第05讲 平面上的距离（4大知识点+8大题型）（讲义）-2026年新高二数学暑假进阶精品讲义（苏教版2019）

第05讲 平面上的距离 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：中点坐标公式 3 知识点二：两点间的距离公式 3 知识点三：点到直线的距离公式 3 知识点四：两平行线间的距离 3 03 题型精讲举一反三 4 题型一：两点间距离计算 4 题型二：线段和差最值 4 题型三：点到直线距离计算 5 题型四：点线对称问题 6 题型五：线点对称问题 7 题型六：线线对称问题 8 题型七：平行线间距离计算 8 题型八：数学文化与新定义 9 04 过关测试 11 知识点一：中点坐标公式 若两点、，且线段的中点坐标为，则，，则此公式为线段的中点坐标公式． 知识点二：两点间的距离公式 两点间的距离公式为． 知识点三：点到直线的距离公式 点到直线的距离为． 知识点四：两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为． 题型一：两点间距离计算 例1．（2026·高一·四川成都·期末）直线和直线分别过定点和，则（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·高二·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 例3．（2026·高二·河南许昌·期中）已知四边形的四个顶点为，，，，则四边形ABCD的形状是（   ）. A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 变式1．（2026·高二·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（   ） A．4 B．5 C． D． 变式2．（2026·高二·广东汕头·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A．5 B． C．4 D． 变式3．（2026·高二·北京大兴·期中）过点，的直线的斜率为，则（    ） A． B． C． D． 题型二：线段和差最值 例4．（2026·高二·江苏南通·阶段检测）已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．12 例5．（2026·高二·黑龙江鸡西·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 例6．（2026·高二·江苏宿迁·期中）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式4．（2026·高二·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 变式5．（2026·高二·山西晋中·阶段检测）函数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 变式6．（2026·高三·辽宁·阶段检测）已知、，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 变式7．（2026·高二·四川南充·期末）设，其中.则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 变式8．（2026·高三·江西·开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 题型三：点到直线距离计算 例7．（2026·高二·广东广州·期中）已知实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 例8．（2026·高二·江苏扬州·期中）已知的三个顶点分别为，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例9．（2026·高二·河北张家口·期中）已知点，直线，则点到直线的距离为（   ） A．1 B．2 C． D． 变式9．（2026·高二·新疆哈密·期中）点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 变式10．（2026·高二·天津·阶段检测）已知，两点到直线的距离相等，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 变式11．（2026·高二·吉林长春·阶段检测）已知，两点到直线的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 变式12．（2026·高二·广东深圳·期中）已知、两点到直线的距离相等，则的值为（ ） A． B． C． D．或 题型四：点线对称问题 例10．（2026·高二·吉林长春·期中）关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 例11．（2026·高二·上海宝山·阶段检测）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 例12．（2026·高二·浙江杭州·期中）点关于直线的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 变式13．（2026·高二·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式14．（2026·高二·云南玉溪·期中）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线不会经过下列哪个点（    ） A． B． C． D． 变式15．（2026·高二·福建福州·期中）若直线与直线关于直线对称，则直线一定过定点（   ） A． B． C． D． 变式16．（2026·高二·湖南长沙·期中）已知直线，从点射出的光线经直线反射后经过点，则光线从到的路程为（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 题型五：线点对称问题 例13．（2026·高二·福建厦门·阶段检测）不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（    ） A． B． C． D． 例14．（2026·陕西宝鸡·一模）直线关于点对称的直线方程（    ） A． B． C． D． 例15．（2026·高二·北京海淀·期中）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（  ） A． B． C． D． 变式17．直线关于点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 变式18．平面直角坐标系中，直线关于点(1,1)对称的直线方程是(　　) A． B． C． D． 变式19．直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 变式20．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）与直线关于定点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 题型六：线线对称问题 例16．（2026·高二·福建厦门·阶段检测）在平面直角坐标系中，若直线l与直线关于直线对称，则直线l的方程为______. 例17．（2026·高二·江苏连云港·阶段检测）直线关于直线对称的直线的方程是________. 例18．（2026·高二·辽宁沈阳·阶段检测）求直线关于直线对称的直线方程为__________. 变式21．（2026·高二·广东阳江·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程__________.（用一般式方程表示）. 变式22．（2026·高二·宁夏石嘴山·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是______. 变式23．（2026·高二·江苏南京·阶段检测）直线关于直线的对称直线方程为__________． 变式24．直线关于直线对称的直线方程为________ 题型七：平行线间距离计算 例19．（2026·高二·上海·期中）平行线与之间的距离为________． 例20．（2026·高二·广东潮州·期末）若，分别为两平行直线：，：上任意一点，则的值为______；的最小值为______． 例21．（2026·高二·上海徐汇·期中）两平行直线与间的距离为______． 变式25．（2026·高二·上海·阶段检测）直线与直线间的距离为__________. 变式26．（2026·高二·浙江杭州·期中）平行直线与之间的距离是__________． 变式27．（2026·高二·上海·阶段检测）已知，直线与直线互相平行，则它们之间的距离为_____． 题型八：数学文化与新定义 例22．（2026·高二·福建宁德·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 例23．（2026·高二·内蒙古赤峰·阶段检测）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 例24．（2026·高二·福建福州·阶段检测）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分.唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程的最小值为_____. 变式28．（2026·高二·河北保定·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为____________. 变式29．（2026·高二·上海奉贤·期末）若点在曲线上，点在曲线上，定义.已知有两条直线分别为：，：，则________. 变式30．（2026·高二·广东深圳·期末）“曼哈顿距离”是人工智能中常用的一种测距方式．定义平面上两点，之间的“曼哈顿距离”为．对于平面上两定点，，若动点满足．记的轨迹为，则的面积为______． 1．（2026·高二·贵州黔南·阶段检测）已知点到直线的距离是，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 2．（2026·高二·广东惠州·期中）若直线与直线平行，则两平行线间的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·高二·天津滨海新区·期末）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·高二·四川自贡·期末）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.函数下列结论正确的是（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为 C．方程6有两解 D．方程7无解 5．（2026·高三·河北保定·期末）已知，点在函数的图象上，则的面积（　　） A．既有最大值，也有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．有最大值，但没有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 6．在平面直角坐标系中，记平面内一动点（），若点在直线上，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．（2026·高二·江西萍乡·期末）已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 8．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）．若点，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高二·安徽蚌埠·期末）已知，则下列说法正确的是（   ） A．直线MN的倾斜角为 B．点到直线的距离为1 C．点在直线上 D．直线与直线MN平行 10．（多选题）（2026·高二·福建龙岩·期中）已知直线与，则下列选项正确的是（   ） A．若，则或 B．若，则 C．直线恒过点 D．若，则，之间的距离为 11．（2026·湖北宜昌·二模）已知坐标原点到直线的距离为，则的最大值为___________． 12．（2026·高二·山东淄博·期中）点到直线为任意实数）的距离的最大值是______. 13．（2026·高二·甘肃张掖·期末）已知直线与平行，且与间的距离是，则______． 14．（2026·高二·广东深圳·阶段检测）已知直线（其中）． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，求它们之间的距离． 15．（2026·高二·河南驻马店·期末）已知直线，，. (1)若，为直线上的点，且，，求直线，的方程； (2)若，求实数的值及，间的距离. 16．（2026·高二·浙江台州·期末）已知的三个顶点是. (1)求边所在直线的方程； (2)求的面积. 17．（2026·高二·北京朝阳·阶段检测）已知两直线，，两直线的交点为M. (1)求过点M，且与直线垂直的直线方程； (2)已知两点，， ①求过点M，且与A，B两点距离相等的直线方程； ②动点P在直线运动，直接写出的最小值. 18．（2026·高二·山东临沂·期中）已知直线经过直线与的交点． (1)若点到直线的距离为1，求直线的方程； (2)求点到直线的距离的最大值及此时直线的方程． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 平面上的距离 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：中点坐标公式 3 知识点二：两点间的距离公式 3 知识点三：点到直线的距离公式 3 知识点四：两平行线间的距离 3 03 题型精讲举一反三 4 题型一：两点间距离计算 4 题型二：线段和差最值 5 题型三：点到直线距离计算 11 题型四：点线对称问题 13 题型五：线点对称问题 17 题型六：线线对称问题 19 题型七：平行线间距离计算 22 题型八：数学文化与新定义 23 04 过关测试 28 知识点一：中点坐标公式 若两点、，且线段的中点坐标为，则，，则此公式为线段的中点坐标公式． 知识点二：两点间的距离公式 两点间的距离公式为． 知识点三：点到直线的距离公式 点到直线的距离为． 知识点四：两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为． 题型一：两点间距离计算 例1．（2026·高一·四川成都·期末）直线和直线分别过定点和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线过定点， 直线， 则，可得过定点， 所以. 故选：A 例2．（2026·高二·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】D 【解析】点和点之间的距离为. 故选：D. 例3．（2026·高二·河南许昌·期中）已知四边形的四个顶点为，，，，则四边形ABCD的形状是（   ）. A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【解析】依题意，，，即， 又线段的中点为，线段的中点为，即线段与互相平分， 因此四边形是矩形，而直线的斜率，直线的斜率， 即，则，所以矩形是正方形. 故选：B 变式1．（2026·高二·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【解析】设BC的中点为D， 因为，，所以, 所以BC边上的中线长. 故选：B 变式2．（2026·高二·广东汕头·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A．5 B． C．4 D． 【答案】B 【解析】将直线方程变形为， 令，解得，由此可得直线恒过点，不妨设为， 所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于． 又， 所以到直线的距离的最大值为． 故选：B 变式3．（2026·高二·北京大兴·期中）过点，的直线的斜率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，解得， 所以，所以. 故选：B 题型二：线段和差最值 例4．（2026·高二·江苏南通·阶段检测）已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．12 【答案】A 【解析】不妨设点在点的左边，因直线的倾斜角为， 且，则点的坐标为， 则， 记， 则可将理解为点到的距离之和， 即点到直线的距离之和，依题即需求距离之和的最小值. 如图，作出点关于直线的对称点,则， 连接，交直线于点,则即的最小值， 且, 故的最小值为. 故选：A. 例5．（2026·高二·黑龙江鸡西·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【解析】 表示动点到定点和的距离之和， 因为点在直线上运动， 作关于直线的对称点，则， 故， 当且仅当三点共线时取等， 故的最小值为 故选：C 例6．（2026·高二·江苏宿迁·期中）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 可转化为轴上一点到点与到点的距离之差.，当且仅当点是射线与轴的交点时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 变式4．（2026·高二·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 设，，，， 则表示的长度的和， 如图所示： 当四点共线时，和最小为， 故的最小值是. 故选：D． 变式5．（2026·高二·山西晋中·阶段检测）函数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】由， 设，，. 得的几何意义为的值. 点关于轴对称点， 所以. 故选：B 变式6．（2026·高三·辽宁·阶段检测）已知、，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】记点、、、，，如下图所示： 易知四边形是边长为的正方形， 所以，，，， 所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立， ， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 所以 ， 当且仅当点为线段、的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 变式7．（2026·高二·四川南充·期末）设，其中.则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 【答案】B 【解析】设，则表示：， ，则直线的方程为，令，则， 所以直线与轴相交于点， 所以， 所以，当点P为时，等号成立，故的最小值为9. 故选：B. 变式8．（2026·高三·江西·开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得：的几何意义为点到点的距离之和的最小值， 因为，， ， 所以，故三角形ABC为等腰直角三角形，， 取的中点，连接，与交于点，连接，故，， 因为，所以，故，则， 故点到三角形三个顶点距离之和最小，即取得最小值， 因为，所以，同理得：，， ， 故的最小值为. 故选：B 题型三：点到直线距离计算 例7．（2026·高二·广东广州·期中）已知实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】由，即为和，两点间的距离， 所以的最小值为即为到直线的距离， 即， 所以的最小值为1， 故选：D 例8．（2026·高二·江苏扬州·期中）已知的三个顶点分别为，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】易得，，直线的方程为，即. 所以点到直线的距离为：. 所以的面积为：. 故选：B 例9．（2026·高二·河北张家口·期中）已知点，直线，则点到直线的距离为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】由点到直线的距离公式得，点到直线的距离为： . 故选：D 变式9．（2026·高二·新疆哈密·期中）点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】点到直线的距离. 故选：C 变式10．（2026·高二·天津·阶段检测）已知，两点到直线的距离相等，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【解析】已知点、到直线的距离相等， 根据距离公式可得，也即， 当时，解得； 当时，也即，显然不成立，故． 故选：D． 变式11．（2026·高二·吉林长春·阶段检测）已知，两点到直线的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】由题意得，故， 两边平方得，解得或. 故选：D 变式12．（2026·高二·广东深圳·期中）已知、两点到直线的距离相等，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】因为、两点到直线的距离相等， 则，即， 可得或，解得或. 故选：D. 题型四：点线对称问题 例10．（2026·高二·吉林长春·期中）关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设关于直线的对称点为， 则，解得. 故选：A. 例11．（2026·高二·上海宝山·阶段检测）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 建立直角坐标系，可得,故直线BC的方程为， 则三角形的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过三角形的重心，代入得， 化简得或（舍去），故,,,直线的方程为, 联立,解得,即点Q的坐标为, 则三角形的面积， 故选：A 例12．（2026·高二·浙江杭州·期中）点关于直线的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设关于直线的对称点坐标为， 则，解得，故对称点坐标为， 故选：B 变式13．（2026·高二·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ， 点关于直线的对称点的坐标为， 即． 故选：D． 变式14．（2026·高二·云南玉溪·期中）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线不会经过下列哪个点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】倾斜角为的且过的直线的方程为，即， 设点关于直线的对称点，则， 即，解得，即， 于是反射后的光线所在的直线方程为，即， 对于A：时，； 对于B：时，； 对于C：时，； 对于D：时，. 故选：D 变式15．（2026·高二·福建福州·期中）若直线与直线关于直线对称，则直线一定过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知直线恒过点，所以可得直线一定过关于直线的对称点； 设对称点坐标为，可得，解得， 即直线一定过定点. 故选：C 变式16．（2026·高二·湖南长沙·期中）已知直线，从点射出的光线经直线反射后经过点，则光线从到的路程为（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【解析】设点关于直线的对称点为，则有解得， 因为光线从到的路程即的长，而.所以光线从到的路程为5. 故选：C． 题型五：线点对称问题 例13．（2026·高二·福建厦门·阶段检测）不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得：， 令，解得：， 所以，设直线关于点的对称直线方程为：， 则到直线与的距离相等， 所以，解得：，即（舍去）或. 故直线关于点的对称直线方程为：. 故选：D. 例14．（2026·陕西宝鸡·一模）直线关于点对称的直线方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设所求直线上任一点为，则其关于点对称的点为， 因为点在直线上， 所以，化简得， 所以所求直线方程为， 故选：B 例15．（2026·高二·北京海淀·期中）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，关于对称的点必在上，若该点为， ∴，解得，即一定在直线上. 故选：C 变式17．直线关于点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，故设， 在l上取点，则点关于点的对称点是， 所以，即， 故直线的方程为. 故选：C 变式18．平面直角坐标系中，直线关于点(1,1)对称的直线方程是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在直线关于点(1,1)对称的直线上任取一点， 则点关于点对称的点为， 依题意点在直线上， 所以，即， 所以直线关于点(1,1)对称的直线方程是. 故选：D 变式19．直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设对称的直线方程上的一点的坐标为， 则其关于点对称的点的坐标为， 因为点在直线上， 所以即. 故选：D. 变式20．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）与直线关于定点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设对称的直线方程上的一点的坐标为（x，y）． 则其关于点M（-1，2）对称的点的坐标为（-2-x，4-y）， ∵（-2-x，4-y）在直线2x-y+3=0上， ∴2（-2-x）-（4-y）+3=0， 即：2x-y+5=0． 故选：C． 题型六：线线对称问题 例16．（2026·高二·福建厦门·阶段检测）在平面直角坐标系中，若直线l与直线关于直线对称，则直线l的方程为______. 【答案】 【解析】设直线上任意一点坐标为，它关于直线的对称点坐标为， 该对称点在原直线上，代入得： ， 整理得直线的方程：. 例17．（2026·高二·江苏连云港·阶段检测）直线关于直线对称的直线的方程是________. 【答案】 【解析】（方法1）联立，得两直线的交点为， 设直线的方程为， 直线上的点到直线与的距离相等，即， 解得或（舍去），故的方程是. 故答案为：. （方法2：直线关于特殊直线对称）利用直线关于直线的对称直线为. 所以关于直线对称的直线为：，即. 故答案为：. 例18．（2026·高二·辽宁沈阳·阶段检测）求直线关于直线对称的直线方程为__________. 【答案】 【解析】解方程组得，即直线和直线的交点坐标为， 又是直线上一点，设它关于直线的对称点坐标为， 则，解得， 所以所求直线方程为，即. 故答案为：. 变式21．（2026·高二·广东阳江·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程__________.（用一般式方程表示）. 【答案】 【解析】联立，得，则两直线的交点为， 在直线上取点，设其关于的对称点为， 则，得，则. 故直线关于直线的对称直线为， 又，所以直线，即. 故答案为：. 变式22．（2026·高二·宁夏石嘴山·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是______. 【答案】 【解析】联立方程组，解得，即两直线的交点为， 由方程，令，可得，即直线过点， 设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即， 所以，所以对称直线的方程为，即. 故答案为：. 变式23．（2026·高二·江苏南京·阶段检测）直线关于直线的对称直线方程为__________． 【答案】 【解析】设直线关于直线对称的直线为， 由得：，则点在直线上； 在直线上取一点，设其关于直线对称的点为， 则，解得：，即； 直线的方程为：，即. 故答案为：. 变式24．直线关于直线对称的直线方程为________ 【答案】 【解析】设所求直线方程为，且， 直线与直线间的距离为， 则直线与直线间的距离为，又，得， 所以所求直线方程为， 故答案为：. 题型七：平行线间距离计算 例19．（2026·高二·上海·期中）平行线与之间的距离为________． 【答案】 【解析】由题设，两直线平行，故它们的距离. 例20．（2026·高二·广东潮州·期末）若，分别为两平行直线：，：上任意一点，则的值为______；的最小值为______． 【答案】 【解析】题空1：两条直线平行的条件是：对于，， 平行满足，且不重合，代入得：， 解得，验证，两直线不重合，故. 题空2：两平行直线上任意两点距离的最小值，就是两平行线之间的距离. 先将直线化为同系数形式：， 根据平行线距离公式可得：， 即的最小值为. 例21．（2026·高二·上海徐汇·期中）两平行直线与间的距离为______． 【答案】/ 【解析】因为直线与平行，所以，解得， 即直线方程为，即， 故这两平行直线间的距离为. 变式25．（2026·高二·上海·阶段检测）直线与直线间的距离为__________. 【答案】 【解析】直线可化为：，则. 变式26．（2026·高二·浙江杭州·期中）平行直线与之间的距离是__________． 【答案】 【解析】由两条平行线间的距离公式得直线与之间的距离为. 变式27．（2026·高二·上海·阶段检测）已知，直线与直线互相平行，则它们之间的距离为_____． 【答案】/ 【解析】因为直线与互相平行， 所以，解得， 所以直线为，即， 所以它们之间的距离为． 题型八：数学文化与新定义 例22．（2026·高二·福建宁德·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 【答案】 【解析】如图，设点关于直线的对称点为，与直线的交点为， 所以直线的斜率，则直线的方程为， 联立，解得，即， 所以点的坐标为， 在直线上取点，由对称性可得， 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为：. 例23．（2026·高二·内蒙古赤峰·阶段检测）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 【答案】 【解析】设点关于对称点，则，解得， 即，所以“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为： 例24．（2026·高二·福建福州·阶段检测）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分.唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程的最小值为_____. 【答案】 【解析】设点关于的对称点为， 则，解得：，，即， 由对称性可知，， 则，如图饮马点为与的交点， . 故答案为：. 变式28．（2026·高二·河北保定·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为____________. 【答案】 【解析】设关于直线的对称点，如下图所示： 则，解得，即 此时即为最短路程，易知. 所以最短总路程为. 故答案为： 变式29．（2026·高二·上海奉贤·期末）若点在曲线上，点在曲线上，定义.已知有两条直线分别为：，：，则________. 【答案】 【解析】直线的方程化为：，显然， 所以. 故答案为： 变式30．（2026·高二·广东深圳·期末）“曼哈顿距离”是人工智能中常用的一种测距方式．定义平面上两点，之间的“曼哈顿距离”为．对于平面上两定点，，若动点满足．记的轨迹为，则的面积为______． 【答案】10 【解析】由可得，即， 将代换，方程不变，可知曲线关于轴对称； 将代换，方程不变，可知曲线关于轴对称； 根据，对称性可知，只需讨论，即可． 此时，所以， 可得轨迹在第一象限内与轴和轴所围成的面积为， 所以的面积为． 故答案为：10. 1．（2026·高二·贵州黔南·阶段检测）已知点到直线的距离是，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】易知点的轨迹为单位圆； 对于A，B，圆心O到直线的距离为， 则，当时等号成立， 所以或5取不到，因此A，B均错误； 对于C，D，由，可知点M到直线的最大距离， 即，解得，所以C正确，D错误. 2．（2026·高二·广东惠州·期中）若直线与直线平行，则两平行线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直线与直线平行，所以，解得， 因此直线与直线两平行线间的距离为 故选：D. 3．（2026·高二·天津滨海新区·期末）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为直线与直线平行， 所以，解得， 则直线与直线之间的距离是. 故选：C 4．（2026·高二·四川自贡·期末）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.函数下列结论正确的是（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为 C．方程6有两解 D．方程7无解 【答案】B 【解析】因为，所以的几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，，作点关于轴的对称点，，当，，三点共线时，取得最小值， ，所以，故A错误，B正确， 因为，所以无解，故C错误，因为，所以有两解，故D错误. 故选：B. 5．（2026·高三·河北保定·期末）已知，点在函数的图象上，则的面积（　　） A．既有最大值，也有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．有最大值，但没有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 【答案】C 【解析】已知，得到直线的方程为， 设，因为， 点C到直线AB的距离为； 三角形面积公式为， 因为 ，所以，所以. 所以面积有最大值1，无最小值. 故选：C. 6．在平面直角坐标系中，记平面内一动点（），若点在直线上，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】如图： 作点关于直线的对称点，则． 设，则有，解得，所以． 已知点，则， 而，所以点到轴的距离为， 所以可理解为直线上的点到轴的距离与到的距离之和． 过作轴，由图知，当且仅当，，三点共线时，和有最小值． 因直线与轴交于点，此时轴，且， 由图知，当点移动到点时，取得最小值为4． 故选：B. 7．（2026·高二·江西萍乡·期末）已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】设点关于直线的对称点为， 则，解得，故， 所以， 所以，即当三点共线时取得最大值. 故选：D. 8．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）．若点，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则，即， 可知表示正方形，如图，其中，即点在正方形的边上运动， 因为，由图可知： 当取到最小值，即最大， 点有如下两种可能： ①点为点，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取， 则； 因为，所以的最大值为. 故选：C. 9．（多选题）（2026·高二·安徽蚌埠·期末）已知，则下列说法正确的是（   ） A．直线MN的倾斜角为 B．点到直线的距离为1 C．点在直线上 D．直线与直线MN平行 【答案】AB 【解析】由题意得，直线的斜率为， 设直线MN的倾斜角为，则，得，故A正确； 点到直线的距离为，故B正确； 因为，所以点不在直线上，故C错误； 直线的斜率为1，与直线的斜率相等， 将点代入直线，有，说明点在该直线上， 因此，直线与直线为同一条直线（重合），而非平行，故D错误. 故选：AB 10．（多选题）（2026·高二·福建龙岩·期中）已知直线与，则下列选项正确的是（   ） A．若，则或 B．若，则 C．直线恒过点 D．若，则，之间的距离为 【答案】BCD 【解析】对A：若，则，解得或， 当时，两直线方程分别为，，符合题意； 当时，两直线方程分别为，， 此时两直线重合，不符合题意； 综上，，故A不正确； 对B：若，则， 解得或，故B正确； 对C：令，得，所以恒过点，故C正确； 对D：若，由A知，， 所以直线，的方程分别为，， 所以，之间的距离为，故D正确. 故选：BCD. 11．（2026·湖北宜昌·二模）已知坐标原点到直线的距离为，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】因为坐标原点到直线的距离为，则，整理得到， 令，则，其中， 所以，当且仅当时取等号， 故的最大值为. 12．（2026·高二·山东淄博·期中）点到直线为任意实数）的距离的最大值是______. 【答案】 【解析】由，得. 当时，，所以直线恒过定点. 所以. 由点到线的距离性质可知，点到直线的距离的最大值 即为点到定点的距离，等于. 故答案为：. 13．（2026·高二·甘肃张掖·期末）已知直线与平行，且与间的距离是，则______． 【答案】或23 【解析】直线与平行，所以，解得， 所以直线的方程为，即为． 因为直线与间的距离是，即， 所以，解得或， 所以或． 故答案为：或23 14．（2026·高二·广东深圳·阶段检测）已知直线（其中）． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，求它们之间的距离． 【解析】（1）由直线与直线垂直，可得，解得， 将代入直线方程中，化简可得直线方程为； （2）由直线与直线平行，可得，解得， 将代入直线方程中，化简可得直线方程为， 设直线与直线间的距离为，由平行线间的距离公式可得： ， 即直线与直线间的距离为. 15．（2026·高二·河南驻马店·期末）已知直线，，. (1)若，为直线上的点，且，，求直线，的方程； (2)若，求实数的值及，间的距离. 【解析】（1）由条件，， 因为，，则，即有 当时，，； 当时，，. （2）当时，必有，且与不重合. 若时，与重合，不符合题意，舍去， 时， 此时，与间的距离为. 16．（2026·高二·浙江台州·期末）已知的三个顶点是. (1)求边所在直线的方程； (2)求的面积. 【解析】（1）直线的斜率为， 所以边所在直线的方程为，即. （2）线段， 设为点到直线的距离，则， . 即的面积为. 17．（2026·高二·北京朝阳·阶段检测）已知两直线，，两直线的交点为M. (1)求过点M，且与直线垂直的直线方程； (2)已知两点，， ①求过点M，且与A，B两点距离相等的直线方程； ②动点P在直线运动，直接写出的最小值. 【解析】（1）联立方程，解得，所以交点为， 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即. （2） ①因为、，所以直线的斜率为1，与直线平行， 所以A，B两点到的距离相等. 、的中点为，直线的方程， A，B两点到的距离相等.   所以过点，且与，两点距离相等的直线方程或. ②设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则，故的最小值为. 18．（2026·高二·山东临沂·期中）已知直线经过直线与的交点． (1)若点到直线的距离为1，求直线的方程； (2)求点到直线的距离的最大值及此时直线的方程． 【解析】（1）解方程组得 即直线的交点为. 由题意得，当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 点到直线的距离为1，符合题意，所以直线的方程为. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则点到直线的距离为． 由题意，得，解得， 所以直线的方程为，化为一般式，得. 综上，直线的方程为或. （2）由（1）得直线过点，所以点到直线的距离的最大值为. 因为，所以. 当点到直线的距离最大时，直线与直线垂直. 直线的斜率为，所以直线的斜率为1， 所以直线的方程为，即. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $