第3.3讲 抛物线（暑假预习讲义）新高二数学苏教版

第3.3讲 抛物线 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 抛物线的定义及标准方程 题型2 抛物线的焦半径公式 题型3 抛物线的最值问题 题型4 抛物线的阿基米德三角形 题型5 抛物线焦半径的几何性质 题型6 抛物线的综合应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1. 抛物线的定义及标准方程 根据焦点位置（在x轴正半轴、负半轴、y轴正半轴、负半轴）设标准方程，利用已知条件（焦点坐标、准线方程、过点）求参数p。 2. 抛物线的焦半径公式 抛物线上一点到焦点的距离（焦半径），常利用定义转化为该点到准线的距离。常考求焦半径长度或最值。 3. 抛物线的最值问题 常考抛物线上点到定点或定直线距离的最值，利用定义转化为到准线距离，结合几何意义或参数方程求解。 4. 抛物线的阿基米德三角形 抛物线的弦与过两端点的两条切线围成的三角形。常考该三角形的面积、高、中线等几何性质，以及结论（如面积最小值等）。 5. 抛物线焦半径的几何性质 以焦点为端点引两条互相垂直的焦半径，或焦半径与轴夹角的相关性质。常考焦半径之间的乘积、倒数关系或长度之和的最小值。 6. 抛物线的综合应用 结合直线与抛物线位置关系（相交、相切），求弦长、面积、最值；或与圆、椭圆、双曲线综合，常考定值、定点问题。 学习重点：掌握抛物线的四种标准方程形式及其对应的焦点、准线位置；熟练运用定义（到焦点距离等于到准线距离）解决焦半径、最值问题；理解p的几何意义（焦点到准线距离的一半）；掌握直线与抛物线联立的基本处理方法。 学习难点： 阿基米德三角形的几何性质理解与证明；焦半径几何性质中垂直、共线等条件的代数转化；综合问题中定值与定点条件的寻找与验证，以及判别式讨论中斜率不存在情形的遗漏；抛物线定义在轨迹与最值中的灵活转化（如将点到焦点距离转化为到准线距离）。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 抛物线的定义与标准方程 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 2、抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准方程 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 即时即练（25-26高二上·福建莆田·期末）已知F是抛物线C：的焦点，P是第一象限内抛物线C上一点，P在抛物线C准线上的投影为Q，，，则抛物线C的标准方程为______． 【答案】 【分析】由图结合抛物线定义可得为正三角形，根据点的坐标建立方程求出的值即得抛物线的方程. 【详解】抛物线焦点为，准线为. 由抛物线定义可得，又，则为正三角形. 则，设，又过F作于点G， 则，则， 又，则，则有，解得. 故抛物线的方程为：，即. 故答案为：. 【方法总结】 抛物线是到定点（焦点）与定直线（准线）距离相等的点的轨迹，关键确定焦点在哪个轴及开口方向（由一次项决定）。标准方程有四种形式，一次项变量决定对称轴，系数正负决定开口方向。 知识点02 抛物线的焦点弦、焦半径 1、焦半径：抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 2、焦点弦：若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）． （2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2： 为直线与对称轴的夹角． ；． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 3、抛物线的弦 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 （1）弦长公式： （2） （3）直线AB的方程为 （4）线段AB的垂直平分线方程为 4、抛物线的通径：过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 即时即练（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）（多选）已知抛物线，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（  ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则 C．的取值范围为 D．设为坐标原点，的中点到准线的距离为，则 【答案】BCD 【分析】利用抛物线的定义将焦半径转化为横坐标，再用韦达定理处理抛物线的焦半径问题，以及利用三角形三边关系解决不等关系. 【详解】对于A， 抛物线得，所以准线方程，故A错误； 对于B，，所以， 故B正确； 对于C，抛物线的焦点的坐标为 ，设直线方程为. 联立方程，消去得. 由韦达定理得，. . 因为，所以. 所以的取值范围为，故C正确； 对于D，设中点为，则. 点到准线的距离. 又因为， 在中， ， 所以，故D正确. 【方法总结】 焦半径是抛物线上点到焦点的距离，可直接转化为该点到准线的距离（利用定义）；焦点弦是过焦点的弦，其两端点的焦半径之和等于弦长，且焦点弦两端点横（纵）坐标之积、纵（横）坐标之和有定值性质（如等）。 题型1 抛物线的定义及标准方程 【例1】（2026高二·全国·专题练习）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【详解】因为， 得， 即动点到定点的距离等于到定直线的距离， 直线过点， 因为定点在定直线上，且动点到定点的距离等于到定直线的距离， 则轨迹为过点与直线垂直的直线. A正确. 【例2】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知点到点的距离比到直线的距离大2，则点的轨迹方程为__________． 【答案】 【分析】先将题设的距离关系转化为带绝对值的等式，通过平方消去根号后分类讨论去绝对值，验证后得到完整轨迹方程. 【详解】设动点的坐标为， 由题意得， 等式两边平方得： 化简得： 当时，，代入得； 当时，，代入得即. 综上，点的轨迹方程为（）和（）. 【技巧归纳】 抓住“到焦点与到准线距离相等”翻译条件，一次项决定对称轴，系数正负决定开口方向。 【变式1-1】（25-26高三上·山西运城·期末）以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义得，再整理即可得答案. 【详解】设为抛物线上任意一点，根据抛物线的定义可得， 即，化简得． 所以，以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为 故选：C 【变式1-2】（25-26高二上·陕西安康·期末）设点为动点，记的斜率分别为，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由题意列出点的坐标满足的方程，化简可得其轨迹方程. 【详解】设，因为，所以， 化简得，即点的轨迹方程为. 故选：C 题型2 抛物线的焦半径公式 【例1】（25-26高二上·福建厦门·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线交点弦长公式和，，求出，进一步得出抛物线方程. 【详解】因为直线过焦点， 所以， 所以，所以抛物线方程为． 【例2】（25-26高二下·河南·阶段检测）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且线段的中点到 轴的距离为3，直线与 轴交于点．若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线：的焦点为， 设，由题意可知到 轴的距离为3，即， 设，则， 由，得，得，则， 故的标准方程为. 【技巧归纳】 焦半径直接转化为点到准线的距离，利用定义可快速求出，不需死记公式 【变式2-1】（26-27高二上·重庆·期末）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于两点，其中在第一象限，若，的面积为，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据焦半径公式求出点的横坐标，代入抛物线方程得到纵坐标，根据的面积为，列式即可求出答案. 【详解】设点， 根据焦半径公式可得，所以， 由于在第一象限，则， 由题意得， 解得. 故选：D. 【变式2-2】（25-26高二下·云南玉溪·阶段检测）直线过点，且与抛物线交于，两点．若，则线段的中点到轴的距离是______． 【答案】3 【分析】利用抛物线定义得到焦点弦长公式，求出、两点横坐标之和，进而计算得到中点到轴的距离. 【详解】由抛物线，得，即，准线方程为，焦点坐标为， 设，则，， 所以焦点弦长，已知，代入得， 中点的横坐标为，点到轴的距离等于横坐标的绝对值， 因此距离为. 题型3 抛物线的最值问题 【例1】（25-26高二上·江西宜春·期末）设曲线上任意一点到直线的距离比它到点的距离大1，且是该曲线上一动点，点，则的最小值为___________. 【答案】8 【分析】根据抛物线的定义求得曲线的轨迹方程为，再结合抛物线的定义求解最值即可. 【详解】因为曲线C上任意一点到直线的距离比它到点的距离大1， 所以曲线C上任意一点到直线的距离等于它到点的距离， 所以，根据抛物线定义可知曲线的轨迹为抛物线，焦点为，准线方程为， 所以曲线的轨迹方程为， 过作于，则，所以， 当且仅当三点共线，且时，取得最小值， 所以的最小值是8. 故答案为：8. 【例2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，为抛物线的准线，利用抛物线的定义及圆的性质，得到，即可求解. 【详解】易知抛物线的焦点为，准线为，圆的圆心为，与抛物线焦点重合，半径为， 过作于，则， 又易知，当三点在一条直线上时，最小， 又，所以. 【技巧归纳】 优先利用定义将折线转化为直线（如到焦点与到准线的距离之和），利用三角形不等式得到最大值或者最小值，一般在一条直线上。 【变式3-1】（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】B 【分析】先利用抛物线定义，将 “点到坐标轴的距离” 转化为 “点到焦点的距离”，消去动点到坐标轴的距离；再将原目标式转化为 “动点到两个定点的距离和（差）” 的形式，最后利用 “两点之间线段最短”，通过三点共线求出转化后式子的最值，并还原为原问题的答案即可. 【详解】因为抛物线方程的标准形式为， 所以焦点，准线方程为：，延长交准线于，连接，如图： 根据抛物线的定义得， 当且仅当，，三点共线时， ， 的最小值为. 【变式3-2】（2026·四川广安·二模）已知点为抛物线上的动点，点为圆上的动点，点为抛物线的焦点，则的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】画出图形，利用抛物线的定义以及性质，转化求解最小值． 【详解】由题可知，抛物线焦点，准线方程为，圆心，半径为1， 过点作直线，垂足为，如图所示， 由抛物线定义可知，， 所以， 当点在同一直线时，可取到最小值， 因为点到直线的距离为6， 所以，即的最小值为5． 题型4 抛物线的阿基米德三角形 【例1】（2026·四川成都·三模）（多选）已知点为抛物线的焦点，点分别为抛物线上两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，设线段的中点为，则下列说法正确的是（    ） A．若点，则的最小值为3 B．点与点的纵坐标相等 C．若点在直线上，则直线过点 D．若三点共线，则的面积的最小值为1 【答案】BCD 【分析】对于A，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义可得；对于B，设，过点的切线方程为，联立得到切线方程，进而得到过点的切线方程为，同理可得过点的切线方程为，再联立得到点与点的纵坐标即可判断；对于C，设直线的方程为，联立，结合韦达定理可得即可判断；对于D，由三点共线，可得，即直线的方程为，再利用弦长公式，结合三角形面积公式进行计算． 【详解】对于A，因为抛物线的焦点为，所以， 抛物线的准线方程为. 如图，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义可知，， 则，当且仅当三点共线时取等号，故A错误； 对于B，设，过点的切线方程为（切线斜率不为0）， 联立抛物线方程，化简并整理，得. 又，所以， 所以，所以过点的切线方程为，即. 同理可得，过点的切线方程为. 联立得. 因为线段的中点的坐标为，所以点的纵坐标相等，故B正确； 对于C，设直线的方程为，联立， 化简并整理，得，则. 又因为点在直线上，所以，所以， 即直线的方程为，则直线过点，故C正确； 对于D，因为三点共线，所以， 即直线的方程为， 所以点到直线的距离，， 所以，当时取最小值为1，故D正确． 【例2】（2026·安徽合肥·模拟预测）（多选）如图，抛物线E：，过点P向抛物线E作两条切线，，切点分别为A，B．切线，分别交x轴于C，D．设，则下列说法正确的有（    ） A．过点A的切线方程为 B．当点P在准线上时，的最小值为8 C．当点P在准线上时， D．对任意点P均有 【答案】ABD 【分析】对于A：抛物线E：，可化简为，求导得，结合可得过点A的切线方程；对于B：假设点，可得直线方程，再与抛物线联立，可得，，代入表达式中可得解；对于C：由B可知，再计算，得到求解；对于D：用坐标表示向量，利用数量积公式可得，即. 【详解】对于A：抛物线E：，可化简为，求导得. 所以过点A的切线： ，即.故A正确； 对于B：设， 切线：过点P，所以， 同理可得，∴直线方程为：， 联立，∴，∴，， ∴，∴， ∴ ，故选项B正确； 对于C：由B知， 所以， ， 则，又有 ，则，故C错； 对于D：， 则 所以 同理可得，所以，即 所以，D正确. 【技巧归纳】 阿基米德三角形由两条切线和一条割线（或焦点弦）围成，核心性质是切点连线过焦点，且该三角形面积与参数有关，利用导数的几何意义求切线斜率。 【变式4-1】（2026·河北沧州·三模）（多选）抛物线具有以下光学性质：位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射后的反射光线都与抛物线的对称轴平行或重合．已知抛物线的焦点为F，直线l过点且与抛物线T交于，两点，T在A，B处的切线交于点P，则（   ） A． B． C． D．点P在直线上 【答案】BCD 【分析】设直线l的方程为，与抛物线方程联立，由根与系数的关系可得可判断B，求得抛物线在，两点的切线方程，联立方程组求得点的坐标可判断D，利用向量的数量积计算可判断A；利用平面几何知识计算判断C. 【详解】由抛物线，可得焦点，准线方程为， 设直线l过点，所以设直线l的方程为， 与抛物线方程联立，可得， 所以，故B正确； 对两边求导得，所以， 所以抛物线在的切线方程为，又， 所以，整理得， 同理得抛物线在处的切线方程为， 联立两切线方程可得，解得， 因为是两个不同的点，所以，所以， 所以，所以点P在直线上，故D正确. 所以， 所以，所以，， 所以 ， 所以不垂直于，故A错误； 设直线在抛物线上的反射线分别为，则轴， 设G，H分别为线段延长线上的点， 结合光的反射定律可知，，， 由几何关系可知，设交x轴于， 则，所以，故C正确. 【变式4-2】（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）（多选）已知抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点．分别作抛物线在两点处的切线，两切线交于点为坐标原点，则下列说法正确的是（　　） A．若过焦点，则最小值为4 B．若过焦点，则一定为直角三角形 C．若中点的横坐标为4，则最大值为12 D．若点P在直线上，则 【答案】ABD 【分析】设出直线方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式求解判断A；求出切线方程并求出切点坐标，利用向量垂直的坐标表示判断BD；利用抛物线定义求出弦长最大值判断C. 【详解】抛物线的焦点，设， 对于A，设直线的方程为，由，得，则， ，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，设抛物线在点处切线方程为，由， 得，则，解得， 该切线方程为，化简得，即， 同理抛物线在点处切线方程为，联立两方程，消去，可得，回代方程可得， 即得点，则， 故，即，故B正确； 对于C，由中点的横坐标为4，得，则， 当且仅当点共线时取等号，故C错误； 对于D，由点在直线上，得，即，而， ，因此，故D正确. 题型5 抛物线焦半径的几何性质 【例1】（25-26高二下·云南文山·阶段检测）（多选）已知抛物线C：，过焦点的直线交于点，，则（   ） A．的坐标为 B． C．的最小值为3 D． 【答案】BD 【分析】A根据抛物线的性质求焦点坐标可判断，B设直线，联立方程组结合根与系数的关系求可判断，C结合抛物线焦点弦公式求弦长的表达式，再求其最小值可判断，D根据抛物线定义利用表示，进一步计算可判断. 【详解】A，抛物线，设抛物线的焦点到准线的距离为，则， 故的坐标为，故A错误； B，设直线，联立，得， 方程的判别式，，， ，， 故，故B正确； C，因为， 所以时，弦的长度最小，最短弦的长度为4，故C错误； D，由，得，故D正确. 【例2】（25-26高二下·四川成都·期中）（多选）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，为抛物线上一个动点，且，则（     ） A．的最小值为4 B．以为直径的圆与抛物线的准线相切 C． D．的最小值为3 【答案】AD 【分析】本题考查抛物线的定义、几何性质、过焦点弦的性质及最值问题，结合抛物线定义与坐标运算逐一分析选项即可． 【详解】抛物线的焦点，， 选项A：过焦点的弦中，通径（垂直于对称轴的弦）长度最短，通径长为，因此最小值为4，A正确； 选项B：设中点为，由抛物线定义得，圆半径， 圆心到准线的距离为，故圆与准线不相切，B错误； 选项C：设过的直线方程为， 代入抛物线方程得，韦达定理得，， 因此，C错误； 选项D：由抛物线定义，等于到准线的距离， 因此，最小值为点到准线的距离，即， 所以的最小值为，D正确． 【技巧归纳】 焦点弦两端点焦半径的倒数和为定值，弦长有最小值（通径），利用这些性质可快速求弦长或面积。 【变式5-1】（2026·贵州安顺·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过作两条互相垂直的直线与相交于P，Q两点，与相交于M，N两点，PQ的中点为G，MN的中点为，则（    ） A． B． C．|GH|的最小值为8 D．面积的最小值为24（为坐标原点） 【答案】ACD 【分析】选项A，根据题意得到直线的斜率都存在；设直线的方程为，通过联立直线和抛物线，消去，得到的一元二次方程，设，根据根与系数的关系得到，利用抛物线的定义求出和，计算，从而得到结论；选项B，求出，由得到的斜率互为负倒数，从而将中的替换为，可以得到，计算，从而得到结论；选项C，设的中点为，利用中点坐标公式求出，将代入直线的方程得到，从而得到点的坐标，同理，设的中点为，将替换为，可以得到的坐标，利用两点间的距离公式求出，通过换元，结合基本不等式和二次函数的图像和性质得到的最小值；选项D，根据，的坐标求出直线的方程，令，解出，从而得到直线恒过定点，则,利用基本不等式得到最小值. 【详解】抛物线，，焦点为， 选项A，过作两条互相垂直的直线与相交于P，Q两点， 与相交于M，N两点，故直线的斜率都存在； 设直线的方程为， 联立直线和抛物线， 消去，得到，即， 设，则， ， 则 ， 综上可知，选项A正确； 选项B，， ，的斜率互为负倒数， 中的替换为，可以得到， ， 显然，当变化时，不是常数，故选项B错误； 选项C，设的中点为， 则，， 则， 同理，设的中点为，将替换为，可以得到， 设，，， 当且仅当时，即时，等号成立，故， 则转化为， 在范围内是单调递增函数， 故时，取最小值，且最小值为， 故选项C正确； 选项D，，， 则直线的方程为， 令，则，整理得到， 故直线恒过定点， 则, 当且仅当时，即时，等号成立， 故面积的最小值为24，故选项D正确. 【变式5-2】（2026·河南·三模）已知抛物线，过抛物线C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆与y轴交于D，E两点，则（   ） A． B．以线段AB为直径的圆与直线相切 C． D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】利用焦点弦公式，易知直线垂直于轴时，弦最短即可判断选项；分别求出半径与圆心到直线的距离即可判断选项；联立方程，结合韦达定理，表示出化简判断选项；利用圆的弦长公式，将转化为关于的表达式，构造函数，利用导数分析单调性，结合的条件，即可求出的取值范围. 【详解】解：由题意知，焦点为，准线方程为，焦点到准线的距离为， 设过焦点F的直线l的方程为，A，B两点坐标分别为，. 选项，由抛物线焦点弦的性质可得，焦点弦长， 当直线垂直于轴时，弦长最短，此时，所以， 当直线斜率存在时，，因此，正确； 选项，设中点坐标为，则圆的半径， 又，所以中点到准线的距离， 则圆心到准线的距离等于半径，所以圆与直线相切，正确； 选项，由抛物线的定义可得，， 联立，代入化简得，，则，， 又，， 所以， 错误； 选项，由圆的弦长，表示圆心到轴的距离，则， 因为，， 所以，则， 令，则，设， 则， 又因为，所以，所以在上单调递减， 因此当时，取最大值为，即的最大值为， 所以的最大值为， 又当时，，所以，即， 因此，的取值范围是，正确. 题型6 抛物线的综合应用 【例1】（2026·河南郑州·二模）（多选）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，点在的准线上，过的直线与交于不同的两点，，关于轴的对称点为，则（     ） A． B．，，三点共线 C． D． 【答案】ABD 【分析】由点在准线上，先求出，即求出抛物线方程，设直线的方程，坐标，表示出韦达定理，利用向量的数量积即可判断选项；分别表示出与的坐标，检验坐标交叉相乘，差是否为0即可判断选项；利用抛物线的定义，分别将，，用坐标表示，结合韦达定理化简，利用基本不等式，即可对选项，作出判断. 【详解】由题意知，则，所以抛物线方程为，焦点为， 设直线的方程为，， 联立得，则，即，， 则或，，，所以， 因为，所以，选项正确； 因为与关于轴对称，所以点为，所以，， 因为， 化简整理得， 所以与共线，又两向量共点，因此，，三点共线，选项正确； 由抛物线的定义可得，又， 所以， 由基本不等式可知，当且仅当，即时等号成立， 所以，又且，所以， 等号取不到，因此，选项错误； 由，，则， 因为，，所以由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立，此时取最小值18，选项正确. 【例2】（25-26高二下·山西长治·阶段检测）（多选）已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，与轴交于点，与直线交于点，为坐标原点，则（） A．的准线方程为 B． C．当时，的面积为 D． 【答案】BCD 【分析】对于选项A，根据抛物线方程求出准线方程；对于选项B，设出直线MN的方程，联立抛物线方程，利用韦达定理和向量的数量积判断是否成立；对于选项C，当时，求出直线方程，联立抛物线方程，利用弦长公式和点到直线的距离公式求出的面积；对于选项D，根据弦长公式和韦达定理进行分析. 【详解】选项A，在抛物线中，，则，所以准线方程为，故A错误. 选项B，抛物线的焦点，设，. 联立，消去x可得. 根据韦达定理，，. 则16. 所以0，则，故B正确. 选项C，当时，直线的方程为，即. 联立，消去可得. 根据韦达定理，，. 则， 点到直线的距离. 所以的面积，故C正确. 选项D，设，因为点在直线上， 联立，消去可得， ，解得或. 所以，解得，， 点是直线与轴的交点，令，得，所以， 则， ， ， 要验证，即验证： 化简得：， 因为，且. 所以， 所以和同号，即 . 因为， 或时，，与右边相等， 故D正确. 【技巧归纳】 综合题常融合定义、几何性质、直线与抛物线位置关系等，核心是联立方程利用韦达定理或定义转化（到焦点=到准线）简化运算。注意利用焦点弦、焦半径、阿基米德三角形等结论快速解题，优先考虑数形结合。 【变式6-1】（2026·江西南昌·三模）（多选）设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点且与交于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．若，则 D．轴上存在一点，使为定值 【答案】BCD 【分析】对于A，利用过焦点的弦长最短时是通径的结论即得；对于B，利用抛物线上点的性质进行转化再结合图象，三点共线时，对应线段和最小即得；对于C，由条件推理得点A的坐标，得到直线的方程，与抛物线方程联立求得两点即得；对于D，设出直线的方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，将所求式代入化简，分析推理即得． 【详解】 对于A，因为直线经过点，所以当且仅当轴时，最短，即，解得，A错误； 对于B，由抛物线定义知，所以， 由图知，当且仅当三点共线时，取得最小值， 即，B正确； 对于C，在中，，， 所以，即点， 由，得，解得，， 即得，， 所以，C正确； 对于D，设直线：， 由，得，设，， 所以，， 设轴上存在一点， 则 ， 当时，，即存在点时，使得为定值，D正确． 【变式6-2】（2026·河北唐山·模拟预测）抛物线的焦点为过点作的切线，与轴、轴分别交于点、；过坐标原点作的垂线，与直线交于点，则（ ） A．的斜率为 B． C． D．是等腰三角形 【答案】BCD 【分析】设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，由可判断A选项；求出点的坐标，利用斜率的关系证明出，可判断C选项；证明出为的中点，结合中垂线的性质可判断B选项；求出点的坐标，可得出，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由图可知，直线的斜率存在且不为零，设其斜率为， 则直线的方程为，即， 联立可得， 由，整理可得，解得， 故直线的斜率为，故A错误； 对于C选项，由A选项可知直线的方程为，则点， 易知点，直线的斜率为，则，即， 又因为，所以，故C正确； 对于B选项，在直线的方程中，令，可得，即点， 又因为点，则为线段的中点， 又因为，故，故B正确； 对于D选项，，所以直线的方程为，即， 直线的方程为，联立可得，即点， 所以，故为等腰三角形，故D正确. 1．（25-26高二上·广东广州·期末）已知A为抛物线C：上一点，点A到C的焦点的距离为8，到y轴的距离为6，则______． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义及条件可求答案. 【详解】因为点A到C的焦点的距离为8， 所以点A到准线的距离为8， 因为点A到y轴的距离为6，所以，即. 故答案为： 2．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线交于点，与抛物线准线相交于，若，则______． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义结合已知条件可得的关系，再根据结合斜率的坐标表示可求解出的值. 【详解】如图所示，过作准线的垂线，垂足为，则， 因为，所以，所以， 所以，所以， 又因为，所以，所以， 故答案为：. 3．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为______________ 【答案】 【分析】利用抛物线的定义和数形结合，求点的坐标，再代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】如图，和分别垂直于准线，， 所以， 所以当点是与抛物线的交点时，最小， 当时，代入抛物线方程，得，即此时， 点到直线的距离为. 4．（25-26高二下·四川成都·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，其焦点为，定点，动点在抛物线上，则的最大值为_____________. 【答案】 【分析】设，则由两点间距离公式及抛物线定义可得关于y的表达式，后由基本不等式可得答案. 【详解】设，由抛物线方程，得焦点，准线， 点为准线与轴的交点，作于点， 则．， 则 ，当且仅当，即时取等号. 则的最大值为. 5．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）过抛物线E：的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，．若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设出直线方程，由焦半径公式得到，从而根据求出，从而通过焦半径公式转化得到，由几何关系得到距离和最小值， 【详解】设直线的方程为，与联立可得， 设，则， 因为，则， 则， 因为，所以直线的直线方程为， 故可得， 因为，所以， 即，解得， 故抛物线方程为，故焦点为，准线方程为， 设P到准线的垂线段为，为垂足， 则，故， 表示点到准线的距离与到点的距离之和， 故当三点共线时，距离和最小， 此时点坐标为，故， 即，的最小值为4. 6．（25-26高三下·湖南衡阳·阶段检测）已知点，轴于点C，M是线段上任意一点，轴于点D，于点E，与相交于点P，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可知，直线方程为，则设点， 所以，则直线方程为， 当时，可得，即点， 所以点的轨迹为抛物线，即，可得抛物线的准线为，焦点为， 如图所示，延长，交抛物线准线于点， 由抛物线概念可知， 则的最小值，即的最小值，可知当三点共线时，取得最小值， 此时. 7．（25-26高二下·湖南长沙·期中）（多选）已知是抛物线的焦点，M是C上的点，为坐标原点，为抛物线的准线，过点M作于，则（    ） A． B． C．不可能为等边三角形 D．线段FQ的垂直平分线经过点M 【答案】ABD 【分析】由抛物线的定义与性质依次验证选项即可，对于C，只需要考虑是否存在内角为的情况即可. 【详解】因为是抛物线的焦点，所以，解得，A正确； 设，因为点在抛物线上，故， 所以，B正确； 当与轴的正半轴夹角为时，此时，又， 故为等边三角形，C错误； 由抛物线性质，可知，故点在的垂直平分线上，D正确． 8．（2026·全国二卷·高考真题）（多选）已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点,均在上，下列结论正确的有（     ） A．E的准线方程为 B．若与E没有公共点，则 C．若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D．若，则面积的最小值为 【答案】ABD 【分析】A选项，根据抛物线方程得，进而得出准线方程；B选项，设直线为，和抛物线方程联立消去，令求解；C选项，先根据直线和抛物线相切，求出切点，假设过焦点，则得到，根据两直线的夹角的公式推出的正切值，从而判断；D选项，可将问题转化为抛物线上一点到直线的距离最小值来处理. 【详解】A选项，，则，故准线，A选项正确； B选项，设直线为，则， 联立得到，， 直线和抛物线无交点，则， 结合，解得，B选项正确； C选项，由联立方程， 若与相交于唯一点，只可能是相切， 则，解得， 此时，解得，进而得，则， 若过焦点（如图），由于，，而， 根据倾斜角的定义，，， 而，此时的正切值为， 即，这与为等边三角形矛盾，C选项错误； D选项，当，此时直线方程为， 设，则到的距离为， 即等边三角形的高的最小值为，此时面积，D选项正确. C选项方法二：求得，则，， 则， 则，抛物线E的焦点不在直线上，故C错误. D选项方法二：到的最小距离可转化为抛物线和平行的切线，求得两平行线的距离即可， 由于，设直线为， 联立，得到， 由，此时直线为， 由平行线的距离公式可推出直线间距离为，其余同上. 9．（2026·山东淄博·二模）已知抛物线C：的焦点在直线l：上，直线l与抛物线交于两点，点在第一象限，过分别作准线的垂线，垂足分别是，则下列说法中正确的是（    ） A．以线段为直径的圆与y轴相切 B．的最小值为 C． D．若向量，则 【答案】BCD 【分析】对于A，先求出的值再用两点坐标表示出焦点弦的长，确定圆心表示出圆心到y轴的距离即可判断； 对于B，直线与抛物线联立方程组消元写出两根之和两根之积，利用焦半径结合基本不等式即可求最小值； 对于C，先写出具体点的坐标结合两点间距离公式及即可求最值； 对于D，根据向量关系即可求的值再求面积即可. 【详解】抛物线C：的焦点坐标为， 又因为焦点在直线l：上，代入得，即， 所以抛物线方程为，焦点，准线为. 设根据抛物线的定义可知，故半径为， 以线段为直径的圆的圆心坐标为，圆心到y轴的距离为，故A错误； 联立消元得：，故， 由抛物线的定义可知， 由抛物线的方程可知，即，因为点在第一象限所以， 所以由基本不等式可知， 当且仅当即时取等号，故B正确； ,则，， 所以 ，故C正确； 若向量，则，故， 又因为解得易知点在第四象限， 所以，，所以，故D正确. 10．（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点的坐标为 B．当的倾斜角为时， C． D．以为直径的圆与直线相切 【答案】ACD 【分析】利用焦半径公式即可验证A；由点斜式写出直线方程，与抛物线联立解得，即可验证B；设直线的方程为，联立方程组由韦达定理即可验证C；设的中点为，过，，分别作准线的垂线于点，，，则，即可验证 D. 【详解】A，因为焦半径， 所以，代入，解得， 由，所以，故A正确； B，当的倾斜角为时，斜率为，则的方程为 ， 联立方程，得到，则或， 因为点在上方，所以，所以，故B错误； C，抛物线的标准方程为，若直线与轴重合， 此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 所以直线不与轴重合，设直线的方程为， 联立可得，则， 由韦达定理可得，则，故C正确； D，设的中点为，过，，分别作准线的垂线于点，，， 所以，圆心到准线的距离等于半径，故D正确； 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3.3讲 抛物线 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 抛物线的定义及标准方程 题型2 抛物线的焦半径公式 题型3 抛物线的最值问题 题型4 抛物线的阿基米德三角形 题型5 抛物线焦半径的几何性质 题型6 抛物线的综合应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1. 抛物线的定义及标准方程 根据焦点位置（在x轴正半轴、负半轴、y轴正半轴、负半轴）设标准方程，利用已知条件（焦点坐标、准线方程、过点）求参数p。 2. 抛物线的焦半径公式 抛物线上一点到焦点的距离（焦半径），常利用定义转化为该点到准线的距离。常考求焦半径长度或最值。 3. 抛物线的最值问题 常考抛物线上点到定点或定直线距离的最值，利用定义转化为到准线距离，结合几何意义或参数方程求解。 4. 抛物线的阿基米德三角形 抛物线的弦与过两端点的两条切线围成的三角形。常考该三角形的面积、高、中线等几何性质，以及结论（如面积最小值等）。 5. 抛物线焦半径的几何性质 以焦点为端点引两条互相垂直的焦半径，或焦半径与轴夹角的相关性质。常考焦半径之间的乘积、倒数关系或长度之和的最小值。 6. 抛物线的综合应用 结合直线与抛物线位置关系（相交、相切），求弦长、面积、最值；或与圆、椭圆、双曲线综合，常考定值、定点问题。 学习重点：掌握抛物线的四种标准方程形式及其对应的焦点、准线位置；熟练运用定义（到焦点距离等于到准线距离）解决焦半径、最值问题；理解p的几何意义（焦点到准线距离的一半）；掌握直线与抛物线联立的基本处理方法。 学习难点： 阿基米德三角形的几何性质理解与证明；焦半径几何性质中垂直、共线等条件的代数转化；综合问题中定值与定点条件的寻找与验证，以及判别式讨论中斜率不存在情形的遗漏；抛物线定义在轨迹与最值中的灵活转化（如将点到焦点距离转化为到准线距离）。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 抛物线的定义与标准方程 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 2、抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准方程 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 即时即练（25-26高二上·福建莆田·期末）已知F是抛物线C：的焦点，P是第一象限内抛物线C上一点，P在抛物线C准线上的投影为Q，，，则抛物线C的标准方程为______． 【方法总结】 抛物线是到定点（焦点）与定直线（准线）距离相等的点的轨迹，关键确定焦点在哪个轴及开口方向（由一次项决定）。标准方程有四种形式，一次项变量决定对称轴，系数正负决定开口方向。 知识点02 抛物线的焦点弦、焦半径 1、焦半径：抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 2、焦点弦：若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）． （2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2： 为直线与对称轴的夹角． ；． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 3、抛物线的弦 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 （1）弦长公式： （2） （3）直线AB的方程为 （4）线段AB的垂直平分线方程为 4、抛物线的通径：过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 即时即练（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）（多选）已知抛物线，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（  ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则 C．的取值范围为 D．设为坐标原点，的中点到准线的距离为，则 【方法总结】 焦半径是抛物线上点到焦点的距离，可直接转化为该点到准线的距离（利用定义）；焦点弦是过焦点的弦，其两端点的焦半径之和等于弦长，且焦点弦两端点横（纵）坐标之积、纵（横）坐标之和有定值性质（如等）。 题型1 抛物线的定义及标准方程 【例1】（2026高二·全国·专题练习）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【例2】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知点到点的距离比到直线的距离大2，则点的轨迹方程为__________． 【技巧归纳】 抓住“到焦点与到准线距离相等”翻译条件，一次项决定对称轴，系数正负决定开口方向。 【变式1-1】（25-26高三上·山西运城·期末）以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·陕西安康·期末）设点为动点，记的斜率分别为，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型2 抛物线的焦半径公式 【例1】（25-26高二上·福建厦门·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高二下·河南·阶段检测）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且线段的中点到 轴的距离为3，直线与 轴交于点．若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 焦半径直接转化为点到准线的距离，利用定义可快速求出，不需死记公式 【变式2-1】（26-27高二上·重庆·期末）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于两点，其中在第一象限，若，的面积为，则（   ） A．2 B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二下·云南玉溪·阶段检测）直线过点，且与抛物线交于，两点．若，则线段的中点到轴的距离是______． 题型3 抛物线的最值问题 【例1】（25-26高二上·江西宜春·期末）设曲线上任意一点到直线的距离比它到点的距离大1，且是该曲线上一动点，点，则的最小值为___________. 【例2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 优先利用定义将折线转化为直线（如到焦点与到准线的距离之和），利用三角形不等式得到最大值或者最小值，一般在一条直线上。 【变式3-1】（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 根据抛物线的定义得， 当且仅当，，三点共线时， ， 的最小值为. 【变式3-2】（2026·四川广安·二模）已知点为抛物线上的动点，点为圆上的动点，点为抛物线的焦点，则的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 题型4 抛物线的阿基米德三角形 【例1】（2026·四川成都·三模）（多选）已知点为抛物线的焦点，点分别为抛物线上两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，设线段的中点为，则下列说法正确的是（    ） A．若点，则的最小值为3 B．点与点的纵坐标相等 C．若点在直线上，则直线过点 D．若三点共线，则的面积的最小值为1 【例2】（2026·安徽合肥·模拟预测）（多选）如图，抛物线E：，过点P向抛物线E作两条切线，，切点分别为A，B．切线，分别交x轴于C，D．设，则下列说法正确的有（    ） A．过点A的切线方程为 B．当点P在准线上时，的最小值为8 C．当点P在准线上时， D．对任意点P均有 【技巧归纳】 阿基米德三角形由两条切线和一条割线（或焦点弦）围成，核心性质是切点连线过焦点，且该三角形面积与参数有关，利用导数的几何意义求切线斜率。 【变式4-1】（2026·河北沧州·三模）（多选）抛物线具有以下光学性质：位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射后的反射光线都与抛物线的对称轴平行或重合．已知抛物线的焦点为F，直线l过点且与抛物线T交于，两点，T在A，B处的切线交于点P，则（   ） A． B． C． D．点P在直线上 【变式4-2】（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）（多选）已知抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点．分别作抛物线在两点处的切线，两切线交于点为坐标原点，则下列说法正确的是（　　） A．若过焦点，则最小值为4 B．若过焦点，则一定为直角三角形 C．若中点的横坐标为4，则最大值为12 D．若点P在直线上，则 题型5 抛物线焦半径的几何性质 【例1】（25-26高二下·云南文山·阶段检测）（多选）已知抛物线C：，过焦点的直线交于点，，则（   ） A．的坐标为 B． C．的最小值为3 D． 【例2】（25-26高二下·四川成都·期中）（多选）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，为抛物线上一个动点，且，则（     ） A．的最小值为4 B．以为直径的圆与抛物线的准线相切 C． D．的最小值为3 【技巧归纳】 焦点弦两端点焦半径的倒数和为定值，弦长有最小值（通径），利用这些性质可快速求弦长或面积。 【变式5-1】（2026·贵州安顺·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过作两条互相垂直的直线与相交于P，Q两点，与相交于M，N两点，PQ的中点为G，MN的中点为，则（    ） A． B． C．|GH|的最小值为8 D．面积的最小值为24（为坐标原点） 【变式5-2】（2026·河南·三模）已知抛物线，过抛物线C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆与y轴交于D，E两点，则（   ） A． B．以线段AB为直径的圆与直线相切 C． D．的取值范围是 题型6 抛物线的综合应用 【例1】（2026·河南郑州·二模）（多选）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，点在的准线上，过的直线与交于不同的两点，，关于轴的对称点为，则（     ） A． B．，，三点共线 C． D． 【例2】（25-26高二下·山西长治·阶段检测）（多选）已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，与轴交于点，与直线交于点，为坐标原点，则（） A．的准线方程为 B． C．当时，的面积为 D． 【技巧归纳】 综合题常融合定义、几何性质、直线与抛物线位置关系等，核心是联立方程利用韦达定理或定义转化（到焦点=到准线）简化运算。注意利用焦点弦、焦半径、阿基米德三角形等结论快速解题，优先考虑数形结合。 【变式6-1】（2026·江西南昌·三模）（多选）设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点且与交于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．若，则 D．轴上存在一点，使为定值 【变式6-2】（2026·河北唐山·模拟预测）抛物线的焦点为过点作的切线，与轴、轴分别交于点、；过坐标原点作的垂线，与直线交于点，则（ ） A．的斜率为 B． C． D．是等腰三角形 1．（25-26高二上·广东广州·期末）已知A为抛物线C：上一点，点A到C的焦点的距离为8，到y轴的距离为6，则______． 2．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线交于点，与抛物线准线相交于，若，则______． 3．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为______________ 4．（25-26高二下·四川成都·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，其焦点为，定点，动点在抛物线上，则的最大值为_____________. 5．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）过抛物线E：的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，．若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26高三下·湖南衡阳·阶段检测）已知点，轴于点C，M是线段上任意一点，轴于点D，于点E，与相交于点P，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·湖南长沙·期中）（多选）已知是抛物线的焦点，M是C上的点，为坐标原点，为抛物线的准线，过点M作于，则（    ） A． B． C．不可能为等边三角形 D．线段FQ的垂直平分线经过点M 8．（2026·全国二卷·高考真题）（多选）已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点,均在上，下列结论正确的有（     ） A．E的准线方程为 B．若与E没有公共点，则 C．若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D．若，则面积的最小值为 9．（2026·山东淄博·二模）已知抛物线C：的焦点在直线l：上，直线l与抛物线交于两点，点在第一象限，过分别作准线的垂线，垂足分别是，则下列说法中正确的是（    ） A．以线段为直径的圆与y轴相切 B．的最小值为 C． D．若向量，则 10．（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点的坐标为 B．当的倾斜角为时， C． D．以为直径的圆与直线相切 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $