第02讲 五种直线方程（7大知识点+9大题型）（讲义）-2026年新高二数学暑假进阶精品讲义（苏教版2019）

第02讲五种直线方程 目录 01思维导图与题型归纳.2 02基础知识梳理.3 知识点一：直线的点斜式方程3 知识点二：直线的斜截式方程 3 知识点三：直线的两点式方程 3 知识点四：直线的截距式方程 4 知识点五：直线方程几种表达方式的选取 4 知识点六：直线方程的一般式4 知识点七：直线方程的不同形式间的关系 5 03题型精讲举一反三… .6 题型一：直线的点斜式方程 6 题型二：直线的斜截式方程 > 题型三：直线的两点式方程 题型四：直线的截距式方程 9 题型五：线段中点坐标公式 10 题型六：直线的一般式方程 12 题型七：动直线恒过定点问题14 题型八：直线与坐标轴围成三角形相关问题16 题型九：直线方程综合应用题19 04过关测试… …23 1/31 01思维导图与题型归纳 方衢y=心x)由直线上一定点及其斜率决定， 直线的点斜式方程 我们把，=x)叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。 如果直线的斜率为k,且与轴的交点为0，b), 根据直线的点斜式方程可得-b=代-0)，吗y=r+b. 直线的斜截式方程 我们把直线与轴的交点(0，b)的纵坐标叫做直线在轴上的截距， 方程=kr+b由直线的斜率k与它在轴上的截距b确定， 所以方程=kx+b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式 五种直线方程 经过两点P心)，P)（其中xxy:)的直线方程为 直线的两点式方程 器-装小称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式。 若直线/与轴的交点为.4(a0),与r轴的交点为B0,b),其中a≠0，b0, 直线的截距式方程 则过B两点的直线方程为。+片1，这个方程称为直线的截距式方程。 a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在轴上的截距 关于x和y的一次方程都表示一条直线.我们把方程写为x+Br+C=0, 直线方程的一般式 这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式. 题型一：直线的点斜式方程 题型六：直线的一般式方程 题型二：直线的斜截式方程 题型七：动直线恒过定点问题 题型归纳 题型三：直线的两点式方程 题型八：直线与坐标轴围成三角形相关问题 题型四：直线的截距式方程 题型九：直线方程综合应用题 题型五：线段中点坐标公式 2/31 02基础知识梳理 知识点一：直线的点斜式方程 方程y-y。=k(x-x)由直线上一定点及其斜率决定，我们把y-,=k(x-x)叫做直线的点斜式方 程，简称点斜式 知识点诠释： 1、点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行 于y轴的直线，即斜率不存在的直线： 2、当直线的倾斜角为0°时，直线方程为y=y: 3、当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为：x=x· 4、k=y-少表示直线去掉一个点P,(x,)；y-y,=(x-x)表示一条直线. x-Xo 知识点二：直线的斜截式方程 如果直线I的斜率为k,且与y轴的交点为(0，b),根据直线的点斜式方程可得y-b=k(x-O),即 y=+b.我们把直线1与y轴的交点(O,b)的纵坐标b叫做直线I在y轴上的截距，方程y=x+b由直线 的斜率k与它在y轴上的截距b确定，所以方程y=c:+b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 知识点诠释： 1、b为直线1在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2、斜截式方程可由过点(O,b)的点斜式方程得到： 3、当k≠0时，斜截式方程就是一次函数的表示形式. 4、斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. 5、斜截式是点斜式的特殊情况，在方程y=x+b中，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距， 知识点三：直线的两点式方程 经过两点P(x,y)(低，，)（其中x≠，以≠）的直线方程为)立=-立（化≠，”≠，），称这 y2-x2- 个方程为直线的两点式方程，简称两点式. 知识点诠释： 1、这个方程由直线上两点确定； 2、当直线没有斜率(x1=x,)或斜率为0(y,=y2)时，不能用两点式求出它的方程. 3/31 3、直线方程的表示与P(x,y),P(x2,y2)选择的顺序无关. 4、在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式)一上=-立（任本，”≠）通过交叉相乘转化为 y2-y1x2-x1 整式形式(y-y)x2-x)=(y2-)x-x),从而得到的方程中，包含了x=x2或y,=y,的情况，但此转化 过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由x、x和y、是否相等引起的讨论.要避免讨论，可直 接假设两点式的整式形式. 知识点四：直线的截距式方程 若直线I与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a≠0，b≠0，则过AB两点的直线方程 为+Y=1,这个方程称为直线的截距式方程.a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距. a b 知识点诠释： 1、截距式的条件是α≠0，b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直 线. 2、求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令yO得直线在x轴上的截距. 知识点五：直线方程几种表达方式的选取 在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立 变数.在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式.一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线， 通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的 截距；己知截距或两点选择截距式或两点式.从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长， 则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏. 知识点六：直线方程的一般式 关于x和y的一次方程都表示一条直线.我们把方程写为Ax+By+C=0,这个方程（其中A、B不全 为零)叫做直线方程的一般式. 知识点诠释： 1、A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线. 当B≠0时，方程可变形为y=-Ax-S,它表示过点0，- -Bx-B B ,斜率为-A的直线。 B C 当B=0,4≠0时，方程可变形为4红+C=0,即x=一京，它表示一条与轴垂直的直线. 4/31 由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线， 2、在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线 可以对应着无数个关于x、y的一次方程. 知识点七：直线方程的不同形式间的关系 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 y-y=k(x-x) (x,y)是直线上一定点，k是斜率 不垂直于x轴 斜截式 y=kx+b k是斜率，b是直线在y轴上的截距 不垂直于x轴 两点式 y-y-x-x (x,y),(x2,y2)是直线上两定点 不垂直于x轴和y轴 2-y1x2-x 截距式 x+y=1 a是直线在x轴上的非零截距，b是直线不垂直于x轴和y轴， a b 在y轴上的非零截距 且不过原点 般式 Ax+By+C=0(A2+B2≠0) A、B、C为系数 任何位置的直线 直线方程的五种形式的比较如下表： 知识点诠释： 在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要 求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（化≠x2少，≠y),应用时若采用 (y,-y(x-x)-(x,-x)y-y)=0的形式，即可消除局限性.截距式是两点式的特例，在使用截距式时， 首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件.直线方程的一般式包含了平面上的 所有直线形式.一般式常化为斜截式与截距式.若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方 程也不同. 5/31 03题型精讲举一反三 题型一：直线的点斜式方程 【例1】根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点4-1,4)，倾斜角为45°： (2)经过原点，倾斜角为60°； (3)经过点D(-1,1,倾斜角为0°. 【解析】(1)因为直线斜率为k=tan45°=1， 所以直线的点斜式方程为y-4=1×(x+1). (2)因为直线斜率为k=tan60°=√5， 所以直线的点斜式方程为y-0=√3(x-0). (3)因为直线斜率为k=tan0°=0，所以直线的点斜式方程为y-1=0×(x+l). 【变式1-1】写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点A-2,3),斜率为3： 2)经过点B(3,0)，倾斜角是 6 3)经过点C(-4,-2),倾斜角是2 【解析】(1)由题意可知，将A-2,3)和斜率3直接代入直线点斜式方程y-y。=k(x-x,)可得， 直线的点斜式方程为y-3=3(x+2): (2)由倾斜角是石可得直线斜率k=an”=5 63 将B(3,0)代入点斜式方程即为y-0= 3(x-3到 (3)由倾斜角是否可得直线斜率大=a子-5。 将C(-4,-2)代入点斜式方程即为y+2=-V3(x+4) 【变式1-2】已知在第一象限的ABC中，A1,1,B(5,1,A=60°，B=45°，求BC边所在直线的点斜式方程. 【解析】因为A1,1,B(5,1,A=60°，B=45°，直线AB为水平直线， 所以kc=tan135°=-1， 故BC边所在直线的点斜式方程为y-1=-(x-5) 6/31 【变式13】求过点(V3,V⑤，倾斜角等于y=√5x+1的倾斜角的一半的直线的点斜式方程. 【解析】直线y=5x+1的斜率为、5，倾斜角为行， 所以所求直线的倾斜角为及，斜率为V5】 3 由直线过点(5,5，则直线的点斜式方程为y-5=5( (x- 题型二：直线的斜截式方程 【例2】(25-26高二上河北衡水阶段检测)求分别满足下列条件的直线方程，结果写成斜截式. (1)过点P(-4,3),斜率k=-3; 2)经过点(2-列，倾斜角是直线)=5x的倾斜角的2倍， 3 【解析】(1)由直线的点斜式方程得直线方程为：y-3=-3x+4,化简可得：y=-3x-9. (2)因为直线y=5x的斜率为5，所以其倾斜角为交，所以所求直线倾斜角为，所以所求直线斜率 3 3 为tan交=5， 3 由直线的点斜式方程得直线方程为：y+3=V3(x-2),化简可得：y=√3x-2V3-3. 【变式2-1】已知直线1经过点P(-2,3),且在两坐标轴上的截距相等，求直线1的斜截式方程。 【解析】依题意直线的斜率存在，设为k,直线方程为y-3=(x+2), 3-2 令x=0得纵截距为y=2k+3,令y=0得横截距为x= 依题意得，2K+3=3-2,解得k=3或k:-1, k 2 所以直线方程为y=- 2x或y=-x+1. 【变式2-2】写出下列直线的斜截式方程： (1)直线斜率是3，在y轴上的截距是-3； (2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5； (3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为-2· 【解析】(1)由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为y=3x-3 (2)因为直线斜率为k=tan60°=√5，由直线的斜截式方程可知所求直线方程为：y=√5x+5. (3)因为直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为-2，所以直线过点(4,0)，(0，-2)， 7/31 根据两点可求直线斜*及：子二分，所以直线的斜数式方程为？-2。 【变式23】己知ABC的三个顶点分别为A1,6)、B(-1,-2)、C(6,3),求AB边上的中线CM所在直线的 斜截式方程 【解析】因为A1,6)、B(-1,-2),所以AB边上的中点M(0,2), 而C6,3,所以k二号，所以CM所在直线的斜截式方程为yx+2. 6 珠 M 题型三：直线的两点式方程 【例3】(23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔阶段检测)过点A5,6)和点B(-1,2)的直线的两点式方程是 【答案】y-6=x-5 2-6-1-5 【解析】由题意，AB不和坐标轴垂直，符合两点式方程的使用条件， 当直线经过(G,,(K,少)时，两点式方程为：)-片=-x y2-y1x2-x1 于是直线AB的两点式方程为：)-6。X-5 2-6-1-5 故答案为：)-6=x-5 2-6-1-5 【变式31】已知直线1的两点式方程为+3=-0， 2+33-0,则1的斜率为 【路】昌 【解折】原方程即为3。女，此即y: 53 -3,所以1的斜车为 3 故答案为：3 【变式3-2】(24-25高二上广东期中)写出一个过(-3,1)和2，-2)的直线的两点式方程 8/31 【答案】”-+3（答案不唯一，四种形式写出一种即可）. -2-12+3 【】经过刘训和a2一-刘线两京式方程起：号告号号 故答案为：)=+3（答案不唯一，四种形式写出一种即可）. -2-12+3 【变式3-3】(21-22高二上上海金山阶段检测)己知A(1,2),B(-1,1),则直线AB的两点式方程为· y-2x-1 【答案】2-11-(- 【解析】当直线过两点(x,),(x,y)时，其两点式方程为y-业=-， y1-y2x1-x2 测直线的两点式方程为号品 y-2x-1 故答案为： 2-11-(-1 题型四：直线的截距式方程 【例4】过点A(3,-2)和B(L,2)的直线方程的截距式为 【答案】+上=1 24 【解析】设直线方程为+二=1，将A3,-2),BL,2)代入， a b (32=1 可得日多，解得a=2.b=4,则方程为行+若=1 12-1 24 一十 la b x+=1 故答案为：2+4 【变式4-1】(24-25高二上·湖南·阶段检测)直线x-2y-4=0的截距式方程为 【答案】 【解析】直线x-2-4=0的藏距式方程为：言艺1. 故答案为：于占=1 42 【变式4-2】(1)经过点P(-2,3),在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为 (2)过点(-2,0)且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是 9/31 【答案】 +-1或*片 -39 与y=1成+ 【解析】(1)设直线方程为+y=1,因为直线过点P(-2,3), a 6-a 所以2+一3-1，整理得a-4-12=0,解得a=-3或a=4 a 6-a 于是所求直线方程的截距式为+=1或+二=1. -39 42 (2)由题可知，直线过点-2,0)，所以直线在x轴上的截距为-2， 又直线在两坐标轴上的截距之差为3，所以直线在y轴上的截距为1或一5， 则所求直线方程为之+y=1或之+占=1 -2-5 故答案为：（1)青+号=1或好+片=1：2)之+y=1或号+专=1 _39 -2 -2-5 【变式4-3】(25-26高二上浙江阶段检测)一条直线经过点P3,1),并且与x轴，y轴分别交于A，B两点， 当P为AB的中点时，此直线的截距式方程为 【答案】艺+=1 62 【解析】由点P(3,为AB的中点，则此直线不过原点， 设此直线的截距式方程为+上=1， a b 31=1 一十 a b a=6 则有0236，解得6=2故该方程为后+号=1 62 b=2×1=2 故答案为： X+Y=1 62 题型五：线段中点坐标公式 【例5】(25-26高二上·天津阶段检测)直线1过点M(2,1),若直线1与x轴交A点，与y轴交B点.若点M恰 为线段AB的中点，求直线I方程 【解析】由恩意，直线的斜率一定存在且斜率不为0，可设直线1的方程为。+1a+0,b+0小 则直线1在坐标轴上的交点分别为A(a,0),B(0,b), 10/31 (a+0=2 因为M(2,1)为AB的中点，可得 2 ,解得a=4,b=2, 0+b=1 2 所以直线1的方程为+片1，即x+2)-4=0, 【变式5-1】(24-25高二上四川南充·期中)己知直线1：(22+1)x+(2+1)y-72-4-0. (1)求证：不论实数1取何值，直线1恒过一定点P； (2)在(1)的条件下，若直线1与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且P恰为线段AB的中点，求直线1的 斜截式方程. 【解析】(1)由直线1：(22+1x+(2+1)y-72-4=0变形得元(2x+y-7+x+y-4=0, 2x+y-7=0 (x+y-4=0,解得： x=3 y=1' 由于不论实数1取何值， x=3 总是方程2元+1)x+(2+1)y-7元-4=0的一个解， y=1 所以直线1恒过这一定点P(3,) a+0 3= (2)设A(a,0),B(0,b),则由已知有 2 0+b’ 联立解得：a=6,b=2, 所议直线的截距式方程为+1，即1的方程为x+3y-6=0,y=-3+2 62 【变式5-2】(24-25高二上·福建莆田阶段检测)（1)已知aABC的三个顶点坐标为A(1,2),B(3,6), C(5,2),M为AB的中点，N为AC的中点，求中位线MN所在直线的两点式方程. (2)一条光线从点A(7,2)射出，经过x轴上点P反射后，通过点B(-3,8),求反射光线所在直线的一般式 方程 【解析】(1)由题意知M(2,4),N(3,2), 所以中位线MN所在直线的两点式方程为)-4=x-2 2-43-2 (2)点A7,2)关于x轴的对称点为A(7,-2, 则反射光线经过A(7,-2)、B(-3,8)两点， 所以斜率k=8--2。-1,所以反射光线所在直线方程为y+2=-x-7小， -3-7 化简得x+y-5=0. 【变式5-3】(24-25高二上江苏徐州阶段检测)己知直线1过定点P(2,3),根据下列条件求直线1的方程. 11/31 (1)若直线1与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为16： (2)若直线1被两条直线x-y-1=0和3x+2y-4=0所截得的线段的中点恰好为P,求直线1的方程. 【解析】(1)由题意可知直线斜率存在，设直线截距方程为+上=1， a b 则子}-1，与5=b=16联立可得=8s-4或a-号6=2 a b 故直线1的方程为x+2y-8=0或9x+2y-24=0. (2)设直线1与3x+2y-4=0交点为A(x,y),与x-y-1=0交点为B(x2,y2), 所以x2=y2+1①，3x1+2y,-4=0② 因为点P(2,3)是线段AB中点，所以x+x2=4③，y,+2=6④ 将①代入③可得x=3-,将之代入②，可得3(3-y2)+2(6-y2-4=0, [.22 X2= 5 317 解之可得 17 ·再根据直线两点式可符)-3=，克x-2, y2= 2- 5 5 化简可得x-6y+16=0. 故直线1的方程为x-6y+16=0. 题型六：直线的一般式方程 【例61水2026广东江门二模)若直线：25+y-3=0,6:-y=0的倾斜角分别为0，g-写，则k=() A.3V5 B.3 D.3 5 7 5 【答案】A 【解析】依题意，直线l:2√3x+y-3=0的斜率tana=-25, 所以直线l,:kx-y=0的斜率k=tan(a-死)= tana-tanπ -2√5-√53W5 3 1+-tand tanπ1+-23）W5=5 3 【变式6-1】(25-26高二下.贵州期中)直线1的一个法向量为n=(2,),且过点A(2,-1),则直线1的方程为 () A.x+2y=0 B.2x+y-5=0 C.x-2y-4=0 D.2x+y-3=0 【答案】D 【解析】直线1的一个法向量为i=(2,1),且过点A(2,-1, 12/31 设直线I上任意一点M(x,y),所以AM⊥元， 所以2(x-2)+(y+1)=0,即2x+y-3=0, 直线1的方程为：2x+y-3=0. 【变式62】(2526商二上黑龙江佳木斯断阶段检测》若直线m+)+1=0的倾斜角的大小为后，则实数m: () A.√5 B. 3 D.-3 3 3 【答案】C 【解析】因为已知直线mx+y+1=0的倾斜角为 6 所以根据直线倾斜角a与斜率k的关系：=ana,可得直线的斜率k=am-5 63 对直线方程mx+y+1=0进行变形得y=-mx-1. 因为直线的斜率k=5 且直线斜率为m, 所以-m= √5 ,即m=- 3 所以实数m的值为-5 3 故选：C 【变式6-3】(25-26高二上河南郑州期中)如图所示，直线1：mx+y+n=0与 l2:nx-y+m=0(mn≠0，m≠n)的图象可能是() 【答案】D 【解析】直线：mx+y+n=0方程可化为l:y=-mx-n,斜率为-m,在y轴上的截距为-n,直线 13:x-y+m=0方程可化为l2:y=x+m,斜率为n,在y轴上的截距为m, 13/31 -m>0 m<0 对于A:由直线Z的图象可得 -h<0，即 n>0 n>0 由直线的图象可得 ,A不满足条件； m>0 -m<0 m>0 m>0'B不满足条件， n>0 对于B:由直线I的图象可得 n>0’ 即 由直线2的图象可得 n<0 对于C:由直线1的图象可得 -m>0 m<0 n>0 -n>0，即 n<0, 由直线的图象可得 (m>0' C不满足条件； -m>0 m<0 对于D:由直线4的图象可得 ，即 >0·由直线马的图象可得 m<0 -n<0 >0’D满足条件. 故选：D. 题型七：动直线恒过定点问题 【例7】(25-26高二上广东梅州期末)无论m取何值，直线mx+y+2m-1=0总经过点（) A.(0,1 B.2,1 c.（-2,1 D.-2,0 【答案】c 【解析】由mx+y+2m-1=mx+2)+y-1=0, 当x+2=0,即x=-2时，y-1=0,解得y=1, 所以无论m取何值，直线mx+y+2m-1=0总经过点(-2,1). 故选：C 【变式7-1】(25-26高二上四川内江阶段检测)平面直角坐标系x0y中的直线系方程： (2m-3)x+y-3=0(meR)经过的定点是() A. B. C.(0,3 D.(3,0 【答案】C 【解析】由(2m-3)x+y-3=0, 可得2mx-(3x-y+3)=0, 因为方程对m∈R恒成立， x=0 所以可得： 3x-y+3=0' 解得x=0,y=3, 所以直线系方程：(2m-3x+y-3=0(m∈R经过的定点是(0,3)， 故选：C 14/31 【变式7-2】(25-26高二上四川成都期中)己知点A1,4),B(3,-1).若直线1：mx-y+2m+1=0与线段 AB相交，则m的范围是() [剖 c.(,-u[+ 【答案】A 【解析】因为直线1：mx-y+2m+1=0,即mx+2)+1-y=0, 令r+2s0 1-y=0’解得 x=-2 y=1, 所以直线1过定点P(-2,1, 4-1 -1-12 又k4P=1-(-2 =1,kg3--习5，直线1的斜率为m, 要使直线1与线段有公共点，由圈可知号加≤1，即m的取值范围无[号 故选：A 【变式7-3】(25-26高二上四川成都期中)已知A-1,0),B(0,2),直线1：2x-2ay+3+a=0上存在点P, 满足P+PB=V5,则a的取值范围是() A.(-0,-1 B.[-1, c.[1,+oo】 D.（-0,-1]U[1,+oo） 【答案】D 【解析】直线1方程可化为：1-2y)a+(2x+3)=0, 3 令0-2=0 X=- 2r+3=0得： ,:直线恒过定点M》 2 y= 2 由A-1,0),B(0,2)得：AB=V2+22=5, 当直线I上存在点P满足PA+PB=√5时，直线1与线段AB有交点，如图所示， 15/31 12 kM=- =-1，e=2=1,由直线斜率不为0， 3 21 2 :直线1的斜率k=上∈-1,0(0,1， ae-o,-1U[l,+o）. 故选：D. 题型八：直线与坐标轴围成三角形相关问题 【例8】(25-26高二上江苏南京阶段检测)已知直线1经过点(1,2). (1)若直线1在x轴和y轴上的截距互为相反数，求直线1的方程（写成一般式）； (2)若直线1与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线1的方程（写成斜截式）· 【解析】(1)当直线1的截距为0时，该直线方程为y=2x: 当直线1的截距不为0时，设该直线方程为：上-上=1， aa 则上_2=1，解得a=-1,因此直线方程为：x-y+1=0 aa 所以直线1的方程为2x-y=0或x-y+1=0, (2)依题意，设直线方程为：二+=1a>0,b>0),则上+2-1， a b 1=1+22.2 a b Na b 解得628，当且仅当后分年e=26=4时联等号， 因此三角形面积S=b≥4，即当a=2,b=4时，三角形面积取得最小值4，直线方程为+上=1， 24 所以所求直线方程为y=-2x+4. 【变式8-1】(25-26高二上江苏常州期中)己知直线4的方程为y=-2x+1. (1)若直线Z与平行，且过点(L,3),求直线的方程； (2)若直线Z与1垂直，且12与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程. 【解析】(1)由直线Z与1平行，可设Z的方程为y=-2x+b, 16/31 将点1,3)代入，得3=(-2)×1+b,即得b=5, 所以直线2的方程为y=-2x+5. (2)由直线马与4垂直，可设马的方程为y=2x+m, 令y=0,得x=-2m,令x=0,得y=m, 故三角形面积S=-2mm卡4， 所以m2=4,解得m=±2， 所以直线人的方程是)-分+2或)= 2t2. 【变式8-2】(25-26高二上山东枣庄期中)已知直线1：2a-3x-(a-1)y+1=0. (1)若直线1不经过第四象限，求实数a的取值范围； (2)若直线1与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求直线1的方程. 【解析】(1)由1：(a-1)y=(2a-3)x+1,即a(2x-y)-3x+y+1=0, 2x-y=0 x=1 则 -3r+y+1=0'解得 =2·所以直线1过定点1,2. 因为直线1不过第四象限，结合图形可知，直线I的斜率存在，所以。≠1， 时。直线的方程可化为y品一子+。六记点42，测=2 1 -X+ 由图可得0≤203≤2，解得a≥，因此，实数的取值范围是[}+ a-1 (2)已知直线l:(a-1)y=(2a-3)x+1,且由题意知a≠1， 0 令=0，得)>0，得a>1, 令0，将2>0，a< 17/31 1 则=)×g文32a4a2+10a-64a-3+ 521, 所以当a=时，S取最小值， 4 此时直线的方程为任-小少-2×-小+1，用2x+y-4=0 【变式8-3】(25-26高二上.甘肃白银.期中)已知直线1：(3a-1)x-(a+2)y+2=0. (1)求证：直线1过定点： (2)若直线1不经过第四象限，求实数a的取值范围； (3)当直线1与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时，求直线1的方程. 【解析】(1)直线1：(3a-1x-(a+2)y+2=0,即a(3x-y)-x-2y+2=0. 2 x= 3x-y=0 7 由 -x-2y+2=0' 解得 y7 26 所以直线过定点 77 (2)当口=-2时，直线斜率不存在，方程为x=号，经过第四象限，不成立： 3a-12 当a≠-2时，直线斜率存在，方程为y= -x+- a+2a+2 3a-1、 ≥0 又直线不经过第四象限，则 a+2 20·解得a2 3 a+2 1 综上，实数a的取值范围是 3,too 6 (3)由题，直线1：(3a-1x-a+2)y+2=0,且a≠-2. 令x=0,得y=2>0,得a>-2: a+2 18/31 令，得=0，a<分即-2×a写 2 则=x2x2】 2 2a+23a-1-3a2-5a+2 又y=-3a2-5a+2=-3a+ a5+4g;2a 3， 所以当a=-时，S取最小值，最小值为 24 h 此时直线1的方程为21x+7y-12=0. 题型九：直线方程综合应用题 【例9】设直线I的方程为a+3)x+y+3-a=0(a∈R). (1)若1在两坐标轴上的截距均为0，求1的方程； (2)若1在两坐标轴上的截距相等，求1的方程； (3)若1不经过第三象限，求实数a的取值范围. 【解析】(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零， 所以3-a=0,所以a=3,即方程为6x+y=0 (2)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零， 所以3-a=0,所以a=3,方程为6x+y=0: 直我不过原点时，a+3,由+a,得a=-2 即方程为x+y+5=0, 故所求的方程为6x+y=0或x+y+5=0. (3)将1的方程化为y=-(a+3x+a-3,要使1不经过第三象限， 当且仅当-(a+3)≤0且a-3≥0， 解得a≥3，故所求a的取值范围为a≥3. 【变式9-1】(25-26高二上安徽六安期末)己知ABC的三个顶点分别为A(4,3),B(1,2),C(3,-4),G是 ABC的重心 (1)试求点G的坐标： (2)试求kB×kac的值； (3)试求以A,B,C为顶点构成的平行四边形的两条对角线所在的直线方程. 【解析】(1)因为ABC的三个顶点分别为A(4,3),B(1,2),C(3,-4),G是ABC的重心 19/31 所以重心坐标为G 4+3,+即c 4+1+33+2-4 (2)因为ABC的三个顶点分别为A(4,3),B(1,2),C(3,-4), 2-31 -4-2 所以kB1-43kc= =-3 3-1 所以kec到=-1 (3)以A,B,C为顶点的平行四边形有三种情况，对应三组对角线： ①对角线AC,BD,(D为第四个顶点) 因为kc=4-3-7,所以4C所在直线方程为y-3=7x-4,即7x-y-25=0. 3-4 A的坐标为4，)+8-到-1,2到=6-，所以=32=-1， 6-1 所以直线BD,的方程为y-2=-(x-1,即x+y-3=0. ②对角线AB,CD2(D,为第四个顶点) 因为。骨行所以8所在直线方程为y-3女-4，即打50。 D的坐标为4，-3，-4到+，2=2，，所以9，-13， 2-3 所以直线CD2的方程为y+4=-13×(x-3),即13x+y-35=0. ③对角线BC,AD,(D3为第四个顶点) 因为kc=3- -4-2=-3,所以BC所在直线方程为y-2=-3x-,即3x+y5=0, =-5-3=2, D,的坐标为-4,3到+3，-4+，2=0，-5列，所以k。=04 所以直线AD的方程为y-3=2×x-4),即2x-y-5=0. 【变式9-2】(25-26高二上·上海阶段检测)在平面直角坐标系中，己知射线0A:x-y=0(x≥0)，过点 P(6,2)作直线分别交射线0A、x轴正半轴于点A、B. (1)当直线AB的截距相等且不等于零时，求直线AB的方程： (2)已知点Qa,b)在线段OP(包括端点)上运动，求(a-2)'+(b+2)'的取值范围： (3)求△0AB面积的最小值. 【解析】(1)依题意，设直线AB的方程为x+y=m(m≠0)，因直线AB经过点P(6,2),代入解得m=8, 故直线AB的方程为x+y-8=0. (2)由00,0)、P(6,2),得线段OP的方程为：x-3y=0(0≤x≤6)， 20/31 因为点Q(a,b)在线段0P(包括端点)上运动，所以a-3b=0(0≤a≤6)，则b=a, ta-2+6+2=1a-2r++2-e-+80sas6 3 因为二次函数a)=10a2-8a+80≤a≤6)的开口向上，对称轴方程为a=5 3 所以函数)在区同0， 6 上单调递减，在区间 5 6上单调递增， 因此，当a=时，f(a)有最小值，最小值f 6)32 55' 当a=6时，f(a)有最大值，最大值f6)=32, 故(a-2)2+(b+2)的取值范围是 (3)当过点P(6,2)的直线斜率不存在时，A(6,6)、B(6,0), 此时5on-08h6x6=18. 当过点P(6,2)的直线斜率存在时， 设直线AB的方程为y-2=k(x-6)k≠1，k≠0)，即y=kx-6k+2. 直线4B与-y=0(x之0)相交，可得46k-2,6k-2 (k-1’k-11 直线4B与抽正半袖相交于B,可得8。，0 {6k-2>0 k-1,解得k>1或k<0 由 6k-2 >0 16k-26k-2 则S0a=2xyA=2kk-1 令1=6k-2,则k=1+2)(1>4或1<-2， 6 2 =18× 1 可得5.0s=18×7-21-8-18×1-2-8, t 12 由1>4或1<-2，可得0<4或-2 11 11 <-<0, t 4 压据=次面数的单网性可知，当时日1子号有大价，复大们为号 21/31 此时面积有最小值，且So6=18×8=16,此时长=-1,44,4)、B8,0)符合题意。 综上所述，△0AB面积的最小值为16. B 【变式93】(25-26高二上.四川达州期中)己知ABC顶点A(1,2)、B(-3,-1)、C(3,-3). (1)求边BC所在的直线的方程； (2)若直线过点A,且☑的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. -3--1=-1 【解析1(1)由8-3，-小、C3,-到，可得直线8C的斜率为kx=3-一 所以边8C所在的直线的方程为y+3=号x-3引，即x+3+6=0: (2)当直线过坐标原点时，其斜幸为k,-子-2，方程为4：y=2:此时，直线么的纵截距和横截距均为 零，符合题意； 当直线马不过坐标原点时，由题意设直线方程为+二=1， a 2a 由马过点A,2),则上+2=1，解得a=2,所以直线5方程为+二=1，即2x+y-4=0, a 2a 24 综上所述，直线的方程为2x-y=0或2x+y-4=0. 22/31 04过关测试 1.(2026·高一·湖南衡阳·期末)设点A-2,3),B(3,2),若直线-ax+y+2=0与线段AB没有交点，则 实数a的取值范围是() 〔引[8+w C. 45 3'2 () 【答案】D 【解析】：直线-ax+y+2=0与线段AB没有交点， 即直线y=Qx-2与线段AB没有交点， 对于直线y=ax-2, 令x=0,则y=-2,则直线恒过点C(0,-2). 根据题意，作出如下图像： B 4-3-2-N 22345x :C(0,-2),A-2,3), 根据两点求斜率公式可得：直线4C的斜率为kc=3+2-; -23， :C(0,-2,B3,2 根据两点求斜率公式可得：直线BC的斜率为c名+名号。 3-03 直线-ax+y+2=0的斜率为a, 若直线-ax+y+2=0与线段AB没有交点， 则-<a<号 2.(2026·江西宜春·一模)已知直线1的斜率为k,p:k=-1,q:直线I在两坐标轴上的截距相等，则P是 9的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条 件 23/31 【答案】A 【解析】分析充分性： 已知p:k=-1,设直线1的方程为：y=-x+b, 当x=0时，y=b,在y轴上的截距为b, 当y=0时，x=b,在x轴上的截距为b, 所以直线（在两坐标轴上的截距相等，即充分性成立； 分析必要性： 己知9：直线1在两坐标轴上的截距相等，分两种情况： (1)截距不为0时，设两截距均为a(a≠0)，则直线方程为”+Y=1,即y=-x+a,此时斜率k=-1; aa (2)截距为0时，直线过原点，此时斜率k不一定为-1 所以必要性不成立 3.(2026·高二·湖北武汉·开学考试)己知直线4：y=2x+4,直线是直线绕点P(-1,2)逆时针旋转 45°得到的直线，则直线Z的方程是() A.y=x+3 B.y=3x+5 17 C.y=-3x-1 0.y=3+3 【答案】C 【解析】设直线l的倾斜角为O,则tan日=2， 由直线是直线1绕点P(-1,2)逆时针旋转45°得到的直线， 故直线马的倾斜角为日+ 4 故直线马的斜率为tan日+工 tan0+tan 4 2+1 =-3, 4 1-tan0tanπ1-2x 4 又P(-1,2)在直线4上，故直线过点P(-1,2), 即直线的方程为y=-3(x+1)+2,化简得y=-3x-1. 4.(2026·高二·广东茂名·期末)若直线1：y=x+b沿x轴负方向平移1个单位，再沿y轴正方向平移 2个单位后，回到原来的位置，则k=() A.2 B.-2 C. 【答案】B 【解析】直线1：y=c+b沿x轴负方向平移1个单位，再沿y轴正方向平移2个单位后， 得到的直线方程为y=(x+1)+b+2,即y=kx+素+b+2. 24/31 k+b+2=b,k=-2. 故选：B 5.(2026·高二·广东深圳·期末)设直线1的方程为x-cos0+1=0,则直线1的倾斜角0的范围是() A.[0,π) B. π元 4'2 c. 引 【答案】c 【解析】由题意知，当cos0=0时，直线1的斜率不存在，其倾斜角a=无； 2 当cos00时，直线1的斜幸k=0(,-小L+列， 所以倾斜角a∈ 「u3], 4'2(24 综上，a∈ π3π 4’4 故选：C 6.(2026·高二·贵州遵义·期末)若直线1经过点(-1,2)，且直线1的方向向量=（-1,3)，则直线1方程 为() A.x+3y-5=0B.-3x+y-5=0C.3x+y+1=0 D.3x+y-5=0 【答案】C 【解析】因为直线1的方向向量ā=(-1,3)，所以直线的斜率k= 73, 因为直线1经过点(-1,2)，所以直线的方程为y-2=-3x+1),即3x+y+1=0. 故选：C 7.(2026·高二·安微安庆·阶段检测)入射光线1从P(2,)出发，经y轴反射后，通过点Q4,3),则入射 光线1所在直线的方程为() A.y=0 B.x-3y-5=0 C.x+3y-5=0 D.x-3y+5=0 【答案】c 【解析】因为Q(4,3)关于y轴的对称点Q'(-4,3), 所以直线PQ:-=3-1」 :x-2-4-21 .x+3y-5=0 因此入射光线1所在直线的方程为x+3y-5=0, 故选：C. 25/31 -----×0 8.(2026·高二·河北唐山·阶段检测)已知直线：x-2y-4=0的倾斜角为O,则直线 1:xcos20+y+1=0的斜率=() A.3 5 5 C. 4 3 【答案】B 【解析】由直线：x-2y-4=0的倾斜角为日，得am0=} 所以直线4：xc0s20+y+1=0的斜率k=-c0s20=sim9-cos0-an20-1 (2-13 sin20+cos0 tan20+1 ()2+1 故选：B 9.(多选题)(2026·高二·江苏南通·阶段检测)下列结论正确的是() A.方程k=y-2与方程y-2=k(x+1)可表示同一直线 x+1 B.直线1过点P(x,y),倾斜角为45°，则其方程是y=(x-x)+y C.直线1过点P(x,y,斜率不存在，则其方程是x=x D.所有的直线都有点斜式和截距式方程 【答案】BC 【解析】对于A:方程k=y-2分母不为0，要求x#-1,对应的直线不包含点(~1,2)， x+1 而y-2=k(x+)包含点(-1,2)，二者不能表示同一直线，A错误； 对于B:倾斜角为45°，斜率k=tan45°=1，代入点斜式方程得y-y1=1(x-x), 整理得y=(x-x)+1,B正确； 对于C:斜率不存在的直线垂直于x轴，直线上所有点的横坐标恒为x1,方程为x=x,C正确； 对于D:点斜式要求斜率存在，斜率不存在的直线没有点斜式： 截距式要求横、纵截距都存在且不为0，过原点的直线没有截距式， 因此不是所有直线都有点斜式和截距式，D错误. 10.(多选题)过点P(-2,3),并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是() 26/31 A.x-y+1=0B.x+y+1=0 C.x-y+5=0 D.3x+2y=0 【答案】CD 【解析】若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为y=xk≠0)， 又直线过点P(-2,3)，所以3=-2k,即k=-3 所以直线方程为y三)，即x+2少三0！ 若直线在坐标轴上的截距不为0， 设直线方程为+上=1(a≠0)，又直线过点P(-2,3), a-a 所以子之1，解得a=-5,所以直线方程为号=1，即-少+5：0. -a 综上可知，所求直线方程为3x+2y=0或x-y+5=0, 11.（多选题)(2026·高二·河北·阶段检测)过点P(-1,2)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方 程为() A.x+y-1=0B.x+y+1=0 C.x-y+3=0 D.2x+y=0 【答案】ACD 【解析】当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为+)=1， a b -12 1+2=1 -1.2 -1.2 =1 二+二=1 由题可得ab,所以ab或ab, la=b la=b a=-b =1或6=3，所以直线方程为x+y-1=0或x-y+3=0,故A,c正确； a=1a=-3 解得 或 当直线的截距为0时，设直线方程为y=x,由题可知k=-2,故直线方程为2x+y=0，故D正确. 故选：ACD. 12.(2026·高二·上海·期中)已知直线1过点P(-2,3)，且与直线V5x-y+3=0的夹角为元，则直线1的 6 方程为 【答案】x=-2或x-V3y+2+3V3=0 【解析】由题意得：直线V5x-y+3=0的斜率为k=√万，所以其倾斜角为a= 3 设直线1的倾斜角为O, 又直线1与直线5：-y+30的关角为行所以0-名号或0-号名后 366 又直线1过点P(-2,3), 27/31 当日=匹时，直线1的方程为：x=-2, 当0-石时，斜率k=am0=5,所以直线1的方程为：y-3= 3 (x+2, 3 即x-√5y+2+3V5=0. 13.若方程2m2+m-3x+m2-my-4m+1=0表示一条直线，则实数m满足 【答案】m≠1 【解析】当2m2+m-3=0时，m=1或m=-3 当m2-m=0时，m=0或m=1. 要使方程2m2+m-3x+m2-m)y-4m+1=0表示一条直线， 则2m2+m-3,m2-m不能同时为0，所以m≠1. 14.(2026·高二·贵州·阶段检测)在ABC中，点0在线段BC上，且0C=30B,过点0的直线分别 交直线AB,AC于不同的两点M,N,若AB=mAM,AC=nAN.直线1：(2m+1)x+(n+1)y-m-1=0恒过定 点P,则点P的坐标为 【特案（信司 【解析】连接AO,如图所示. B M 因为0C=30B,所以OC=3BC，,B0=BC 所以40=丽+o=孤+4c=而+(c-丽-丽+}4C 因为AB=mAM,AC=nAN,所以AO=3mAM+?AN 4 因为M,0,N三点共线，所以3m+”=1,则3m+m=4. 44 则1：(2m+1)x+(n+1)y-m-1=0为l:(2m+1)x+(4-3m+1)y-m-1=0, 即1：m2x-3y-1+x+5y-1=0, 28/31 8 2x-3y-1=0 x= 令+y-1=0,解得 13 则点P的坐标为 81 1 13'13 13 15.直线过点P 且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线 分别满足下列条件：若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. (1)A0B的周长为12： (2)A0B的面积为6. 【解析】(1)存在.设直线方程为+上=1(a>0,b>0), a b 由题意可知，a+b+Va2+b=12·① 又因为直线过点P 2 所以4+2=1，② 3a b 由①②可得5a2-32a+48=0， 12 a= a=4 解得 b=3’或 5 9 b= 21 所以所求直线的方程为+？=1或x+2义=1， 43 129 即3x+4y-12=0或15x+8y-36=0. (2)存在.设直线方程为上+上=1(m>0,n>0), m n mn=12, 由题意可知4+2=1， 3m n (m=4或{ m=2, 解得 n=3, n=6. 所以所求直线的方程为营+兮=1成登+名1， 43 即3x+4y-12=0或3x+y-6=0. 16.(2026·高二·江苏常州·期末)设直线1的方程为a+1x+y-5-2a=0(aeR). (1)求1经过定点P的坐标： (2)若直线1在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求直线1的方程. 29/31 【解析】(1)由(a+lx+y-5-2a=0整理可得ax-2)+x+y-5=0, 「x-2=0 x=2 x+y-5=0’解得 y=3 所以不论a为何值，直线l必过一定点P(2,3) (2)由题意可知：（a+1x+y-5-2a=0,且a+1≠0， 令x=0,解得y=5+2a:令y=0,解得x=5+20 a+1 因为5+2a=25+2a,解得a=-5或a= 1 a+1 21 2 当a=-时，直线1的方程为：3x-2y=0, 当a=时，直线1的方程为：x+2y-8=0: 综上所述：所求直线1的方程为3x-2y=0或x+2y-8=0. 17.(2026·高二·上海·期末)已知直线l的方程为y=-(a+1)x+a-2(aeR): (1)求证：直线1必过定点，并写出此定点的坐标； (2)若直线1在两坐标轴上的截距相等，求a的值， (3)若直线1不经过平面直角坐标系的第二象限，求a的取值范围 【解析】(1)直线1：y=-(a+1)x+a-2,即a(x-1)+(x+y+2)=0, x-1=0 由 (x+y+2=0'得 =-3”所以直线1必过定点，此定点坐标为山，-3》. x=1 (2)依题意，-(a+l≠0，在直线1：y=-(a+1)x+a-2中，令x=0,得y=a-2,令y=0,得x=a-2 a+1 由直线1在两坐标轴上的截距相等，得9-2 =a-2,解得a=0或a=2, a+1 所以a=0或a=2. (3)直线1：y=-(a+1)x+a-2的斜率为(a+1),纵截距为a-2, -(a+1)≥0 由直线I不经过平面直角坐标系的第二象限，得 a-2≤0，解得a≤-1， 所以a的取值范围是a≤-1. 18.(2026·高二·浙江杭州·期末)已知直线1：(a-1)y=(2a-3x+1. (1)求证：直线1过定点，并求出此定点的坐标； (2)若直线1与两坐标轴的正半轴围成三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线1的方程. 【解析】(1)由直线方程(a-1)y=(2a-3x+1变形可得a(y-2x+3x-y-1=0, 所以直线1过直线y-2x=0与直线3x-y-1=0的交点， 30/31 联。架 x=1 y=2' 所以直线1过定点1,2). (2)已知直线1：a-1y=(2a-3x+1, 令y=0,得x=,1>0,得a< 3 3-2a 2 令x=0,得y= 1>0,得a>1, a-1 111 1 1 3 则三角形面现为-24+06aa， S= 4+4 时，分母取得最大值，则此时S取到最小值 11 此时，直线1的方程为=2+1，即2x+y-4=0. 31/31 第02讲 五种直线方程 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：直线的点斜式方程 3 知识点二：直线的斜截式方程 3 知识点三：直线的两点式方程 3 知识点四：直线的截距式方程 4 知识点五：直线方程几种表达方式的选取 4 知识点六：直线方程的一般式 4 知识点七：直线方程的不同形式间的关系 5 03 题型精讲举一反三 6 题型一：直线的点斜式方程 6 题型二：直线的斜截式方程 7 题型三：直线的两点式方程 8 题型四：直线的截距式方程 8 题型五：线段中点坐标公式 8 题型六：直线的一般式方程 9 题型七：动直线恒过定点问题 10 题型八：直线与坐标轴围成三角形相关问题 11 题型九：直线方程综合应用题 12 04 过关测试 14 知识点一：直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 知识点诠释： 1、点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2、当直线的倾斜角为时，直线方程为； 3、当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：． 4、表示直线去掉一个点；表示一条直线． 知识点二：直线的斜截式方程 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 知识点诠释： 1、b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2、斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； 3、当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式． 4、斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． 5、斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距． 知识点三：直线的两点式方程 经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式． 知识点诠释： 1、这个方程由直线上两点确定； 2、当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程． 3、直线方程的表示与选择的顺序无关． 4、在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 知识点四：直线的截距式方程 若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距． 知识点诠释： 1、截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线． 2、求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距． 知识点五：直线方程几种表达方式的选取 在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏． 知识点六：直线方程的一般式 关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式． 知识点诠释： 1、A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线． 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2、在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程． 知识点七：直线方程的不同形式间的关系 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 是直线上一定点，是斜率 不垂直于轴 斜截式 是斜率，是直线在y轴上的截距 不垂直于轴 两点式 ，是直线上两定点 不垂直于轴和轴 截距式 是直线在x轴上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距 不垂直于轴和轴，且不过原点 一般式 、、为系数 任何位置的直线 直线方程的五种形式的比较如下表： 知识点诠释： 在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多，应用时若采用的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同． 题型一：直线的点斜式方程 【例1】根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过原点，倾斜角为； (3)经过点，倾斜角为． 【变式1-1】写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为3； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点，倾斜角是． 【变式1-2】已知在第一象限的 中， 求边所在直线的点斜式方程. 【变式1-3】求过点，倾斜角等于的倾斜角的一半的直线的点斜式方程． 题型二：直线的斜截式方程 【例2】（25-26高二上·河北衡水·阶段检测）求分别满足下列条件的直线方程，结果写成斜截式． (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； 【变式2-1】已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的斜截式方程． 【变式2-2】写出下列直线的斜截式方程： (1)直线斜率是，在y轴上的截距是； (2)直线倾斜角是，在y轴上的截距是； (3)直线在轴上的截距为，在y轴上的截距为. 【变式2-3】已知的三个顶点分别为、、，求边上的中线所在直线的斜截式方程． 题型三：直线的两点式方程 【例3】（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）过点和点的直线的两点式方程是____________． 【变式3-1】已知直线的两点式方程为，则的斜率为______． 【变式3-2】（24-25高二上·广东·期中）写出一个过和的直线的两点式方程______. 【变式3-3】（21-22高二上·上海金山·阶段检测）已知，，则直线的两点式方程为__． 题型四：直线的截距式方程 【例4】过点和的直线方程的截距式为________. 【变式4-1】（24-25高二上·湖南·阶段检测）直线的截距式方程为________. 【变式4-2】（1）经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为______. （2）过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是______. 【变式4-3】（25-26高二上·浙江·阶段检测）一条直线经过点，并且与轴，轴分别交于，两点，当为的中点时，此直线的截距式方程为________. 题型五：线段中点坐标公式 【例5】（25-26高二上·天津·阶段检测）直线过点，若直线与轴交点，与轴交点.若点恰为线段的中点，求直线方程 【变式5-1】（24-25高二上·四川南充·期中）已知直线. (1)求证：不论实数取何值，直线恒过一定点； (2)在（1）的条件下，若直线与轴相交于点A，与轴相交于点，且恰为线段的中点，求直线的斜截式方程. 【变式5-2】（24-25高二上·福建莆田·阶段检测）（1）已知的三个顶点坐标为，，，为的中点，为的中点，求中位线所在直线的两点式方程． （2）一条光线从点射出，经过轴上点反射后，通过点，求反射光线所在直线的一般式方程． 【变式5-3】（24-25高二上·江苏徐州·阶段检测）已知直线过定点，根据下列条件求直线l的方程. (1)若直线l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为16； (2)若直线l被两条直线和所截得的线段的中点恰好为P，求直线l的方程. 题型六：直线的一般式方程 【例6】（2026·广东江门·二模）若直线，的倾斜角分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二下·贵州·期中）直线的一个法向量为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·黑龙江佳木斯·阶段检测）若直线的倾斜角的大小为，则实数=（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高二上·河南郑州·期中）如图所示，直线与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型七：动直线恒过定点问题 【例7】（25-26高二上·广东梅州·期末）无论取何值，直线总经过点（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·四川内江·阶段检测）平面直角坐标系中的直线系方程：经过的定点是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·四川成都·期中）已知点，.若直线：与线段相交，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高二上·四川成都·期中）已知，，直线上存在点P，满足，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型八：直线与坐标轴围成三角形相关问题 【例8】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知直线经过点. (1)若直线在x轴和y轴上的截距互为相反数，求直线的方程（写成一般式）； (2)若直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程（写成斜截式）. 【变式8-1】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知直线的方程为. (1)若直线与平行，且过点，求直线的方程； (2)若直线与垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程． 【变式8-2】（25-26高二上·山东枣庄·期中）已知直线． (1)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求直线的方程． 【变式8-3】（25-26高二上·甘肃白银·期中）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)当直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时，求直线的方程. 题型九：直线方程综合应用题 【例9】设直线的方程为． (1)若在两坐标轴上的截距均为0，求的方程； (2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (3)若不经过第三象限，求实数的取值范围． 【变式9-1】（25-26高二上·安徽六安·期末）已知的三个顶点分别为，是的重心． (1)试求点的坐标； (2)试求的值； (3)试求以为顶点构成的平行四边形的两条对角线所在的直线方程． 【变式9-2】（25-26高二上·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线轴正半轴于点． (1)当直线的截距相等且不等于零时，求直线的方程； (2)已知点在线段（包括端点）上运动，求的取值范围； (3)求面积的最小值． 【变式9-3】（25-26高二上·四川达州·期中）已知顶点、、． (1)求边所在的直线的方程； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 1．（2026·高一·湖南衡阳·期末）设点 ,，若直线与线段AB没有交点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江西宜春·一模）已知直线的斜率为，，直线在两坐标轴上的截距相等，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·高二·湖北武汉·开学考试）已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高二·广东茂名·期末）若直线：沿x轴负方向平移1个单位，再沿y轴正方向平移2个单位后，回到原来的位置，则（   ） A．2 B． C． D． 5．（2026·高二·广东深圳·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·高二·贵州遵义·期末）若直线经过点，且直线的方向向量，则直线方程为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·高二·安徽安庆·阶段检测）入射光线l从出发，经y轴反射后，通过点，则入射光线l所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·高二·河北唐山·阶段检测）已知直线的倾斜角为，则直线的斜率k=（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高二·江苏南通·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A．方程与方程可表示同一直线 B．直线过点，倾斜角为，则其方程是 C．直线过点，斜率不存在，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和截距式方程 10．（多选题）过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2026·高二·河北·阶段检测）过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 12．（2026·高二·上海·期中）已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 13．若方程表示一条直线，则实数满足_________． 14．（2026·高二·贵州·阶段检测）在中，点在线段BC上，且，过点的直线分别交直线于不同的两点．若．直线恒过定点，则点的坐标为__________． 15．直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，是否存在这样的直线分别满足下列条件：若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． (1)的周长为12； (2)的面积为6． 16．（2026·高二·江苏常州·期末）设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 17．（2026·高二·上海·期末）已知直线的方程为（）： (1)求证：直线必过定点，并写出此定点的坐标； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (3)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围． 18．（2026·高二·浙江杭州·期末）已知直线：. (1)求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线的方程. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $