第07讲 有理数的混合运算（暑假预习讲义）新七年级数学新教材湘教版

第07讲 有理数的混合运算 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 有理数的加减乘除混合运算 题型2 含乘方的有理数混合运算 题型3 含乘方的程序图运算题 题型4含乘方的新定义运算问题 题型5 含乘方的探究规律题 题型6“24 点”游戏 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 有理数混合运算、运算顺序、乘方、乘除、加减、括号、运算律、非负数综合求值 1.熟记混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内。 2.能完整完成含乘方、乘除、加减、多层括号的综合计算题。 3.灵活运用五大运算律简化混合运算，减少计算失误。 学习重点：1.有理数混合运算的运算顺序；2.规范分步计算，合理使用运算律简算。 学习难点：1.含负底数乘方、多重括号的复杂混合计算；2.混合运算中符号、分数小数转换容易出错；3.绝对值与乘方结合的非负数综合应用题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 有理数的混合运算 ◆有理数的混合运算： （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，就先进行括号里面的运算（就先小括号，再中括号，最后大括号）． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． （3）有理数运算分三级，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算.运算顺序是先算高级,再算低级;同级运算按从左到右的顺序进行;对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的. 即时即练1．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 根据有理数的混合运算顺序和运算法则逐个进行计算，即可解答． 【详解】解：A、，故A计算正确，不符合题意； B、，故B正确，不符合题意； C、，故C计算正确，不符合题意； D、，故D计算错误，符合题意； 故选：D． 2．（2025七年级上·重庆·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)5． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）先算括号内的运算，再算乘除，最后算加法； （2）先算乘方，然后化简绝对值和利用乘法分配律计算，然后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型1 有理数的加减乘除混合运算 【例1】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，熟练掌握运算法则和乘法分配律，是解题的关键． （1）根据乘法分配律，进行计算即可； （2）根据有理数四则混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【技巧归纳】 有理数的加减乘除混合运算 （1）有理数的加减乘除混合运算顺序：先算乘除，再算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南永州·期中）计算： (1)； (2)； 【答案】(1)8 (2)1 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，准确的计算是解决本题的关键． （1）先去括号和绝对值，再按照有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）按照有理数的四则混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南永州·期中）小杨同学做一道计算题的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ 根据小杨同学的计算过程，回答下列问题： (1)他的计算过程是否正确？ （填写“正确”或“错误”）； ①的计算依据是 . (2)如有错误，他在第 步出错了（只填写序号），并请写出正确的解答过程． 【答案】(1)错误；错误地应用了分配律（或除法没有分配律） (2)① 【分析】本题考查有理数的混合运算，关键在于识别计算过程中的错误步骤并纠正． （1）小杨在第①步错误地应用了分配律，导致计算错误； （2）正确的做法是先计算括号内的减法，再按运算顺序计算． 【详解】（1）解：由小杨的解答过程可知，他的计算过程是错误的，①的计算依据是错误地应用了分配律 故答案为：错误；错误地应用了分配律（或除法没有分配律）； （2）解：由小杨的解答过程可知，他在第①步出错了， 正确解答过程： 原式 ． 故答案为：①． 【变式1-3】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算，应按从左到右的顺序进行计算：如果有括号，要先做括号内的运算． （1）运用加法结合律，将同分母的先相加，再进行计算； （2）运用乘除法混合运算进行解答即可； （3）运用乘法分配律进行计算即可； （4）先计算绝对值，再加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ． 【变式1-4】（24-25七年级上·湖南永州·开学考试）计算下面各题，能简算的要简算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了运算定律与简便运算，四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算． （1）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后算中括号外面的除法； （2）将原式变形为，再根据乘法分配律逆运算法则进行计算； （3）将原式变形为，再根据乘法分配律逆运算法则进行计算，最后计算减法即可； （4）将原式变形为，再根据乘法分配律逆运算法则进行计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型2 含乘方的有理数混合运算 【例2】（25-26七年级上·全国·期中）小李同学做了以下几道计算题，其中做对的题的数量为（    ） ①； ②； ③； ④． A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 按照有理数混合运算的计算方法，逐一计算，进一步比较得出答案即可． 【详解】解：①，原题计算错误； ②，原题计算错误； ③，原题计算正确； ④，原题计算错误， 综上所述，正确的是③，有1道， 故选：A． 【技巧归纳】 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【变式2-1】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握相关运算法则为解题关键． （1）先算乘方，再算乘法，最后算加减即可； （2）先算乘方，再算乘法，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式2-2】（25-26七年级上·湖南怀化·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算乘方，再计算括号内的，然后计算乘法，最后计算减法即可； （2）原式先计算乘方，再计算括号内的，然后计算乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-3】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先将除法转化为乘法，再计算乘法，最后计算减法即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-4】计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)30 (3) (4) 【分析】（1）按照从左到右的顺序进行计算； （2）先确定积的正负，再按照乘除法的运算法则进行计算； （3）逆用乘法分配律进行计算； （4）根据有理数混合运算的运算法则进行计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型3 含乘方的程序图运算题 【例3】（25-26七年级上·湖南娄底·期末）如图，是一个数值运算程序框图，若开始输入，则最后输出的结果是（  ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，关键是根据输入值的类型(整数或分数)选择对应的运算，再判断运算结果是否为奇数，若不是则循环执行，直到结果为奇数时输出． 【详解】解：输入，是整数，执行运算， 是分数，不满足“结果为奇数”的条件，继续执行运算； 是分数，执行运算， 是整数，不满足“结果为奇数”的条件，继续执行运算； ∵是整数，执行运算， 是整数，不满足“结果为奇数”的条件，继续执行运算； 是整数，执行运算， 是奇数，满足“结果为奇数”的条件，输出结果； 故选：A． 【技巧归纳】 利用有理数的加减乘除乘方混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出算式解答即可． 【变式3-1】（24-25七年级上·甘肃武威·期中）按如图所示的运算程序，若输入，，则输出结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了求代数式的值与流程图，有理数乘方运算，由题意可得，代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ∴由题意得， 故选：． 【变式3-2】据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】将代入程序流程图的运算步骤，先计算平方、乘3 、减去5，判断结果是否大于0，若不大于0，则再次代入计算，直到结果大于0，输出结果． 【详解】解：当时，， ， 所以输出的值为7． 【变式3-3】图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据题意计算即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算乘除，最后计算减法． 【详解】（1）解：；；综合算式： （2）解： ． 【变式3-4】如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小亮输入1，3这两个数时，则两次输出的结果依次为______，______； (2)当小亮输入数时，求出输出的结果； (3)若小亮操作时输出结果是2，请你判断：小亮输入的正整数有可能是（   ）． A．　B．　C．　D． 【答案】(1)1， (2)0 (3)A 【分析】本题考查程序流程图（数值转换机）的理解与应用，有理数的运算，代数式求值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据流程图，分别将输入值1和3按照流程计算即可； （2）将输入值按照流程图逐步计算； （2）设输入正整数为，减5至不大于2后的数记为，则之后取相反数并判断：由题意，若，则输出为，若，则输出为，根据输出为2，分类讨论并结合选项判断即可． 【详解】（1）解：当输入为1时， ，取相反数得， 非正，取绝对值得1， 故输出为1； 当输入为3时，， 执行， ，取相反数得2， 2为正，取倒数得， 故输出为． 故答案为：1， ； （2）解：当输入为时，， ， ， ， 取相反数得0， 0非正，取绝对值得0， 故输出为0； （3）解：设输入正整数为，减5至不大于2后的数记为，则之后取相反数并判断： 若，由题意则输出为， 若，由题意则输出为． 由题意输出为2： 若，则，即经过数次减5后等于2，故（为非负整数）． 若，则，解得，不是整数，舍去． ∴输入满足， 选项中的数除以5的余数分别为： ， ， ， ， 只有满足条件． 故选：A． 题型4含乘方的新定义运算问题 【例4】（25-26七年级上·河南安阳·期中）把八卦符号看作表示二进制数时，阴爻“”对应数字0，阳爻“”对应数字1，例如：“表示的二进制数为，转换为十进制数是．将“”依次转换为十进制数，得到一个三位数，则这个三位数是（    ） A．134 B．471 C．745 D．713 【答案】C 【分析】本题主要考查了乘方的应用，根据题意先转化成二进制数，然后再转化成十进制数即可得出答案． 【详解】 解：分别表示二进制数，，，转化成十进制数是， 转化成十进制数是， 转化成十进制数是， 故这个数是745， 故选C 【技巧归纳】 新定义运算问题主要是运用题目中所给的新定义的运算方式进行计算即可，注意计算时的运算顺序，也是对有理数的混合运算的考查. 【变式4-1】（25-26七年级上·湖南岳阳·阶段检测）定义一种新运算：，如，则=（   ） A． B．5 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的运算，根据新运算的定义，将和的值代入公式计算即可． 【详解】原式 故选：C 【变式4-2】（24-25七年级下·湖南长沙·开学考试）已知为有理数，表示不大于的最大整数，如 ， ， 等，则计算的结果为（　　） A．5 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的混合运算及新定义．根据题意，可以先对所求式子化简，然后即可求得所求式子的值． 【详解】解： ， 故选：D． 【变式4-3】定义“*”运算：，如：，则的运算结果是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，根据题意可得，据此计算求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【变式4-4】定义一种新运算“☆”：对于任意两个有理数a和b，满足．例如： (1)求的值； (2)求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查新运算“☆”的定义，涉及有理数的混合运算、绝对值和平方的非负性，准确计算是解题的关键． （1）直接代入计算； （2）小题先计算内层运算，再计算外层运算； （3）小题先根据非负性求出x和y的值，再代入运算； 【详解】（1） ， ； （2）先计算 = ； 再计算， ； （3），且，， ，， ，， 计算． 再计算 ． 题型5 含乘方的探究规律题 【例5】观察下列等式： … (1)根据你发现的规律，写出第5个等式． (2)请用含有正整数n的等式表示上述规律． (3)利用你发现的规律计算： 【答案】(1) (2) (3)3025 【分析】本题主要考查了数字类规律的探索，有理数的乘方运算，解题的关键是找出规律． （1）根据示例，写出第5个等式即可； （2）根据示例，列出规律表达式即可； （3）根据规律进行求解即可． 【详解】（1）解：第5个等式为； （2）解：根据题意得，； （3）解： ． 【技巧归纳】 乘方运算中的数或数列呈现一定的规律性，可以从符号和绝对值两个方面考虑数的变化规律，由特殊到一般，由得到的规律来解决问题． 【变式5-1】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：… (1)按上述规律填空，第5个等式：______=______． (2)用含的代数式表示第个等式：______=______（为正整数）． (3)求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）观察发现，第一个等号后面的式子规律是分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为序号的2倍减1和序号的2倍加1．进而可写出第二个等号后面的式子． （2）把（1）中发现的规律用含的代数式表示出来即可； （3）运用变化规律计算即可． 本题考查了用代数式表示规律，并运用规律进行简便计算．找到规律是解题的关键． 【详解】（1）解：按上述规律填空，第5个等式为：， 故答案为：，． （2）解：用含的代数式表示第个等式为：， 故答案为：，． （3）解： ． 【变式5-2】（25-26七年级上·湖南郴州·阶段检测）观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出：______． (2)直接写出下列各式的计算结果： ①______； ②______； (3)探究并计算：． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题考查了数字类规律探究、有理数的混合运算． （1）根据题中给出的例子即可得出结论； （2）①②根据（1）中的猜想进行计算即可； （3）由（1）中的例子找出规律进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； 故答案为：； （2）解：①∵由（1）知，． ∴ ； 故答案为：； ② ； 故答案为：； （3）解： ． 【变式5-3】为了计算的值，我们采用如下的方法： 设， 则． 由，得． 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)求的值； (2)已知一组按规律排列的数：，…． ①它的第个数是_______； ②求这列数中前个数的和． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据题干所提供的思路，设，再把这个等式两边同时乘以得到，把这两个等式两边分别相减得到得，然后再把两边同时除以可得结果； （2）根据规律可得第个数是；仿照（1）中的解题思路设，把等式两边同式乘以得到则，把两个等式两边同时相加可得，然后再把两边同时除以即可得到结果． 【详解】（1）解：设， 则． 由，得， ， 即； （2）解：第个数是， 第个数是， 第个数是， 第个数是， 第个数是， ， 根据规律可得第个数是； 设， 则． 由，得， ， 即这列数中前个数的和是． 【变式5-4】观察下列三行数： ，4，，，， ， 0，6，，，， ， 1，，4，，， (1)第一行的第7个数是______，第二行的第7个数是______． (2)第二、三行数与第一行数分别有什么关系？ (3)取每行的第8个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)， (2)第二行数是第一行相应位置的数加2，第三行数是第一行数相应位置的数乘 (3) 【分析】本题考查了数字规律探究．找出数字规律是解题的关键． （1）观察符号（奇负偶正）和绝对值（后2项是前项2倍），归纳出第项为，代入即可；通过同一位置数字对比，得出第二行是第一行对应项，即可求解； （2）通过对比第二行与第一行，可知第二行是第一行对应项；通过对比第三行与第一行，可知第三行是第一行对应项乘； （3）根据归纳出的规律求出每一行的第8项数然后相加即可． 【详解】（1）解：观察第一行数可以发现： 符号规律：奇数项为负，偶数项为正，可用来表示符号，表示项数； 绝对值规律：后一个数的绝对值是前一个数绝对值的2倍，第二个数的绝对值是，第三个数的绝对值是，以此类推，第个数的绝对值为． 那么第一行第个数的规律为： ， 当时，， 所以第一行的第7个数是； 观察第二行数与第一行数，可以发现： 第二行数是第一行相应数加2得到的，即第二行第个数为：， 当时，， 所以第二行的第7个数是． 故答案为：：，． （2）解：由（1）可知第二行数是第一行相应数加2得到的； 观察第三行数与第一行数，可以发现： ，，，，， 所以第三行的数是第一行数相应位置的数乘，即第三行第个数为：． （3）解：第一项第8个数：当时，， 第二项第8个数：当时，， 第三项第8个数：当时，， 所以这三个数的和为：． 题型6“24 点”游戏 【例6】有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方运算（可用括号）列一个算式，先得计算结果为“24”者获胜（J，Q，K分别表示11，12，13，A表示1）．小聪抽到的四张牌如图所示，你能算出“24点”吗？请列出算式__________．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键；因此此题可根据“24点”进行求解． 【详解】解：由题意得：，； 故答案为（答案不唯一）． 【技巧归纳】 技巧1:将给定的四张牌面上的数字凑成两数之积: 3×8=24，4×6=24，2×12=24； 技巧2:将给定的四张牌面上的数字凑成两数之和: 21+3=24，20 +4=24，18+6=24，16+8=24，15+9=24，14+10=24； 技巧3:将给定的四张牌面上的数字凑成两数之差: 25-1=24，30−6=24，27−3=24，35−11=24，28−4=24，36−12=24. 【变式6-1】（25-26七年级上·云南保山·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，通过计算每个算式的值，判断是否等于24即可得到答案． 【详解】解：A、，原式不正确，符合题意； B、，原式正确，不符合题意； C、，原式正确，不符合题意； D、，原式正确，不符合题意； 故选：A． 【变式6-2】（23-24七年级上·广东佛山·开学考试）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 【变式6-3】你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：依题意可得（答案不唯一）． 【变式6-4】小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘法的法则和乘积最大，计算即可求解； （2）根据有理数除法的法则和商最小，计算即可求解； （3）根据有理数的混合运算法则，计算即可求解． 【详解】（1）解：这2张卡片上数字乘积最大， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，乘积最大， 即， 故答案为：； （2）这2张卡片上数字相除的商最小， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，商最小， 即， 故答案为：； （3）结果为24， 取出的4张卡片上的数字分别为，，，，不可能为0， 则． 故答案为：． 1．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，有理数的乘除混合运算，据此相关性质内容进行逐项分析计算，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 2．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用有理数的乘方运算性质化简即可求解． 【详解】解：根据新运算规则， 可得 ． 3．（25-26七年级上·湖南邵阳·阶段检测）如图，是一个简单的数值计算程序，当输入的x的值为5，则输出的结果为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，含乘方的有理数混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先输入：，根据流程，对结果判断是否大于0，大于0则输出，否则将结果作为输入值，再进入流程计算． 【详解】解：第一次代入：， 计算：， 再除以：， 判断：， 所以，将作为新的x，重新代入运算， 第二次代入：， 计算：， 再除以：， 判断：，输出结果为， 故选：C． 4．（24-25七年级上·河南安阳·期末）我们平常用的数是十进制的数，如，表示十制的数要用十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如：二进制中，等于十进制的数15；等于十进制中的数21．请问二进制中的等于十进制中的数（　　） A．50 B．51 C．52 D．53 【答案】D 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，理解二进制与十进制之间的转换关系是解题关键．根据二进制与十进制之间的转换法则列出运算式子，计算含乘方的有理数混合运算即可得． 【详解】解：二进制中的等于十进制中的数为 ， 故选：D． 5．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　） A．19 B．31 C．62 D．98 【答案】C 【分析】根据题意，依次求出每次“F运算”的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为， 所以第1次“F运算”的结果是， 第2次“F运算”的结果， 第3次“F运算”的结果， 第4次“F运算”的结果， 第5次“F运算”的结果， 第6次“F运算”的结果， 第7次“F运算”的结果， …， 由此可见，从第1次“F运算”的结果开始按152，19，62，31，98，49循环． 因为， 所以第2025次“F运算”的结果62． 6．（24-25七年级上·湖南长沙·开学考试）社会主义核心价值观是：富强、民主、文明、和谐；自由、平等、公正、法治；爱国、敬业、诚信、友善，一共24个字，现有这四个数，仅用加减乘除运算符号和括号，列出一条算式，算得结果是24．这条算式是 ___________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了算“24”点，熟练掌握加减乘除混合运算法则是解题的关键，直接列式计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（2025·山东泰安·一模）用“”定义一种新运算：，如．则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查对新定义运算的理解和应用，以及运算顺序的掌握．按照题目定义的运算规则，先计算括号内的部分，再代入外层进行运算即可． 【详解】解∶依题意得 ，， ， 故答案为∶ ． 8．（24-25七年级上·广东深圳·阶段检测）定义一种新运算，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，再定义另一种新运算“☆”，对于任意有理数a，b和c，， 比如，请计算__________ 【答案】14 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，绝对值的求解，根据题目中给出的定义代入数字进行计算即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：14． 9．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先算乘法，除以转化为乘4，算出结果； （2）式子含乘数0，任何数乘0都得0，结果直接为0； （3）除法转乘法，提取公因数，括号内化简后相乘； （4）带分数化为假分数，约分后相乘得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)18 (2) (3) (4)7 【分析】本题主要考查了有理数的运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，准确计算． （1）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可； （3）根据含乘方的有理数的混合运算法则进行计算即可； （4）利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4）解： ． 11．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据流程图规则列式计算即可； （2）根据流程图规则列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， ∴原式． 12．在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品． 下面我们用四个卡片代表四名同学： A：乘2 B：减 C：平方 D：加6 (1)列式，并计算： ①经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？ (2)探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是13，a是多少？ 【答案】(1)①7；②206 (2)或 【分析】（1）①根据题目所给的运算顺序，列出算式进行计算即可； ②根据题目所给的运算顺序，列出算式进行计算即可； （2）根据题目所给的运算顺序，列出方程，根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：由题意知，， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 13．（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式                ．                           解法二：原式的倒数为 ． 所以，原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_____错误． (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算及倒数的性质． （1）根据除法没有分配律来判断解法的正误； （2）先求出原式的倒数，再根据倒数的性质求出原式的结果． 【详解】（1）解：解法一：根据除法的运算法则，除法没有分配律，即， 在解法一中，将错误地运用了分配律，得到，所以解法一错误； 解法二：先求出原式的倒数，再根据倒数的性质求出原式的结果，计算过程正确． 故答案为：一． （2）解：原式的倒数为 ． 所以，原式． 14．（25-26七年级上·湖南永州·期中）观察下列等式： ，，，将以上三个等式相加得： ，计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了裂项相消法． （1）仿照题干计算即可； （2）仿照题干计算即可； （3）仿照题干计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 15．（25-26七年级上·湖南长沙·期中） 定义新运算： (右边的运算为平常的加、减、乘、除)． 例如： 若， 则称有理数a， b为“隔一数对”． 例如： 所以2，3就是一对“隔一数对” (1)下列各组数是“隔一数对”的是 ；(请填序号) ①，； ②， ； (2)计算： ； (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查了新定义运算的理解与应用和分式的运算．理解新定义运算的运算法则是解题的关键． （1）根据“隔一对数”的定义分别计算每组数的，对比是否相等即可判断； （2）按“隔一对数”的定义进行计算即可； （3）利用“隔一对数”的性质转化为的形式进行简便计算即可． 【详解】（1）解：①，， ， ①为“隔一数对”； ②，， ， ②不为“隔一数对”； 故答案为①． （2）解： ． （3）解： ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 有理数的混合运算 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 有理数的加减乘除混合运算 题型2 含乘方的有理数混合运算 题型3 含乘方的程序图运算题 题型4含乘方的新定义运算问题 题型5 含乘方的探究规律题 题型6“24 点”游戏 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 有理数混合运算、运算顺序、乘方、乘除、加减、括号、运算律、非负数综合求值 1.熟记混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内。 2.能完整完成含乘方、乘除、加减、多层括号的综合计算题。 3.灵活运用五大运算律简化混合运算，减少计算失误。 学习重点：1.有理数混合运算的运算顺序；2.规范分步计算，合理使用运算律简算。 学习难点：1.含负底数乘方、多重括号的复杂混合计算；2.混合运算中符号、分数小数转换容易出错；3.绝对值与乘方结合的非负数综合应用题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 有理数的混合运算 ◆有理数的混合运算： （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，就先进行括号里面的运算（就先小括号，再中括号，最后大括号）． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． （3）有理数运算分三级，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算.运算顺序是先算高级,再算低级;同级运算按从左到右的顺序进行;对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的. 即时即练1．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·重庆·专题练习）计算： (1)； (2)． 题型1 有理数的加减乘除混合运算 【例1】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【技巧归纳】 有理数的加减乘除混合运算 （1）有理数的加减乘除混合运算顺序：先算乘除，再算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南永州·期中）计算： (1)； (2)； 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南永州·期中）小杨同学做一道计算题的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ 根据小杨同学的计算过程，回答下列问题： (1)他的计算过程是否正确？ （填写“正确”或“错误”）； ①的计算依据是 . (2)如有错误，他在第 步出错了（只填写序号），并请写出正确的解答过程． 【变式1-3】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式1-4】（24-25七年级上·湖南永州·开学考试）计算下面各题，能简算的要简算 (1) (2) (3) (4) 题型2 含乘方的有理数混合运算 【例2】（25-26七年级上·全国·期中）小李同学做了以下几道计算题，其中做对的题的数量为（    ） ①； ②； ③； ④． A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 【技巧归纳】 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【变式2-1】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）计算： (1)； (2)． 【变式2-2】（25-26七年级上·湖南怀化·期末）计算： (1)； (2)． 【变式2-3】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）计算： (1) (2) 【变式2-4】计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型3 含乘方的程序图运算题 【例3】（25-26七年级上·湖南娄底·期末）如图，是一个数值运算程序框图，若开始输入，则最后输出的结果是（  ） A．1 B．2 C．3 D．5 【技巧归纳】 利用有理数的加减乘除乘方混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出算式解答即可． 【变式3-1】（24-25七年级上·甘肃武威·期中）按如图所示的运算程序，若输入，，则输出结果为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式3-3】图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 【变式3-4】如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小亮输入1，3这两个数时，则两次输出的结果依次为______，______； (2)当小亮输入数时，求出输出的结果； (3)若小亮操作时输出结果是2，请你判断：小亮输入的正整数有可能是（   ）． A．　B．　C．　D． 题型4含乘方的新定义运算问题 【例4】（25-26七年级上·河南安阳·期中）把八卦符号看作表示二进制数时，阴爻“”对应数字0，阳爻“”对应数字1，例如：“表示的二进制数为，转换为十进制数是．将“”依次转换为十进制数，得到一个三位数，则这个三位数是（    ） A．134 B．471 C．745 D．713 【技巧归纳】 新定义运算问题主要是运用题目中所给的新定义的运算方式进行计算即可，注意计算时的运算顺序，也是对有理数的混合运算的考查. 【变式4-1】（25-26七年级上·湖南岳阳·阶段检测）定义一种新运算：，如，则=（   ） A． B．5 C．1 D． 【变式4-2】（24-25七年级下·湖南长沙·开学考试）已知为有理数，表示不大于的最大整数，如 ， ， 等，则计算的结果为（　　） A．5 B．3 C． D． 【变式4-3】定义“*”运算：，如：，则的运算结果是___________． 【变式4-4】定义一种新运算“☆”：对于任意两个有理数a和b，满足．例如： (1)求的值； (2)求的值； (3)若，求的值． 题型5 含乘方的探究规律题 【例5】观察下列等式： … (1)根据你发现的规律，写出第5个等式． (2)请用含有正整数n的等式表示上述规律． (3)利用你发现的规律计算： 【技巧归纳】 乘方运算中的数或数列呈现一定的规律性，可以从符号和绝对值两个方面考虑数的变化规律，由特殊到一般，由得到的规律来解决问题． 【变式5-1】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：… (1)按上述规律填空，第5个等式：______=______． (2)用含的代数式表示第个等式：______=______（为正整数）． (3)求的值． 【变式5-2】（25-26七年级上·湖南郴州·阶段检测）观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出：______． (2)直接写出下列各式的计算结果： ①______； ②______； (3)探究并计算：． 【变式5-3】为了计算的值，我们采用如下的方法： 设， 则． 由，得． 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)求的值； (2)已知一组按规律排列的数：，…． ①它的第个数是_______； ②求这列数中前个数的和． 【变式5-4】观察下列三行数： ，4，，，， ， 0，6，，，， ， 1，，4，，， (1)第一行的第7个数是______，第二行的第7个数是______． (2)第二、三行数与第一行数分别有什么关系？ (3)取每行的第8个数，计算这三个数的和． 题型6“24 点”游戏 【例6】有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方运算（可用括号）列一个算式，先得计算结果为“24”者获胜（J，Q，K分别表示11，12，13，A表示1）．小聪抽到的四张牌如图所示，你能算出“24点”吗？请列出算式__________．（写出一种即可） 【技巧归纳】 技巧1:将给定的四张牌面上的数字凑成两数之积: 3×8=24，4×6=24，2×12=24； 技巧2:将给定的四张牌面上的数字凑成两数之和: 21+3=24，20 +4=24，18+6=24，16+8=24，15+9=24，14+10=24； 技巧3:将给定的四张牌面上的数字凑成两数之差: 25-1=24，30−6=24，27−3=24，35−11=24，28−4=24，36−12=24. 【变式6-1】（25-26七年级上·云南保山·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24七年级上·广东佛山·开学考试）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【变式6-3】你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 【变式6-4】小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 1．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·湖南邵阳·阶段检测）如图，是一个简单的数值计算程序，当输入的x的值为5，则输出的结果为 （    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·河南安阳·期末）我们平常用的数是十进制的数，如，表示十制的数要用十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如：二进制中，等于十进制的数15；等于十进制中的数21．请问二进制中的等于十进制中的数（　　） A．50 B．51 C．52 D．53 5．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　） A．19 B．31 C．62 D．98 6．（24-25七年级上·湖南长沙·开学考试）社会主义核心价值观是：富强、民主、文明、和谐；自由、平等、公正、法治；爱国、敬业、诚信、友善，一共24个字，现有这四个数，仅用加减乘除运算符号和括号，列出一条算式，算得结果是24．这条算式是 ___________________． 7．（2025·山东泰安·一模）用“”定义一种新运算：，如．则的值为________． 8．（24-25七年级上·广东深圳·阶段检测）定义一种新运算，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，再定义另一种新运算“☆”，对于任意有理数a，b和c，， 比如，请计算__________ 9．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 11．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 12．在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品． 下面我们用四个卡片代表四名同学： A：乘2 B：减 C：平方 D：加6 (1)列式，并计算： ①经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？ (2)探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是13，a是多少？ 13．（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式                ．                           解法二：原式的倒数为 ． 所以，原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_____错误． (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算：． 14．（25-26七年级上·湖南永州·期中）观察下列等式： ，，，将以上三个等式相加得： ，计算： (1)； (2)； (3)； 15．（25-26七年级上·湖南长沙·期中） 定义新运算： (右边的运算为平常的加、减、乘、除)． 例如： 若， 则称有理数a， b为“隔一数对”． 例如： 所以2，3就是一对“隔一数对” (1)下列各组数是“隔一数对”的是 ；(请填序号) ①，； ②， ； (2)计算： ； (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $