第8章 整式乘法（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材苏科版七年级下册

第8章 整式乘法（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：900分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查积的乘方、同底数幂的除法、多项式乘以多项式、完全平方公式和平方差公式．根据相关混合运算法则逐项判断即得答案． 【详解】解：A、，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级下·江苏·期末）计算的结果是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘法公式，先由乘法公式去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：A． 3．（2025七年级下·江苏·学业考试）已知代数式，不论取任何值，它的值一定是（   ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用；直接利用完全平方公式分解因式进而利用偶次方的性质分析得出即可． 【详解】解： ， ∵, ∴， 即无论取任何值，的值都大于等于，一定是正数． 故选：A． 4．（2024七年级下·江苏·学业考试）两个连续奇数的平方差不一定是（   ） A．2的倍数 B．4的倍数 C．8的倍数 D．16的倍数 【答案】D 【分析】本题考查了代数推理运算，整式的运算等知识﹒设两个连续奇数为，则它们的平方差计算结果为，可以得到不一定是16的倍数﹒ 【详解】解：设两个连续奇数为， 则它们的平方差为， ， ， ∴两个连续奇数的平方差不一定是16的倍数﹒ 故选：D 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）如果的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　） A．2 B． C．12 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式中不含某一项的情况，理解题意，掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．根据多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项后，令x的系数为0，得出关于m的方程，解方程即可得解． 【详解】解：， 的乘积中不含x的一次项， ， 解得， 故选：． 6．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）若可以配成一个完全平方公式，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解答本题的关键． 根据完全平方公式得出，解之即可求解． 【详解】解：可以配成一个完全平方公式， ， ， ， 故选：B． 7．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）有两类正方形A、B，其边长分别为a、，现将B放在A的内部得图1，将A、B并列放置后构造新的正方形得图2，图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12．若将三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，则阴影部分的面积为（ ） A．29 B．25 C．18 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘法公式的应用，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．首先设两个正方形的边长为，，由图1求出，再根据图2求出，进而求出，然后表示出图3的阴影面积，再整理代入计算即可． 【详解】解：设正方形，的边长各为，， 得图1中阴影部分的面积为：， 解得：或（舍去）， 图2中阴影部分的面积为， 可得：， 解得：或（舍去）； 图3阴影部分的面积为：， ； 故选：A． 8．（24-25八年级上·江苏南通·期中）小红同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路．结合小红同学的思路探究，可得到结论：若，则下列关于的说法正确的是（   ） 小红的思路 设，， 则． ∵， ∴． ∴的最小值为． A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据题意，设，，则，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． ，进行计算，即可求解． 【详解】解：设，， 则， ∵， ∴， 即， ∴， ∴有最小值为， 故选：C． 9．（24-25七年级下·江苏南通·期中）已知， 则的值是（　　） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性等，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先将变形化为，即可得到，求出即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 10．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）李明同学在计算时，把5写成，发现可以连续运用平方差公式计算：，则计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的应用，理解题意，熟练运用平方差公式是解题的关键．在原式前乘上，再连续运用平方差公式即可得解． 【详解】解： 故选：D． 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分．） 11．（24-25七年级下·江苏常州·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，掌握算理是解决问题的关键．应用多项式乘法法则计算即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 12．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如果，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，整体代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．先将所求代数式利用完全平方公式化为只含和的式子，再代入求值即可． 【详解】解：， ， 将代入， 原式． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）要使的展开式中不含项，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握多项式乘多项式的运算是解题的关键．根据多项式乘多项式的运算，再结合展开式中不含项，即可解答． 【详解】解：， 要使的展开式中不含项， ． 解得 故答案为：． 14．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“美好数”．如：，，则8，16均为“美好数”，在不超过2025的正整数中，所有的“美好数”之和的末尾数字为 ． 【答案】8 【分析】本题考查平方差公式，理解“美好数”的意义是解决问题的前提，得出计算结果的规律性是解决问题的关键． 根据，确定在不超过2025的正整数中，“美好数”共有253个，再求和，根据计算结果可得出答案． 【详解】解：依题意设连续的两个奇数为，， ∴ 解得： 在不超过2025的正整数中，“美好数”共有253个，它们之和为 ， ∴所有的“美好数”之和的末尾数字为8． 故答案为：8 15．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）观察下列各式： ；； ； 根据规律计算：的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式中的规律探究问题，将变形为，利用规律进行求解即可． 【详解】解：由题意：， 根据题干规律，令， ； 故答案为：． 16．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若等式恒成立，无论t为何值，的值始终为定值，则这个定值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，根据多项式乘以多项式的计算法则把已给等式左边展开得到，则，据此可得，根据无论t为何值，的值始终为定值，得到，据此求出s的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵无论t为何值，的值始终为定值， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，，，那么代数式的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行化简求值，熟记并灵活运用完全平方公式是解题关键． 先根据已知等式求出的值，再利用完全平方公式对所求代数式进行变形，然后代入求解即可． 【详解】∵，，， 则 ． 故答案为：3． 18．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，可得，设，则，即得，，进而得到，再利用可求得，据此即可求解，掌握完全平方公式的运用是解题的关键． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共64分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）（24-25七年级下·江苏淮安·月考）计算 (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）利用单项式乘多项式法则计算即可； （2）利用单项式乘多项式，多项式乘多项式法则展开，然后去括号，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（6分）（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)3 (2)6 (3)8 【分析】本题主要考查代数式的求值，完全平方公式变形求值，解题的关键是掌握整体代入思想的运用与完全平方公式． （1）把原式去括号变形，将，的值代入计算即可； （2）利用完全平方公式把原式变形，将，的值代入计算可得； （3）利用完全平方公式把原式变形，将，的值代入计算可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴． 21．（6分）（2025·江苏常州·模拟预测）先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】， 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，绝对值的非负性．利用完全平方公式和平方差公式进行化简可得化简结果，根据绝对值的非负性和平方的非负性求解的值，然后代入求解即可． 【详解】解： ∵，即， ∴，， 解得，， 将，，代入原式． 22．（8分）（24-25七年级下·江苏南京·月考）把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，；所以，；所以，；得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： 【初步应用】 （1）若，，则___________； 【类题探究】 （2）若满足．求的值． 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，把完全平方公式适当的变形是解题的关键． （1）由可得，再代入，即可求出的值； （2）设，，则，进而得到，根据题意可得，求出的值，即可求出的值，即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：3； （2）设，，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的值为． 23．（8分）（25-26八年级上·江苏南通·期中）完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，所以，即：， 又因为，所以． 根据上面的解题思路与方法，请你解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)填空：①若，则______； ②若，则______； (3)如图，是直角三角形，，分别以边，为直径向三角形外部作半圆，已知，两半圆的面积和，求的面积． 【答案】(1)7 (2)①29；②8 (3) 【分析】本题考查完全平方公式，将实际问题转化为数学问题是正确解答的关键． （1）根据完全平方公式的变形，即可求出的值； （2）①根据完全平方公式的变形，即可求出答案； ②根据完全平方公式的变形，即可求出答案； （3）设，将问题转化为，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ， 即， 又 ∵， ． （2）解：①∵，， ∴， 故答案为：29； ②∵，， ∴， ∴， 故答案为：8； （3）解：设，则， 由可得，，则， ∵， ∴， ， ， ． 24．（8分）（24-25八年级上·江苏南通·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例， 如图，这个三角形的构造法则是：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如： 第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数； 第四行的数1，3，3，1，对应展开式中的系数等． 利用上面的规律，完成以下问题： (1)的展开式为 ； (2)计算：； (3)若（a、b为常数）的展开式中不含和的项，求a、b的值； (4)若今天是星期一，经过天后是星期 ． 【答案】(1) (2)256 (3) (4)二 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式以及对“杨辉三角”的理解，找到规律是解决问题的关键． （1）根据杨辉三角规律即可作答； （2）根据第1问倒推，写成的形式解题即可； （3）根据多项式乘以多项式法则将式子展开，令含有和的项系数为0建立方程组求解即可； （4）根据题意作答即可． 【详解】（1）解：根据规律写出第五行数字，即的展开式的各项系数. 故答案为:：； （2）由题意得： （3） （a、b为常数）的展开式中不含和的项 ，解得； （4）， 除以7余数为1， 若今天是星期一，经过天后是星期二． 故答案为：二． 25．（10分）（24-25七年级下·江苏苏州·月考）阅读下列材料： 我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． 可知当时，有最小值，最小值是． 再例如；求代数式的最大值． ，可知当时，有最大值，最大值是． (1)【直接应用】代数式的最小值为______； (2)【类比应用】若多项式，试求M的最小值； (3)【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 【答案】(1) (2)最小值为 (3)围成的菜地的最大面积是 【分析】本题主要考查了完全平方式，偶次方的非负性，熟练掌握完全平方式、偶次方的非负性是解题的关键． （1）把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用完全平方式把原式进行变形，再根据偶次方的非负性解答即可； （3）设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为米，利用矩形的面积公式可得，再利用完全平方式把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 对于任意实数x都有， ∴， 当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：． （2）解：由题意，∵ ， 当，时，M有最小值，最小值为； （3）解：由题意，设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为米， ， 当时，S有最大值，最大值是， 围成的菜地的最大面积是． 26．（12分）（24-25七年级下·江苏苏州·期中）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值， 最小值等．例分解因式：；又例如：求代数式的最小值：；又；当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：___________； (2)已知的三边长、、都是正整数，且满足求边长的最小值； (3)当、为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 【答案】(1) (2)5 (3)时，最大值为16． 【分析】（1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可； （2）根据配方法得出两个完全平方式，再根据两个非负数的和为0时，每一部分为0可得a，b的值，最后根据三角形三边的关系，可得c的取值范围和最小值； （3）根据题目中的例子，先将所求式子配方，再根据完全平方式的非负性即可得到当x、y为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值； 【详解】（1）解：原式 =； 故答案为： （2）， ， ， 解得：， 、、是 的三边长， ， 又是整数，； 边长的最小值是5； （3） ， ，； ， 当 时, 即 时，取得最大值为16． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 整式乘法（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：900分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏·期末）计算的结果是（   ） A． B． C．0 D． 3．（2025七年级下·江苏·学业考试）已知代数式，不论取任何值，它的值一定是（   ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数 4．（2024七年级下·江苏·学业考试）两个连续奇数的平方差不一定是（   ） A．2的倍数 B．4的倍数 C．8的倍数 D．16的倍数 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）如果的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　） A．2 B． C．12 D．1 6．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）若可以配成一个完全平方公式，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）有两类正方形A、B，其边长分别为a、，现将B放在A的内部得图1，将A、B并列放置后构造新的正方形得图2，图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12．若将三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，则阴影部分的面积为（ ） A．29 B．25 C．18 D．24 8．（24-25八年级上·江苏南通·期中）小红同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路．结合小红同学的思路探究，可得到结论：若，则下列关于的说法正确的是（   ） 小红的思路 设，， 则． ∵， ∴． ∴的最小值为． A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 9．（24-25七年级下·江苏南通·期中）已知， 则的值是（　　） A．4 B． C．8 D． 10．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）李明同学在计算时，把5写成，发现可以连续运用平方差公式计算：，则计算的结果是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分．） 11．（24-25七年级下·江苏常州·期末）计算： ． 12．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如果，则的值为 ． 13．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）要使的展开式中不含项，则a的值为 ． 14．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“美好数”．如：，，则8，16均为“美好数”，在不超过2025的正整数中，所有的“美好数”之和的末尾数字为 ． 15．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）观察下列各式： ；； ； 根据规律计算：的值是 ． 16．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若等式恒成立，无论t为何值，的值始终为定值，则这个定值为 ． 17．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，，，那么代数式的值是 ． 18．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则 ． 三、解答题（本题共8小题，共64分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）（24-25七年级下·江苏淮安·月考）计算 (1)． (2) 20．（6分）（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3) 21．（6分）（2025·江苏常州·模拟预测）先化简，再求值：，其中x，y满足． 22．（8分）（24-25七年级下·江苏南京·月考）把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，；所以，；所以，；得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： 【初步应用】 （1）若，，则___________； 【类题探究】 （2）若满足．求的值． 23．（8分）（25-26八年级上·江苏南通·期中）完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，所以，即：， 又因为，所以． 根据上面的解题思路与方法，请你解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)填空：①若，则______； ②若，则______； (3)如图，是直角三角形，，分别以边，为直径向三角形外部作半圆，已知，两半圆的面积和，求的面积． 24．（8分）（24-25八年级上·江苏南通·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例， 如图，这个三角形的构造法则是：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如： 第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数； 第四行的数1，3，3，1，对应展开式中的系数等． 利用上面的规律，完成以下问题： (1)的展开式为 ； (2)计算：； (3)若（a、b为常数）的展开式中不含和的项，求a、b的值； (4)若今天是星期一，经过天后是星期 ． 25．（10分）（24-25七年级下·江苏苏州·月考）阅读下列材料： 我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． 可知当时，有最小值，最小值是． 再例如；求代数式的最大值． ，可知当时，有最大值，最大值是． (1)【直接应用】代数式的最小值为______； (2)【类比应用】若多项式，试求M的最小值； (3)【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 26．（12分）（24-25七年级下·江苏苏州·期中）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值， 最小值等．例分解因式：；又例如：求代数式的最小值：；又；当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：___________； (2)已知的三边长、、都是正整数，且满足求边长的最小值； (3)当、为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $