第3.2讲 双曲线（暑假预习讲义）新高二数学苏教版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第3.2讲双曲线 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1求双曲线的标准方程 题型2表示曲线方程与双曲线 题型3双曲线的简单几何性质 题型4双曲线的焦点三角形 题型5双曲线的渐近线 题型6双曲线的离心率及范围 题型7双曲线的轨迹问题 题型8双曲线的最值问题 04过关检测→练考点强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 根据焦点位置设标准方程，利用已知条件（过点、焦距、a、b、c关系）求 1.求双曲线的标准方 参数。易错：焦点在y轴时方程形式易写反，或忽略a大于O、b大于O,且 程 c2等于a2加b2。 含参二次方程表示双曲线的条件：x2与y2系数异号，且需化为标准形式验 2.表示曲线方程与双 证。易错：忽略系数异号但可能表示两条直线（退化情形），或未注意右侧 曲线 为1的标准形式。 3.双曲线的简单几何 考察范围(x或y的取值)、对称性、顶点、实轴虚轴长度、焦点坐标。易 性质 错：混淆实轴与虚轴对应的分母，或渐近线与坐标轴的关系理解不清。 双曲线上一点与两焦点构成三角形，常考利用定义（到两焦点距离之差的绝 4.双曲线的焦点三角 对值为2a)结合余弦定理求角或面积。易错：忽略绝对值符号导致距离差取 形 反，或焦点三角形中哪条边对应双曲线定义混淆。 由标准方程直接写出渐近线方程，或由渐近线反求双曲线方程。常考渐近线 5.双曲线的渐近线 与离心率的关系，或两条渐近线的夹角。易错：焦点在y轴时渐近线斜率与 1/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x轴情形相反，或渐近线不是双曲线的切线（易误解为切线）。 离心率大于1，反映双曲线开口大小。常考根据条件求离心率值，或利用不 6.双曲线的离心率及 等式求范围。易错：离心率与渐近线斜率的关系混淆，或求范围时忽略c大 范围 于a且c大于b。 利用双曲线定义（到两定点距离之差的绝对值为常数）或代入法求轨迹，注 7.双曲线的轨迹问题意常数需小于两焦点间距离。易错：漏掉绝对值符号导致只表示一支，或未 验证常数小于焦距（否则无轨迹或为射线）。 常考双曲线上点到定点或定直线距离的最值，利用参数方程、几何性质或转 8.双曲线的最值问题化为渐近线方向分析。易错：忽略双曲线两支的对称性导致漏解，或误认为 顶点处取最值（实际需结合具体条件判断）。 学习重点：掌握双曲线标准方程的两种形式及焦点位置判断；理解a、b、c的几何关系(c2等于2 加b2)；熟练由标准方程求线，及由新近线反求双曲线，掌握离心率的计算及其与渐线的关 系。 学习难点：焦点三角形中绝对值符号的处理及距离差与边长的对应；新近线方程与双曲线方程的关 系（如共线的双曲线系）；轨迹问题中常数需小于焦距的验证（否则无轨迹），以及绝对值导致 的双支与单支区别；最值问题中新线方向对距离的影响容易忽略，导致最值位置判错误。 02 教材全解 ◇ 知识框1架 2/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点01：双 定义：到两定点距离之差的绝对值为常数（常数大于0且小于焦距） 曲线的定义和 标准方程：焦点在x轴或y轴，看×和y的符号（正项决定焦点位置） 标准方程 求解方法：定义法或待定系数法，焦点不定时设一般式mx2一y2=】 范围、对称性（轴和中心对称）、顶点、实轴虚轴 知识点02：双 渐近线：由标准方程直接得，焦点到渐近线距离恒为6 曲线的简单几 何性质 离心率：大于1，反映开口大小，e越大开口越开阔 等轴双曲线：a=b,渐近线互相垂直，离心率为厂2 双曲线 知识点03：双 利用定义(PF一PF=2a)和余弦定理建立边角关系 曲线的焦点三 角形 面积：用S=b2/tan旧/2)快速求解，或用底乘高的一半 求标准方程：先定焦点位置，再用定义或条件列方程求a?、b 曲线方程与双曲线：Ax2+By2=1表示双曲线需AB<0 渐近线：与离心率关联，共渐近线的双曲线可设为同系 综合要点 离心率求值或范围：建立a、b、c齐次方程或不等式 轨迹问题：直接用定义（绝对值条件）或相关点法，注意常数需小于焦距 最值问题：用几何法、参数法或不等式法，注意双曲线范围限制和取等条件 ◇ 知1识精|讲 知识点01双曲线的定义和标准方程 1、双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于F1F2)的点 的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）， 注意： (1)若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支. (2)当2a=F1F2时，点的轨迹是以F1和F2为端点的两条射线：当2a=0时，点的轨迹是线段F1F2的 垂直平分线. (3)2a>F1F2时，点的轨迹不存在. 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“FF2>2a”是否成立：②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定a2,b的值），注意 a2+b2=c2的应用. 3/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2、双曲线的标准方程 焦点的位 焦点在X轴上 焦点在y轴上 置 y x 标准方程 6、3 a =1a>0,b>0 a b2 =1a>0,b>0 般方程 mx2-ny=1(mn>0) 3、待定系数法求双曲线的标准方程 ①如果确定双曲线的焦点所在的坐标轴，直接可以设双曲线的标准方程，利用待定系数法求解 ②如果不能确定双曲线的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题： 是分类讨论，分别就焦点在X轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出双曲线的标准方程，再解答： 二是用待定系数法设双曲线的一般方程为mx2-ny2=1(mn>0),再解答 ③如果已知双曲线的渐近线方程是bx±ay=0(a>0,b>0),那么可把双曲线的方程设为 。入入≠0：与双脚我。有 X.三=x0 艾.兰=1a>0,b>0共新近线的双曲线方程可设为。方 x2 y ④与椭 公之1ab20焦点的双尚我方程可设为1：肠0 a2 62 ⑤等轴双曲线可设方程为x2-y2=λ1≠0) x2 y2 即时即练 (25-26高二上。山东潍坊阶段检测)与双曲线164=1有相同渐近线，且经过点(3V2,2)的 双曲线的方程是 【易错提醒】 双曲线定义要抓住“差的绝对值”为常数（小于焦距），标准方程中看x与y的符号：正项确定焦点位置 (正项分母为α)。注意与椭圆区分（椭圆是和，分母大者定焦点）。 知识点02双曲线的简单几何性质 1、双曲线的简单几何性质 标准方程 X.y=1(a>0,b>0) 1(a>0,b>0) ab2 a b2 焦点坐标 F-c,0),F2c,0) F0,-c),F20,c) 4/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对称性 关于x,y轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 A1(-a,0),A2a,0 A1(0,a),A20,-a 范围 x≥a y≥a 实轴、虚轴 实轴长为2a,虚轴长为2b 离心率 ee--e1 a 离心率决定了双曲线开口的大小，离心率越大，双曲线开口越大 x 令a =0→y=±2x, 令 渐近线方程 a a b2 0y=±号×， 焦点到渐近线的距离为b 焦点到渐近线的距离为b 通径 通径（过焦点且垂直于5，F的弦）是同支中的最短弦，其长为2 a 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线~a=b一离心率=√2一 等轴双曲线 两渐近线互相垂直~渐近线方程为y=±x~方程可设为x2-y2=入（入≠0）】 以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴所得的双曲线称为已知双曲线的共轭双 共轭双曲线 曲线。双商线了长=1的尖辄双角我为 b2 a =1,一对共轭双曲线的焦距相等且具 有共同的渐近线。 平面内动点M与定点F的距离和它到定直线！（定点不在定直线上）的距离之比等 第二定义 于常数e(e>1)的轨迹叫做双曲线。定点F叫做双曲线的一个焦点，定直线l叫做双曲 线的一条准线，常数e叫做双曲线的离心率。 准线方程 x=tq2 ￥Q2 2、双曲线的切线方程 xox.Yoy=1. 七·y。在双曲线文-义=1a≥0，b>0)上，过点M作双田线的功线万程为g =1(a>0,b>0外，则点M对应切点弦方程为X.Y=1 若 M(x,y)在双曲线xy a2 b2 即时即练 5(2026安微合肥：三模)已知双曲线C:二-片口>0，b>0的左、右焦点分别为万，5：离心率 为 AF 2,过F的直线与C的右支交于A,B两点.若BR1BS,:则B丽的值为() A,10 B.3 C.5 D.2 5/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【方法总结】 双曲线性质抓住渐近线、顶点、焦点和离心率(>1)，渐近线决定开口趋势，实轴长2a、虚轴长2b,对 应标准方程中的分母。注意双曲线无封闭范围，且离心率越大开口越开阔：c2=a+b中C最大。 知识点03双曲线的焦点三角形 双曲线上一点P(xyo)与两焦点F1,F构成的△PF1F2成为焦点三角形，设∠FPF2=6,则 2b2 c0s0=1- PF PE Sr,-PFP5s小n0=加0gb=B。c度点在xL 1-c0s0 tan Cxol,焦点在y轴上， 2 焦点三角形中一般要用到的关系是 PF-PF=2a(2a>2c) SaPEPFPF2 sin FPF FF2=PF+PF2-2 PF PF2 cos F PF2 图时图〈2526有二上智建膏田期未)（多选）如图，已如梯孤C荐京-ab>0和双由线 C2: m2n2 =1(m>0,m>0)有公共的焦点F(-c,0:F,c.0),C,C,的离心率分别为e,9,且在第一象限相 交于点P,则下列说法中正确的有() A.若a2+3m2=4c2,则b=3n； B.若PEP5=2,则a2-m2的值为1： C.△FPF的面积S=nb: D.若∠FPF,=60°，则当e2=V3e时，e+e取得最小值2， 知识点04双曲线的渐近线 6/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 有关双曲线的渐近线常考的两个性质 b 性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数b:顶点到两条渐近线的距离为常数 b2 性质2：双曲线上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数“ x2 y2 即时即练 （2026四川广安模拟预测)已知双曲线E:。=1(a>0,b>0)的右焦点为F,以F为圆心， √2b为半径的圆与双曲线E的一条渐近线交于A,B两点，若OB=3OA,则双曲线E的离心率为() 5 A. B 5 5 【方法总结】 新近线相关性质中，焦点到渐近线的距离恒等于b(虚半轴长)，这是常用结论；利用渐线斜率与离心 率的关系可通过斜率快速求离心率 03 题型突破 题型1求双曲线的标准方程 【例1)(25-26高二上。内蒙古包头期末)对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点(（2，-2√2)，则双 曲线的标准方程为() y2 x2 A.2 =1 B. 881 C. -=1 D x2 y2 44 =1 2 44 【例2)】(25-26高二上6江苏南通阶段检测)焦点为(0，-2)，(0,2)且经过点(V5,-2)的双曲线方程为 () 2 x2 y2 y2 x2 A. =1 B =1 C =1 D =1 8 4 8 4 22 22 【技巧归纳】 确定焦点在x轴还是y轴（看正项分母），再利用定义或条件列方程求a2、b,注意c2=a2+b。若焦点不 定，可设mx2一ny2=1统一处理。 【变式1-1】(25-26高二上9北京延庆9期未)已知F(-2,0)、E(2,0),动点P满足PF-PF引=2，则 7/17 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 动点P的轨迹方程为() A.x-父=1 3 号-s到 c.2-号=1≥) 3 。广苦=0 x 【变式12】(2026高二上。陕西咸阳)己知双曲线c过点(3,6，且与双曲线3-少=1有相同的渐近线， 则C的方程为() A5东11药药 y2 x2 D.399 =1 题型2表示曲线方程与双曲线 【例1】(2026？云南昆明模拟预测)（多选）若P(0,),B(2,0),P 三点中恰有两点在曲线 C:mx2+ny2=1上，则() A.若C是椭圆，则C的方程有2个 B.若C是双曲线，则C的方程有2个 1 C.若C是椭圆，则m=4 D.若C是双曲线，则m=一4 【例2】(25-26高二上。河北张家口？期末)（多选)当m变化时，指出方程 (m-1)x2+(3-m)y2=(m-1)3-m)表示的曲线的形状(). A.当m=1时，表示y轴 B.当m=2时，方程表示以原点为圆心的单位圆 C.当m<1或m>3时，方程表示双曲线 D.当1<m<3且m≠2时，方程表示椭圆 【技巧归纳】 方程Ax2十By2=1表示双曲线需满足AB<0(即x与y系数异号)。若含参，讨论参数使系数一正一负， 且保证标准形式分母为正。 x2 y2 【变式21】(2026◆山西忻州◇模拟预测)若方程3m-42m+31表示双曲线，则实数m的取值范围 是() B多 8/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c. D.(,多u+m x2 y2 【变式22】(25-26高二上河南郑州期末)（多选关于方程2+m1+m =1，下列说法正确的有 () A.若m=0,它表示焦点在x轴上的双曲线 B.若m=-3,它表示焦点在y轴上的双曲线 x2 y2 C.方程2+m1+m =1有可能表示等轴双曲线 x2 y D.若方程2+m1+m =1表示双曲线，则m<-2或m>1 题型3双曲线的简单几何性质 x2 y2 【例1)(25-26高二下9河南洛阳阶段检测)已知点p是双曲线4？=1上非顶点的动点，万，乃为 双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M满足PM 0且pW=0别o- A.4 B.2 C. 2 D.1 【例2)】(20260重庆渝中6模拟预测)（多选）已知万，5分别是双曲线2-号 =1的左、右焦点，M 是左支上一点，且在x轴上方，过B作∠FM角平分线的垂线，垂足为N,O是坐标原点，则下列说法 正确的是() A,若∠M5=,则直线N的斜率为-5B.若∠MF5 2:则F,MEN=4 C.若∠MFE=&,则ON=1 D.若∠MfE,=a,则ON=cosa 【易错警示】/【技巧归纳】 抓住范围、对称性、顶点、渐近线和离心率(>1)，注意实轴、虚轴与焦点的对应关系。利用标准方程 可直接读出a、b、c及项点坐标。 【变式3，】已知4和F分别为双曲线C:云 :44=1的左顶点和左焦点，B,C两点在C上，4B⊥AC 9/17 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 若-}则c x2 y2 【变式3-2】(25-26高二上9上海。期末)己知曲线)=1(a≠0)上存在四个点ABC,D,使四边形 ABCD是正方形，则实数a的取值范围是 题型4双曲线的焦点三角形 【例)（25-26高二下河南新乡期中)已知双曲线C:-号 :431,过原点o作直线，与双曲线C交于 P,0两点，设双曲线c的左，右焦点分别为F,F,若∠PF0- 3,则APFF的面积为（) A.43 B.35 C.32 D.2W2 x2 y2 【例2】(25-26高二上广东期末)已知R:F是双曲线c:京=1(a>0,b>0)的两个焦点，p为C 上一点，且∠FPE=,若。PFE的面积是 v 3,则6=（) A.22 B.25 C.3 D.4 【技巧归纳】 利用定义IP℉一P℉=2和余弦定理建立边角关系，结合基本不等式求面积或角范围。注意焦点三角形面 S=- b2 (0=∠F1PF2) 积公式 tan 可快速求解。 2 x2 y2 [变式41】(25-26高二上广东深圳期末)（多选）已知点p是双曲线E:169=1右支上一点，F, E分别为E的左、右焦点，若△PFF的面积为15V3,则() A.点P的纵坐标为-3V3 B.△PFF的周长为30 C.△PFE的内切圆半径为√5 D.∠EPE,大于4 【变式42】(2026河南模拟预)（多选）已知双曲线C: :8-少=1的左、右焦点分别为F,5,点P 在双曲线C的右支上，且∠FP5=8,则() A当0-骨时，aPF5的面积为号 B.当0-7时，APF5的周长为6+20 10117 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.当为纯角时， PFLPF>18 PEPF D. APF5内切圆的半径的取值范围是(0，+∞) 题型5双曲线的渐近线 【例)】(2026天津模拟预测已知双曲线C。。Ka>06>0左顶点为A-32,0,焦距为2N26 过点A作直线与C的一条渐近线垂直，垂足为H,则△OHA的面积() 54 27 A.13 B C.226 D.V26 13 13 13 【例2】（25：26高二上山东福博期中)（多选）已知双曲线￡：r- 了1，点4在渐近线上，满足 AE⊥AF,.则下列说法正确的是() A.虚轴长为V5 B.离心率为2 C.双曲线E的渐近线方程是y=±V3xD.△AFF的面积是4V3 【技巧归纳】 渐近线相关性质中，焦点到渐近线的距离恒等于b(虚半轴长)，注意渐近线斜率与离心率关联 变式51】2026上海黄浦三模)双曲线C片>0，b>0)的左、右焦点分别是F,B,左、有 5 顶点分别为4：4：以F5,为直径的圆与c的一条渐近线交于p:Q两点，且∠P4,Q=。不，则该双曲线 两条渐近线夹角的余弦值为 陵式52】(2026湖南怀化三模)（多选）已知双曲线C?=1的左、右焦点分别为E,E。 为坐标原点，P是C的右支上一点（不与右顶点重合），过点P向双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别 为M,N则下列说法正确的是() A.焦点F到渐近线的距离等于V3 B.△PFF内切圆的圆心在直线x=1上 C.PMPN为定值 D.若直线PF与C交于另一点A,则PA的最小值为6 题型6双曲线的离心率及范围 11/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2 y2 【例1】(2026四川眉山模拟预测)如图双曲线C: a存=1（a>0'b>0)的左右焦点分别为F?F, 直线1过F交双曲线的渐近线于A,B两点，若2AE=EB，A匠·AB=0,则双曲线C的离心率e= ( B.5 C. v17 4 A.2 3 D.3 【例2)】(25-26高三下河南周口阶段检测)若直线y=2N5a与双曲线C。@>0,6>0的交点为 B,且AB大于C的虚轴长，则C的离心率的取值范围是() A.(5) B (1,v6) c.（N5,+∞) D.(6,+o∞) 【技巧归纳】 b2 求离心率e核心是建立a、b、c的齐次方程，利用e= 1+求值。求范围则结合题设条件（如点存在、 直线与双曲线相交等)建立不等式，注意e>1。 【式61】(2026福建福州模拟预测)已知双曲线C: 京=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F, E.若C的渐近线上存在一点P,满足PF-PF=4b,则C的离心率的取值范围为() 17 D x2 y2 【变式6-2】(25-26高三下湖南阶段检测)已知双曲线C:京反=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 ,E,P为C上异于实轴端点的动点，若tan2·sin∠FP三，，则c的离心率。的取值范围为( 2 A.(1,2) B.(2,3) c.(1,3) D.(1,4) 12117 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 设 ,在 中，结合双曲线定义 , ∠FPF=O∠FEP=a△FPF PF-PF=2a FF =2c, 题型7双曲线的轨迹问题 【例1】(2026？四川广安。模拟预测)在平面内动点P与定点F(0,4)的距离和它到定直线y=1的距离的 比是2：1则点P的轨迹方程为() 8.24 y2 x2 D.￥i2 【例2】(2026河南？一模)己知M是一个动点，过点M分别作直线y=V5x,y=-V3x的垂线，垂足 3V3 分别为A'B若。M4B的面积为8，则动点M的轨迹方程为() A.x2 =1 .=1 3 B. 26 C.2 =1或 x2 y2 =1 y2 x2 =1 26 62 D. 26 =1或 62 【技巧归纳】 若动点满足到两定点距离之差的绝对值为常数（小于焦距），直接定义求方程：否则用直接法或相关点法， 注意排除不满足条件的点（如常数等于焦距时轨迹为两条射线）。 【变式7-1】(2026陕西西安。模拟预测)在平面直角坐标系x0中，已知定点P(-2,0)、Q(2,0),平 面内两个动点M、N满足|OM=1,MN⊥MQ,且点M在∠PNQ的平分线上，则动点N的轨迹方程为 () A+号=10≠0) 3 B.号+-040 c.-号=0*0 D号-产=00 13117 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式7-2】(25-26高二上广东惠州阶段检测)动圆M过定点A(-4,0),与定圆B:(x-4)+y2=16 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为() 5=1 ￥=1（≤-2） c.42 u.后苦-s以列 题型8双曲线的最值问题 【例1】(25-26高二下河北衡水阶段检测)已知双曲线C:号上 芍4=1的右焦点为R,P为双曲线右支上 一动点，(7,5)，则PO+PF的最小值为() A.5 B.35 C.5 D.10 【例2】(2026宁夏银川模拟预测)已知点p是双曲线6641的右支上一点，M'N分别是圆 (x+10)+y2=4和(x-10+y2=1上的点，则PM-PN的最大值为() A.12 B.15 C.16 D.18 【技巧归纳】 常用方法：几何法（利用定义、将军饮马构造对称、三角形不等式等几何方法）、参数法（设点坐标或用 双曲线参数方程)、不等式法（结合范围放缩）。注意双曲线上点坐标的范围限制（如x≥Q)及取等条 件验证。 【式81】(25.26药三下广东江并学考试)已知双曲线E:千上-1m>0)的右焦点为 4 m F(3,0),A(3,2),P为E上一点，则PA+PF的最小值为() A.1 B.210-4 C.V10+2 D.2W10+4 【变式82刃】(25-26高=下陕西宝鸡阶段检测)已知双曲线C:” 45 =1的左焦点为F,M为双曲线C 右支上任意一点，点D的坐标为(3,1)，则MD-M的最大值为. 04 过关检测 1,(25-26高二上？河北？期中)对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点(N2,3), 该双曲线的标准方程 14117 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 为 x2 y 2。(25-26高二上天津阶段检测)双曲线。京=1(>0，b>0)的左右焦点分别为斤B,点p在双 曲线右支上，直线PF,的斜率为3，若△PFF是直角三角形，且面积为6，则双曲线的方程为 3.(2025高三全国专题练习)已知圆F:(x-2)?+y2=12,E(-2,0),过E的直线与圆F交于A,B两 点，过E作AF的平行线交直线BF于H点，则点H的轨迹方程为 4.(25-26高二上9黑龙江哈尔滨阶段检测)己知圆A:(x+3)+y2=4,B(3,0),点P在圆A上运动，设 线段PB的垂直平分线和直线A的交点为Q,则Q点的轨迹方程为() Arg-e≥B.r-=1 c.2-上=1x≥D.r-上-=1 8 6 6 5.(25-26高三上。安徽？阶段检测)（多选）在平面直角坐标系中，方程E:x+ycosa=l,a∈[-元，0] 表示的曲线可能是() A.一条直线 B.一个圆 C.焦点在y轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的双曲线 6(20260湖南常德0一模)（多选）已知双自酸5：号书1的左、右焦点分别为斤，过点 的直线1与双曲线E的左、右两支分别交于点P,Q，则（） A.直线1斜率的取值范围是（√5，V) 12vW13 B.当直线，过原点时，AFPE,的面积为 13 C.若A(-2,0),则∠QFA=2∠QAE 4 D.若直线1的斜率为3，且B(O,3),则PF+QF=PB+QB x2 y2 7.(25-26高二下上海松江期中)已知R5是双曲线r:京F=1（a>0b>0)的左右焦点，1 是T的一条渐近线，以2为圆心的圆与1相切于P.若双曲线「的离心率为3，则sn∠PFF=」 8.(2027高三·全国专题练习)已知双曲线C的离心率为V2,F,F为C的两个焦点，过F作C的一条 15117 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PF 渐近线的垂线，垂足为p'O为坐标原点，则oP 2=aKr=22a∠P0R,-4 2 可得O=OR-PF-a,∠P5F=至， 在△PFE中，由余弦定理可得， IPRP-lPFP+lFFP-2lPF-FF-cosLPFF-d+8a-2ax2/ax-se, 2 PF到-5 即|PE=V5a,所以1oP 故答案为：V⑤ 9（25-26高=上江苏南通期末)设，5是椭圆：言+家=1a>么>0)和双曲线： x2 y2 a b2 =1(a,>0,6>0)的公共焦点，p是它们在第一象限的公共点，P5,与双曲线的右支交于另一个点 Q,若以F2为直径的圆过点P,且Pg=2a,则椭圆的离心率为() A.7 3 B. 3W5 3V17 5 C. 17 D.7 5 10,2526高二上浙江湖洲期未已知双曲线C:。1的左、石焦点分别为万，F,点。为双曲线 916 C第一象限内的一点，∠FPE的角平分线为1，过原点O作PE的平行线，分别与P?和I交于M,N两点， 若MN=PF,则APFE的周长为() A.48 B.50 C.52 D.56 1.（25-26高三上四川眉山期末)〈多选)已知双曲线E:x2- 3 =1的左、右焦点分别为F,E,P在双曲 线右支上，则下列说法正确的是() 16117 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.PF-PF|=2 B.若∠EPE=90°，则PFIPE=3 3 C.p到E的两条渐近线的距离之积为4 D.若M(3,I),则PF+PM的最小值为V26-2 17/17 第3.2讲 双曲线 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 求双曲线的标准方程 题型2 表示曲线方程与双曲线 题型3 双曲线的简单几何性质 题型4 双曲线的焦点三角形 题型5 双曲线的渐近线 题型6 双曲线的离心率及范围 题型7 双曲线的轨迹问题 题型8 双曲线的最值问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1. 求双曲线的标准方程 根据焦点位置设标准方程，利用已知条件（过点、焦距、a、b、c关系）求参数。易错：焦点在y轴时方程形式易写反，或忽略a大于0、b大于0，且c²等于a²加b²。 2. 表示曲线方程与双曲线 含参二次方程表示双曲线的条件：x²与y²系数异号，且需化为标准形式验证。易错：忽略系数异号但可能表示两条直线（退化情形），或未注意右侧为1的标准形式。 3. 双曲线的简单几何性质 考察范围（x或y的取值）、对称性、顶点、实轴虚轴长度、焦点坐标。易错：混淆实轴与虚轴对应的分母，或渐近线与坐标轴的关系理解不清。 4. 双曲线的焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成三角形，常考利用定义（到两焦点距离之差的绝对值为2a）结合余弦定理求角或面积。易错：忽略绝对值符号导致距离差取反，或焦点三角形中哪条边对应双曲线定义混淆。 5. 双曲线的渐近线 由标准方程直接写出渐近线方程，或由渐近线反求双曲线方程。常考渐近线与离心率的关系，或两条渐近线的夹角。易错：焦点在y轴时渐近线斜率与x轴情形相反，或渐近线不是双曲线的切线（易误解为切线）。 6. 双曲线的离心率及范围 离心率大于1，反映双曲线开口大小。常考根据条件求离心率值，或利用不等式求范围。易错：离心率与渐近线斜率的关系混淆，或求范围时忽略c大于a且c大于b。 7. 双曲线的轨迹问题 利用双曲线定义（到两定点距离之差的绝对值为常数）或代入法求轨迹，注意常数需小于两焦点间距离。易错：漏掉绝对值符号导致只表示一支，或未验证常数小于焦距（否则无轨迹或为射线）。 8. 双曲线的最值问题 常考双曲线上点到定点或定直线距离的最值，利用参数方程、几何性质或转化为渐近线方向分析。易错：忽略双曲线两支的对称性导致漏解，或误认为顶点处取最值（实际需结合具体条件判断）。 学习重点：掌握双曲线标准方程的两种形式及焦点位置判断；理解的几何关系（c²等于a²加b²）；熟练由标准方程求渐近线，及由渐近线反求双曲线；掌握离心率的计算及其与渐近线的关系。 学习难点： 焦点三角形中绝对值符号的处理及距离差与边长的对应；渐近线方程与双曲线方程的关系（如共渐近线的双曲线系）；轨迹问题中常数需小于焦距的验证（否则无轨迹），以及绝对值导致的双支与单支区别；最值问题中渐近线方向对距离的影响容易忽略，导致最值位置判断错误。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 双曲线的定义和标准方程 1、双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）． 注意： （1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． （3）时，点的轨迹不存在． 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 2、双曲线的标准方程 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 一般方程 3、待定系数法求双曲线的标准方程 ①如果确定双曲线的焦点所在的坐标轴，直接可以设双曲线的标准方程，利用待定系数法求解. ②如果不能确定双曲线的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题： 一是分类讨论，分别就焦点在轴上和焦点在轴上利用待定系数法设出双曲线的标准方程，再解答； 二是用待定系数法设双曲线的一般方程为，再解答. ③如果已知双曲线的渐近线方程是,那么可把双曲线的方程设为；与双曲线共渐近线的双曲线方程可设为 ④与椭圆共焦点的双曲线方程可设为 ⑤等轴双曲线可设方程为 即时即练（25-26高二上�山东潍坊�阶段检测）与双曲线有相同渐近线，且经过点的双曲线的方程是_________. 【答案】 【分析】设双曲线方程为，将点坐标代入求值即可. 【详解】设双曲线方程为， 将点代入得，得， 故双曲线方程为. 故答案为： 【易错提醒】 双曲线定义要抓住“差的绝对值”为常数（小于焦距），标准方程中看与的符号：正项确定焦点位置（正项分母为）。注意与椭圆区分（椭圆是和，分母大者定焦点）。 知识点02 双曲线的简单几何性质 1、双曲线的简单几何性质 标准方程 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 离心率决定了双曲线开口的大小，离心率越大，双曲线开口越大 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴所得的双曲线称为已知双曲线的共轭双曲线。双曲线的共轭双曲线为，一对共轭双曲线的焦距相等且具有共同的渐近线。 第二定义 平面内动点与定点的距离和它到定直线（定点不在定直线上）的距离之比等于常数的轨迹叫做双曲线。定点叫做双曲线的一个焦点，定直线叫做双曲线的一条准线，常数叫做双曲线的离心率。 准线方程 2、双曲线的切线方程 点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为． 若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为 即时即练（2026·安徽合肥·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与C的右支交于A，B两点．若，则的值为（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义，在直角三角形中利用勾股定理计算即可求解. 【详解】因为双曲线的离心率为，不妨设，则， 设，，则，， 在中，由勾股定理可得，解得， 则， 同理，在中，由勾股定理可得，解得， 所以. 【方法总结】 双曲线性质抓住渐近线、顶点、焦点和离心率（），渐近线决定开口趋势，实轴长、虚轴长,对应标准方程中的分母。注意双曲线无封闭范围，且离心率越大开口越开阔; 中最大。 知识点03 双曲线的焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形，设，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 即时即练（25-26高二上·福建莆田·期末）（多选）如图，已知椭圆和双曲线有公共的焦点，，的离心率分别为，且在第一象限相交于点，则下列说法中正确的有（    ） A．若，则； B．若，则的值为1； C．的面积； D．若，则当时，取得最小值2. 【答案】AC 【分析】A，由标准方程求出，从而得到；B，由在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义得到，，将这两个等式左右两个进行平方作差即可得解；C，由，，求出，利用余弦定理求出，利用同角关系式及三角形面积公式求解；D，根据余弦定理可得的值，代入数值得到的值，利用基本不等式即可得解. 【详解】A：， ， ，即， ，故A正确； B：在第一象限，且，， ， 即，故B错误； C：设椭圆的焦距为，，，则，， 解得，， ，即， ， ，， ，故C正确； D：设椭圆的焦距为，则，， 解得，， 在中，根据余弦定理可得：， 整理得，即， ， 当且仅当时取等号，故D错误. 故选：AC． 知识点04 双曲线的渐近线 有关双曲线的渐近线常考的两个性质 性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数； 性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； 即时即练（2026·四川广安·模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据圆心和直线方程求出弦心距，再根据直角三角形和向量条件求出半弦长，最后在直角三角形建立关于的关系式，用离心率公式可得离心率. 【详解】如图所示，设中点为，连接， 因为为圆心，为中点，可得， 所以三角形为直角三角形. 根据条件得圆心为， 设其中一条渐近线方程为，则圆心到渐近线的距离为，即， 又因为，所以， 由可知三点共线，且为上靠近点的三等分点， 所以， 所以在直角三角形中，， 所以. 【方法总结】 渐近线相关性质中，焦点到渐近线的距离恒等于b（虚半轴长），这是常用结论；利用渐近线斜率与离心率的关系可通过斜率快速求离心率. 题型1 求双曲线的标准方程 【例1】（25-26高二上�内蒙古包头�期末）对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设双曲线的方程为，将点代入方程，求得的值，即可求解. 【详解】设等轴双曲线的方程为，将点代入方程， 则，求解可得， 所以双曲线的标准方程为，即. 故选：C. 【例2】（25-26高二上�江苏南通�阶段检测）焦点为且经过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意设双曲线的标准方程为，得，解出即可求解. 【详解】由题意有，焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为， 且，由双曲线性质得，即①， 双曲线过点， 将其代入标准方程得：，化简为②， 联立①②，得， 解得，， 所以双曲线方程为 故选：D. 【技巧归纳】 确定焦点在x轴还是y轴（看正项分母），再利用定义或条件列方程求a²、b²，注意c²=a²+b²。若焦点不定，可设mx²－ny²＝1统一处理。 【变式1-1】（25-26高二上�北京延庆�期末）已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，即可求解方程. 【详解】因为， 所以点是以点为焦点的双曲线的右支，所以，，， 所以点的轨迹方程是，. 故选：C 【变式1-2】（2026高二上�陕西咸阳）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设共渐近线方程，代入点坐标求参数整理方程即可． 【详解】因为双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线， 所以设双曲线方程为，将代入，可得，则， 所求双曲线的标准方程是． 题型2 表示曲线方程与双曲线 【例1】（2026�云南昆明�模拟预测）（多选）若三点中恰有两点在曲线上，则（   ） A．若C是椭圆，则C的方程有2个 B．若C是双曲线，则C的方程有2个 C．若C是椭圆，则 D．若C是双曲线，则 【答案】AC 【详解】将三点代入曲线中分别得，，，， 若在曲线上，不在曲线上，则，，， 此时为椭圆； 若在曲线上，不在曲线上，则，，，得， 此时为双曲线； 若在曲线上，不在曲线上，则，，，得， 此时为椭圆； 故AC正确，BD错误. 【例2】（25-26高二上�河北张家口�期末）（多选）当变化时，指出方程表示的曲线的形状（    ）． A．当时，表示轴 B．当时，方程表示以原点为圆心的单位圆 C．当或时，方程表示双曲线 D．当且时，方程表示椭圆 【答案】BCD 【分析】根据圆，椭圆，双曲线的方程特征，依次分析各选项即可得答案. 【详解】对于A，当时，方程为，即，表示轴，故错误； 对于B，当时，方程为，表示以原点为圆心的单位圆，故正确； 对于C，当时，，故方程为，表示双曲线； 当时，，故方程为，表示双曲线，故正确； 对于D，当且时，方程为， 当时，，方程表示焦点在轴上的椭圆； 当时，，方程表示焦点在轴上的椭圆，故正确. 【技巧归纳】 方程Ax²＋By²＝1表示双曲线需满足AB＜0（即x²与y²系数异号）。若含参，讨论参数使系数一正一负，且保证标准形式分母为正。 【变式2-1】（2026�山西忻州�模拟预测）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线标准方程的成立条件列不等式，求解得到实数的取值范围. 【详解】已知方程表示双曲线，则， 解得或. 因此实数的取值范围是. 【变式2-2】（25-26高二上�河南郑州�期末）（多选）关于方程，下列说法正确的有（    ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线 D．若方程表示双曲线，则或 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合双曲线的标准方程及双曲线的性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以A正确； 对于B，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以B正确； 对于C，若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解； 若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解， 综上可得，不存在实数使得方程表示等轴双曲线，所以C错误； 对于D，若方程表示双曲线，则满足， 解得或，所以D正确. 题型3 双曲线的简单几何性质 【例1】（25-26高二下�河南洛阳�阶段检测）已知点是双曲线上非顶点的动点， 为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M满足 且，则（      ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】设点在双曲线右支上，延长交的延长线于点，由 及得到平分且，从而，进而根据双曲线的定义结合中位线可求. 【详解】不妨设点在双曲线右支上， ，分别表示与同方向的 单位向量， 由 可知点在的平分线上， 又由，可知， 延长交的延长线于点，则， 根据双曲线的定义，得， 易得点O，M分别为，的中点， . 【例2】（2026�重庆渝中�模拟预测）（多选）已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且在轴上方，过作角平分线的垂线，垂足为 是坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则直线的斜率为 B．若，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】ABC 【分析】根据垂直关系以及角平分线可得，即可求解斜率，判断A，根据数量积的几何意义即可根据长度求解B，根据三角形全等，以及三角形的中位线即可求解DC. 【详解】由题意得，不妨设在第二象限， 当时，则，则， 故，， 故，由于是的角平分线，所以， 进而可得，故斜率为，故A正确， 由于，所以，故B正确， 延长交于点，连接， 由于是的角平分线，，所以， 故是的中点，， 由双曲线定义可得， 又是的中点，，故C正确，D错误. 【易错警示】/【技巧归纳】 抓住范围、对称性、顶点、渐近线和离心率（e＞1），注意实轴、虚轴与焦点的对应关系。利用标准方程可直接读出a、b、c及顶点坐标。 【变式3-1】已知和分别为双曲线的左顶点和左焦点，B，C两点在上，，若，则__________． 【答案】/8.5 【分析】由斜率关系推出B，C两点关于轴对称，再结合双曲线的定义即可求解. 【详解】由题意得即， ，所以在的左支上，设， 所以有， 且根据题设条件知，所以， 由双曲线的对称性可知B，C两点关于轴对称， 所以， 即，解得， 【变式3-2】（25-26高二上�上海�期末）已知曲线上存在四个点，使四边形是正方形，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】设，根据对称性可求出，将点坐标代入方程可得，根据的范围即可求出的范围. 【详解】设， 由题意及对称性可得， 则， 即，即， 由曲线的方程可得， 关于的方程需在上有解， 易知，即时，有解， 因为，所以，解得，即或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：.    题型4 双曲线的焦点三角形 【例1】（25-26高二下·河南新乡·期中）已知双曲线，过原点作直线与双曲线交于两点，设双曲线的左､右焦点分别为，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义，结合已知条件求解三角形的边长，然后求解三角形的面积． 【详解】如图，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，由，则， 不妨设在双曲线的右支上，设，又， 由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理可得：， 即，解得， 所以． 【例2】（25-26高二上·广东·期末）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】法1，由双曲线焦点三角形的面积公式求解；法2，在焦点三角形中利用定义和余弦定理求解. 【详解】法1：由双曲线焦点三角形的面积公式可知，解得，即. 法2：由双曲线定义， 在焦点三角形中，由余弦定理得 , 即，所以， 又，所以， 整理得，解得. 故选：A. 【技巧归纳】 利用定义||PF₁|－|PF₂||＝2a和余弦定理建立边角关系，结合基本不等式求面积或角范围。注意焦点三角形面积公式可快速求解。 【变式4-1】（25-26高二上·广东深圳·期末）（多选）已知点是双曲线右支上一点，，分别为的左、右焦点，若△的面积为，则（    ） A．点的纵坐标为 B．△的周长为 C．△的内切圆半径为 D．大于 【答案】BC 【分析】由双曲线方程求出及焦距，再通过三角形面积公式求出点的坐标，最后结合双曲线定义、三角形面积与内切圆半径的关系、余弦定理等，逐一判断各选项． 【详解】因为双曲线，所以，，； 则，，故． 因为，代入，， 所以，解得，故选项A错误； 将代入双曲线方程中，解得，故； 因为，，所以， 则△的周长为，故选项B正确； 因为三角形面积与内切圆半径的关系为，其中为半周长，得，所以，解得，故选项C正确； 根据余弦定理，， 因为，，且余弦在单调递减， 所以，故选项D错误． 故选：BC． 【变式4-2】（2026·河南·模拟预测）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在双曲线C的右支上，且，则（   ） A．当时，的面积为 B．当时，的周长为 C．当为钝角时， D．内切圆的半径的取值范围是 【答案】BC 【分析】由焦点三角形的面积公式，求出的面积，判断A；，根据双曲线的定义及勾股定理求得，从而求得的周长，判断B；由为钝角，根据余弦定理可得的范围，用表示，即可求得其范围，判断C；根据双曲线焦点三角形内切圆半径的范围，可判断D. 【详解】当时，，故A错误； 设，当时， 有， 所以，的周长为，故B正确； 设，当为钝角时，由余弦定理知， 因为， 所以，故C正确； 由如下引理知内切圆的半径的取值范围是，即，故D错误． 引理 双曲线的焦点三角形的内切圆半径的取值范围是． 证明如下： 如图，点P位于第一象限，是双曲线的左、右焦点，设焦点内切圆的圆心为G，则圆心G在直线上（证明省略）． 设内切圆的半径为r，点， 由焦半径公式得，其中． 所以． 因为， 即． 因为点在双曲线C上，所以，得． 于是，把代入得 ． 易知在时单调递增，且， 由函数的单调性及极限的知识可知， 因此双曲线的焦点三角形的内切圆半径的取值范围是． 题型5 双曲线的渐近线 【例1】（2026·天津·模拟预测）已知双曲线左顶点为，焦距为，过点作直线与的一条渐近线垂直，垂足为则的面积（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由，，又，解得， 双曲线的标准方程为，其渐近线方程为. 如图任选一条渐近线，因可得， 又，所以， 故. 【例2】（25-26高二上·山东淄博·期中）（多选）已知双曲线，点在渐近线上，满足．则下列说法正确的是（    ） A．虚轴长为 B．离心率为 C．双曲线的渐近线方程是 D．的面积是 【答案】BC 【分析】求出、、的值，利用双曲线的几何性质可判断ABC选项；不妨设点在第一象限，设点，由题意得出，求出的值，可得出点的坐标，再利用三角形的面积公式可判断D选项. 【详解】在双曲线中，，，， 对于A选项，双曲线的虚轴长为，A错； 对于B选项，双曲线的离心率为，B对； 对于C选项，双曲线的渐近线方程是，C对； 对于D选项，不妨设点在第一象限，设点， 易知点、，，， 由题意可得， 因为，解得，即点， 故，D错. 故选：BC. 【技巧归纳】 渐近线相关性质中，焦点到渐近线的距离恒等于b（虚半轴长），注意渐近线斜率与离心率关联 【变式5-1】（2026·上海黄浦·三模）双曲线的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，则该双曲线两条渐近线夹角的余弦值为________． 【答案】 【分析】联立圆与渐近线得交点，求得向量夹角及已知角得渐近线斜率，再通过直角三角形与二倍角公式求出两渐近线夹角的余弦值. 【详解】由双曲线方程，焦点， 以为直径的圆，取渐近线， 联立，解得或， 所以交点，右顶点， 则向量， 所以， 已知，因此，解得，即， 即,由知, 因为 ，所以，所以, 设圆与轴交点为，所以, 设两渐近线夹角为，则， 所以. 【变式5-2】（2026·湖南怀化·三模）（多选）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P是C的右支上一点（不与右顶点重合），过点P向双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（   ） A．焦点到渐近线的距离等于 B．内切圆的圆心在直线上 C．为定值 D．若直线与C交于另一点A，则的最小值为6 【答案】ABC 【分析】根据题目条件可以求出焦点坐标与渐近线方程，对于A选项运用点到直线的距离公式求出结果；对于B选项运用双曲线的定义与切线长定理，求出内切圆与的坐标点，再运用内切圆的圆心在角平分线上求出结果；对于C选项，设点P的坐标，求出的长度，运用点P在双曲线上求出结果；对于D选项，取右顶点讨论. 【详解】对于A选项，由题意可知， 则渐近线方程为， 焦点到渐近线的距离等于， 同理到渐近线的距离为； 对于B选项，设的内切圆与三边分别切于点， 根据切线长定理得 则 ， 又因为，解得，故G点坐标为，因为三角形的内切圆的圆心与切点G的连线垂直于x轴上，故横坐标与G点相同，故B选项正确； 对于C选项，设点，则，即， 点P到的距离， 同理点P到的距离， 则， 故C选项正确；    对于D选项，当点P与右顶点重合时， ，故当点P越接近右顶点时，的值就越接近2该值小于6，故D选项错误.    题型6 双曲线的离心率及范围 【例1】（2026·四川眉山·模拟预测）如图双曲线（，）的左右焦点分别为，，直线过交双曲线的渐近线于，两点，若，，则双曲线的离心率（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设方程为，联立渐近线方程求出点坐标，利用求出，再化简点坐标，利用求出，即可得解. 【详解】由题意，直线的斜率存在，设方程为， 双曲线渐近线方程为， 由， 所以，故， 同理可得， 因为，所以， 所以，即，所以， 所以，， 所以， ， 所以， 化简可得，所以. 【例2】（25-26高三下·河南周口·阶段检测）若直线与双曲线的交点为，，且大于的虚轴长，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线与双曲线方程求出，根据题意列出关于的不等式，再转化为离心率即可. 【详解】将直线代入得， 所以， 因为大于的虚轴长，所以，即， 同时除以得， 解得，所以离心率， 所以的离心率的取值范围是. 【技巧归纳】 求离心率核心是建立的齐次方程，利用求值。求范围则结合题设条件（如点存在、直线与双曲线相交等）建立不等式，注意。 【变式6-1】（2026·福建福州·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别是，．若C的渐近线上存在一点P，满足，则C的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用距离差的绝对值计算判断定义结合计算判断. 【详解】解法一：双曲线的渐近线方程为. 当时，满足轨迹不存在，舍去； 当时，满足轨迹为x轴挖去线段，与题意不符，舍去； 当时，满足轨迹为双曲线. 联立方程，得到． 由，解得或（舍去）， 故，解得，故该双曲线离心率的取值范围是． 解法二：上同解法一.双曲线的渐近线方程为， 因为由题意可知与双曲线相交， 所以由双曲线渐近线性质可知只需，即，后仿照解法一即可求得. 【变式6-2】（25-26高三下·湖南·阶段检测）已知双曲线的左､右焦点分别为为上异于实轴端点的动点，若，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理和三角恒等变换化简整理出离心率，再结合三角函数范围求解即可. 【详解】 设，，在中，结合双曲线定义，， 由正弦定理得， 化简分子： ， 分母， 代入得 ， 已知，代入整理得， 是三角形内角，故，结合双曲线离心率， 由，， 由，， 因此离心率. 题型7 双曲线的轨迹问题 【例1】（2026�四川广安�模拟预测）在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两点的距离公式与点到直线的距离公式列出方程化简求解即可. 【详解】设动点的坐标为， 则点到定点的距离为， 点到定直线的距离为, 由题意得， 化简得：，即. 【例2】（2026�河南�一模）已知是一个动点，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.若的面积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设动点坐标，利用点到直线距离公式表示垂线段长度，结合两直线夹角与三角形面积公式建立方程，化简后得到轨迹方程. 【详解】不妨设， 设动点，直线与的一般式为、， 由点到直线的距离公式，得，. 直线与的夹角为，由， 得与两直线夹角互补，故. 由， 即， 化简得，即. 当时，整理为； 当时，整理为. 因此动点的轨迹方程为或. 【技巧归纳】 若动点满足到两定点距离之差的绝对值为常数（小于焦距），直接定义求方程；否则用直接法或相关点法，注意排除不满足条件的点（如常数等于焦距时轨迹为两条射线）。 【变式7-1】（2026�陕西西安�模拟预测）在平面直角坐标系中，已知定点、，平面内两个动点、满足，，且点在的平分线上，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对点的位置进行分类讨论，当点在轴右侧时，延长交于点，分析可知，且为的中点，再利用双曲线的定义可得结果. 【详解】易知点不在轴上，由知动点在单位圆上， 设点在轴右侧，如图，延长交于点． 因为点在的平分线上，且， 所以为等腰三角形，则，且为的中点，所以， 因此． 同理，当点在轴左侧时，． 故点在以、为焦点的双曲线上， 则该双曲线实轴长为，焦距，虚轴长为， 所以双曲线方程为． 【变式7-2】（25-26高二上�广东惠州�阶段检测）动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆与圆的位置关系及双曲线的定义写出动圆圆心的轨迹方程. 【详解】由题设，圆的半径为，则， 所以，点的轨迹是以，为焦点， 所以，的双曲线的左支， 又，则，故， 动圆圆心的轨迹方程为. 故选：C 题型8 双曲线的最值问题 【例1】（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【分析】设双曲线的左焦点为，根据双曲线的定义，将转化为，即可求其最小值. 【详解】设双曲线的左焦点为，则，所以，. 则由题意可得，，即. 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立. 即的最小值为. 【例2】（2026·宁夏银川·模拟预测）已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【分析】根据双曲线的性质得到焦点的坐标和双曲线上的点到两个焦点的距离之差，结合三角形边的性质从而求解. 【详解】 在双曲线中，，，， 所以双曲线的焦点，，， 因为，， 所以. 【技巧归纳】 常用方法：几何法（利用定义、将军饮马构造对称、三角形不等式等几何方法）、参数法（设点坐标或用双曲线参数方程）、不等式法（结合范围放缩）。注意双曲线上点坐标的范围限制（如）及取等条件验证。 【变式8-1】（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据焦点坐标可求，结合双曲线的定义可得答案. 【详解】因为右焦点为，所以，即； 设双曲线的左焦点为，则；由双曲线的定义得， 所以，当三点共线时，有最小值， 最小值为，所以的最小值为. 【变式8-2】（25-26高二下·陕西宝鸡·阶段检测）已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，点的坐标为（3,1），则的最大值为___________． 【答案】 【详解】由题意可知双曲线的实半轴长，设右焦点为， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号. 的最大值为 1．（25-26高二上�河北�期中）对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，该双曲线的标准方程为___________． 【答案】 【分析】设双曲线的方程为，将点代入方程，求得的值，即可求解. 【详解】设等轴双曲线的方程为， 将代入方程得， 所以双曲线的标准方程为． 故答案为：. 2．（25-26高二上�天津�阶段检测）双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线右支上，直线的斜率为3，若是直角三角形，且面积为6，则双曲线的方程为__________. 【答案】 【分析】由题意得，，根据三角函数的定义，可得、表达式，根据的面积，可得c值，根据双曲线的定义，可得a值，根据a，b，c的关系，可得，即可得答案. 【详解】因为点在双曲线右支上，直线的斜率为3，且是直角三角形， 所以，且，则， 设焦距为2c，即， 所以， 因为的面积为6，所以， 解得， 由双曲线的定义得，则， 所以， 所以双曲线的方程为. 故答案为： 3．（2025高三�全国�专题练习）已知圆，，过的直线与圆交于两点，过作的平行线交直线于点，则点的轨迹方程为______． 【答案】 【分析】根据圆的性质，结合平行关系，即可得，由双曲线的定义即可求解. 【详解】如图，根据题意，，因为，， 所以，所以， 所以． 当位置互换时，， 当过的直线与轴重合时，无法作出， 所以点在以为焦点的双曲线上， 设该双曲线方程为，则，所以， 所以的轨迹方程为． 故答案为： 4．（25-26高二上�黑龙江哈尔滨�阶段检测）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质，可得，结合双曲线的定义，可得a，c的值，根据a，b，c的关系，即可求得答案. 【详解】因为圆心，，所以， 因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为， 所以， 所以， 所以Q点轨迹为双曲线，且， 所以，则点的轨迹方程为.    故选：B 5．（25-26高三上�安徽�阶段检测）（多选）在平面直角坐标系中，方程表示的曲线可能是（    ） A．一条直线 B．一个圆 C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的双曲线 【答案】BC 【分析】设，对进行分类讨论，即可对选项进行判断. 【详解】设，因为，，则曲线的方程可表示为； 当时，曲线的方程为，可得，此时曲线为两条直线，故A错误; 当时，曲线的方程为，此时曲线是一个圆，故B正确； 当时，，曲线的方程为，此时曲线是焦点在轴上的椭圆，故C正确； 当时，，曲线的方程为，此时曲线是焦点在轴上的双曲线，故D错误. 故选：BC. 6．（2026�湖南常德�一模）（多选）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过点 的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于点 ，则（    ） A．直线 斜率的取值范围是 B．当直线 过原点时， 的面积为 C．若 ，则 D．若直线 的斜率为 ，且 ，则 【答案】ACD 【分析】先根据双曲线性质确定基本参数，再结合直线方程与双曲线方程联立，几何性质、定义等知识逐一分析各选项. 【详解】因为双曲线，所以，焦点 ， 渐近线斜率，离心率，在A选项中，设直线， 联立双曲线得：， 故, 故，而直线与双曲线左、右支各有一个交点， 故,故，所以，A正确， 在B选项中，当直线过原点时，斜率，则直线，代入双曲线得： ，则，面积，B错误， 在C选项中，设，满足，设， 则：， 由二倍角公式：， 又 ，故 ， C正确， 在D选项中，因为直线的斜率为，且过点，则直线方程为， 因为，所以它们的中点坐标为， 斜率，与直线的斜率乘积为， 故直线是的垂直平分线，因此直线上任意点到和的距离相等， 即，由双曲线定义可得：在左支， 在右支，故， 因此，D正确. 7．（25-26高二下·上海松江·期中）已知、是双曲线：（，）的左右焦点，l是的一条渐近线，以为圆心的圆与l相切于P．若双曲线的离心率为3，则=_______． 【答案】 【分析】以为圆心的圆与l相切于点P，，所以由点到直线的距离求出，由余弦定理求出，再由余弦定理求出，即可求出的值． 【详解】设双曲线的一条渐近线为， 则到直线的距离为， 因为以为圆心的圆与l相切于点P，，所以， 又因为双曲线的离心率为，所以，则， 在中，， 在中，， 解得：， 由余弦定理可得：， 所以. 8．（2027高三·全国·专题练习）已知双曲线的离心率为，，为的两个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，为坐标原点，则________． 【答案】 【分析】先由离心率求出参数关系，得到渐近线方程和焦点坐标，再根据点到直线距离求出垂线段长，最后在三角形中利用余弦定理求出所求线段长并求比值. 【详解】根据题意，，则，， 可知渐近线方程为，即，且， 则，，， 可得，． 在中，由余弦定理可得， ， 即，所以． 故答案为：. 9．（25-26高二上·江苏南通·期末）设是椭圆：和双曲线：的公共焦点，是它们在第一象限的公共点，与双曲线的右支交于另一个点，若以为直径的圆过点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，可得，再由可得,代入后得即可求解答案. 【详解】椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，若以为直径的圆过点，则满足， 所以，可得， 所以，化简得出， 又因为，所以， 所以，即得， 所以，代入，可得， 则椭圆的离心率. 故选：D. 10．（25-26高二上·浙江湖州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线第一象限内的一点，的角平分线为，过原点作的平行线，分别与和交于两点，若，则的周长为（  ） A．48 B．50 C．52 D．56 【答案】C 【分析】为的中点，过原点作的平行线，分别与和交于两点，利用三角形中位线定理得到，由求出，设直线交于点，由的角平分线为，得到，由是的角平分线得到，，结合求出和的值，从而求出的周长. 【详解】   ，，， ，， 为的中点，过原点作的平行线，分别与和交于两点， ， ，， 设直线交于点， 点为双曲线第一象限内的一点，， 的角平分线为， ，，，， ，， ，， ，，， 是的角平分线， ，， 点为双曲线第一象限内的一点，， ，，， ，的周长为. 故选：C. 11．（25-26高三上·四川眉山·期末）（多选）已知双曲线的左､右焦点分别为在双曲线右支上，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．到的两条渐近线的距离之积为 D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】由双曲线的定义可判断A；由双曲线的定义结合可判断B；由点到直线的距离公式代入计算，即可判断C；结合双曲线的定义代入计算即可判断D. 【详解】由双曲线可得：，所以 对于A，点在双曲线右支上，由双曲线的定义可得：，故A正确； 对于B，若，所以， 又因为，则 解得：，故B错误； 对于C，，由可得双曲线的渐近线方程为， 由点到直线的距离公式可得，设点， 到双曲线的两条渐近线的距离之积为， 将代入双曲线方程可得，则， 代入上式可得，故C正确； 对于D，由双曲线的定义可得，所以， 则， 当三点共线时，最小， 且， 故的最小值为，故D正确； 故选：ACD. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $