《第8章整式乘法》假期自主巩固提升训练题 2025-2026学年苏科版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦整式乘法核心运算与公式应用，通过基础巩固、几何建模、规律探究三阶训练，系统渗透整体思想、数形结合等解题方法，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|单选1、解答15|运算法则与符号规则|从单项式到多项式乘法，构建运算基础| |公式应用|单选2/3、填空8/9/12|完全平方/平方差公式及整体代入|公式推导→正向应用→逆向求值| |几何与实际应用|单选4/5/6、解答19/20|面积法与模型构建|几何直观→代数表达→实际问题解决| |规律探究|单选7、解答17/18|归纳推理与逆向思维|特殊到一般，培养创新意识与推理能力|

2025-2026学年苏科版七年级数学下册《第8章整式乘法》 假期自主巩固提升训练题（附答案） 一、单选题 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则代数式的值是 （   ） A． B． C． D． 3．已知，，，若，则的值为（    ） A．20 B．22 C．24 D．27 4．公园里有一块长为米，宽为的长方形草坪，经统一规划后，长减少了1米，宽增加1米，改造后得到一块新的长方形草坪，该草坪面积与原来的相比，面积（   ） A．不变 B．减少 C．增加 D．无法判断 5．如图，正方形与正方形的边长分别为a，b，若，则阴影部分的面积是（    ） A．20 B．25 C．30 D．40 6．如图，将6张长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，记右上角长方形的面积为，左下角长方形的面积为，当的长变化时，与的差始终不变，则a与b的数量关系为（    ） A． B． C． D． 7．如图，杨辉三角是我国古人奉献给人类的数学遗产之一，图中的三角形解释二项式的展开式的各项系数．根据“杨辉三角”提供的展开式的各项系数的规律，探究的展开式中第三项的系数为（　　） A．210 B．156 C．136 D．120 二、填空题 8．已知代数式的展开式中不含的二次项，则______． 9．小力计算一道整式乘法的题：，由于抄错了第一个多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为这道整式乘法的正确结果是___________． 10．设是实数，定义关于“”的一种运算： ，若，则___________． 11．计算的结果是______． 12．已知则的值是______． 13．如图，若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要类纸片的张数为______． 14．数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为的两个正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如，由图2可得．则由图3可以解释的等式是_____． 三、解答题 15．计算： (1) (2)（用乘法公式计算） (3) (4)； (5)． 16．先化简，再求值：，其中． 17．已知正整数4，12，20，28，…都是神秘数，且有下列式子：，，，，…．根据以上信息，请给出神秘数的定义，并判断76是否为神秘数． 18．观察下列各式： ； ； ；… (1)根据以上规律，则_____； (2)你能否由此归纳出一般性规律：____； (3)根据（2）求出：的结果． 19．如图，某公园有一块长为，宽为的长方形空地，规划部门计划在其内部修建一个雕像，雕像底座是边长为的正方形，左右两边修两条宽为的长方形道路，其余部分（阴影部分）种植花卉． (1)分别求雕像底座和长方形道路的面积；（用含，的式子表示） (2)若，，求种植花卉的面积． 20．我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于图1，我们用不同方式表示图形的面积，就可得到一个数学公式：． (1)探索发现：如图2，几个面积不等的小正方形与小长方形拼成了一个边长为的正方形，你能发现什么？请用等式表示出来：______； (2)解决问题：已知，求的值； (3)迁移应用：若满足，，求的值． 参考答案 1．解：对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D错误． 故选：B． 2．B 【分析】本题主要考查完全平方公式，代数式求值，掌握完全平方公式的运算法则是解题的关键，注意整体思想的运用．先将已知条件变形得到，再将代数式通过完全平方公式变形为，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：B． 3．D 【分析】由，，，可得, ，代入 即可求解．本题考查了完全平方公式的应用，熟记公式形式是解题关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 又 ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 4．C 【分析】本题考查整式的混合运算，结合已知条件列出正确的算式是解题的关键．根据题意列式为，将其计算后比较其结果与0的大小关系即可． 【详解】解： ， 则该草坪面积与原来的相比，面积增大， 故选：C． 5．C 【分析】本题考查分割法求阴影部分面积，利用完全平方公式变形求值，根据题意得，求出梯形的面积，和得出阴影部分的面积代数式，将代入计算即可． 【详解】解：由题意可知， ∴梯形的面积为， ，， ∴阴影部分的面积， ∵， ∴， 故选C． 6．C 【分析】本题主要考查整式的加减及整式的乘法，设，然后分别表示出和，，由与的差始终不变，得，从而可得结论． 【详解】解：设，则，， ∴ ∵与的差始终不变，即与的取值无关， ∴的系数必须为0， ∴， ∴， 故选：C． 7．D 【分析】本题考查整式的乘法中的找规律，正确掌握找规律的方法是解题的关键． 根据题意，得出展开式中第三项的系数的规律，再根据规律计算即可求解． 【详解】解：根据题意，可得展开式中第三项的系数为： 当时，的展开式中第三项的系数为， 当时，的展开式中第三项的系数为， 当时，的展开式中第三项的系数为， 当时，的展开式中第三项的系数为， 当时，的展开式中第三项的系数为． 故选：D． 8． 【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则展开化简，再使含x的二次项系数为0求解即可． 【详解】 ， ∵代数式的展开式中不含的二次项， ∴， 解得． 9． 【分析】本题考查整式的乘法运算，通过错误的计算结果逆向求出参数的值，再代入正确的整式乘法式子计算正确结果． 【详解】解： ∴， 解得． ∴ 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了平方差公式，代数式求值． 根据新定义简化得到，由给定条件求出的值，再计算即可． 【详解】解：由新定义可知，． ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 11． 【分析】利用换元法简化重复出现的多项式，避免复杂的分数通分运算，展开化简后即可得到结果. 【详解】解：设 ， ， 则原式 ， ∴原式. 12． 【分析】本题考查完全平方公式的应用，通过变形构造出所求的，利用完全平方公式展开化简即可求出结果． 【详解】解：已知 将原式变形为， 根据完全平方公式展开得：， 合并同类项得：， 整理得：， 解得． 13．7 【分析】运用多项式乘多项式求得所拼长方形的面积进行求解． 【详解】解： ， 类纸片面积为， 需要类纸片的张数为． 14． 【分析】本题考查了多项式乘法的几何意义、数形结合思想以及面积法的应用．解题的关键是通过 “整体面积法” 和 “分割求和法” 计算同一图形的面积，从而建立等式关系．先计算图 3 大长方形的整体面积，再将其分割为小正方形和小长方形并求面积和，最后根据面积相等得到对应的多项式乘法等式． 【详解】解：方法一：图 3 是一个大长方形，其长为，宽为， 因此整体面积为： 方法二：将图 3 分割为各小图形，面积分别为： 边长为 的正方形：2 个，面积和为 边长为 的正方形：1 个，面积和为 长为 、宽为 的长方形：3个，面积和为 总面积为： 两种方法计算的面积相等，因此图 3 可以解释的等式为 故答案为：． 15．（1）解：原式 （2）解： ． （3）解： ． （4）解：原式 ； （5）解：原式 ． 16．解：原式 ； ， ， 原式 ． 17．神秘数是可以表示为两个连续偶数的平方差的正整数，76是神秘数 【分析】根据“神秘数”的定义，只需看能否把76写成两个连续偶数的平方差即可判断． 【详解】解：观察数字的变化可知：，，，， 神秘数的定义：可以表示为两个连续偶数的平方差的正整数，这种数可以表示为（其中为非负整数）， 设， 整理得：， 解得：， 由于是非负整数， 则76是神秘数，对应的连续偶数平方差为：． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照已知等式写出答案即可； （2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可； （3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 19．(1)雕像底座的面积为，长方形道路的面积为 (2)种植花卉的面积为 【分析】（1）利用完全平方公式以及整式的混合运算求解； （2）利用多项式乘多项式以及整式的加减进行化简，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：． ． 答：雕像底座的面积为，长方形道路的面积为； （2）解： ． 当，时，． 答：种植花卉的面积为． 20．（1）解：由图可得：； （2）解：，，而， ， ； （3）解：设， 则，， ， ， ， 解得． 学科网（北京）股份有限公司 $