第04讲 整式的加法与减法（暑假预习讲义）新七年级数学新教材湘教版

第04讲 整式的加法与减法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 去括号 题型2去括号判断正误 题型3 利用去括号进行化简 题型4利用整式的加减计算 题型5 整式的化简求值---直接代入求值 题型6整式的化简求值---整体代入求值 题型7整式加减中的错看问题 题型8 整式加减中与某个字母无关问题 题型9 整式加减与数轴、绝对值的结合 题型10利用整式加减解决数字问题 题型11利用整式加减进行新定义运算 题型12运用整式的加减解决实际问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 同类项、合并同类项、去括号法则、添括号法则、整式加减、化简求值 1.熟记同类项定义，快速判断两个单项式是否为同类项，掌握同类项两大判断标准。 2.熟练掌握合并同类项法则，只变系数、字母和字母指数保持不变。 3.牢记去括号、添括号法则，重点区分括号前是“-”号时，括号内全部变号。 4.掌握整式加减运算步骤：先去括号，再合并同类项；能完成整式化简求值题型。 5.会利用整式加减解决图形周长、面积计算以及不含某一项等拓展题型。 学习重点：1.同类项识别与合并同类项；2.去括号运算；整式加减化简求值。 学习难点：1.括号前为负号和数字因数时，去括号容易漏乘、漏变号；2.复杂多层括号的整式化简； 3.整式加减结合参数，求解字母参数的值。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 去括号 ◆1、去括号法则： 括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项的符号都不改变； 括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项的符号都要改变. ◆2、方法总结： (1)去括号时，不仅要去掉括号，还要连同括号前面的符号一起去掉． (2)去括号时，首先要弄清括号前是“＋”号还是“－”号． (3)注意法则中的“都”字，变号时，各项都变号；不变号时，各项都不变号． (4)当括号前有数字因数时，应运用乘法分配律运算，切勿漏乘． (5)出现多重括号时，一般是先去小括号，再去中括号，最后去大括号，每去掉一层括号，如果有同类项也可随时合并，为下一步运算简便化，较少差错． ◆3、两点说明： ①去括号法则是根据乘法分配律推出的； ②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值． ◆4、教材延伸：添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号， 添括号时，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号． 即时即练1．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．化简：_______． 知识点02 整式的加法与减法 ◆1、整式的加法和减法：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. ◆2、整式的加法与减法的步骤及注意问题： （1）整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． （2）去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号． ◆3、整式加减的应用类型： 应用类型 方 法 直接的整式加减 实质是合并同类项，若有括号，则先去括号再合并同类项． 间接的整式加减 求整式的和差时，先用括号将每一个整式括起来，再用加运算符号连接． 化简求值 求多项式的值时，一般先化简，再把字母的值代入化简后的式子求值． 即时即练 1．（25-26七年级上·全国·期中）已知整式，，则___________． 2．25-26七年级上·湖南株洲·期末）先化简，再求值：，其中 题型1 去括号 【例1】（25-26七年级上·湖南永州·期中）把去括号的结果是________． 【技巧归纳】 1、按照去括号法则即可解答.括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项的符号都不改变；括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项的符号都要改变. 【变式1-1】多项式去括号的结果是_______． 【变式1-2】去括号填空：3x﹣(a﹣b+c)＝_______． 【变式1-2】_______ 题型2 去括号判断正误 【例2】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号． 【变式2-1】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26七年级上·湖北孝感·期末）下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】下列式子变形正确的是（    ） A． B． C． D． 题型3 利用去括号进行化简 【例3】化简 (1)； (2)． 【技巧归纳】 先对式子进行去括号，再合并同类项，有时还要用到添括号.在计算时要注意： 1、当括号前有数字因数时，应运用乘法分配律运算，切勿漏乘． 2、出现多重括号时，一般是先去小括号，再去中括号，最后去大括号，每去掉一层括号，如果有同类项也可随时合并，为下一步运算简便化，较少差错． 【变式3-1】化简： (1)； (2)． 【变式3-2】计算： (1) (2) 【变式3-3】 （25-26七年级上·江苏连云港·期中）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型4利用整式的加减计算 【例4】一个多项式加上的2倍等于，求这个多项式． 【技巧归纳】 用A、B表示的多项式分别是一个整体，先化简再代入求值时要把A、B加上括号后，然后去括号再进行化简. 【变式4-1】已知两个多项式的和是，其中一个多项式是，则另一个多项式是______ 【变式4-2】（2026·河北·二模）以下是一道习题及嘉嘉的解答过程： 计算：． 解：原式……第一步 ……第二步 ．……第三步 (1)上述解答过程，嘉嘉是从第______步开始出错的，请你给出正确的解答过程； (2)当时，求此代数式的值． 【变式4-3】已知M＝4x2﹣2xy+1，N＝3x2﹣2xy﹣3． （1）化简：4M﹣（3M+2N）； （2）当x＝﹣1，y＝2时，求（1）代数式的值； （3）试判断M、N的大小关系并说明理由． 题型5 整式的化简求值---直接代入求值 【例5】（25-26七年级上·湖南娄底·期末）先化简再求值：已知，求代数式的值． 【技巧归纳】 进行整式的加减时先去括号然后合并同类项进行化简后，直接代入字母的值进行计算即可. 【变式5-1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式5-2】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）先化简，再求值：，其中，满足 【变式5-3】（25-26七年级上·湖南衡阳·阶段检测）先化简，再求值 (1)，其中； (2)，其中，． 题型6整式的化简求值---整体代入求值 【例6】已知x2﹣5x﹣4＝0，求的值． 【技巧归纳】 先对原式进行去括号、合并同类项的化简，再把数值整体代入到化简后的式子求值即可． 【变式6-1】求值： （1）已知5x﹣2y＝3，求15x﹣6y﹣8的值． （2）已知a﹣b＝5，﹣ab＝3，求的值． 【变式6-2】（25-26七年级上·湖南永州·期末）整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，例如：已知，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式．仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值； (3)已知，，求代数式的值． 【变式6-3】（24-25七年级上·湖南长沙·阶段检测）【阅读理解】“整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛．比如，，类似地，我们把看成一个整体，则． 【尝试应用】（1）化简的结果是_________． （2）化简求值：，其中． 【拓展探索】（3）若，请求出的值． 题型7整式加减中的错看问题 【例7】有一道题目是一个多项式A减去多项式，小胡同学将抄成了，计算结果是，这道题目的正确结果是（  ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 看错符号问题，先根据错误的运算方法求出原来的某个多项式，然后再按照正确的运算方法计算结果即可. 【变式7-1】一位同学做一道题：“已知两个多项式A、B，计算”．他误将“”看成“”，求得的结果为．已知，求的正确答案． 【变式7-2】已知两个多项式，，计算．某同学做题时误将“”看成了“”， 求得的结果为．已知，求． 【变式7-3】（24-25七年级上·湖南·期中）已知， (1)化简： (2)在计算“当的值”时，小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 题型8 整式加减中与某个字母无关问题 【例8】（25-26七年级下·湖南衡阳·开学考试）已知，． (1)当，时，求的值； (2)若的值与的值无关，求的值． 【技巧归纳】 整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法：在整式的加减运算的过程中，若涉及“不含某项”或“与某项无关”，其实质是指合并同类项后“不含项”或“无关项”的系数为0. 【变式8-1】（25-26七年级上·湖南怀化·期末）已知多项式，多项式，代数式． (1)先化简，再求值：当，时，求M的值； (2)若代数式M的值与x的取值无关，求y的值． 【变式8-2】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知整式，其中a、b、c为常数． (1)若的结果中不含项和x项，求a、b的值； (2)若对于任意x，的值始终为，求a、b、c的值． 【变式8-3】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知两个多项式A，B，其中，的结果为． (1)求多项式A； (2)求多项式； (3)若多项式的值与x的取值无关，求y的值． 题型9 整式加减与数轴、绝对值的结合 【例9】已知：a，b，c在数轴上的位置如图所示，则等于（     ） A． B． C． D．0 【技巧归纳】 先由数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，原式利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【变式9-1】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）有理数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A．1 B． C． D． 【变式9-2】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）已知有理数满足互为相反数，，． (1)若，用“”或“”填空：______0；______0；______0． (2)若，化简式子：． 【变式9-3】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如图，数轴上的点A，B，C，D，E对应的数分别为a，b，c，d，e，且这五个点满足每相邻两个点之间的距离都相等． (1)填空：______0，______0，______0（填“”“”或“”）； (2)化简：； (3)若，，则的值是______． 题型10利用整式加减解决数字问题 【例10】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）如图1是2025年3月份的月历，用图2所示的“九方格”在图1中框住9个日期，并把其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为a，b，c，d（特别说明：去括号的依据是乘法分配律，比如：． (1)“九方格”中空白的五个日期之和m与正中心的日期θ的关系是 ． (2) ， ， （用含a的代数式分别表示）． (3)当图2在图1的不同位置时，代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【技巧归纳】 根据方框在日历中的不同位置寻找规律，并利用规律求值；解决本题的难点是发现日历中左右相邻的数相隔1，上下相邻的数相隔7． 【变式10-1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）一个四位数，如果，那么称这个四位数为“吉利数”，例如：1243，因为，所以1243是“吉利数”． (1)①用含的代数式表示为___________；②最大的吉利数是___________． (2)将一个“吉利数”的个位数字与百位数字交换位置，同时将十位数字与千位数字交换位置后得到新的“吉利数”，称交换前后这两个“吉利数”为“相伴吉利数”，例如：1243与4312为“相伴吉利数”．一个“吉利数”和它的“相伴吉利数”之和一定可以被11整除，为什么？请说明理由． (3)直接写出同时满足和这两个条件的所有“吉利数”． 【变式10-2】课本再现，如图，是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题： (1)图1中，用一个的正方形框围住相邻三列三行中的9个数字，设正方形框内最中心的数字为，则它左边的数是，它上面表示的数是___________，它右下角表示的数是___________．（都用含的式子表示） (2)图1中，用正方形框围住的9个数字的和是最中心数字的___________倍． (3)在图2中，若“+”字框围住5个数字的和是65，那么最中心的数字是多少？ (4)在图2中，“+”字框围住5个数字的和能否为120，如果能，请求出这5个数，若不能，请说明理由． 【变式10-3】某公司新研发一种办公室用壁挂式电磁日历，底板是一块长方形磁块，再用31枚圆柱形小铁片标上数字吸附在底板上作为日期，如图1是2007年10月份日历 (1)用长方形和正方形分别圈出相邻的3个数和9个数，若设圈出的数的中心数为a，用含a的整式表示这3个数的和与9个数的和，结果分别为______，______． (2)用某种图形圈出相邻的5个数，使这5个数的和能表示成5a的形式，请在图2中画出一个这样的图形． (3)用平行四边形圈出相邻的四个数，是否存在这样的4个数使得？如果存在就求出来，不存在说明理由． (4)第一次翻动31枚日历铁片，第二次翻动其中的30枚，第三次翻动其中的29枚，……，第31次只翻动其中的一枚，按这样的方法翻动日历铁片，能否使铁板上所有的31枚铁片原来有数字的一面都朝下，试通过计算证明你的判断． 题型11利用整式加减进行新定义运算 【例11】【问题背景】现定义一种新运算“⊙”对任意有理数m，n，规定：． 例如：． 【问题推广】（1）先化简，再求值：，其中，； 【拓展提升】（2）若，求p，q的值 【技巧归纳】 将多项式作为整体代入新定义的运算中，切记将多项式要用括号括起来，再去 括号． 【变式11-1】定义一种新运算“☆”，观察下列各式． ；；     ；． (1)求的值； (2)请你想一想：__________； (3)先化简，再求值：，其中，． 【变式11-3】（25-26七年级上·湖北随州·期末）定义一种新运算“”：对任意有理数a，b都有，例如：． (1)求的值； (2)先化简，再求值：，其中． 【变式11-3】阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义 是ad﹣bc 例如：1×4﹣2×3＝﹣2 （1）按照这个规定，请你计算的值． （2）按照这个规定，请你计算当|x+y﹣2|+（xy+1）2＝0时，的值． 题型12运用整式的加减解决实际问题 【例12】（25-26七年级上·湖南·期末）用如图的个小长方形和图的阴影长方形刚好拼成图的大长方形，已知图中小长方形的宽为． (1)当时，求阴影小长方形的面积． (2)用含的代数式表示阴影长方形的一边的长． (3)若阴影长方形的周长为，求图大长方形的周长． 【技巧归纳】 有关整式加减的实际问题，应先根据题目中的数量关系，正确列出关系式，再按照整式加减的运算法 则计算出最后的结果. 【变式12-1】七年级同学开展了火箭模型制作比赛，如图为火箭模型的截面图，下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形． (1)用式子表示这个截面的面积： (2)当 时，求这个截面的面积． 【变式12-2】如图所示是一个长方形． (1)根据图中尺寸，用含x、y的代数式表示阴影部分的面积S； (2)若x、y满足，求此时阴影部分的面积． 【变式12-3】（25-26七年级上·湖南郴州·期中）为传承湖南传统体育文化，某中学在“民族体育进校园”活动中计划采购一批器材．已知湘西风格绣花毽子每个定价40元，苗族手编长跳绳每条定价15元．现有两家本地文化企业提供优惠： “潇湘民艺”公司：买两个绣花毽子送一条长跳绳； “楚风体育”公司：毽子和跳绳都按定价的付款． (1)若学校计划购买绣花毽子60个，长跳绳120条，在哪家公司购买更划算？请说明理由； (2)学校需要购买绣花毽子m个，长跳绳n条，且． ①若在“潇湘民艺”公司购买，需付款________元（用含m，n的代数式表示）； ②若在“楚风体育”公司购买，需付款________元（用含m，n的代数式表示）． 1．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河北张家口·期末）多项式与多项式相加，化简后不含的项是（    ） A．常数项 B．一次项 C．二次项 D．三次项 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）无论x取何值时，都成立，则的值为（    ） A．8 B． C．20 D．13 4．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如图，长方形中，，把这个长方形分割为标号1，2，3，4的4个小长方形，其中标号为1，4的两个长方形形状大小完全相同，则标号为2，3的两个长方形的周长之和为（   ） A．12 B．14 C．15 D．16 5．已知，，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 6．（2024·河北唐山·二模）一个正两位数A，它的十位数字是a，个位数字是，把它十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数B，则的值总能（　　） A．被3整除 B．被9整除 C．被10整除 D．被11整除 7．已知一个多项式与的和等于，则此多项式是_______． 8．若实数，，在数轴上对应位置如图所示，且，则化简的结果为______． 9．若，则__________． 10．（25-26七年级上·四川成都·期末）已知，，且与是同类项，则的值为________． 11．去括号，并合并同类项： (1)； (2)； (3) 12．（25-26七年级上·湖南益阳·期末）已知多项式，，化简． 下面是一位同学的化简过程： 解： ……第一步 ……第二步 ．……第三步 请解答下列问题： (1)这位同学从第________步开始出现错误，错误的原因是________________； (2)请正确化简．当时，求的值． 13．（25-26七年级上·湖南永州·期末）如图，要建一个长方形苗圃，其中一边靠长度足够的墙，另外三边用竹篱笆围成．已知长方形的长为米，宽为米． (1)这块苗圃的长比宽多多少米？ (2)若竹篱笆的单价为每米7元，请你通过计算，说明该苗圃的建造总价是否随m、n的取值而变化，若变化，请说明理由；若不变，请求出该苗圃的建造总价． 14．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）已知有理数在数轴上的位置如图所示： (1)化简：； (2)若，且互为倒数，数在数轴上对应的点到原点的距离等于1，求的值． 15．（25-26七年级上·山东枣庄·期中）定义一种新运算：对任意有理数都有，例如：． (1)求的值； (2)先化简，再求值：，其中是最大的负整数，是绝对值最小的数． 16．（25-26七年级下·湖南邵阳·阶段检测）已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 整式的加法与减法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 去括号 题型2去括号判断正误 题型3 利用去括号进行化简 题型4利用整式的加减计算 题型5 整式的化简求值---直接代入求值 题型6整式的化简求值---整体代入求值 题型7整式加减中的错看问题 题型8 整式加减中与某个字母无关问题 题型9 整式加减与数轴、绝对值的结合 题型10利用整式加减解决数字问题 题型11利用整式加减进行新定义运算 题型12运用整式的加减解决实际问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 同类项、合并同类项、去括号法则、添括号法则、整式加减、化简求值 1.熟记同类项定义，快速判断两个单项式是否为同类项，掌握同类项两大判断标准。 2.熟练掌握合并同类项法则，只变系数、字母和字母指数保持不变。 3.牢记去括号、添括号法则，重点区分括号前是“-”号时，括号内全部变号。 4.掌握整式加减运算步骤：先去括号，再合并同类项；能完成整式化简求值题型。 5.会利用整式加减解决图形周长、面积计算以及不含某一项等拓展题型。 学习重点：1.同类项识别与合并同类项；2.去括号运算；整式加减化简求值。 学习难点：1.括号前为负号和数字因数时，去括号容易漏乘、漏变号；2.复杂多层括号的整式化简； 3.整式加减结合参数，求解字母参数的值。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 去括号 ◆1、去括号法则： 括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项的符号都不改变； 括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项的符号都要改变. ◆2、方法总结： (1)去括号时，不仅要去掉括号，还要连同括号前面的符号一起去掉． (2)去括号时，首先要弄清括号前是“＋”号还是“－”号． (3)注意法则中的“都”字，变号时，各项都变号；不变号时，各项都不变号． (4)当括号前有数字因数时，应运用乘法分配律运算，切勿漏乘． (5)出现多重括号时，一般是先去小括号，再去中括号，最后去大括号，每去掉一层括号，如果有同类项也可随时合并，为下一步运算简便化，较少差错． ◆3、两点说明： ①去括号法则是根据乘法分配律推出的； ②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值． ◆4、教材延伸：添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号， 添括号时，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号． 即时即练1．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查去括号法则与合并同类项的知识，根据去括号法则和合并同类项的法则逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、，原式错误，不符合题意； B、，原式错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原式错误，不符合题意； D、，原式正确，符合题意； 故选：D． 2．化简：_______． 【答案】/ 【分析】先去括号，再合并同类项即可得出结果． 【详解】解： ． 知识点02 整式的加法与减法 ◆1、整式的加法和减法：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. ◆2、整式的加法与减法的步骤及注意问题： （1）整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． （2）去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号． ◆3、整式加减的应用类型： 应用类型 方 法 直接的整式加减 实质是合并同类项，若有括号，则先去括号再合并同类项． 间接的整式加减 求整式的和差时，先用括号将每一个整式括起来，再用加运算符号连接． 化简求值 求多项式的值时，一般先化简，再把字母的值代入化简后的式子求值． 即时即练 1．（25-26七年级上·全国·期中）已知整式，，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减，掌握有理数的加减法则和去括号是解题的关键． 先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： 故答案为：． 2．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）先化简，再求值：，其中 【答案】；6 【分析】先去括号，再合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 题型1 去括号 【例1】（25-26七年级上·湖南永州·期中）把去括号的结果是________． 【答案】 【分析】本题考查去括号法则，解题的关键是掌握括号前是负号时去括号的运算规则． 根据去括号法则，对一进行去括号运算． 【详解】解：根据去括号法则：括号前是“”，把括号和它前面的“”去掉后，原括号里各项的符号都要改变， 对于，去括号后为：． 故答案为：． 【技巧归纳】 1、按照去括号法则即可解答.括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项的符号都不改变；括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项的符号都要改变. 【变式1-1】多项式去括号的结果是_______． 【答案】 【分析】本题考查去括号，去括号法则：1．括号前是“”，把括号和它前面的“”去掉后，原括号里各项的符号都不改变．2．括号前是“”，把括号和它前面的“”去掉后，原括号里各项的符号都要改变．改成与原来相反的符号． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1-2】去括号填空：3x﹣(a﹣b+c)＝_______． 【答案】3x﹣a+b﹣c 【分析】注意去括号后要变号，根据负负得正的原则进行． 【详解】解：原式＝3x﹣a+b﹣c． 故填：3x﹣a+b﹣c． 【点睛】本题考查去括号的知识，比较简单，注意负负得正的运用即可． 【变式1-2】_______ 【答案】 【分析】先根据去括号法则去掉括号，再合并同类项可得到化简的结果． 【详解】解： ． 题型2 去括号判断正误 【例2】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查去括号的规则，掌握相关知识是解决问题的关键．当括号前有正号时，去掉括号连同括号前面的正号，括号内的每一项都不变号；当括号前有负号时，去掉括号连同括号前面的负号，括号内的每一项都要变号．括号前有因式时，去括号时因式要乘以括号内的每一项． 【详解】解：A：，原式错误； B：，但写成了，原式错误； C：，原式正确； D：，原式错误． 故选：C． 【技巧归纳】 在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号． 【变式2-1】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查去括号法则，需依据“括号前是负号，去括号后括号内各项符号改变；括号前是正号或有正系数，去括号后括号内各项符号不变且系数要乘以括号内每一项”来判断选项，即可求解． 【详解】解：A：，错误； B：，正确； C：，错误； D：，错误； 故选：B． 【变式2-2】（25-26七年级上·湖北孝感·期末）下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了去括号，去括号时，先把括号前面的系数的绝对值与括号内的每一项都相乘，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式去括号错误，不符合题意； B、，原式去括号错误，不符合题意； C、，原式去括号错误，不符合题意； D、，原式去括号正确，符合题意； 故选：D， 【变式2-3】下列式子变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式加减中的去括号，熟练掌握去括号法则是解题关键．根据去括号法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项正确，符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 题型3 利用去括号进行化简 【例3】化简 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了去括号和合并同类项，理解去括号法则和合并同类项计算法则是解答关键. （1）先去括号，再合并同类项求解； （2）先去小括号，再去中括号，最后合并同类项求解. 【详解】（1）解： （2）解： . 【技巧归纳】 先对式子进行去括号，再合并同类项，有时还要用到添括号.在计算时要注意： 1、当括号前有数字因数时，应运用乘法分配律运算，切勿漏乘． 2、出现多重括号时，一般是先去小括号，再去中括号，最后去大括号，每去掉一层括号，如果有同类项也可随时合并，为下一步运算简便化，较少差错． 【变式3-1】化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【变式3-2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）先去小括号，然后去中括号，最后进行合并同类项即可； （）先去括号，然后合并同类项即可得． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式3-3】 （25-26七年级上·江苏连云港·期中）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查去括号，整式的加减，掌握知识点是解题的关键． （1）根据整式的加减进行化简即可； （2）先去括号，再根据整式的加减进行化简即可； （3）先去括号，再根据整式的加减进行化简即可； （4）先去括号，再根据整式的加减进行化简即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型4利用整式的加减计算 【例4】一个多项式加上的2倍等于，求这个多项式． 【答案】 【分析】这个多项式为，化简求解即可． 【详解】解：根据题意，得这个多项式为：， ． 【技巧归纳】 用A、B表示的多项式分别是一个整体，先化简再代入求值时要把A、B加上括号后，然后去括号再进行化简. 【变式4-1】已知两个多项式的和是，其中一个多项式是，则另一个多项式是______ 【答案】 【分析】根据两个多项式的和与其中一个多项式，可用两式的差求出另一个多项式． 【详解】解：依题意得：另一个多项式 ． 【变式4-2】（2026·河北·二模）以下是一道习题及嘉嘉的解答过程： 计算：． 解：原式……第一步 ……第二步 ．……第三步 (1)上述解答过程，嘉嘉是从第______步开始出错的，请你给出正确的解答过程； (2)当时，求此代数式的值． 【答案】(1)一；过程见解析 (2) 【分析】（1）观察嘉嘉的解答过程，可知第一步去括号错误，根据去括号合并同类项的步骤写出正确的步骤； （2）把代入（1）中化简的结果计算即可． 【详解】（1）解：嘉嘉是从第一步开始出错的， 正确解答过程如下： 原式 ． （2）解：当时，原式 ． 【变式4-3】已知M＝4x2﹣2xy+1，N＝3x2﹣2xy﹣3． （1）化简：4M﹣（3M+2N）； （2）当x＝﹣1，y＝2时，求（1）代数式的值； （3）试判断M、N的大小关系并说明理由． 【分析】（1）由题意知，4M﹣（3M+2N）＝M﹣2N＝﹣2x2+2xy+7； （2）将x＝﹣1，y＝2代入计算求解即可； （3）M﹣N＝x2+4，由x2+4＞0，可得M﹣N＞0，即M＞N． 【详解】解：（1）由题意知，4M﹣（3M+2N） ＝4M﹣3M﹣2N ＝M﹣2N ＝4x2﹣2xy+1﹣2（3x2﹣2xy﹣3） ＝4x2﹣2xy+1﹣6x2+4xy+6 ＝﹣2x2+2xy+7； （2）将x＝﹣1，y＝2代入，原式＝﹣2×（﹣1）2+2×（﹣1）×2+7＝1； （3）M＞N，理由如下：M﹣N＝4x2﹣2xy+1﹣（3x2﹣2xy﹣3）＝4x2﹣2xy+1﹣3x2+2xy+3＝x2+4， ∵x2+4＞0， ∴M﹣N＞0，即M＞N． 【点睛】本题考查了整式的加减运算，代数式求值．熟练掌握整式的加减运算是解题的关键． 题型5 整式的化简求值---直接代入求值 【例5】（25-26七年级上·湖南娄底·期末）先化简再求值：已知，求代数式的值． 【答案】化简结果为；值为 【分析】本题考查整式的加减化简求值，关键是熟练掌握去括号法则与合并同类项法则，解题思路为：先通过去括号、合并同类项将原式化简为最简整式，再代入、的数值进行计算． 【详解】 ； 当，时，． 【技巧归纳】 进行整式的加减时先去括号然后合并同类项进行化简后，直接代入字母的值进行计算即可. 【变式5-1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据去括号，合并同类项法则，进行化简，然后代入数值求解即可． 【详解】解： ， 把代入得： 原式． 【变式5-2】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）先化简，再求值：，其中，满足 【答案】， 【分析】本题考查的是绝对值与平方数的非负性，整式的加减中的化简求值，灵活运用绝对值和平方数的非负性是解题的关键．根据绝对值和平方数的非负性得到，，进而求出、的值，再代入化简后的式子求值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴； ， 当时， 原式． 【变式5-3】（25-26七年级上·湖南衡阳·阶段检测）先化简，再求值 (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)；6 (2)，24 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键． （1）先去括号，合并同类项对式子化简，再代入x的值求解即可； （2）先去括号，合并同类项对式子化简，再代入a，b的值求解即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式． （2）解： ， 当，时，原式． 题型6整式的化简求值---整体代入求值 【例6】已知x2﹣5x﹣4＝0，求的值． 【分析】将已知等式化成x2﹣5x＝4，将所求整式去括号合并同类项，最后整体代入即可． 【详解】解：∵x2﹣5x﹣4＝0， ∴x2﹣5x＝4， ∴ ＝2x2﹣3x2+6﹣3x﹣2x+2x2﹣1 ＝x2﹣5x+5 ＝4+5 ＝9． 【点睛】本题考查了整式的化简，去括号和合并同类项是本题考查的重点，在化简过程中注意正负号的变化． 【技巧归纳】 先对原式进行去括号、合并同类项的化简，再把数值整体代入到化简后的式子求值即可． 【变式6-1】求值： （1）已知5x﹣2y＝3，求15x﹣6y﹣8的值． （2）已知a﹣b＝5，﹣ab＝3，求的值． 【分析】（1）把15x﹣6y﹣8化为3（5x﹣2y）﹣8后，再把5x﹣2y＝3代入即可求出结果； （2）把整式去括号、合并同类项化简后，把a﹣b＝5，﹣ab＝3代入计算即可得出结果． 【详解】解：（1）15x﹣6y﹣8 ＝3（5x﹣2y）﹣8， 当5x﹣2y＝3时， 原式＝3×3﹣8 ＝9﹣8 ＝1； （2） ＝7a+4b+ab﹣5b﹣6a+6ab ＝a﹣b+7ab， ∵﹣ab＝3， ∴ab＝﹣3， 当a﹣b＝5，ab＝﹣3时， 原式＝5+7×（﹣3） ＝5﹣21 ＝﹣16． 【点睛】本题考查了整式的加减—化简求值，去括号、合并同类项把整式正确的化简是解题的关键． 【变式6-2】（25-26七年级上·湖南永州·期末）整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，例如：已知，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式．仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值； (3)已知，，求代数式的值． 【答案】(1)2028 (2)15 (3) 【分析】此题考查了代数式求值，整式的加减运算，解题的关键是将代数式正确变形． （1）由得到，然后整体代入求解即可； （2）将整体代入求解即可； （3）由，，得到，整理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵，， 由得：， 整理得：， ∴． 【变式6-3】（24-25七年级上·湖南长沙·阶段检测）【阅读理解】“整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛．比如，，类似地，我们把看成一个整体，则． 【尝试应用】（1）化简的结果是_________． （2）化简求值：，其中． 【拓展探索】（3）若，请求出的值． 【答案】（1）；（2）；；（3） 【分析】本题考查整式的加减运算及求值，掌握整体思想是解题的关键． （1）将看成一个整体，进而化简； （2）先合并同类项，再将代入求值； （3）将变形为，再将代入求值． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2） ， 将代入，得： 原式 ； （3） ， ． 题型7整式加减中的错看问题 【例7】有一道题目是一个多项式A减去多项式，小胡同学将抄成了，计算结果是，这道题目的正确结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键． 直接利用整式的加减运算法则得出A，进而利用整式的加减运算法则得出这道题目的正确结果． 【详解】解：由题意可得：， 则 ， 故这道题目的正确结果是： ． 故选：B． 【技巧归纳】 看错符号问题，先根据错误的运算方法求出原来的某个多项式，然后再按照正确的运算方法计算结果即可. 【变式7-1】一位同学做一道题：“已知两个多项式A、B，计算”．他误将“”看成“”，求得的结果为．已知，求的正确答案． 【答案】 【分析】把相应的式子代入，利用整式的加减的法则进行运算即可． 【详解】， ， ∴． 【变式7-2】已知两个多项式，，计算．某同学做题时误将“”看成了“”， 求得的结果为．已知，求． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的加减运算，解题的关键是掌握整式的加减混合运算法则．根据，代入即可求得多项式，然后计算即可． 【详解】解： ，， ， ， 综上，的结果为． 【变式7-3】（24-25七年级上·湖南·期中）已知， (1)化简： (2)在计算“当的值”时，小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据整式的加减运算可进行求解； （2）先对整式进行化简运算，然后再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ； ∵的计算结果中不含有x的项， ∴的计算结果就与x的取值无关， ∴小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的， 正确的结果为：把代入得：原式． 题型8 整式加减中与某个字母无关问题 【例8】（25-26七年级下·湖南衡阳·开学考试）已知，． (1)当，时，求的值； (2)若的值与的值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将与代入，去括号后合并同类项，然后把，代入化简后的式子，计算得出结果； （2）根据“代数式的值与无关”意味着含的项的系数为，据此列方程求解的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 当，时， ； （2）解：∵的值与的值无关， ∴，解得． 【技巧归纳】 整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法：在整式的加减运算的过程中，若涉及“不含某项”或“与某项无关”，其实质是指合并同类项后“不含项”或“无关项”的系数为0. 【变式8-1】（25-26七年级上·湖南怀化·期末）已知多项式，多项式，代数式． (1)先化简，再求值：当，时，求M的值； (2)若代数式M的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，然后把，的值代入化简后的式子进行计算，即可解答； （2）易得与x的取值无关．可得，最后进行计算即可解答． 【详解】（1）解： 当，时，． （2）解： 的值与x的取值无关 ， ． 【变式8-2】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知整式，其中a、b、c为常数． (1)若的结果中不含项和x项，求a、b的值； (2)若对于任意x，的值始终为，求a、b、c的值． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】（1）把与代入中，去括号合并后，根据结果不含项和x项，可求出a、b的值； （2）把与代入中，去括号合并后，根据的值始终为，可分别得关于a、b、c的一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， ∵的结果中不含项和x项， ∴，， 解得，； （2）解： ， ∵对于任意x，的值始终为， ∴，，， 解得，，． 【变式8-3】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知两个多项式A，B，其中，的结果为． (1)求多项式A； (2)求多项式； (3)若多项式的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式加减运算与无关型问题，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则，准确计算． （1）根据题意代入计算求解即可； （2）根据题意直接代入计算即可； （3）根据的值与的取值无关时，x的系数为0，即可求出y的值． 【详解】（1）解：∵，的结果为， ∴ ； （2）解： ； （3）解： ， ∵多项式的值与x的取值无关， ∴， 解得：． 题型9 整式加减与数轴、绝对值的结合 【例9】已知：a，b，c在数轴上的位置如图所示，则等于（     ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据数轴可推出，据此化简绝对值，再根据整式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可得，且， ∴， ∴ ． 【技巧归纳】 先由数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，原式利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【变式9-1】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）有理数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由数轴可得，，，，根据负数的绝对值等于它的相反数去绝对值符号，合并同类项即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，， ∴ ． 【变式9-2】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）已知有理数满足互为相反数，，． (1)若，用“”或“”填空：______0；______0；______0． (2)若，化简式子：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了绝对值，相反数，有理数的加法、减法与乘法，整式的加减，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据相反数的定义可得，，根据乘法法则可得，根据绝对值的性质可得，再根据加减法法则进行判断即可得； （2）先根据（1）可得，，，再化简绝对值，计算整式的加减法即可得． 【详解】（1）解：∵互为相反数，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，，， 故答案为：；；． （2）解：由（1）可知，若，则，，， ∴ ． 【变式9-3】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如图，数轴上的点A，B，C，D，E对应的数分别为a，b，c，d，e，且这五个点满足每相邻两个点之间的距离都相等． (1)填空：______0，______0，______0（填“”“”或“”）； (2)化简：； (3)若，，则的值是______． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查了数轴，绝对值，相反数和有理数的大小比较等知识点，能根据数轴得出是解此题的关键． （1）根据数轴得出，再比较即可； （2）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可； （3）先求出b、e的值，再代入求出即可． 【详解】（1）解：从数轴可知：， ， 故答案为：；；； （2）， ； （3）， 互为相反数，则是原点， ，这五个点满足每相邻两个点之间的距离都相等， ， ． 题型10利用整式加减解决数字问题 【例10】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）如图1是2025年3月份的月历，用图2所示的“九方格”在图1中框住9个日期，并把其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为a，b，c，d（特别说明：去括号的依据是乘法分配律，比如：． (1)“九方格”中空白的五个日期之和m与正中心的日期θ的关系是 ． (2) ， ， （用含a的代数式分别表示）． (3)当图2在图1的不同位置时，代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值， 【分析】本题考查月历中日期的规律及整式的化简求值，解题的关键是利用月历中日期的排列规律（横向相邻差1，纵向相邻差7）分析数量关系． （1）根据九方格中正中心的日期θ，推导空白日期和与正中心日期的关系； （2）利用月历日期的横向、纵向差，用表示、、； （3）将、、代入代数式，化简判断是否为定值． 【详解】（1）解：九方格中，正中心日期为，月历中，横向相邻日期差1，纵向相邻日期差7， 空白日期， 故答案为：； （2）解：月历中，横向相邻日期差1，纵向相邻日期差7， 由的位置，可得：（向下两排，）， （向右两列）， ， 故答案为：； （3）解：是定值，， 将、、代入代数式： ． 故代数式的值为定值． 【技巧归纳】 根据方框在日历中的不同位置寻找规律，并利用规律求值；解决本题的难点是发现日历中左右相邻的数相隔1，上下相邻的数相隔7． 【变式10-1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）一个四位数，如果，那么称这个四位数为“吉利数”，例如：1243，因为，所以1243是“吉利数”． (1)①用含的代数式表示为___________；②最大的吉利数是___________． (2)将一个“吉利数”的个位数字与百位数字交换位置，同时将十位数字与千位数字交换位置后得到新的“吉利数”，称交换前后这两个“吉利数”为“相伴吉利数”，例如：1243与4312为“相伴吉利数”．一个“吉利数”和它的“相伴吉利数”之和一定可以被11整除，为什么？请说明理由． (3)直接写出同时满足和这两个条件的所有“吉利数”． 【答案】(1)；9999 (2)见解析 (3)1133，2266，3399 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，列代数式，理解“吉利数”与“相伴吉利数”的定义，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键． （1）千位数字乘以1000，百位数字乘以100，十位数字乘以10，个位数字乘以1，所得的四个结果相加即可得到第一空的答案；根据“吉利数”的定义求解即可得； （2）先将“吉利数”与“相伴吉利数”表示出来，再求和，由此可得结论； （3）先求出，从而可得这个“吉利数”的值为，再求出a的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； ∵， ∴最大的“吉利数”是， （2）解：“吉利数”， 它的“相伴吉利数”， ∴ ， 由“吉利数”的定义得：， ∴， ∵a、c都是整数， ∴能被11整除， 即一个“吉利数”和它的“相伴吉利数”之和一定可以被11整除． （3）解：由“吉利数”的定义得：， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴满足条件的“吉利数”的值为 ， ∵， ∴，且a为整数 当时，， 当时，， 当时，， 综上，满足条件的所有“吉利数”为1133，2266，3399． 【变式10-2】课本再现，如图，是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题： (1)图1中，用一个的正方形框围住相邻三列三行中的9个数字，设正方形框内最中心的数字为，则它左边的数是，它上面表示的数是___________，它右下角表示的数是___________．（都用含的式子表示） (2)图1中，用正方形框围住的9个数字的和是最中心数字的___________倍． (3)在图2中，若“+”字框围住5个数字的和是65，那么最中心的数字是多少？ (4)在图2中，“+”字框围住5个数字的和能否为120，如果能，请求出这5个数，若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)9 (3)13 (4)不能，见解析 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据月历的特点列出代数式即可； （2）设正方形框内最中心的数字为，则它左边的数是，右边的数是，它上面表示的数是，左上角表示的数是，右上角表示的数为，下面表示的数为，左下角表示的数为，它右下角表示的数是，再求出用正方形框围住的9个数字的和，即可得出结果； （3）设“+”框内最中心的数字为y，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果； （4）设“+”框内最中心的数字为，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：设正方形框内最中心的数字为，则它左边的数是，它上面表示的数是，它右下角表示的数是； （2）解：设正方形框内最中心的数字为，则它左边的数是，右边的数是，它上面表示的数是，左上角表示的数是，右上角表示的数为，下面表示的数为，左下角表示的数为，它右下角表示的数是， 故用正方形框围住的9个数字的和为， 故用正方形框围住的9个数字的和是最中心数字的倍； （3）解：设“+”框内最中心的数字为y， 根据题意，列方程得：， 解得， 答：“+”字框最中心的数字为13； （4）解：不能，理由如下： 设“+”框内最中心的数字为， 根据题意，列方程得： 解得 由框可知，24的右边没有数字， 所以“+”字框围住5个数字的和不能为120． 【变式10-3】某公司新研发一种办公室用壁挂式电磁日历，底板是一块长方形磁块，再用31枚圆柱形小铁片标上数字吸附在底板上作为日期，如图1是2007年10月份日历 (1)用长方形和正方形分别圈出相邻的3个数和9个数，若设圈出的数的中心数为a，用含a的整式表示这3个数的和与9个数的和，结果分别为______，______． (2)用某种图形圈出相邻的5个数，使这5个数的和能表示成5a的形式，请在图2中画出一个这样的图形． (3)用平行四边形圈出相邻的四个数，是否存在这样的4个数使得？如果存在就求出来，不存在说明理由． (4)第一次翻动31枚日历铁片，第二次翻动其中的30枚，第三次翻动其中的29枚，……，第31次只翻动其中的一枚，按这样的方法翻动日历铁片，能否使铁板上所有的31枚铁片原来有数字的一面都朝下，试通过计算证明你的判断． 【答案】(1)， (2)画图见解析 (3)存在，，，， (4)不能，证明见解析 【分析】（1）根据日历中数字规律列式计算即可； （2）根据日历中数字规律画图即可； （3）根据，，，得出，求出，再求出其他三个数的值即可； （4）求出共翻动的次数为，根据要使一个铁片翻面，需要1次、3次，5次，……奇数次，根据奇数偶数，即可得出结论． 【详解】（1）解：长方形中中间数为a，上下两数分别为，， ∴3个数的和为， 正方形中中间数为a，那么左右两数分别为，， 根据以上规律左边三个数的和为；中间三个数的和为；右边三个数的和为， ∴9个数的和为； 故答案为：，． （2）解：如图所示：    ∵，，，， 5个数的和为：； （3）解：存在， ∵，，， ∴， 解得：， ∴，，． （4）解：不能； 共翻动了（次），是偶数次， 而要使一个铁片翻面，需要1次、3次，5次，……奇数次， 需要翻动的总次数是，奇数奇数次， 奇数偶数， 所以不能． 【点睛】本题主要考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出代数式，熟练掌握整式加减运算法则，准确计算． 题型11利用整式加减进行新定义运算 【例11】【问题背景】现定义一种新运算“⊙”对任意有理数m，n，规定：． 例如：． 【问题推广】（1）先化简，再求值：，其中，； 【拓展提升】（2）若，求p，q的值 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）先运用新运算法则化简，然后将、代入计算即可； （2）先对括号内用新运算法则化简，然后再对括号外运算，然后结合即可求解． 【详解】解：（1） ． 当，时，原式； （2） ． 又∵， ∴， ∴，， ∴，． 【点睛】本题主要考查了新定义运算、整式的四则混合运算、同类项等知识点，理解新运算法则是解答本题的关键． 【技巧归纳】 将多项式作为整体代入新定义的运算中，切记将多项式要用括号括起来，再去 括号． 【变式11-1】定义一种新运算“☆”，观察下列各式． ；；     ；． (1)求的值； (2)请你想一想：__________； (3)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2) (3)，9 【分析】本题主要考查新定义下的运算，规律探索，整式加减运算，去括号，合并同类项，理解题目中的运算法则是解题关键． （1）根据题目中的式子即可得到的结果； （2）根据题目中的式子即可得到的结果； （3）根据（2）中的结果化简，再将a、b的值代入计算． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， 故答案为：； （3）解：根据题意，得 ， 当时，原式． 【变式11-3】（25-26七年级上·湖北随州·期末）定义一种新运算“”：对任意有理数a，b都有，例如：． (1)求的值； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了新定义，整式的加减，有理数的混合运算，理解新定义掌握运算法则是解题的关键． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用题中的新定义化简，再代入x，y，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：由题意得， 当时，原式． 【变式11-3】阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义 是ad﹣bc 例如：1×4﹣2×3＝﹣2 （1）按照这个规定，请你计算的值． （2）按照这个规定，请你计算当|x+y﹣2|+（xy+1）2＝0时，的值． 【分析】（1）利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）利用非负数的性质求出x+y与xy的值，原式利用题中新定义变形，把x+y与xy的值代入计算即可求出值． 【详解】解：（1）根据题意得：6×3﹣2×5 ＝18﹣10 ＝8； （2）∵|x+y﹣2|+（xy+1）2＝0， ∴x+y＝2，xy＝﹣1， 则原式＝1×（3x﹣1）﹣（﹣1）×（2xy+3y） ＝3x﹣1+2xy+3y ＝3（x+y）+2xy﹣1 ＝3×2+2×（﹣1）﹣1 ＝3． 【点睛】本题考查了整式的加减﹣化简求值，掌握运算法则是关键． 题型12运用整式的加减解决实际问题 【例12】（25-26七年级上·湖南·期末）用如图的个小长方形和图的阴影长方形刚好拼成图的大长方形，已知图中小长方形的宽为． (1)当时，求阴影小长方形的面积． (2)用含的代数式表示阴影长方形的一边的长． (3)若阴影长方形的周长为，求图大长方形的周长． 【答案】(1)阴影小长方形的面积为． (2)阴影长方形的一边的长为． (3)大长方形的周长为． 【分析】（1）根据图可得，图的小长方形长为，则阴影小长方形的长为，宽为，将代入即可求解； （2）阴影长方形的一边即为阴影长方形的宽； （3）先根据阴影长方形的周长为求出的值，再代入大长方形的周长中即可得解． 【详解】（1）解：根据图可得，图的小长方形长为， 则阴影小长方形的长为，宽为， 当时， 阴影小长方形的长为，宽为， 所以阴影小长方形的面积为； （2）解：阴影长方形的一边即为阴影长方形的宽， 即阴影长方形的一边的长为； （3）解：阴影长方形的长为，宽为，周长为， ， ， 大长方形的长为，宽为， 大长方形的周长为． 【点睛】本题考查的知识点是列代数式，整式混合运算的应用，代数式求值，解题关键是利用数形结合思想解题． 【技巧归纳】 有关整式加减的实际问题，应先根据题目中的数量关系，正确列出关系式，再按照整式加减的运算法 则计算出最后的结果. 【变式12-1】七年级同学开展了火箭模型制作比赛，如图为火箭模型的截面图，下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形． (1)用式子表示这个截面的面积： (2)当 时，求这个截面的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数式求值、列代数式，关键是掌握各种图形面积的求法； （1）由截面面积=三角形面积+长方形面积+梯形面积即可； （2）把与的值代入（1）所得代数式计算即可求出值． 【详解】（1）解：截面面积 ； （2）解：当时，上式． 【变式12-2】如图所示是一个长方形． (1)根据图中尺寸，用含x、y的代数式表示阴影部分的面积S； (2)若x、y满足，求此时阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是列代数式，整式的加减运算，非负数的性质，求解代数式的值． （1）先补全图形，再利用割补法列代数式并化简即可． （2）根据非负数的性质先求解，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：如图， ∴； ． （2）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴此时阴影部分的面积为：． 【变式12-3】（25-26七年级上·湖南郴州·期中）为传承湖南传统体育文化，某中学在“民族体育进校园”活动中计划采购一批器材．已知湘西风格绣花毽子每个定价40元，苗族手编长跳绳每条定价15元．现有两家本地文化企业提供优惠： “潇湘民艺”公司：买两个绣花毽子送一条长跳绳； “楚风体育”公司：毽子和跳绳都按定价的付款． (1)若学校计划购买绣花毽子60个，长跳绳120条，在哪家公司购买更划算？请说明理由； (2)学校需要购买绣花毽子m个，长跳绳n条，且． ①若在“潇湘民艺”公司购买，需付款________元（用含m，n的代数式表示）； ②若在“楚风体育”公司购买，需付款________元（用含m，n的代数式表示）． 【答案】(1)选择“潇湘民艺”公司购买更划算，理由见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，理解题意，正确列出代数式是解题的关键． （1）根据家本地文化企业提供的优惠规则分别计算付款数额，再比较判断即可； （2）根据家本地文化企业提供的优惠规则分别列代数式即可． 【详解】（1）选择“潇湘民艺”公司购买更划算，理由如下， “潇湘民艺”公司：购买绣花毽子60个，共需（元）， 送了（条）跳绳，剩下需购买跳绳90条，共需（元）， 所以选择“潇湘民艺”公司购买需付款（元）； 选择“楚风体育”公司购买需付款（元）； ， 所以选择“潇湘民艺”公司购买更划算； （2）①若在“潇湘民艺”公司购买， 购买绣花毽子m个，共需元， 送了条跳绳，剩下需购买跳绳条，共需元， 所以购买绣花毽子m个，长跳绳n条，共需（元）； ②若在“楚风体育”公司购买，共需（元）； 故答案为：①；②． 1．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了去括号，去括号时，先把括号前面的系数的绝对值与括号内的每一项都相乘，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式错误，不符合题意； B、，原式错误，不符合题意； C、，原式正确，符合题意； D、，原式错误，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26七年级上·河北张家口·期末）多项式与多项式相加，化简后不含的项是（    ） A．常数项 B．一次项 C．二次项 D．三次项 【答案】D 【分析】本题考查整式的加法，关键是通过合并同类项确定各项系数． 将两个多项式相加，合并同类项，然后判断不含的项即可． 【详解】解： ， ∴化简后不含三次项． 故选：D． 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）无论x取何值时，都成立，则的值为（    ） A．8 B． C．20 D．13 【答案】A 【分析】利用多项式恒等对应系数相等得到和的值，再化简待求式代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，即 ， ． 4．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如图，长方形中，，把这个长方形分割为标号1，2，3，4的4个小长方形，其中标号为1，4的两个长方形形状大小完全相同，则标号为2，3的两个长方形的周长之和为（   ） A．12 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了整式加减的应用，正确理解题意是解题的关键． 设标号为1的长方形的长为x，求出标号2和标号3的长方形的长和宽，并列出两个长方形的周长之和，计算即得答案． 【详解】解：设标号为1的长方形的长为x，则标号为1的长方形的宽与标号为4的长方形的宽均为， 标号为3的长方形的长为，标号为3的长方形的宽为，标号为2的长方形的长为，标号为2的长方形的宽为， 标号为2，3的两个长方形的周长之和． 故选：D． 5．已知，，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减，代数式求值，解题的关键关键将整式变形为含有所给数值的代数式及整体思想的应用． 先由等式变形为，再将，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式 ， 故选：． 6．（2024·河北唐山·二模）一个正两位数A，它的十位数字是a，个位数字是，把它十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数B，则的值总能（　　） A．被3整除 B．被9整除 C．被10整除 D．被11整除 【答案】D 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的加减运算、整除等知识点，掌握整除的判定方法是解题的关键． 根据题意表示出两位数A和B，计算并变形，再判断其整除性即可解答． 【详解】解：∵ A的十位数字为a，个位数字为， ∴ ． ∵把它十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数B， ∴ B的十位数字为，个位数字为a， ∴， ∴， ∴的值总能被11整除． 故选D． 7．已知一个多项式与的和等于，则此多项式是_______． 【答案】/ 【分析】用减去，即可求解． 【详解】解：此多项式是 8．若实数，，在数轴上对应位置如图所示，且，则化简的结果为______． 【答案】 【分析】先根据数轴以及已知条件得出，再化简绝对值，最后再进行整式的加减运算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 9．若，则__________． 【答案】 【分析】先进行去括号，再用整体思想用，数据代入即可． 【详解】原式 10．（25-26七年级上·四川成都·期末）已知，，且与是同类项，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简求值及同类项的定义，关键是先化简待求式，再利用同类项的定义确定字母的值，最后代入计算．首先对待求式去括号、合并同类项得到最简形式；然后根据同类项中相同字母的指数相等，求出、的值；最后将、代入最简式计算出结果． 【详解】解： 。 与是同类项， ，； 当，时，原式． 11．去括号，并合并同类项： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了去括号法则以及合并同类项，正确掌握去括号法则是解题关键． （1）首先利用去括号法则化简，进而合并同类项得出答案； （2）首先利用去括号法则化简，进而合并同类项得出答案； （3）首先将，看作整体合并同类项，进而利用去括号法则求出即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ． 12．（25-26七年级上·湖南益阳·期末）已知多项式，，化简． 下面是一位同学的化简过程： 解： ……第一步 ……第二步 ．……第三步 请解答下列问题： (1)这位同学从第________步开始出现错误，错误的原因是________________； (2)请正确化简．当时，求的值． 【答案】(1)二；去括号时括号前是减号，去括号后括号内的符没有变号 (2)原式，值为 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据去括号法则解题即可； （2）根据相关运算法则计算即可． 【详解】（1）解：第二步应为； 故答案为：二；去括号时括号前是减号，去括号后括号内的符号没有变号； （2）解： ， ∵， ∴，， 解得，， 当，时，原式． 13．（25-26七年级上·湖南永州·期末）如图，要建一个长方形苗圃，其中一边靠长度足够的墙，另外三边用竹篱笆围成．已知长方形的长为米，宽为米． (1)这块苗圃的长比宽多多少米？ (2)若竹篱笆的单价为每米7元，请你通过计算，说明该苗圃的建造总价是否随m、n的取值而变化，若变化，请说明理由；若不变，请求出该苗圃的建造总价． 【答案】(1)这块苗圃的长比宽多米 (2)该苗圃的建造总价为元 【分析】本题考查了整式的加减运算的应用，整式的加减无关型问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据长方形的长为米，宽为米，进行列式计算，即可作答． （2）先算出该苗圃的周长，再结合竹篱笆的单价为每米7元，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵长方形的长为米，宽为米， 则 ， 答：这块苗圃的长比宽多米． （2）解：该苗圃的建造总价不会随m、n的取值而变化，理由如下： 竹篱笆总长为： （米） ∴竹篱笆总长与m，n的取值无关． ∵竹篱笆的单价为每米7元， ∴该苗圃的建造总价为（元）． 14．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）已知有理数在数轴上的位置如图所示： (1)化简：； (2)若，且互为倒数，数在数轴上对应的点到原点的距离等于1，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了数轴、相反数、倒数、绝对值、有理数的乘方，整式的加减，代数式求值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由数轴得出，从而得出，再根据绝对值的意义化简即可； （2）根据相反数、倒数的定义得到，，再根据数在数轴上对应的点到原点的距离等于1，得出，代入式子进行计算即可． 【详解】（1）解：由图可知： 原式 （2）解：，且 互为相反数，即： 互为倒数 数在数轴上对应点到原点的距离为 当时，原式； 当时，原式 综上所述，的值为或． 15．（25-26七年级上·山东枣庄·期中）定义一种新运算：对任意有理数都有，例如：． (1)求的值； (2)先化简，再求值：，其中是最大的负整数，是绝对值最小的数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，整式的化简求值，有理数的混合运算，理解新定义掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义代入计算即可． （2）根据新定义代入，先去括号，然后合并同类项，最后代入数值计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：由题意得∶ 由题意得， 原式． 16．（25-26七年级下·湖南邵阳·阶段检测）已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）把原多项式去括号后合并同类项，再仿照题意求解即可； （2）根据整式的加减运算法则求出的结果，再根据的值与x无关得到的结果中含x的项的系数为0，据此列式求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵代数式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ， ∵的值与x无关， ∴， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $