精品解析：浙江宁波市余姚市2025-2026学年第二学期期末考试八年级数学试题卷

余姚市2025—2026学年第二学期初中期末考试八年级数学 考生须知： 1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷．试题卷共6页，有三个大题，24个小题．满分为120分，考试时间为120分钟． 2．请将学校、姓名、班级、准考证号分别填写在答题卷的规定位置上． 3．答题时，把试题卷Ⅰ的答案在答题卷Ⅰ上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满．将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效． 4．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 试题卷Ⅰ 一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯．下列纹样中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．寻找对称中心、对称轴是解题的关键；轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌中心对称图形则是指一个图形可以绕着一个点（‌对称中心）‌旋转，‌使得旋转前后的图形互相重合．‌根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项符合题意； D．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的运算是解题的关键．根据二次根式的运算法则运算即可解答． 【详解】解：A. ，选项计算错误，故不符合题意； B. ，选项计算错误，故不符合题意； C. ，选项计算正确，故符合题意； D. ，选项计算错误，故不符合题意； 故选：C． 3. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行四边形对角相等、邻角互补的性质即可计算求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 根据配方法的步骤解答即可 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 5. 在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长和宽各为多少步？设这块长方形田地的长为步，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设长方形田地的长为步，宽比长小步， 宽为步， 长方形田地的面积为平方步， 可得方程． 6. 在22，24，27，22，25，22中插入一个任意数，则一定不会改变的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查众数的概念，众数是一组数据中出现次数最多的数，插入任意数后，原众数的出现次数仍保持最多，因此不会改变． 根据众数的定义即可得出答案． 【详解】解：原数据为22，24，27，22，25，22，其中22出现3次，其他数最多出现1次，故众数为22，插入任意数x后： 若，22仍出现3次，保持众数； 若，22出现4次，仍为众数， 因此众数一定不变，其他统计量（平均数、中位数、方差）均可能随x的变化而改变， 故选：B． 7. 用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于”时，应先假设（ ） A. 每一个内角都小于 B. 每一个内角都大于 C. 有一个内角小于或等于 D. 有一个内角小于 【答案】A 【解析】 【分析】反证法第一步需假设原命题结论不成立，即结论的反面成立，写出原结论的反面即可得到答案． 【详解】解：∵ 用反证法证明命题时，应先假设结论不成立， 原命题结论为“四边形中至少有一个内角大于或等于” ， ∴ 结论不成立即“每一个内角都小于”． 8. 已知方程，则下列说法正确的是（ ） A. 方程的两根之和是3 B. 方程的两根之和是 C. 方程的两根之积是2 D. 方程的两根之差是 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程的两个根，，则满足，． 【详解】解： 原方程为 ，移项整理得一般形式： ． 其中 ， ，， ∴ ，即方程有两个实数根， ∴两根之和为，两根之积为， 解方程得，， 故：，， 对比选项，只有B说法正确． 9. 如图，对折等边纸片，展开铺平，折痕为（如图1），再折叠纸片，使点，都落在上，且与点重合，折痕分别为和（如图2）．在此基础上继续折叠，小聪和小明分别提供了以下两种方案： 小聪说：将纸片沿向上折叠，使得点落在点处． 小明说：将对折，使得角两边与重合，折痕交于点． 两种方案折叠后均展开铺平，连结，，则以上方案中折出的四边形为正方形的是（ ） A. 两个方案都能 B. 小聪的方案 C. 小明的方案 D. 两个方案都不能 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，等腰三角形的性质与判定，轴对称的性质，熟练掌握折叠（即是轴对称）的性质是解题的关键． 由折叠的方法和对称性质可得：，，再由两种方案的折叠方法可证明四边形是正方形． 【详解】：连接，因为是等边三角形，所在直线是的一条对称轴， 由折叠方法可知：，，、是关于的对称， ∴，，即是的垂直平分线，， 小聪的方案，将纸片沿向上折叠，使得点落在点处， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴菱形是正方形； 小明方案，将对折，使得角两边与重合，折痕交于点． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∴平行四边形是是正方形； 综上所述：两种方案中折出的四边形为正方形； 故选A． 10. 将四个三角形按图示方式围成四边形，其中，其内部四个顶点构成菱形，且．若要知道四边形的面积，则只需知道（ ） A. 的面积 B. 的面积 C. 菱形的周长 D. 菱形的面积 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，相交于点，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，交于点，先证明，可得，，则可得四边形是平行四边形，，可得，，，再证明，则，可得，可得，即可得结论． 【详解】解：如图，连接，，相交于点，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴，即， ，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即只需要知道的面积． 试题卷Ⅱ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 二次根式中字母x的取值范围为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，列出不等式，求解即可得到字母的取值范围. 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得， 解不等式得 . 12. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据多边形内角和定理，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为，根据多边形内角和定理可得：， 解得 ，即这个多边形的边数是6． 13. 小丽参加“强国有我”主题演讲比赛，其形象、内容、表达三项的成绩分别是85分、90分、80分，若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小丽的最终比赛成绩为______分． 【答案】86 【解析】 【分析】本题主要考查了求加权平均数，根据加权平均数的公式计算，即可求解． 【详解】解：小丽的最终比赛成绩为（分）． 故答案为：． 14. 如图，的面积为，点，分别在边，上，且，连结，点，分别在边，上，则图中阴影部分的面积和为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可证四边形、四边形是平行四边形，然后利用平行线间同底等高三角形面积相等转化左侧阴影面积，再结合右侧三角形面积是所在平行四边形一半，两块阴影相加等于大平行四边形面积的一半，算出结果． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形，  ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴， ∴ 点 到的距离等于点到的距离， ∴， ∴左侧阴影部分的面积和为， ∵， ∴， ∵右侧阴影部分为， ∴， ∴ 阴影部分的面积和，  ∵， ∴． 15. 如图，在边长为2的正方形中，，分别是，的中点，连接．若正方形的顶点在线段上，点，，在同一条直线上，则正方形的边长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，由条件可得垂直平分，则，再由四边形是正方形，可得，则可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，即， ∵是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵四边形是正方形， ∴垂直平分， ∵点在同一条直线上， ∴， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中，， ∴， ∴，即正方形的边长为． 16. 如图，在矩形中，点在对角线上，，连接，若，，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点O，过点B作于点F，由矩形的性质得到，可证明，得到；设，则，，进而得到，由勾股定理得，，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接交于点O，过点B作于点F， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 三、解答题（本大题有8小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是解题的关键． （1）因式分解法求解即可； （2）公式法求解即可． 【小问1详解】 解： ， 或， ∴，． 【小问2详解】 ，，， ， ，即，． 19. 图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、均为格点，连结，分别在给定的网格中按下列要求作图： （1）在图1中，作出一个以为边的矩形，顶点均在格点上． （2）在图2中，作出一个以为边的菱形，顶点均在格点上． 【答案】（1）或 （2）或或 【解析】 【分析】（1）根据网格的特点，选合适的格点作直角即可， （2）选合适的格点作与等长的线段即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 学校将举行运动会，八年级一班准备从甲、乙、丙三名学生中选拔参赛选手，现得到这三人最近9次的100米跑步成绩，绘制了箱线图（如图）． （1）这三名学生中，谁的成绩最稳定？ （2）这三名学生中，谁的成绩的中位数最大？ （3）你会选择谁参加运动会？请说明理由． 【答案】（1）乙 （2）甲学生的中位数最大． （3）选择乙学生参加运动会，理由如下：因为乙学生成绩最稳定，且中位数不大，成绩比较稳定．丙的中位数最小，但波动大，风险高． 【解析】 【分析】由箱线图根据中位数，最大值，最小值，以及上、下四分位数进行分析即可． 【小问1详解】 解：这三个学生中，乙学生的成绩最稳定， 因为乙学生的数据最集中，且最大值与最小值的差值最小，说明数据波动小，故成绩最稳定； 【小问2详解】 解：由箱线图可得，甲班的中位数最大； 【小问3详解】 略 21. 如图，在中，点，在对角线上（不与端点重合），，连接，，，．给出以下三个条件：①；②；③．从中选择一个适当的条件：_____（填序号），使四边形是平行四边形，并说明理由． 【答案】解：①（答案不唯一）．理由： 连接，交于点O． ∵四边形是平行四边形， ∴． 选择①， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得．若选择①，证明，进而可证四边形是平行四边形；若选择②，证明，进而可证四边形是平行四边形；若选择③，无法说明四边形是平行四边形． 【详解】解：选择②， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 若选择③，无法说明四边形是平行四边形． 22. 某校在一次数学活动中，组织学生设计矩形花圃．花圃的一边可利用长为8米的围墙，另三边用篱笆围成，已知篱笆长20米．下面是小高和小周两位同学设计的方案（篱笆全部用完，篱笆裁剪与拼接处的损耗忽略不计）： （1）如图1是小高同学设计的方案，花圃的一边靠墙（米），另三边用篱笆围成．设的长为x米， ①求的长（用含x的代数式表示）； ②当花圃面积为42平方米时，求x的值； （2）如图2是小周同学设计的方案，花圃的一边由围墙（）和部分篱笆（）组成，另三边由剩余的篱笆围成．问花圃面积能达到50平方米吗？请通过计算说明． 【答案】（1）①米；②7 （2）矩形花圃面积不能达到 50 平方米，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）①根据列式求解即可；②根据矩形面积计算公式建立方程求解即可； （2）设米，则米，根据矩形面积计算公式建立方程，看方程是否有正数解即可得到结论． 【小问1详解】 解；①由题意得，米 ②根据题意，得：， 整理得， 解得：，， ∵， ∴， ∴， ∴x的值为7； 【小问2详解】 解：矩形花圃面积不能达到 50 平方米，理由如下： 设米，则米 根据题意，得：， 整理得， ∵， ∴此方程无实数解， ∴矩形花圃面积不能达到50平方米． 23. 在正方形中，对角线与相交于点，点是线段上的动点． （1）如图1，若平分． ①求证：． ②若，求的长． （2）如图2，延长交于点，连接．当时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①见解析；② （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）①由正方形的性质证出，由角平分线的性质得出，则可得出结论；②过点作于点，由等腰直角三角形的性质及角平分线的性质可得出结论； （2）取的中点，连接，，由三角形中位线定理得出，，证明四边形为平行四边形，由平行四边形的性质得出，则可得出结论． 【小问1详解】 解：①证明：四边形是正方形， ， 平分， ， ，， ， ； ②过点作于点， ，， ， ， ， ， 平分，，， ； 【小问2详解】 ， 理由：取的中点，连接，， 四边形是正方形， ，， 为的中点， 为的中位线， ，， 在中，， ， 又， ， ， ，， ， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题． 24. 在菱形中，对角线，交于点，，． （1）如图1，求的长． （2）如图2，以点为旋转中心，顺时针转动，记点，旋转得到的对应点分别为点，．当第一次平行于时，停止旋转． ①当时，求证：． ②如图3，设旋转停止前，直线交射线于点，连接，求的最小值． 【答案】（1） （2）①证明：设与交于点， 由旋转可得：， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ② 【解析】 【分析】（1）由菱形的对角线互相垂直平分和勾股定理即可求出的长； （2）①设与交于点，利用旋转的性质和菱形的性质，通过角度的转化，即可证明结论；②在中，由勾股定理和平方差公式可得，所以，所以要使最小，只需最小，又因为，所以最小，只需最小，此时，通过面积和勾股定理求出，即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， ∴． 【小问2详解】 ①略 ②∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴要使最小，只需最小， 又∵， ∴， ∴最小，只需最小， ∴此时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 余姚市2025—2026学年第二学期初中期末考试八年级数学 考生须知： 1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷．试题卷共6页，有三个大题，24个小题．满分为120分，考试时间为120分钟． 2．请将学校、姓名、班级、准考证号分别填写在答题卷的规定位置上． 3．答题时，把试题卷Ⅰ的答案在答题卷Ⅰ上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满．将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效． 4．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 试题卷Ⅰ 一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯．下列纹样中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 5. 在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长和宽各为多少步？设这块长方形田地的长为步，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在22，24，27，22，25，22中插入一个任意数，则一定不会改变的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 7. 用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于”时，应先假设（ ） A. 每一个内角都小于 B. 每一个内角都大于 C. 有一个内角小于或等于 D. 有一个内角小于 8. 已知方程，则下列说法正确的是（ ） A. 方程的两根之和是3 B. 方程的两根之和是 C. 方程的两根之积是2 D. 方程的两根之差是 9. 如图，对折等边纸片，展开铺平，折痕为（如图1），再折叠纸片，使点，都落在上，且与点重合，折痕分别为和（如图2）．在此基础上继续折叠，小聪和小明分别提供了以下两种方案： 小聪说：将纸片沿向上折叠，使得点落在点处． 小明说：将对折，使得角两边与重合，折痕交于点． 两种方案折叠后均展开铺平，连结，，则以上方案中折出的四边形为正方形的是（ ） A. 两个方案都能 B. 小聪的方案 C. 小明的方案 D. 两个方案都不能 10. 将四个三角形按图示方式围成四边形，其中，其内部四个顶点构成菱形，且．若要知道四边形的面积，则只需知道（ ） A. 的面积 B. 的面积 C. 菱形的周长 D. 菱形的面积 试题卷Ⅱ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 二次根式中字母x的取值范围为_____________． 12. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是________． 13. 小丽参加“强国有我”主题演讲比赛，其形象、内容、表达三项的成绩分别是85分、90分、80分，若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小丽的最终比赛成绩为______分． 14. 如图，的面积为，点，分别在边，上，且，连结，点，分别在边，上，则图中阴影部分的面积和为_______． 15. 如图，在边长为2的正方形中，，分别是，的中点，连接．若正方形的顶点在线段上，点，，在同一条直线上，则正方形的边长为_______． 16. 如图，在矩形中，点在对角线上，，连接，若，，则的长为_______． 三、解答题（本大题有8小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 解下列方程： （1）； （2）． 19. 图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、均为格点，连结，分别在给定的网格中按下列要求作图： （1）在图1中，作出一个以为边的矩形，顶点均在格点上． （2）在图2中，作出一个以为边的菱形，顶点均在格点上． 20. 学校将举行运动会，八年级一班准备从甲、乙、丙三名学生中选拔参赛选手，现得到这三人最近9次的100米跑步成绩，绘制了箱线图（如图）． （1）这三名学生中，谁的成绩最稳定？ （2）这三名学生中，谁的成绩的中位数最大？ （3）你会选择谁参加运动会？请说明理由． 21. 如图，在中，点，在对角线上（不与端点重合），，连接，，，．给出以下三个条件：①；②；③．从中选择一个适当的条件：_____（填序号），使四边形是平行四边形，并说明理由． 22. 某校在一次数学活动中，组织学生设计矩形花圃．花圃的一边可利用长为8米的围墙，另三边用篱笆围成，已知篱笆长20米．下面是小高和小周两位同学设计的方案（篱笆全部用完，篱笆裁剪与拼接处的损耗忽略不计）： （1）如图1是小高同学设计的方案，花圃的一边靠墙（米），另三边用篱笆围成．设的长为x米， ①求的长（用含x的代数式表示）； ②当花圃面积为42平方米时，求x的值； （2）如图2是小周同学设计的方案，花圃的一边由围墙（）和部分篱笆（）组成，另三边由剩余的篱笆围成．问花圃面积能达到50平方米吗？请通过计算说明． 23. 在正方形中，对角线与相交于点，点是线段上的动点． （1）如图1，若平分． ①求证：． ②若，求的长． （2）如图2，延长交于点，连接．当时，探究与的数量关系，并说明理由． 24. 在菱形中，对角线，交于点，，． （1）如图1，求的长． （2）如图2，以点为旋转中心，顺时针转动，记点，旋转得到的对应点分别为点，．当第一次平行于时，停止旋转． ①当时，求证：． ②如图3，设旋转停止前，直线交射线于点，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $