026有二江苏南适期末)在平面直角坠标系10中，已知双曲线C:二-广 :a存=1(a>0,b>0)的左 右顶点分别为4(-a,0),4,(a,0),渐近线方程为y=±√3x. (1)求C的离心率： (②)若点P在C上，且异于4，A,求证：直线4P与4P的斜率之积为定值： 8)若直线：y=x+m(k≠士V5)与C只有一个公共点M,直线1与y轴交于点N,且OM.ON=-3,求 C的方程. 18.(2026高二湖北武汉期末)在平面直角坐标系中，有两个圆C:(x+2+=L,和圆C: (x-V2+y2=1,一动圆p与圆C内切，与圆C,外切动圆圆心P的轨迹是曲线E,直线y=c-1与曲线 E交于A,B两个不同的点，且OAOB>5(O是原点)· (I)求曲线E的方程： (2)求实数k的取值范围. 巴(2026高二广东佛山期末)已知双曲线。-发@>0,6>0的右焦点为F(2,0),且经过点 P3,2) (1)求双曲线「的方程： (2)过F的两条直线分别交T的右支于A,B两点和C,D两点，且F4FB=FCFD,证明：直线AB与 直线CD的斜率之和是定值. 18/18