2.4 有理数的乘方（分层作业练题型）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到思维拔高再到中考衔接，覆盖有理数乘方全知识点，通过概念理解→运算应用→综合探究递进，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|有理数幂概念、乘方运算、符号规律、科学记数法基础|以选择填空为主，如幂的概念理解题，夯实基础运算能力| |B组能力进阶|乘方逆运算、实际应用（如细菌分裂）、跨学科情境（结绳计数）|增加解答题，结合生活情境，培养模型意识与应用能力| |C组思维拔高|新定义运算、规律探究（末位数字）、综合计算|含逻辑推理题，如进制转换探究，发展创新意识与推理能力| |拓展链接中考|中考真题（科学记数法、半衰期）|对接中考考点，如谢尔宾斯基地毯规律题，提升应试能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.4有理数的乘方 目录 A组巩固过关 题型01有理数幂的概念理解 题型02有理数的乘方运算 题型03有理数乘方逆运算 题型04乘方运算的符号规律 题型05乘方的应用 题型06用科学记数法数法表示大于1的数 题型07将用科学记数法表示的数变回原数 题型08有理数的乘方有关的新定义型问题 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 题型01 有理数幂的概念理解 1.(25-26七年级上·内蒙古乌兰察布期中)对乘积(-2025)×(-2025)×(-2025)×(-2025)记法正确的是 () A.-20254 B.(-2025) C.-(-2025)4 D.-(+2025)9 m个4 4+4+…+4 2. (2425七年级下·河北保定期中) 5×5×…×5 =() n个5 A. 4m B. 4 D 4m 5n C.m n 3.(24-25七年级上湖北省直辖县级单位期末)把“8”写成a”(a,均为正整数)的形式是 1/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型02 有理数的乘方运算 4. (25-26七年级下山西太原期中)计算(-1)的结果是（) A.-1 B.1 C.-2026 D.2026 5.(25-26七年级上四川宜宾·期中)下列各式的计算结果与-2相等的是() A.(-2) B.23 C.32 D.(-2)×3 。(2425入年级上山东城海期末)下数或式子：(2(，5Qm+1室数特上所对应的点一定 在原点右边的是 题型03 有理数乘方逆运算 7.(24-25七年级上安徽安庆期中)计算(-2)24+(-2)0的结果为（) A.-22024 B.-22023 C.22023 D.22024 8.(25-26八年级上河南信阳期中)已知2m+"=32,则7+2m+2n= 9.(25-26七年级上·上海浦东新期中)己知a、b互为倒数，化简：（←a)5.b226= 题型04 乘方运算的符号规律 10.(25-26九年级下·山东烟台期中)下列各组数中，互为相反数的一组是() A.(-6)}和-62B.（-7)°和-75C.-8和-8 D.-(-9)和-9 11.(24-25七年级上四川南充期中)已知y=-(x-6)+2024的最大值为一 12.(24-25七年级上安徽合肥期中)如果a+2+(b-1=0,则(a+b)5= 219 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 颗型05 乘方的应用 13.(25-26七年级下·河南平顶山期中)某种细菌每分钟由1个分裂成2个，那么3个这样的细菌经过8分 钟可以分裂成() A.6×28 B.3×28 C.2×38 D.3×82 14.(25-26七年级上河南濮阳期末)如图是第十四届国际数学教育大会(ICME-14)会徽，在其右下 方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数(3745)，.该八进制数转换成十进制数的计算方式为： (3745)。=3×8+7×82+4×8+5×8°=2021，请将十进制数20转换成八进制数是() IcME-14 三三E三 A.(24)s B.(23)s C.(22)为 D.(20)s 15.(25-26七年级上·湖北襄阳期末)《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是一 尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完.如图，有一根4米长的木棍，第1天截取它的一半，第2天 截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部分的一半，·，·，则第1天到第5天一共截取的长度为 米。 2米 米1米 4米 顯型04 用科学记数法数法表示大于1的数 16.(2026安徽模拟预测)据报道，2025年我国南方电网“西电东送”送电量超过2600亿千瓦时，其中 2600亿用科学记数法表示为() A.26×1010 B.2.6×10 C.0.26×102 D.2600×108 17.(25-26七年级上·四川攀枝花期末)据报道今年国庆出游的全国旅客数达到826000000人次，数据 826000000用科学记数法可表示为一· 319 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(25-26七年级上：四川凉山期末)南丝路集团2025年一季度外贸出口订单超200万美元，若1美元兑 换7.2元人民币，将200万美元兑换成人民币后用科学记数法表示为 元 题型07 将用科学记数法表示的数变回原数 19.(25-26七年级下·河南周口期中)北斗卫星导航系统是中国自主研发的全球卫星导航系统，其定位精 度达到米级甚至厘米级.其中一种信号的传输速度约为3×10米秒，还原原数表示为() A.30000000B.300000000 C.0.00000003 D.0.000000003 20.(25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中)自2019年国家全面推进城镇老旧小区改造以来，呼和浩特 市投入了巨额资金.根据公开报道和政府工作计划，近年来（大致从2020年至2024年)，呼和浩特市在 老旧小区改造上的累计投资规模已超过1.023×10°元.其中1.023×10°可表示为() A.0.1023亿B.1.023亿 C.10.23亿 D.102.3亿 21.(25-26七年级上重庆期中)比较大小：3.6×107 9900000(填“>”、“<”或“=”) 题型08 有理数的乘方有关的新定义型问题 22.(24-25七年级上江苏无锡期中)定义一种新的运算：a*b=a°，如4*2=(4=16，则-1*2的值 是() A.-2 B.2 C.-1 D.1 23.(25-26七年级上江苏苏州阶段检测)对于任意正整数a,b定义一种新运算：F(a+b)=F(a)F(b) 比如F(2)=5,则F(4)=F(2+2)=5x5=5,F(6)=F(2+4)=5×52=5°，那么F(2026)的结果是() A.2026 B.51013 C.52026 D.1013 24.(25-26七年级上：浙江宁波·期末)对于等式a°=c,定义已知a,c求b的运算为对方运算，记为 b=D.(c),例如已知a=2,c=8,求b,因为2=8，所以b=D(8)=3,则D,16)+D,(81)的值为 419 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B组 能力进阶 一、单选题 1.(2526七年级上河商南时期末)计第55。*5的钻果是《） A.5n B.5+n C.5m D.n 2.(25-26九年级下·吉林长春·期中)下列式子计算的结果为负数的是() A.(-2)月 B.-2 C.-22 D.-(-2) 3.(25-26七年级上：河南信阳期末)2025年10月31日神舟二十一号载人飞船采用自主快速交会对接模 式，发射后仅用3.5小时与空间站成功对接，其平均速度高达用科学记数法表示为2.7648×10米/小时，则 这个用科学记数法表示的数据原数是()米/小时 A.2764810 B.2764800 C.27648000 D.276480000 4.(25-26七年级上·福建漳州期中)如图，某种细菌在适宜环境下，细胞每过30分钟便会由1个分裂成 2个，经过4小时，1个细胞能分裂成() ● ● ● A.27个 B.82个 C.24个 D.2个 二、填空题 5.(25-26七年级上广东江门期中)计算：（4)= 6.(25-26七年级上广东深圳期中)若3×27=a,则a= 7.(25-26七年级上广东梅州期中)设a、b都表示有理数，规定一种新运算“△”：当a≥b时， a△b=b2;a<b时，a△b=2a-b.则(4△(-5)= 三、解答题 8.(2526六年级上山东泰安期中)在数轴上商出表示数，十2，-(2,0,7的点，并把这组数 519 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 从小到大用“<”号连接起来 -4-3-2-101234→ 9.(2425七年级上湖南邵阳期末)计算： (1)16+(-28)-(-10) (2)-1P-(-2)°÷4+-2 10.(25-26七年级上：广东江门·期末)【综合与实践】进位制的认识与探究. 生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例如：123=1×102+2×10+3×10°；计算 机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例如：二进制数101)2转化成 十进制数：1×2+0×2+1×2°=5.其他进制也有类似的算法…。 【体验领悟】(1)根据以上信息，将二进制数“1010'转化为十进制数是 【理解运用】(2)计算：(0011)2+10)2，和的结果用十进制数表示： 【拓展延伸】(3)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是 远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示， 求孩子已经出生的天数.（结果用十进制数表示） C组 思维拔高 一、单选题 202619 、2025 1.(25-26八年级上江西上饶期末)计算 5 的结果是() A 5-9 B. 9 c.- 9 D.5 2.(25-26七年级上浙江绍兴期末)下列各组数中，计算结果相等的是() A.-（-2)与-2 B.-32与（-3)月 619 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.-2与(-2 3.(25-26七年级上山东青岛期末) 若a-(,b(,c(,a-(,则a b,c,d的大小关系正确的是() A.a>c>b>d B.a>b>c>d C.d>c>b>a D.b>d>c>a 4.(25-26七年级上全国期中)观察下列算式：2=2,22=4,23=8,24=16,2=32,2=64， 27=128,2=256,…,则2+2+2+24+2+…+21018的末位数字是() A.8 B.6 C.4 D.0 -x(x≤y) 5.(25-26七年级上四川眉山期中)已知x、y为有理数，如果规定一种新运算x⊕y= 1x2+y2(x>y) 则3©(-2©4)=() A.-5 B.5 C.8 D.13 二、填空题 6.(25-26七年级下浙江杭州期中)若2”=8，则3= 7.(25-26七年级上河南周口期末)若-+(y+2}=0,则x+y的值为一· 8.(25-26七年级上广东梅州期中)设a、b都表示有理数，规定一种新运算“△”：当a≥b时， a△b=b2;a<b时，a△b=2a-b.则(-4)△(-5)= 9.(25-26六年级上：上海静安·期末)有一根2米长的木棒，第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一 半，以此方式进行下去，则第六次截去之后剩下的木棒的长度是米 10.(25-26七年级上·河南南阳期末)阅读以下内容： (x-1)(x+1)=x2-1 (x-10(x2+x+1)=x3-1 (x-10(x3+x2+x+1D=4-1 …… 根据这一规律，计算：1+2+22+23+24+…+22026= 三、解答题 11.(25-26七年级上全国期中)己知a2=16,b2=9,且ab>0,求： 719 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)a+b的值： (2)2a-3b的值. 12.(25-26七年级上四川成都期中)定义一种“⑧”运算：a⑧b=a2-ab,例如 2⑧(-3)=2-2×(-3)=4-（-6)=10 ()分别求4⑧(4)和(-3列85的值： (2)已知2⑧（←x2+3x+)与mx2+x的差值与x的取值无关，求m,n的值. 13.(25-26七年级上安徽铜陵期中)如图，已知在数轴上，点A表示的数为a,点B表示的数为b,且 1a+3+(b-4)2=0 -4-3-2-0123456> (I)点A,点B表示的数分别是_： (2)若点P是数轴上一动点，其表示的数为x利用绝对值的几何意义，探索x+3+x-4的最小值为： (3)若点A,点B同时沿数轴向正方向运动，点A运动的速度为2个单位长度/秒，点B运动的速度为1个单 位长度/秒，若运动的过程中，当点A、B之间相距6个单位长度时，求运动时间的值. 14.(25-26七年级上广东江门期末)【综合与实践】进位制的认识与探究。 生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例如：123=1×102+2×10+3×10°；计算 机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例如：二进制数101)2转化成 十进制数：1×2+0×2+1×2°=5.其他进制也有类似的算法… 【体验领悟】(1)根据以上信息，将二进制数“1010”转化为十进制数是 【理解运用】(2)计算：(10011)2+(10)2，和的结果用十进制数表示： 【拓展延伸】(3)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是 远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示， 求孩子已经出生的天数.（结果用十进制数表示） 15.(25-26七年级上河南周口期末)阅读下列各式：(a-b}=ab2,(ab°=d.b,(a-b)°=ab,… 请据此解答下列问题： 819 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 100 (1)验证： (2)通过上述验证， 归纳得出：(ab)”= (abc)°=_ (3)请应用上述性质计算：(-0.125)26×22025×42024 拓展 链接中考 1.(2025江苏镇江·中考真题)2024年全市共接待国内游客约55510800人次，其中数据55510800可表示 为() A.55510.8万B.5551.08万 C.555.108万 D.55.5108万 2.(2025四川巴中·中考真题)所有放射性物质都有自己的半衰期.半衰期是放射性物质的质量缩减为原 来的一半所用的时间，是一个不变的量，质量为m的放射性物质，经历了3个半衰期后的质量为()m」 A. 1 B. C.a D. 3.(2025·青海中考真题)下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程.按此规律下去，第⑥个图形中黑色三 角形的个数是 入入入 1 ④ 919 分层作业 2.4 有理数的乘方 目 录 A组 巩固过关 题型01 有理数幂的概念理解 题型02 有理数的乘方运算 题型03 有理数乘方逆运算 题型04 乘方运算的符号规律 题型05 乘方的应用 题型06 用科学记数法数法表示大于1的数 题型07 将用科学记数法表示的数变回原数 题型08 有理数的乘方有关的新定义型问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )有理数幂的概念理解 1．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘方定义即可判断； 【详解】解：∵根据乘方定义，个相同因数相乘，记作，其中为底数，为指数， 本题中共有个相同因数相乘， ∴底数为，指数为，正确记法为． 2．（24-25七年级下·河北保定·期中）（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查乘法和乘方的意义，只需根据定义分别化简分子和分母，即可得到结果，选出正确选项． 【详解】解：根据乘法的意义，个相同加数相加，可得 根据乘方的意义，个相同因数相乘，可得 原式． 3．（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）把“8”写成（a，n均为正整数）的形式是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数的乘方幂的概念理解，根据乘方的定义，底数是相同的因数，指数是相同因数的个数，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：或． ( 题型0 2 )有理数的乘方运算 4．（25-26七年级下·山西太原·期中）计算的结果是（    ） A． B．1 C． D．2026 【答案】B 【分析】负数的偶次幂为正，负数的奇次幂为负． 【详解】∵是偶数，根据乘方运算规则，的偶次幂结果为， ∴． 故选：B． 5．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列各式的计算结果与相等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算题目中的结果，再根据有理数运算法则计算各选项结果，对比得到答案． 【详解】解： ， 选项A：，和结果相等，故A选项符合题意； 选项B：，结果不相等，故选项B不符合题意； 选项C：，结果不相等，故选项C不符合题意； 选项D：，结果不相等，故选项D不符合题意． 6．（24-25六年级上·山东威海·期末）下列数或式子：在数轴上所对应的点一定在原点右边的是________． 【答案】， 【分析】本题考查数轴上有理数的位置判断，判断每个式子的值是否恒大于零是解题的关键． 首先分析每个式子是否恒大于零，即根据与0的大小关系判断是否在原点右边即可． 【详解】解：∵，恒为负数， ∴不在原点右边，不符合题意； ∵，恒为正数， ∴在原点右边，符合题意； ∵，恒为负数， ∴不在原点右边，不符合题意； ∵是原点， ∴既不在原点左边也不在原点右边，不符合题意； ∵，恒为正数， ∴在原点右边，符合题意； 故答案为：，． ( 题型0 3 )有理数乘方逆运算 7．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方及其逆运算． 按照运算法则，将原式转化为，计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 8．（25-26八年级上·河南信阳·期中）已知，则________． 【答案】17 【分析】本题考查的是乘方运算的含义，求解代数式的值，由已知条件 结合指数运算性质，求出的值，再代入表达式计算． 【详解】解：∵ ，且， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： 9．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知a、b互为倒数，化简：______． 【答案】 【分析】本题考查了倒数，有理数的混合运算，积的乘方的逆运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据倒数的意义可得，然后计算乘方，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵a、b互为倒数， ∴ ∴ 故答案为：． ( 题型0 4 )乘方运算的符号规律 10．（25-26九年级下·山东烟台·期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】互为相反数的两个数和为0，由此逐项判断即可． 【详解】解：，故和互为相反数，A选项符合题意； ，故和不互为相反数，B选项不合题意； ，故和不互为相反数，C选项不合题意； ，故和不互为相反数，D选项不合题意． 11．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查乘方的非负性．熟练乘方的非负性是解题的关键． 根据乘方的非负性，确定最大值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴的最大值为：； 故答案为：． 12．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如果，则______． 【答案】 【分析】此题考查了非负数的性质、乘方运算、求代数式的值等知识，熟练掌握绝对值和平方的非负性是解题的关键．根据绝对值和平方的非负性求出a和b的值，再代入即可求得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， 即，， ∴， 故答案为：． ( 题型0 5 )乘方的应用 13．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）某种细菌每分钟由个分裂成个，那么个这样的细菌经过分钟可以分裂成（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先推导得到个细菌经过分钟后的分裂数量，再乘以初始细菌个数即可得到结果． 【详解】解：∵个细菌每分钟由个分裂成个， ∴个细菌经过分钟分裂为个，经过分钟分裂为个， 依此类推，可得个细菌经过分钟分裂为个， 本题中，初始细菌个数为， ∴最终总个数为． 14．（25-26七年级上·河南濮阳·期末）如图是第十四届国际数学教育大会（）会徽，在其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．该八进制数转换成十进制数的计算方式为：，请将十进制数20转换成八进制数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据十进制换算成八进制的方法计算即可． 【详解】解：∵， ∴十进制数20换算成八进制数是24． 15．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．如图，有一根4米长的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部分的一半，．．．，则第1天到第5天一共截取的长度为___________米． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方的应用，由题意可得第n天操作后剩余全长的，则第1天到第n天一共截取的长度为米． 【详解】解：由题意知，第1天操作后剩余全长的， 第2天操作后剩余全长的， 第3天操作后剩余全长的， 第4天操作后剩余全长的， 第5天操作后剩余全长的， 第1天到第5天一共截取的长度为（米）， 故答案为：． ( 题型0 6 )用科学记数法数法表示大于1的数 16．（2026·安徽·模拟预测）据报道，年我国南方电网“西电东送”送电量超过亿千瓦时，其中亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，只需根据科学记数法的定义确定和的值即可，科学记数法的表示形式为，要求，为整数． 【详解】解：∵亿 ，根据科学记数法对的要求，可得， ∵等于原数的整数位数减，原数整数位数为， ∴， ∴亿用科学记数法表示为， 故选：B． 17．（25-26七年级上·四川攀枝花·期末）据报道今年国庆出游的全国旅客数达到826000000人次，数据826000000用科学记数法可表示为____． 【答案】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，熟练掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数是解题的关键．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．根据科学记数法的表示方法，确定a和n的值即可． 【详解】解：． 故答案为：． 18．（25-26七年级上·四川凉山·期末）南丝路集团年一季度外贸出口订单超万美元，若美元兑换元人民币，将万美元兑换成人民币后用科学记数法表示为_______元． 【答案】 【分析】把美元转化为人民币，然后根据科学记数法表示为，其中，即可． 【详解】解：∵美元兑换元人民币， ∴万美元等于． 故答案为：． ( 题型0 7 )将用科学记数法表示的数变回原数 19．（25-26七年级下·河南周口·期中）北斗卫星导航系统是中国自主研发的全球卫星导航系统，其定位精度达到米级甚至厘米级．其中一种信号的传输速度约为米/秒，还原原数表示为（    ） A．30000000 B．300000000 C．0.00000003 D．0.000000003 【答案】B 【详解】解：． 20．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）自2019年国家全面推进城镇老旧小区改造以来，呼和浩特市投入了巨额资金．根据公开报道和政府工作计划，近年来（大致从2020年至2024年），呼和浩特市在老旧小区改造上的累计投资规模已超过元．其中可表示为（   ） A．亿 B．亿 C．亿 D．亿 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法表示的数还原成原数，当把一个用科学记数法表示的数还原为原数时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把乘号和去掉即可． 将科学记数法转换为原数，再改写成以亿为单位的数即可． 【详解】解：∵1亿=， ∴元 亿． 故选：D． 21．（25-26七年级上·重庆·期中）比较大小：______9900000（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数大小的比较，科学记数法，解题的关键是熟练掌握科学记数法．将两个数转化为相同形式后比较大小即可． 【详解】解：， 因为， 所以． 故答案为：． ( 题型0 8 )有理数的乘方有关的新定义型问题 22．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）定义一种新的运算：，如，则的值是（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据定义公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 23．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）对于任意正整数a，b定义一种新运算：．比如，则，，那么的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查新定义运算和有理数的乘方，根据新定义运算法则找到规律，得出，即可求解． 【详解】解：∵，且，，， ⋯ 以此类推，， ∵， ∴， 故选：B． 24．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）对于等式，定义已知，求的运算为对方运算，记为，例如已知，求，因为，所以，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，有理数的乘方的应用；根据对方运算的定义，分别求和的值，再计算它们的和． 【详解】解：因为，所以； 因为，所以； 因此． 故答案为：6． 一、单选题 1．（25-26七年级上·河南南阳·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查乘方的定义，依据乘方的概念直接推导即可． 【详解】解：∵求个相同因数的积的运算叫做乘方，其中相同因数为底数，因数的个数为指数， ∴个相乘可表示为， ∴答案选：． 2．（25-26九年级下·吉林长春·期中）下列式子计算的结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项：，，结果为正数，不符合要求． B选项：，，结果为正数，不符合要求． C选项：，，结果为负数，符合要求． D选项：，，结果为正数，不符合要求． 3．（25-26七年级上·河南信阳·期末）2025年10月31日神舟二十一号载人飞船采用自主快速交会对接模式，发射后仅用3.5小时与空间站成功对接，其平均速度高达用科学记数法表示为米小时，则这个用科学记数法表示的数据原数是（    ）米/小时 A． B．2764800 C．27648000 D．276480000 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法还原原数，掌握科学记数法中10的指数与小数点移动位数的关系是解题关键，将科学记数法表示的数还原，只需把a的小数点向右移动n位即可（n为10 的正指数）． 【详解】解：∵科学记数法（，n为正整数）还原原数时，需将a的小数点向右移动n位， ∴将中2.7648的小数点向右移动7位，得到27648000， 故选：C． 4．（25-26七年级上·福建漳州·期中）如图，某种细菌在适宜环境下，细胞每过30分钟便会由1个分裂成2个，经过4小时，1个细胞能分裂成（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据每过30分钟便会由1个分裂成2个，由4小时求出分裂的次数，即可确定出分裂的个数． 【详解】解：4小时求出分裂的次数为（次）， 经过30分钟，这种细胞由1个能分裂成个 经过60分钟，这种细胞由1个能分裂成个， ...， ∴经过4小时，这种细胞由1个能分裂成个． 二、填空题 5．（25-26七年级上·广东江门·期中）计算：___________． 【答案】 【分析】根据有理数乘方的运算法则，负数的奇次幂为负数，先计算底数绝对值的乘方，再确定结果的符号． 【详解】解：． 6．（25-26七年级上·广东深圳·期中）若，则________． 【答案】或3 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，解题的关键是掌握相关的运算法则． 将27化为幂的形式，然后逆用有理数的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：， 因为， 所以或， 故答案为：或3． 7．（25-26七年级上·广东梅州·期中）设、都表示有理数，规定一种新运算“△”：当时，；时，．则______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 三、解答题 8．（25-26六年级上·山东泰安·期中）在数轴上画出表示数，，，0，的点，并把这组数从小到大用“＜”号连接起来． 【答案】图见解析， 【分析】本题主要考查了绝对值、有理数乘方、在数轴上表示有理数、有理数大小比较等知识点，正确在数轴上表示各数是解题的关键． 先根据绝对值、有理数乘方化简相关数据，然后在数轴上表示各数，最后根据数轴比较大小即可解答． 【详解】解：，， 在数轴上表示如下： 从小到大用“＜”号连接起来如下： ． 9．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)－2 (2)3 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算． (1)根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法转化为加法，再根据有理数的加法法则计算； (2)根据乘方的定义、绝对值的定义把算式中的各部分分别计算出来，可得：原式，再根据有理数的运算法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（25-26七年级上·广东江门·期末）【综合与实践】进位制的认识与探究． 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例如：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例如：二进制数转化成十进制数：.其他进制也有类似的算法⋯⋯ 【体验领悟】（1）根据以上信息，将二进制数“1010”转化为十进制数是__________； 【理解运用】（2）计算：，和的结果用十进制数表示； 【拓展延伸】（3）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．（结果用十进制数表示） 【答案】（1）10；（2）25；（3）69天 【分析】本题考查有理数乘方的应用，理解二进制、五进制的意义是解题的关键． （1）根据题干中的方法计算即可； （2）分别将和转化为十进制数，相加即可； （3）仿照二进制数转化成十进制数的方法计算． 【详解】解：（1）， 故答案为：10； （2） ； （3）由题意知，图示中的五进制数为， ， 即孩子已经出生69天． 一、单选题 1．（25-26八年级上·江西上饶·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则与积的乘方逆运算，将高次幂拆分为同指数幂，进行凑整计算是解题关键． 先把拆成，再把和合并为，最后算出结果． 【详解】解：原式 ， ． 故选：． 2．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）下列各组数中，计算结果相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查多重符号的化简，绝对值，乘方，掌握知识点是解题的关键． 根据相反数、绝对值、有理数乘方的运算法则，分别计算各选项中两个数的值，再比较是否相等即可． 【详解】解：A.∵， ， ∴，该选项不符合题意； B. ∵， ， ∴，该选项不符合题意； C. ∵， ， ∴，该选项符合题意； D.∵， ， ∴， 该选项不符合题意； 故选C． 3．（25-26七年级上·山东青岛·期末）若，，，，则a，b，c，d的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了乘方的应用，有理数的大小比较，解题的关键是熟练掌握有理数的大小比较方法． 先根据有理数的乘方运算法则化简各数，再根据有理数的大小比较方法判断即可． 【详解】解：，，，， 因为， 所以，即； 因为， 所以， 所以，即， 所以， 故选：D． 4．（25-26七年级上·全国·期中）观察下列算式：，，，，，，，，，则的末位数字是（    ） A．8 B．6 C．4 D．0 【答案】B 【分析】此题考查数字的变化规律，有理数的乘方，得到底数为2的幂的个位数字的循环规律是解决本题的关键． 观察数字的变化可得底数为的幂的个位数字依次是2，，，循环，根据，即可得结果． 【详解】解：由已知得的末位数字为2，，，四个数字一循环，， ∵， ∴， ∴的末位数字是， 故选：B． 5．（25-26七年级上·四川眉山·期中）已知x、y为有理数，如果规定一种新运算，则（    ） A． B．5 C．8 D．13 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算，按照有理数混合运算顺序，先计算括号内的新运算，再计算括号外的，根据给定的运算法则逐步计算即可． 【详解】解：． 二、填空题 6．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若，则______． 【答案】 【分析】先根据已知乘方等式求出的值，再将代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 将代入得． 7．（25-26七年级上·河南周口·期末）若，则的值为____． 【答案】 【分析】根据绝对值与偶次方的非负性，当两个非负数的和为0时，这两个非负数均为0，据此求出x、y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴且， 解得：，， 则． 8．（25-26七年级上·广东梅州·期中）设、都表示有理数，规定一种新运算“△”：当时，；时，．则______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 9．（25-26六年级上·上海静安·期末）有一根2米长的木棒，第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，以此方式进行下去，则第六次截去之后剩下的木棒的长度是_____米 【答案】 【分析】本题考查有理数乘方的应用，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 每次截取后剩余长度均为前一次长度的一半，经过六次截取，剩余长度是原长乘以． 【详解】解：原长为2米，经过次截取后，剩余长度为， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·河南南阳·期末）阅读以下内容： 根据这一规律，计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，对于任意正整数，有，令，，即可求得答案． 【详解】根据题意可知，对于任意正整数，有． 令，，可得 ． 即 ． 故答案为： 三、解答题 11．（25-26七年级上·全国·期中）已知，，且，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的运算法则． （1）根据乘方的意义及求出，或，，进而代入计算即可； （2）将，或，代入计算即可． 【详解】（1）解：因为，， 所以， 因为， 所以，或， 当，时，； 当，时，； （2）解：当，时，； 当，时， 12．（25-26七年级上·四川成都·期中）定义一种“”运算：，例如． (1)分别求和的值； (2)已知与的差值与的取值无关，求，的值． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，整式的加减运算，解一元一次方程，熟练掌握新定义的运算法则是解本题的关键． （1）原式利用已知的新定义计算即可得到结果； （2）将与的差值，利用已知新定义化简后，根据结果与x的值无关，确定出，的值即可． 【详解】（1）解：由新定义得， ， ； （2）解：， ， ∵与的差值与的取值无关， ∴， ∴；． 13．（25-26七年级上·安徽铜陵·期中）如图，已知在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，且． (1)点，点表示的数分别是 ； (2)若点是数轴上一动点，其表示的数为利用绝对值的几何意义，探索的最小值为 ； (3)若点，点同时沿数轴向正方向运动，点运动的速度为个单位长度秒，点运动的速度为个单位长度秒，若运动的过程中，当点、之间相距个单位长度时，求运动时间的值． 【答案】(1)， (2)7 (3)或 【分析】此题主要考查数轴上点的坐标与距离表示方法，绝对值的化简，一元一次方程的应用． （1）根据几个非负数和为0，则这几个非负数均为0，即可得出，，由此得答案； （2）数轴上两点之间的距离可知：表示的是点到、两点的距离之和，结合数轴可知点到、两点的距离之和最小，由此即可求出最小值； （3）表示出运动t秒时，点A，B，P表示的数，从而得到A，B的距离，根据该距离为6个单位长度可求得t的值． 【详解】（1）解：因为， 所以，， 解得，， 即点表示的数是，点表示的数是． 故答案为：， （2）解：由（1）知，点表示的数是，点表示的数是， 所以表示的是点到、两点的距离之和． 当点在点，之间， 即时， 点到、两点的距离之和最小， 即， 最小值为． 故答案为： （3）解：点运动时表示的数为， 点运动时表示的数为， 所以， 即或， 解得或， 所以当运动过程中，点，之间相距个单位长度时，运动时间的值为秒或秒． 14．（25-26七年级上·广东江门·期末）【综合与实践】进位制的认识与探究． 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例如：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例如：二进制数转化成十进制数：.其他进制也有类似的算法⋯⋯ 【体验领悟】（1）根据以上信息，将二进制数“1010”转化为十进制数是__________； 【理解运用】（2）计算：，和的结果用十进制数表示； 【拓展延伸】（3）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．（结果用十进制数表示） 【答案】（1）10；（2）25；（3）69天 【分析】本题考查有理数乘方的应用，理解二进制、五进制的意义是解题的关键． （1）根据题干中的方法计算即可； （2）分别将和转化为十进制数，相加即可； （3）仿照二进制数转化成十进制数的方法计算． 【详解】解：（1）， 故答案为：10； （2） ； （3）由题意知，图示中的五进制数为， ， 即孩子已经出生69天． 15．（25-26七年级上·河南周口·期末）阅读下列各式：，，，…，请据此解答下列问题： (1)验证：______；______． (2)通过上述验证，归纳得出：______，______． (3)请应用上述性质计算：． 【答案】(1)1，1 (2)， (3) 【分析】本题考查有理数乘方的应用，正确掌握乘方的运算是解题的关键． （1）根据乘方的定义运算即可求解； （2）根据验证，归纳即可； （3）根据归纳的结论，应用计算即可求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：1，1； （2）通过（1）的验证可得，； ， 故答案为：，； （3）解： ． 1．（2025·江苏镇江·中考真题）2024年全市共接待国内游客约55510800人次，其中数据55510800可表示为（   ） A．55510.8万 B．5551.08万 C．555.108万 D．55.5108万 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，根据，1万解答即可得． 【详解】解：万， 故选：B． 2．（2025·四川巴中·中考真题）所有放射性物质都有自己的半衰期．半衰期是放射性物质的质量缩减为原来的一半所用的时间，是一个不变的量．质量为的放射性物质，经历了个半衰期后的质量为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数乘方的应用． 根据题意可知每经历一个半衰期，质量变为原来的，由此可得经历个半衰期后的质量． 【详解】解：， ∴经历了个半衰期后的质量为． 故选：D． 3．（2025·青海·中考真题）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是__________． 【答案】或243（两个答案均可得分） 【分析】本题考查了图形的变化类问题，找到图形的变化规律，即可得出答案． 【详解】解：∵第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， …， 按此规律，第⑥个图案中有个涂有阴影的三角形． 故答案为：或243． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.4有理数的乘方 参考答案 A组 巩固过关 题型01 有理数幂的概念理解 1.B 2.A 3.8或2 题型02 有理数的乘方运算 4.B 5.A 题型03 有理数乘方逆运算 7.C 8.17 9.-b 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 颗型04 乘方运算的符号规律 10.A 11.2024 12.-1 题型n5 乘方的应用 13.B 14.A 1 15.8 颗型0k 用科学记数法数法表示大于1的数 16.B 17.8.26×108 18.1.44×10 题型07 将用科学记数法表示的数变回原数 19.B 20.D 21.> 217 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型nR 有理数的乘方有关的新定义型问题 22.D 23.B 24.6 B组 能力进阶 1.C 2.C 3.C 4.D 5.-64 6.-3或3 7.25 8图见解斩，-（←-2旷<-小2小水<0<月 【详解】解：十2=-2，-(-2}=-4， 在数轴上表示如下： 3 -(-22，-21-70 从小到大用“<”号连接起来如下： -(2旷<-2水302 3 9.(1)-2 (2)3 【详解】(1)解：16+(-28)-(-10) =16+(-28)+(+10) 3/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =16-28+10 =-2: (2)解：-12-(（-23÷4+-2 =-1-(-8)÷4+2 =-1-（-2)+2 =-1+2+2 =3」 10.(1)10:(2)25;(3)69天 【详解】解：(1)(1010)2=1×2+0×2+1×2+0×2°=8+0+2+0=10， 故答案为：10： (2)(10011)2+(110)2 =(1×2+0×2+0×22+1×2+1×2）+(1×22+1×2+0×2） =(16+0+0+2+1)+(4+2+0) =19+6 =25； (3)由题意知，图示中的五进制数为(234)， (234)=2×52+3×5+4×5°=50+15+4=69」 即孩子已经出生69天. C组 思维拔高 1.A 2.C 3.D 4.B 5.D 6.81 417 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.-1 8.25 1 9.32 10.22027-1 11.(1)±7 (2)±1 【详解】(1)解：因为a2=16,b2=9, 所以a=±4，b=3. 因为ab>0, 所以a=4,b=3或a=-4,b=-3. 当a=4,b=3时，a+b=4+3=7: 当a=-4,b=-3时，a+b=(-4)+(-3)=-7： (2)解：当a=4,b=3时，2a-3b=2×4-3×3=-1: 当a=-4,b=-3时，2a-3b=2×(-4)-3×(-3)=1. 19 12.(0)32:2 (2)m=2:n=-6 【详解】(1)解：由新定义得， 4⑧(-4)=42-4×(4)=16+16=32. (g-(-(g日9。 (2)解：2⑧(x+3x+1)=22-2(-x2+3x+1）=2x2-6x+2, 2x2-6x+2-(mx2+x)=(2-m)x2+(-6-n）x+2, :2®(-x2+3x+1)与mx2+x的差值与x的取值无关， .2-m=0、-6-n=0, .m=2:n=-6. 13.(1)-3,4 (2)7 (3)1或13 【详解】(1)解：因为a+3+(6-4)2=0, 517 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以a+3=0,b-4=0, 解得a=-3,b=4, 即点A表示的数是-3，点B表示的数是4. 故答案为：-3,4 (2)解：由(1)知，点A表示的数是-3，点B表示的数是4， 所以x+3+x-4表示的是点P到A、B两点的距离之和. 当点P在点A,B之间， 即-3≤x≤4时， 点P到A、B两点的距离之和最小， 即r+3+x-4=x+3-(x-4)=x+3-x+4=7, 最小值为7。 故答案为：7 (3)解：点A运动时表示的数为-3+2t, 点B运动时表示的数为4+1， 所以4B=4+t-(-3+2)7-=6, 即7-t=6或7-t=-6, 解得t=1或13， 所以当运动过程中，点A,B之间相距6个单位长度时，运动时间的值为1秒或13秒. 14.(1)10:(2)25:(3)69天 【详解】解：(1)(1010)2=1×2+0×22+1×2+0×2°=8+0+2+0=10， 故答案为：10： (2)(10011)2+(110)2 =(1×24+0×2+0×22+1×2+1×2)+1×22+1×2+0×2°) =(16+0+0+2+1)+(4+2+0) =19+6 =25: (3)由题意知，图示中的五进制数为(234)， (234),=2×52+3×5+4×5°=50+15+4=69， 即孩子已经出生69天. 617 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.(1)1,1 (2)a"b”,a"bc 1 332 100 【详解】(1)解： 2 2m×2= 100个 故答案为：1,1； (2)通过(1) 的验证可得，(ab)=ab: (abc”=a"(bc)”=a"b'c", 故答案为：a"b”,a"b”c”: (3)解：（-0.125)226×22025×42024 ×(2×2204×424） (24 12024 立-产 1 32· ● 拓展 链接中考 1.B 2.D 3.3或243 717