第9讲 椭圆 （8大题型）（讲义）-2026-2027学年新高二苏教版数学暑假进阶

第9讲 椭圆 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：椭圆的定义 3 知识点二：椭圆的方程、图形与性质 3 03 题型精讲举一反三 6 题型一：椭圆定义与标准方程 6 题型二：焦点三角形周长 7 题型三：距离和差最值 8 题型四：椭圆轨迹问题 8 题型五：椭圆几何性质 10 题型六：离心率取值与范围 11 题型七：焦点三角形面积 12 题型八：椭圆综合应用 13 04 过关测试 15 知识点一：椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段； 当时，点的轨迹不存在． 知识点二：椭圆的方程、图形与性质 椭圆的方程、图形与性质所示． 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 切点弦所在的直线方程 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 题型一：椭圆定义与标准方程 例1．（2026·高二·广西·开学考试）设是椭圆上的动点，则点到的两个焦点的距离之和为（    ） A．80 B．10 C．20 D．40 例2．（2026·高二·江苏无锡·期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程为（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·高二·天津河北·阶段检测）已知为椭圆上一点，为椭圆的焦点，且，则椭圆的标准方程为（   ） A． B．或 C． D．或 变式1．（2026·高二·江西·阶段检测）已知焦点在轴上的椭圆与椭圆：的离心率相同，且的长轴长比其短轴长大4，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 变式2．椭圆上的任意一点到两个焦点的距离和是4，椭圆的焦距是2，则椭圆的标准方程是________． 变式3．（2026·高二·海南海口·期中）求适合下列条件的椭圆标准方程： （1）与椭圆有相同的焦点，且经过点； （2）经过两点. 变式4．（2026·高二·贵州安顺·期中）若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（　　） A．5 B．2 C．7 D．6 变式5．（2026·高三·甘肃·开学考试）椭圆 的焦点为 ，点 在椭圆上，若 ，则 （    ） A．3 B．4 C．6 D．8 变式6．设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 题型二：焦点三角形周长 例4．（2026·高二·陕西汉中·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．6 B．12 C．10 D．20 例5．（2026·高二·广东广州·期末）已知，为椭圆的两个焦点，点M在C上，则的周长为（    ） A．10 B．12 C．16 D．20 例6．（2026·高二·全国·期末）若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则周长的最大值为（ ） A．10 B． C．20 D． 变式7．（2026·高二·四川成都·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上一点（与点、不共线），则的周长为（ ） A．20 B．18 C．16 D．14 变式8．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）椭圆的两个焦点分别为，，过焦点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（   ） A．10 B．16 C．18 D．20 题型三：距离和差最值 例7．（2026·高二·重庆渝中·期中）已知动点在椭圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 例8．（2026·高二·湖北·期中）为椭圆上任意一点，，，则的最大值为(    ). A． B． C． D． 例9．（2026·高二·重庆·阶段检测）已知动点在椭圆上，，，则的最小值为（    ） A．5 B． C．2 D．1 变式9．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点为是椭圆上一动点，直线经过的定点为，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．6 变式10．（2026·高二·河南·期中）已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D． 变式11．（2026·高二·江苏连云港·期中）设椭圆C：的左焦点为F，下顶点为B，点P在C上，则的最大值为（    ） A．1 B．b C．3 D．3b 题型四：椭圆轨迹问题 例10．（2026·江苏南京·三模）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 例11．（2026·高二·广东广州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 例12．（2026·高二·陕西汉中·阶段检测）已知点，，直线PA和直线PB的斜率的乘积为，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 变式12．（2026·高二·重庆秀山·阶段检测）已知是椭圆上的动点，过作轴的垂线，垂足为，若动点满足，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 变式13．（2026·高二·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 变式14．（2026·高二·山西·期中）已知点M是圆C：上的动点，，线段的垂直平分线与线段交于点Q，当点M在圆C上运动时，点Q的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 变式15．（2026·高二·上海·期末）坐标平面上的点，将点绕原点逆时针旋转后得到点．这个过程称为旋转变换，已知旋转变换公式：，将曲线绕原点顺时针旋转后得到曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型五：椭圆几何性质 例13．（多选题）（2026·高二·宁夏银川·阶段检测）已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（   ） A．的周长为6 B．的最小值为1 C．若，则的面积为 D．椭圆的离心率为 例14．（多选题）（2026·高二·河北邯郸·阶段检测）关于椭圆，下列选项正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的一个顶点为 C．椭圆的焦距为 D．椭圆的离心率为 例15．（多选题）（2026·高二·山西太原·期中）已知椭圆，则下列说法正确的是（   ） A．是椭圆的一个顶点 B．是椭圆的一个焦点 C．椭圆的离心率 D．椭圆的短轴长为 变式16．（多选题）（2026·高二·河南郑州·期中）设椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，且上的动点到的距离的最大值是8，则（   ） A． B．的离心率为 C．弦的长可能等于 D．的周长为16 变式17．（多选题）（2026·高二·重庆·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，短轴长等于2，焦距为，过焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的方程为 B．椭圆的离心率为 C． D． 变式18．（多选题）（2026·高二·广东揭阳·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一点，则下列说法正确的是（     ） A．若的最大值为5，最小值为1，则椭圆的离心率为 B．若，，则的面积为2 C．若，，，则内切圆的半径为 D．若，，则椭圆的离心率为 题型六：离心率取值与范围 例16．（2026·高三·福建泉州·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，A是椭圆C的上顶点，直线与椭圆相交于另一点B，若，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 例17．（2026·高二·江苏南京·阶段检测）已知椭圆的左焦点为F，过F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D．若，则椭圆离心率的最大值为________． 例18．（2026·高二·广东茂名·阶段检测）已知椭圆：的右顶点和上顶点分别为A，B，原点O到直线的距离是C的焦距的，则C的离心率为_____． 变式19．（2026·高二·山东·期末）已知椭圆的一条弦过点，且弦的中点坐标为，则椭圆的离心率__________. 变式20．（2026·高二·江西鹰潭·期末）若椭圆上存在一点，使得到其左、右焦点的距离之比为4:1，则的离心率的取值范围为__________. 变式21．（2026·高二·河南洛阳·期末）已知是椭圆上第一象限内的一点，分别是椭圆的左、右焦点，，点在的平分线上，为原点，，且，则椭圆的离心率为___________. 变式22．（2026·高二·浙江湖州·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上的点满足，则椭圆的离心率为______． 变式23．（2026·高二·湖北孝感·期末）已知椭圆.若圆的方程为，椭圆上存在点，过作圆的两条切线，切点分别为，使得，则椭圆的离心率的取值范围为__________. 题型七：焦点三角形面积 例19．（2026·高二·江苏淮安·期末）已知椭圆的左右焦点分别为为椭圆上一点，若，则的面积为______． 例20．（2026·高二·贵州遵义·阶段检测）已知，为椭圆的两个焦点，若上一点满足，则面积为____． 例21．（2026·高二·浙江·阶段检测）动圆与圆外切同时与内切，则的面积最大值为________． 变式24．（2026·高二·陕西渭南·阶段检测）椭圆中，，为其左右焦点，是椭圆上的点，，的面积为9，则__________. 变式25．（2026·高二·北京昌平·期中）设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若，则的面积为___________. 变式26．（2026·高二·云南玉溪·阶段检测）设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上点满足，记的外接圆和内切圆半径分别是、，则的值为______． 变式27．（2026·高二·江苏·开学考试）已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为，，的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则面积为_______． 题型八：椭圆综合应用 例22．（2026·高二·北京·期中）设椭圆：的左、右焦点分别为、，焦距为2，E是椭圆C上一点，. (1)求椭圆C的方程和离心率； (2)是y轴上的两个动点（点M与点E位于x轴的两侧），，直线交x轴于点P，求的值. 例23．（2026·高二·河北衡水·期中）椭圆的离心率为，左､右焦点分别是，点在椭圆上，，当与轴垂直时，. (1)求的方程； (2)若四边形的面积为，求直线的方程. 例24．（2026·高二·上海·期中）已知椭圆，点为椭圆的上顶点，点，为椭圆的左右焦点，点为椭圆上的一个动点. (1)求的周长； (2)若，求点的坐标； (3)求动点到点距离的最大值和最小值. 变式28．（2026·高二·广西柳州·期中）已知椭圆的短半轴长，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线（不过右顶点）与椭圆交于两点，椭圆的右顶点为，且，求的值. 变式29．（2026·高二·湖北·期中）已知椭圆（）的离心率，且椭圆过点，左､右焦点分别为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作直线与椭圆交于两点，求面积的最大值. 1．（2026·高二·广东·期末）已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·高二·陕西西安·期末）若斜率为的直线l与椭圆交于点A，B，线段AB的中点为，则C的短轴长为（    ） A． B．2 C． D．4 3．（2026·高二·湖北·期末）已知椭圆的左、右焦点分别是，过点的直线与椭圆在第四象限交于点，与轴交于点，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·高二·四川泸州·期末）设分别是椭圆E：（）的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高二·重庆长寿·期末）设椭圆的中心为，右顶点为，若上存在一点满足，则的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．（2026·高二·江西上饶·阶段检测）已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·高二·贵州铜仁·期末）如图，将椭圆的长轴分成5等份，过每个分点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于四点，是椭圆的一个焦点．若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·高二·山东·期末）椭圆的中心为原点，右焦点为，右准线为.用平面截取圆锥得到椭圆时，可在圆锥内部作两个与截面和圆锥都相切的球，两球与截面的切点为椭圆的焦点，与圆锥的切点轨迹确定椭圆的长轴端点，此方法可证明椭圆上任意点到两焦点距离之和为定值.对椭圆，若点在直线上，且满足：以为极点对应的极线方程恰好过右焦点，则极点到原点的距离为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高二·福建厦门·阶段检测）在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中分别为椭圆的左，右焦点，则该椭圆的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·河南南阳·二模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（    ） A．离心率的取值范围为 B．当离心率为时，的最大值为3 C．存在点，使得 D．当离心率不小于时，的最小值为 11．（2026·高二·黑龙江齐齐哈尔·期末）设椭圆：的左、右焦点分别为，，上一点满足，直线和直线分别与交于另一点和.若，则的离心率为________. 12．（2026·湖北·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，直线交椭圆于，两点．若的重心坐标为，则直线的斜率为___________． 13．（2026·高二·上海·期中）已知点，过原点O的动直线交椭圆于点B、C，则面积的最大值为______． 14．（2026·高二·广东深圳·阶段检测）已知椭圆和直线，则该椭圆上的点到该直线的距离的取值范围为______． 15．（2026·高二·广西河池·阶段检测）已知椭圆：（）的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)斜率为1的直线与椭圆交于，两点，以为底边作等腰三角形，顶点，求的面积． 16．（2026·高二·河南平顶山·期中）已知椭圆：经过，两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的左焦点的直线交于，两点，其中点在第二象限内，点在第三象限内，若的面积等于的面积，求. 17．（2026·高二·上海浦东新·期中）设椭圆的离心率，过点. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于、两点，求的面积（为坐标原点）； (3)直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆过坐标原点，求值. 18．（2026·广西桂林·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，是面积为2的等腰直角三角形. (1)求的方程； (2)直线与交于M、N两点，为坐标原点.若上存在点，使得四边形为平行四边形，求的值. 19．（2026·高二·四川成都·期中）设点，直线相交于点，且它们的斜率之积为. (1)求点的轨迹方程； (2)若， ①当时，求的面积； ②求的取值范围. 20．（2026·重庆·模拟预测）以离心率为的椭圆的顶点为顶点的四边形面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线交C于两点，为坐标原点，求的面积． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 椭圆 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：椭圆的定义 3 知识点二：椭圆的方程、图形与性质 3 03 题型精讲举一反三 6 题型一：椭圆定义与标准方程 6 题型二：焦点三角形周长 9 题型三：距离和差最值 11 题型四：椭圆轨迹问题 14 题型五：椭圆几何性质 17 题型六：离心率取值与范围 21 题型七：焦点三角形面积 27 题型八：椭圆综合应用 31 04 过关测试 38 知识点一：椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段； 当时，点的轨迹不存在． 知识点二：椭圆的方程、图形与性质 椭圆的方程、图形与性质所示． 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 切点弦所在的直线方程 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 题型一：椭圆定义与标准方程 例1．（2026·高二·广西·开学考试）设是椭圆上的动点，则点到的两个焦点的距离之和为（    ） A．80 B．10 C．20 D．40 【答案】D 【解析】由椭圆方程可知：椭圆的长半轴长为， 所以点到的两个焦点的距离之和为． 故选：D. 例2．（2026·高二·江苏无锡·期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设所求椭圆方程为， 将点代入，可得，解得（舍去）， 故所求椭圆的标准方程为． 故选：D. 例3．（2026·高二·天津河北·阶段检测）已知为椭圆上一点，为椭圆的焦点，且，则椭圆的标准方程为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】由题意，椭圆的焦距，长轴长， 则， 当焦点在上时，椭圆的标准方程为， 当焦点在上时，椭圆的标准方程为. 综上，椭圆的标准方程为或. 故选：B. 变式1．（2026·高二·江西·阶段检测）已知焦点在轴上的椭圆与椭圆：的离心率相同，且的长轴长比其短轴长大4，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设焦点在轴上的椭圆：， 由已知得，即①， 又椭圆：的离心率为，所以②， ①②联立解得，， 所以椭圆的标准方程为. 故选：C. 变式2．椭圆上的任意一点到两个焦点的距离和是4，椭圆的焦距是2，则椭圆的标准方程是________． 【答案】 【解析】椭圆上的任意一点到两个焦点的距离和是4，焦距是2， 则有，，即，，所以， 所以椭圆的标准方程为． 变式3．（2026·高二·海南海口·期中）求适合下列条件的椭圆标准方程： （1）与椭圆有相同的焦点，且经过点； （2）经过两点. 【解析】（1）椭圆的焦点坐标为， ∵椭圆过点， ∴， ∴， ∴椭圆的标准方程为. （2）设所求的椭圆方程为． 把两点代入， 得：，解得， ∴椭圆方程为． 变式4．（2026·高二·贵州安顺·期中）若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（　　） A．5 B．2 C．7 D．6 【答案】C 【解析】椭圆的长轴长，由点到椭圆一个焦点的距离为3及椭圆定义， 得到另一个焦点的距离为. 故选：C 变式5．（2026·高三·甘肃·开学考试）椭圆 的焦点为 ，点 在椭圆上，若 ，则 （    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】由椭圆方程可得， 由椭圆的定义， . 故选：B. 变式6．设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 【答案】D 【解析】因为，所以， 当且仅当时等号成立， 当时，，而，此时点的轨迹是线段； 当时，， 此时点的轨迹是以、为焦点的椭圆. 综上所述，点的轨迹是以、为焦点的椭圆或线段. 故选：D 题型二：焦点三角形周长 例4．（2026·高二·陕西汉中·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．6 B．12 C．10 D．20 【答案】B 【解析】因为椭圆，则，， 所以的周长为， 故选：B. 例5．（2026·高二·广东广州·期末）已知，为椭圆的两个焦点，点M在C上，则的周长为（    ） A．10 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【解析】由椭圆，得， 则的周长为. 故选：C 例6．（2026·高二·全国·期末）若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则周长的最大值为（ ） A．10 B． C．20 D． 【答案】C 【解析】如图，设为椭圆C的左焦点， 则由椭圆的定义可得的周长为 ， 当共线时，， 当不共线时，， 所以周长的最大值为20. 故选：C. 变式7．（2026·高二·四川成都·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上一点（与点、不共线），则的周长为（ ） A．20 B．18 C．16 D．14 【答案】B 【解析】由题意可得，，则，， 故的周长为. 故选：B 变式8．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）椭圆的两个焦点分别为，，过焦点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（   ） A．10 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【解析】由可得椭圆焦点在轴上，且长半轴长为， 则的周长为 . 故选：D. 题型三：距离和差最值 例7．（2026·高二·重庆渝中·期中）已知动点在椭圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由题意，为一个焦点，另一焦点为，且； 因为，所以在椭圆外部，所以，即求的最小值； 由于，当三点共线时取等号； 所以的最大值为； 故选：D. 例8．（2026·高二·湖北·期中）为椭圆上任意一点，，，则的最大值为(    ). A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由椭圆，可得，，，所以可知为椭圆的下焦点， 设为椭圆上焦点，又因为为椭圆上任意一点，所以由椭圆定义可知：， 即，因为当，，三点共线且点在第二象限时有最大值， 即，又因为， 所以. 故选：D. 例9．（2026·高二·重庆·阶段检测）已知动点在椭圆上，，，则的最小值为（    ） A．5 B． C．2 D．1 【答案】D 【解析】 ，为一个焦点，设另一焦点为， 且， 因为，所以在椭圆外部， 所以， 即求的最小值， 由于，当三点共线时取到最小值， 此时，， 所以的最小值为1. 故选：D 变式9．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点为是椭圆上一动点，直线经过的定点为，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】B 【解析】由椭圆得， 因为点为椭圆上的点，则， 直线经过定点， 则， 当且仅当在线段上时取等号， 所以的最大值为2. 故选：B. 变式10．（2026·高二·河南·期中）已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【解析】由于椭圆的焦点为，所以且焦点在轴上，则， 且，，所以椭圆方程为， 所以，设左焦点为， 根据椭圆的定义得， 当是的延长线与椭圆的交点时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A 变式11．（2026·高二·江苏连云港·期中）设椭圆C：的左焦点为F，下顶点为B，点P在C上，则的最大值为（    ） A．1 B．b C．3 D．3b 【答案】C 【解析】设该椭圆的右焦点为， 因为点P在C上，所以， 所以， 当三点共线时，有最大值，即， 所以的最大值为， 故选：C 题型四：椭圆轨迹问题 例10．（2026·江苏南京·三模）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点，因为是的中点，且轴，则有，如图： 又在圆上，将代入其中可得 ，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A. 例11．（2026·高二·广东广州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】关系式表示点到两个定点和的距离之和，符合椭圆的定义. 则，，又，所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 例12．（2026·高二·陕西汉中·阶段检测）已知点，，直线PA和直线PB的斜率的乘积为，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设的坐标为，则， 整理得，故点的轨迹方程为． 故选：D． 变式12．（2026·高二·重庆秀山·阶段检测）已知是椭圆上的动点，过作轴的垂线，垂足为，若动点满足，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，则， ， 因为，所以， 可得，所以有. 故选：B. 变式13．（2026·高二·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设动圆圆心为，半径为， 圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，则点在圆内，由圆分别与圆外切，与圆内切， 得，整理得， 因此动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆， 长半轴长，半焦距，短半轴长， 所以所求轨迹方程为. 故选：B 变式14．（2026·高二·山西·期中）已知点M是圆C：上的动点，，线段的垂直平分线与线段交于点Q，当点M在圆C上运动时，点Q的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心，半径为， 由题意可知，又点是圆上的点，则， 且，则， 由椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，，， 则点的轨迹方程； 故选：B. 变式15．（2026·高二·上海·期末）坐标平面上的点，将点绕原点逆时针旋转后得到点．这个过程称为旋转变换，已知旋转变换公式：，将曲线绕原点顺时针旋转后得到曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设曲线上一点，其绕原点顺时针旋转后对应的曲线上的点为， 则，即， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，即. 所以曲线的方程为. 故选：B 题型五：椭圆几何性质 例13．（多选题）（2026·高二·宁夏银川·阶段检测）已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（   ） A．的周长为6 B．的最小值为1 C．若，则的面积为 D．椭圆的离心率为 【答案】ACD 【解析】对于选项A，依题意，，所以的周长为，故A选项正确； 对于选项B，若为椭圆上任意点，则，即， 当为椭圆长轴顶点时取等号，但P为椭圆C上异于长轴端点的动点，所以等号不成立，故B选项错误； 对于选项C，在中由余弦定理得 ， 所以，所以， 所以的面积为，故C选项正确； 对于D选项，椭圆的离心率为，故D选项正确. 故选：ACD 例14．（多选题）（2026·高二·河北邯郸·阶段检测）关于椭圆，下列选项正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的一个顶点为 C．椭圆的焦距为 D．椭圆的离心率为 【答案】BD 【解析】由椭圆的方程可得，所以， 所以椭圆的长轴长为，故A错误； 短轴端点为，则一个顶点为，故B正确； 因为，所以椭圆的焦距为，故C错误； 离心率为，故D正确. 故选：BD 例15．（多选题）（2026·高二·山西太原·期中）已知椭圆，则下列说法正确的是（   ） A．是椭圆的一个顶点 B．是椭圆的一个焦点 C．椭圆的离心率 D．椭圆的短轴长为 【答案】BCD 【解析】由，可知椭圆的焦点在轴上，且， 椭圆有四个顶点，分别为， 焦点有两个，分别为，椭圆的短轴长为，离心率为. 故A错误；B,C,D均正确. 故选：BCD. 变式16．（多选题）（2026·高二·河南郑州·期中）设椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，且上的动点到的距离的最大值是8，则（   ） A． B．的离心率为 C．弦的长可能等于 D．的周长为16 【答案】AB 【解析】依题意，椭圆：的半焦距，而，则， 对于A，，A正确； 对于B，的离心率，B正确； 对于C，椭圆的最长弦大小为，而，则弦的长不可能等于，C错误； 对于D，的周长，D错误. 故选：AB 变式17．（多选题）（2026·高二·重庆·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，短轴长等于2，焦距为，过焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的方程为 B．椭圆的离心率为 C． D． 【答案】ABC 【解析】对于椭圆，由已知可得，则， .对于A选项，因为椭圆的焦点在轴上，故椭圆的方程为，故A对； 对于B选项，椭圆的离心率为，故B正确； 对于C选项，设点为椭圆的左焦点，易知点， 将代入椭圆方程可得，故，故C正确； 对于D选项，，故，故D错误. 故选：ABC. 变式18．（多选题）（2026·高二·广东揭阳·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一点，则下列说法正确的是（     ） A．若的最大值为5，最小值为1，则椭圆的离心率为 B．若，，则的面积为2 C．若，，，则内切圆的半径为 D．若，，则椭圆的离心率为 【答案】ACD 【解析】对于A：由，所以，所以，故A正确； 对于B：由，所以，所以， 又，所以， 所以，即， 所以，故B错误； 对于C：由，由余弦定理得： ， 所以， 所以， 设内切圆的半径为， 又， 又，所以，故C正确； 对于D：由，，得， 由正弦定理得：， 所以， 所以， 所以，故D正确. 题型六：离心率取值与范围 例16．（2026·高三·福建泉州·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，A是椭圆C的上顶点，直线与椭圆相交于另一点B，若，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，设，则， 又由，则，可得，则， 又由，在中，由余弦定理， 有，则，故. 例17．（2026·高二·江苏南京·阶段检测）已知椭圆的左焦点为F，过F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D．若，则椭圆离心率的最大值为________． 【答案】 【解析】设椭圆的左焦点为，，，则直线， 联立方程，消去y得：， ，则， ，， 则， 设线段AB的中点，则，，即， 线段AB的中垂线所在直线方程为， 令，则，解得， 即，则， 由题意可得：，即， 整理得，则，即椭圆离心率的最大值为. 例18．（2026·高二·广东茂名·阶段检测）已知椭圆：的右顶点和上顶点分别为A，B，原点O到直线的距离是C的焦距的，则C的离心率为_____． 【答案】 【解析】由题意知：，则直线AB的方程为， 所以原点到直线AB的距离为， 又，则，即， 解得，则， 所以. 变式19．（2026·高二·山东·期末）已知椭圆的一条弦过点，且弦的中点坐标为，则椭圆的离心率__________. 【答案】/ 【解析】设，所以有 ， 因为弦的中点坐标为， 所以， 直线AB斜率为， ， 即 故答案为： 变式20．（2026·高二·江西鹰潭·期末）若椭圆上存在一点，使得到其左、右焦点的距离之比为4:1，则的离心率的取值范围为__________. 【答案】 【解析】设是椭圆的左右焦点， 又椭圆上存在一点，使得到其左、右焦点的距离之比为4:1，可知， 又，所以， 因此，解得，即， 又椭圆离心率的取值范围为，所以. 故答案为： 变式21．（2026·高二·河南洛阳·期末）已知是椭圆上第一象限内的一点，分别是椭圆的左、右焦点，，点在的平分线上，为原点，，且，则椭圆的离心率为___________. 【答案】 【解析】设，延长OQ交于点A，延长交于， 因为点在的平分线上，，所以， 所以，又因为，O为的中点， 所以为的中点，所以， 所以，又，所以为的中点， 所以是的垂直平分线，所以， 又因为，所以，所以，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以， 所以，即， 又，所以，所以，所以， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 变式22．（2026·高二·浙江湖州·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上的点满足，则椭圆的离心率为______． 【答案】 【解析】设，因为，所以， 又因为，所以，， 所以， 又因为， 且， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 又因为，所以， 所以. 故答案为：. 变式23．（2026·高二·湖北孝感·期末）已知椭圆.若圆的方程为，椭圆上存在点，过作圆的两条切线，切点分别为，使得，则椭圆的离心率的取值范围为__________. 【答案】 【解析】若，此时与椭圆有公共点，故存在点， 过作圆的两条切线，切点分别为， 使得，此时，即； 若，即时，如图， 连接，显然，则， 因为在上单调递增，要想最大，只需最大， 故当最小时，满足要求，故点与上顶点C或下顶点D重合时，最大， 故当时满足要求，所以， 即，所以，解得，所以， 综上，椭圆的离心率的取值范围是. 故答案为：. 题型七：焦点三角形面积 例19．（2026·高二·江苏淮安·期末）已知椭圆的左右焦点分别为为椭圆上一点，若，则的面积为______． 【答案】 【解析】椭圆的方程为，. ，，. 又，得. 在中，由余弦定理得：，. . 故答案为： 例20．（2026·高二·贵州遵义·阶段检测）已知，为椭圆的两个焦点，若上一点满足，则面积为____． 【答案】2025 【解析】因为，所以椭圆的焦点在轴上，设焦距为， 由定义可得，因为，由勾股定理可得, 即， 所以， 所以面积为. 故答案为：2025 例21．（2026·高二·浙江·阶段检测）动圆与圆外切同时与内切，则的面积最大值为________． 【答案】 【解析】设圆M的半径为r，圆，圆心为，半径为2， 圆，圆心为，半径为10， 因为动圆与圆外切，所以， 因为动圆与圆内切，所以， 所以， 所以点M的轨迹是以为焦点的椭圆，且， 所以，则，则方程为， 当为短轴端点时，的面积最大， 且最大值. 故答案为： 变式24．（2026·高二·陕西渭南·阶段检测）椭圆中，，为其左右焦点，是椭圆上的点，，的面积为9，则__________. 【答案】3 【解析】是椭圆上的点，，根据焦点三角形的面积公式可知， 又的面积为9，，，. 故答案为：. 变式25．（2026·高二·北京昌平·期中）设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若，则的面积为___________. 【答案】/ 【解析】由椭圆知， 由椭圆的定义知：， 在中，由余弦定理得：， 即， . 故答案为：. 变式26．（2026·高二·云南玉溪·阶段检测）设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上点满足，记的外接圆和内切圆半径分别是、，则的值为______． 【答案】3 【解析】 由椭圆的标准方程可得. 设，则, 在中，由余弦定理有， 故，故， 故， 而，故即， 由正弦定理可得，故. 故答案为：. 变式27．（2026·高二·江苏·开学考试）已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为，，的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则面积为_______． 【答案】 【解析】如图所示，延长，交的延长线于点， 因为为的平分线，⊥，由三线合一得为等腰三角形， 即，为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线， 故，设， 由椭圆定义知，， 由得，解得， 故，， 在中，由余弦定理得 ， 故， 故. 故答案为： 题型八：椭圆综合应用 例22．（2026·高二·北京·期中）设椭圆：的左、右焦点分别为、，焦距为2，E是椭圆C上一点，. (1)求椭圆C的方程和离心率； (2)是y轴上的两个动点（点M与点E位于x轴的两侧），，直线交x轴于点P，求的值. 【解析】（1）因为，所以，可得， 由题意得，则，得到， 故椭圆方程为. （2）如图，作出符合题意的图形， 因为是y轴上的两个动点，所以不妨设，， 因为点M与点E位于x轴的两侧，所以设， 所以，由（1）知，可得， 因为，所以，则，即， 因为，所以， 得到，故， 而，所以， 解得或， 因为，，所以， 因此，所以EM的直线方程为， 令，得，即， 故. 例23．（2026·高二·河北衡水·期中）椭圆的离心率为，左､右焦点分别是，点在椭圆上，，当与轴垂直时，. (1)求的方程； (2)若四边形的面积为，求直线的方程. 【解析】（1）当时，，解得. ，解得. 的方程为. （2）（方法一）如图，延长，与椭圆的另一个交点为. 由椭圆的对称性可知. 由（1）知. 易知直线的斜率不为0. 设直线的方程为. 联立，消去并整理，得， 则，. 设点到直线的距离为， 则四边形的面积 ， 整理得，解得， ∴直线的方程为或. （方法二）由（1）知，易知直线的斜率不为0. 设直线的方程为的方程为. 联立，消去并整理，得， 则，. 由题意知两点在轴同侧，不妨设，则， ，同理可得， ，， 又直线与的距离， ∴四边形的面积 整理得，解得， ∴直线的方程为或. 例24．（2026·高二·上海·期中）已知椭圆，点为椭圆的上顶点，点，为椭圆的左右焦点，点为椭圆上的一个动点. (1)求的周长； (2)若，求点的坐标； (3)求动点到点距离的最大值和最小值. 【解析】（1） 椭圆，得，，​， 上顶点，焦点， ， 根据椭圆的定义：，焦距， 周长； （2）设，由垂直性质得， ， ， 点积展开得： ， 又在椭圆上，满足， 代入上式得： ，得， 回代得​，即， 故的坐标为； （3）设， ，则， 距离平方为： ， 这是开口向下的二次函数，对称轴为， 最大值在对称轴处取得：即时，，得， 最小值在端点处取得：即时， ，得 故动点到点距离的最大值为​​​，最小值为. 变式28．（2026·高二·广西柳州·期中）已知椭圆的短半轴长，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线（不过右顶点）与椭圆交于两点，椭圆的右顶点为，且，求的值. 【解析】（1）由于，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为， ， 又，故. . 所以椭圆的方程为； （2）由消去得，， 设，则有，则， ① 因为，由，得. 将代入上式，得. 将①代入得，化简得 解得或， 若，则直线经过右顶点，此时不符合题意，所以. 变式29．（2026·高二·湖北·期中）已知椭圆（）的离心率，且椭圆过点，左､右焦点分别为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作直线与椭圆交于两点，求面积的最大值. 【解析】（1）由题意，. 所以椭圆的标准方程为：. （2）如图： 因为直线的斜率不为0，故可设. 将直线方程代入椭圆方程，可得， 整理得：. 由韦达定理得， . 令. 当，即时取等号. 1．（2026·高二·广东·期末）已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由可得：，则， 因，则，故. 故选：C. 2．（2026·高二·陕西西安·期末）若斜率为的直线l与椭圆交于点A，B，线段AB的中点为，则C的短轴长为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【解析】设，，则，， 两式相减得，即， 因为线段AB的中点为，所以，，又， 代入，解得，则有，所以椭圆C的短轴长为． 故选：C. 3．（2026·高二·湖北·期末）已知椭圆的左、右焦点分别是，过点的直线与椭圆在第四象限交于点，与轴交于点，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】椭圆焦点，其中，离心率， 设在轴上，故， 由得：解得，即， 由， 故，因在第四象限，，故，得， 在椭圆上，代入，化简得：， 代入，整理得：， 令，解二次方程得（舍去），故. 故选：D. 4．（2026·高二·四川泸州·期末）设分别是椭圆E：（）的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以， 在中，由勾股定理得：， 则，解得， 故，，， 在中，由勾股定理得：， 则，解得，故. 故选：B. 5．（2026·高二·重庆长寿·期末）设椭圆的中心为，右顶点为，若上存在一点满足，则的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，，，， 由，得， 化简得， 联立椭圆方程为， 化简得， 代入， 化简得， 解得（舍），另一根为， 又因为点在上，，即， 代入， 得，解得， 又因为椭圆离心率，故. 故选：B 6．（2026·高二·江西上饶·阶段检测）已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，分别过点作直线l的垂线，垂足分别为， 则，，切点为， ∵，，∴O是AB中点， ∴是梯形的中位线， ∴， 又∵圆C的方程为，半径， ∴，∴，即， ∴动点P的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 设该椭圆的方程为，则，， ∴，，， ∴动点P的轨迹方程为. 故选：D 7．（2026·高二·贵州铜仁·期末）如图，将椭圆的长轴分成5等份，过每个分点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于四点，是椭圆的一个焦点．若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，取椭圆的另一个焦点为.由椭圆的对称性可知，与关于轴对称， 所以，则； 同理可得. 则，即，. 所以椭圆的离心率为. 故选：C. 8．（2026·高二·山东·期末）椭圆的中心为原点，右焦点为，右准线为.用平面截取圆锥得到椭圆时，可在圆锥内部作两个与截面和圆锥都相切的球，两球与截面的切点为椭圆的焦点，与圆锥的切点轨迹确定椭圆的长轴端点，此方法可证明椭圆上任意点到两焦点距离之和为定值.对椭圆，若点在直线上，且满足：以为极点对应的极线方程恰好过右焦点，则极点到原点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知，对于椭圆， 可得， 所以，右准线：， 以为极点对应的极线方程为， 由题目中极线方程， 化简得，， 则， 假设，则， 此时极线方程为，又其恰好过右焦点， 点在右准线上，得， 可得，所以， 所以到原点的距离为. 故选：A 9．（多选题）（2026·高二·福建厦门·阶段检测）在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中分别为椭圆的左，右焦点，则该椭圆的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】根据椭圆的定义得， 又，解得​，. 椭圆上的点到右焦点的距离满足， 代入​，得​， 整理得，即离心率； 即椭圆的离心率的范围是， 对于A， ​，错误； 对于B， ，正确； 对于C， ，正确； 对于D， ，正确. 10．（多选题）（2026·河南南阳·二模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（    ） A．离心率的取值范围为 B．当离心率为时，的最大值为3 C．存在点，使得 D．当离心率不小于时，的最小值为 【答案】ABD 【解析】由椭圆的长轴长为4，得，由点在内部，得，又，则， 对于A，由，得，则离心率，A正确； 对于B，由，得椭圆的半焦距，由， 得，因此的最大值为，B正确； 对于C，由，得，而，则， 以原点为圆心，为半径的圆在椭圆内，因此不存在使得，C错误； 对于D，由椭圆的离心率不小于，得，则， 于是，， 因此 ，当且仅当时取等号，符合题意，D正确. 11．（2026·高二·黑龙江齐齐哈尔·期末）设椭圆：的左、右焦点分别为，，上一点满足，直线和直线分别与交于另一点和.若，则的离心率为________. 【答案】/ 【解析】设，，，，（c为椭圆的半焦距）， 则，，， 由于，，， 在中，由，可得， 整理得① 在中，由，则， 整理得② 由②①，整理得.又，联立解得， 在中，由，可得， 整理得， 故椭圆的离心率. 故答案为： 12．（2026·湖北·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，直线交椭圆于，两点．若的重心坐标为，则直线的斜率为___________． 【答案】/ 【解析】由题意可得，设、， 满足，作差得， 即， 整理得， 由的重心坐标为，则，， 即，， 则，即， 故直线的斜率为. 13．（2026·高二·上海·期中）已知点，过原点O的动直线交椭圆于点B、C，则面积的最大值为______． 【答案】 【解析】当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 则，，解得， 故，，， 点到直线的距离，其中不等于， 所以， 令，则， 整理得关于的方程， 为使方程有实数解，判别式， 解得，则，此时， 当直线的斜率不存在时，， 故面积的最大值为. 14．（2026·高二·广东深圳·阶段检测）已知椭圆和直线，则该椭圆上的点到该直线的距离的取值范围为______． 【答案】 【解析】设直线，则直线与原直线平行， 联立直线方程与椭圆方程，，可得， 令，解得， 当时，此时直线与椭圆相切，且离原直线距离最近， 所以椭圆上离原直线距离最近的点，即是这个切点， 此时最小距离为， 当时，此时直线与椭圆相切，且离原直线距离最远， 所以椭圆上离原直线距离最远的点，即是这个切点， 此时最大距离为 综上，椭圆上的点到原直线的距离范围为． 15．（2026·高二·广西河池·阶段检测）已知椭圆：（）的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)斜率为1的直线与椭圆交于，两点，以为底边作等腰三角形，顶点，求的面积． 【解析】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）设的方程为，， 联立，消去得：， 则，解得， 则， 所以， 则的中点的坐标为， 依题意知：， 则，所以，解得， 则，，直线的方程为， 所以， 到的距离， 所以. 16．（2026·高二·河南平顶山·期中）已知椭圆：经过，两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的左焦点的直线交于，两点，其中点在第二象限内，点在第三象限内，若的面积等于的面积，求. 【解析】（1）由题意可知，解得，， 故椭圆的标准方程为. （2）由（1）可知，椭圆的左焦点为， 如图， 因为的面积等于的面积， 所以点，到直线的距离相等，结合图形可知，，则， 所以直线的方程为. 由消去整理得， 解得， 设，，则 17．（2026·高二·上海浦东新·期中）设椭圆的离心率，过点. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于、两点，求的面积（为坐标原点）； (3)直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆过坐标原点，求值. 【解析】（1）由题意可知：， 解得：，所以椭圆方程为：； （2）直线与轴交点为，与椭圆交于，， 联立方程：，化简得：， ， 由韦达定理得：， ， 所以， ， 所以 . （3） 联立方程：， 化简得：， ， 解得：， 设，，和中点为， 则由韦达定理得：，， 且，， 若以为直径的圆过坐标原点，则, 由弦长公式可得：， 而， 所以，解得：， 验证，符合题意， 所以. 18．（2026·广西桂林·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，是面积为2的等腰直角三角形. (1)求的方程； (2)直线与交于M、N两点，为坐标原点.若上存在点，使得四边形为平行四边形，求的值. 【解析】（1）因为是面积为2的等腰直角三角形， 则，解得，可得， 所以椭圆的方程为. （2）联立方程，消去y可得， 则，解得， 设，则，， 可得， 又因为， 若四边形为平行四边形， 则，即， 因为点在椭圆上，则，解得， 所以. 19．（2026·高二·四川成都·期中）设点，直线相交于点，且它们的斜率之积为. (1)求点的轨迹方程； (2)若， ①当时，求的面积； ②求的取值范围. 【解析】（1）设点的坐标为，因为点的坐标是， 所以直线的斜率是， 同理，直线的斜率是， 由已知，有， 化简，得点的轨迹方程是， 点的轨迹是除去，两点的椭圆； （2） ①由（1）知椭圆的焦点， 其中， 设，， ，， 在中，当时，由余弦定理得： ， ； ②设，则，即， ，，，， ， ，， ， 即的取值范围为. 20．（2026·重庆·模拟预测）以离心率为的椭圆的顶点为顶点的四边形面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线交C于两点，为坐标原点，求的面积． 【解析】（1）由题意： 又 联立 ∴椭圆的方程是：. （2）当直线的斜率不存在时，不合题意， 当直线的斜率存在时，令， 联立，得：， ， ，解得， 经检验：符合题意， 原点到直线AB的距离， . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $