4.1课时1 平均数与加权平均数 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

该初中数学课件核心内容为平均数与加权平均数，通过“杯子小球数量”情境导入，引导学生用“移多补少”“先和后分”直观理解，再结合企业员工工资案例推导平均数公式，最后以学生阵列身高、演讲比赛评分等实例引入加权平均数，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以现实情境培养“数学眼光”，如从杯子小球问题抽象数量关系，通过企业工资计算发展“数学思维”（运算能力），用演讲比赛评分案例强化“数学语言”（模型观念）。对比总结助学生理清知识联系，学生能提升应用意识，教师可借助丰富案例高效教学。

4.1 课时1 平均数与加权平均数 情境导入 7 6 5 4 3 2 1 A B C D 平均数 先和后分 移多补少 如图，A、B、C、D 四个杯子中装了不同数量的小球，你能让四个杯子中的小球数目相同吗？ 平均水平 1 平均数 三年前，张经理创办了一家科技型小微企业，下面是该企业所有员工某月的工资情况： 技术开发人员甲：10000元；技术开发人员乙：9800元； 技术开发人员丙：9000元；技术开发人员丁：7200元； 技术服务人员甲：5500元；技术服务人员乙：5500元； 技术咨询人员：4500元； 会计：5000元. (1) 这8名员工的月平均工资是多少？ 思考 技术开发人员甲：10000元；技术开发人员乙：9800元； 技术开发人员丙：9000元；技术开发人员丁：7200元； 技术服务人员甲：5500元；技术服务人员乙：5500元； 技术咨询人员：4500元；会计：5000元. (1) 这 8 名员工的月平均工资是多少？ = 7062.5 (元). 某校有24 人参加了“希望杯”数学课外活动小组，分成三组进行竞争，在一次“希望杯”初赛前进行了摸底考试，成绩如下： 甲：80，79，81，82，90，85，94，98； 乙：90，83，78，84，82，96，97，80； 丙：93，82，97，80，88，83，85，83. 怎样比较三个小组的数学成绩呢？ 三年前，张经理创办了一家科技型小微企业，下面是该企业所有员工某月的工资情况： 技术开发人员甲：10 000 元；技术开发人员乙：9 800 元； 技术开发人员丙：9 000 元；技术开发人员丁：7 200 元； 技术服务人员甲：5 500 元；技术服务人员乙：5 500 元； 技术咨询人员：4 500 元；会计：5 000 元. 问题1：计算这8 名员工的月平均工资是多少？ 数据大且较多时，可以借助科学计算器 (元). 知识点1：平均数 将一组数据的和除以这组数据的总个数，得到的数值叫作这组数据的算术平均数，简称平均数. 平均数的概念： 一般地，设n个数据分别为x1，x2，x3，…，xn，它们的平均数记为 ， 那么 . x 三年前，张经理创办了一家科技型小微企业，下面是该企业所有员工某月的工资情况： 技术开发人员甲：10 000元； 技术开发入员乙：9 800元； 技术开发人员丙：9 000元； 技术开发人员丁：7 200元； 技术服务人员甲：5 500元； 技术服务人员乙：5 500元； 技术咨询人员：4 500元； 会计：5 000元. （1）这8名员工的月平均工资是多少？ 探索新知 这8名员工月工资的平均数为 =7062.5（元）. 1 平均数 将一组数据的和除以这组数据的总个数，得到的数值叫作这组数据的算术平均数，简称平均数. 知识要点 一般地，设 n 个数据分别为 x1，x2，x3，···，xn，它们的平均数记为 ，那么 具体计算一组数据的平均数时，可以借助科学计算器来求，但不同型号的计算器，其操作步骤可能不同. 平均数 读作x拔 三年前，张经理创办了一家科技型小微企业，下面是该企业所有员工某月的工资情况： 技术开发人员甲：10 000元； 技术开发入员乙：9 800元； 技术开发人员丙：9 000元； 技术开发人员丁：7 200元； 技术服务人员甲：5 500元； 技术服务人员乙：5 500元； 技术咨询人员：4 500元； 会计：5 000元. （2）如何在数轴上标出表示这些员工的月工资及其月平均工资的点？ 探索新知 0 O 4500 5000 5500 7200 9800 9000 10000 将一组数据的和除以这组数据的总个数，得到的数值叫作这组数据的算术平均数，简称平均数. 知识要点 一般地，设 n 个数据分别为 x1，x2，x3，···，xn，它们的平均数记为 ，那么 具体计算一组数据的平均数时，可以借助科学计算器来求，但不同型号的计算器，其操作步骤可能不同. (2) 如何在数轴上标出表示这些员工的月工资及其月平均工资的点？ 技术开发人员甲：10000元；技术开发人员乙：9800元； 技术开发人员丙：9000元；技术开发人员丁：7200元； 技术服务人员甲：5500元；技术服务人员乙：5500元； 技术咨询人员：4500元；会计：5000元. (2) 在数轴上将员工的月工资及其月平均工资元表示出来，可得下图. (3) 观察表示月平均工资的点与其他月工资的点的位置关系，你能得出什么结论？ (3) 观察上图，可以发现，表示月工资的这些点位于 的两侧，不会都在月平均工资的一侧. 月平均工资 可以作为这 8 名员工的月工资的代表值，它反映了这 8 名员工的月工资的平均水平. 于是，平均数作为一组数据的一个代表值，可以刻画这组数据的平均水平. 问题2：如何在数轴上标出表示这些员工的月工资及其月平均工资的点？ 问题3：观察表示月平均工资的点与其他月工资的点的位置关系，你能得出什么结论？ 表示月工资的这些点位于 的两侧，不会都在月平均工资的一侧. 月平均工资 可以作为这 8 名员工的月工资的代表值，它反映了这 8 名员工的月工资的平均水平. 平均数作为一组数据的一个代表值，可以刻画这组数据的平均水平. 植树节到了，某单位组织职工开展植树竞赛，下图反映的是植树量与人数之间的关系. 3 4 5 6 7 8 棵数 12 10 8 6 4 2 0 人数 0 (1) 总共有多少人参加了本次活动？ (2) 总共植树多少棵？ (3) 平均每人植树多少棵？ 解：（1）参加本次活动的总人数是 1 + 8 + 1 + 10 + 8 + 3 + 1 = 32. （2）总共植树 3×8 + 4×1 + 5×10 + 6×8 + 7×3 + 8×1 = 155（棵）. （3）平均每人植树 （棵）. （3）观察表示月平均工资的点与其他月工资的点的位置关系，你能得出什么结论？ 探索新知 0 O 4500 5000 5500 7200 9800 9000 10000 这些点都位于 的两侧，不会都在平均数的一侧 可以作为这组同学的身高的代表值，它反映了这组同学的身高的平均水平. 平均数作为一组数据的一个代表值，可以刻画这组数据的平均水平. 2 加权平均数 例1 某市举办了一场主题为“强身健体，强国有我”的大型活动，在活动中有一个由 100 名八年级学生组成的阵列，其中 20 名学生身高 170 cm，30 名学生身高 165 cm，50 名学生身高 160 cm. 求这个阵列的平均身高. 解：用 表示平均身高，则 = 170×0.2 + 165×0.3 + 160×0.5 = 163.5 (cm). 答：这个阵列的平均身高为 163.5 cm. 即170的权数是0.2，165 的权数是0.3，160的权数是0.5. 求一组数据的平均数时，可用不同的数据乘它们的权数再相加，这样求得的平均数称为加权平均数. 例如，163.5 是这个阵列的身高的加权平均数. 在解答例1的算式中，0.2，0.3，0.5分别表示170，165，160 这三个数据在数据组中所占的比例，分别称它们为这三个数据的权数. 知识要点 一般地，若 n 个数据 x1，x2，···，xn 的权数分别是 x1，x2，···，xn ，则其加权平均数为 x1w1 + x2w2 + ··· + xnwn . 归纳总结 一般地，权数之和为 1. 例1 某市举办了一场主题为“强身健体，强国有我”的大型活动，在活动中有一个由100名八年级学生组成的阵列，其中20名学生身高170 cm，30名学生身高165cm，50名学生身高160 cm.求这个阵列的平均身高. 解：用 表示平均身高，则 知识点2：加权平均数 = 170×0.2 + 165×0.3 + 160×0.5 = 163.5 (cm). 答：这个阵列的平均身高为 163.5 cm. 权数 求一组数据的平均数时，可用不同的数据乘它们的权数再相加，这样求得的平均数称为加权平均数. 加权平均数 一般地，若 n 个数据 x1，x2，···，xn 的权数分别是 x1，x2，···，xn ，则其加权平均数为 x1w1 + x2w2 + ··· + xnwn . 一般地，权数之和为 1. 在实际问题中，一组数据中的各个数据的“重要程度”未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时，往往先根据每个数据的相对“重要程度”，给其赋“权”，再按数据的不同权重计算出平均数，从而作出评价. （比例、百分比） 做一做 小华和小婷参加学校举办的“弘扬爱国精神，绽放青春风采”演讲比赛，他们的各项指标得分 (每项指标满分 100 分) 情况如下表： 项目 服装 普通话 主题 演讲技巧 小华 85 70 80 85 小婷 90 75 75 80 评总分时，按服装占5%，普通话占15%，主题占40%，演讲技巧占40%计算，你认为小华和小婷谁在本次演讲比赛中表现更优秀？ 小华的最后得分：85×5% + 70×15% + 80×40% + 85×40% = 80.75(分). 小婷的最后得分：90×5% + 75×15% + 75×40% + 80×40% = 77.75(分). 由上可知，小华在本次演讲比赛中表现更优秀. 在求n个数的算术平均数时，如果x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（这里f1+f2+…+fk=n）那么这n个数的算术平均数 也叫做x1，x2，…，xk这k个数的加权平均数，其中f1，f2，…，fk分别叫做x1，x2，…，xk的权（权数）. 加权平均数的其他形式 例如，20,30,50 也是这个阵列的身高的权数 在实际问题中，一组数据中的各个数据的“重要程度”未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时，往往先根据每个数据的相对“重要程度”，给其赋“权”，再按数据的不同权重计算出平均数，从而作出评价. 例如，在对学生的学习情况进行综合考评时，一般会将学生的平时成绩、期中考试成绩、期末考试成绩按照不同的比重计算综合成绩。 归纳总结 在实际问题中，一组数据中的各个数据的“重要程度”未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时，往往先根据每个数据的相对“重要程度”，给其赋“权”，再按数据的不同权重计算出平均数，从而作出评价. 归纳总结 你能说说平均数与加权平均数的区别和联系吗？ 2. 在实际问题中，各项的权数不相等时，计算平均数时就要采用加权平均数；当各项权数相等时，直接计算算术平均数就可以了. 1. 平均数可以看做是加权平均数的一种特殊情况（它特殊在各项的权数相等）； 议一议 思考 平均数与加权平均数有什么区别和联系？与同学交流讨论. 2. 在实际问题中，当各项的权数不相等时，计算平均数时就要采用加权平均数；当各项的权数相等时，直接计算算术平均数就可以了. 1. 平均数可以看作是加权平均数的一种特殊情况（它特殊在各项的权数相等）； 问题1：已知两家网站的用户日人均上网时间分别为 1.5 h和 2 h，平均每天的上网用户人数分别为 100000 人和125000 人，这两家网站所有用户的日人均上网时间是多少? 由题意可得，两家网站所有用户的日人均上网时间为 两家网站的用户日人均上网时间 1.5 h 和 2 h 的加权平均数. 分布式计算 问题2：对于某热点话题，已知两家网站中认为“这个话题重要”的用户所占百分比分别为 75% 和 62%，参与评价的用户人数分别为 12000 人和 18000 人，这两家网站所有参与评价的用户中，认为“这个话题重要”的用户比例是多少? 两家网站中认为“这个话题重要”的用户所占百分比75%和62%的加权平均数. 分布式计算 一般地，把一个需要巨大的计算能力才能解决的问题分成许多小的部分，然后把这些部分分配给许多计算机进行处理，最后把这些计算结果综合起来得到最终结果的计算方式称为分布式计算. 归纳总结 在求 n 个数的算术平均数时，如果 x1 出现 f1 次，x2 出现 f2 次，…，xk 出现 fk 次（这里 f1 + f2 + … + fk = n），那么这 n 个数的算术平均数 也叫作 x1，x2，…，xk 这 k 个数的加权平均数，其中 f1，f2，…，fk 分别叫作 x1，x2，…，xk 的权. 加权平均数的其他形式 3 例2 某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，结果如下：13 岁 8 人，14 岁 16 人，15 岁 24 人，16 岁 2 人. 求这个跳水队运动员的平均年龄(结果取整数). 解：这个跳水队运动员的平均年龄为：　 ≈_____（岁）. 答：这个跳水队运动员的平均年龄约为_____. 8 16 24 2 14 14 岁 8 + 16 + 24 + 2 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 课后作业 平均数与加权平均数 = x1w1 + x2w2 + ··· + xnwn ( 其中 w1 + w2 + … + wk = 1 ) ( 其中 f1 + f2 + … + fk = n ) 平均数 加权平均数 $