江苏省南通中学2025-2026学年高一下学期数学周考6.3

**基本信息** 南通中学高一数学周测试卷，覆盖复数、立体几何、向量、三角等核心知识，通过基础题（如复数充要条件判断）、能力题（如三棱锥外接球表面积计算）、应用题（如商场正方体装饰距离问题）梯度设计，培养空间观念与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/48|复数、直观图、向量投影、线面关系等|第1题结合充要条件考查纯虚数概念，第2题通过直观图还原培养空间观念| |多选题|3/18|复数性质、三角形计算、正方体动态问题等|第11题以正方体动点为载体，综合体积、异面直线成角及轨迹长度，考查空间想象与创新思维| |填空题|3/34|圆锥体积、向量数量积、锐角三角形边的范围等|第14题结合正弦定理与锐角三角形条件，考查三角推理与数学表达能力|

南通中学高一数学练6.3 一、单选题本题共8小题，每小题6分，共48分 1．已知为实数，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．如图，一个水平放置平面图形的直观图是边长为1的菱形，且 ，则原平面图形的面积为（    ）    3．已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A． B． C． D． 4．已知两条直线，和平面，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．已知圆台上、下底面半径分别为1和3，其母线与底面所成角的正弦值为 ，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 6．某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，，，，为该正方体的顶点，，，为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且直绳索的长度为米，则点到平面的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．如图，在三棱锥中，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 8．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 二、多选题共3小题，每小题6分，共18分 9．已知复数，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则=0 10．在中，．则下列结论正确的有（   ） A． B． C．的面积为3 D．的外接圆半径为 11．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ） A．三棱锥的体积为定值 B．直线与直线所成角的余弦值为 C．的最小值为 D．点在正方体表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 三、填空题 本题共3小题，共34分 12．（10分）已知圆锥底面半径为2，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为______． 13．（12分）如图，等边的边长为1，点分别为的中点，连接并延长到点，使得，则______. 14．（12分）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是___________. 南通中学高一数学练6.3 一、单选题本题共8小题，每小题6分，共48分 1．已知为实数，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据复数为纯虚数得出关系即可判断. 【详解】若复数为纯虚数，则且，即， 故“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件. 故选：B. 2．如图，一个水平放置平面图形的直观图是边长为1的菱形，且 ，则原平面图形的面积为（    ）    A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】依据在轴上或平行于轴的线段，在直观图与原图中保持长度不变，在轴上或平行于轴的线段，原图中的长度是直观图中长度的2倍来将直观图还原. 【详解】把直观图还原出原平面图形为平行四边形，如图所示：    其中,， 所以原平面图形的面积为S＝2×1＝2． 故选：A. 3．已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，解得，即， 因为，， 所以在方向上的投影向量的坐标为. 4．已知两条直线，和平面，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理逐一判断即可. 【详解】对于A，若，，可能平行于平面，也可能(此时不平行于平面，)，故A错； 对于B，若，，直线，可能平行、相交或异面，故B错； 对于C，如果两平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面，故C正确； 对于D，若，，直线与平面可能相交、平行或. 5．已知圆台上、下底面半径分别为1和3，其母线与底面所成角的正弦值为 ，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆台的体积计算公式求解. 【详解】 如图所示，如图作出轴截面，为上下底面圆心，为截面的斜边，即圆台的母线. 由题意得：，，则高， 因为母线与底面所成角的正弦值为，所以，则， 则圆台体积. 6．某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，，，，为该正方体的顶点，，，为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且直绳索的长度为米，则点到平面的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】利用等体积法求得点到平面的距离，可求点到平面的距离． 【详解】设点到平面的距离为， 根据正方体的性质可知：点到平面的距离为， 因为，所以， 由正方体可得， 所以， 解得，即点到平面的距离为， 又因为平面与平面平行，直绳索的长度为米， 所以点到平面的距离为． 7．如图，在三棱锥中，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二面角的正切值求得，由此判断出，且两两垂直，由此将三棱锥补形成正方体，利用正方体的外接球半径，求得外接球的表面积. 【详解】设是的中点，连接，由于， 所以，所以是二面角的平面角，所以， 由得. 在中，， 在中，， 在中，由余弦定理得：， 所以， 由于，所以 两两垂直. 由此将三棱锥补形成正方体如下图所示，正方体的边长为2，则体对角线长为. 设正方体外接球的半径为，则，所以外接球的表面积为， 故选：A. 8．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】由得结合余弦定理得到，设，求出的范围得到，求出，求出，令 ， 则 ，令 ，则 ，由的范围得的范围，则转化为函数，令，函数转化为， 利用二次函数的图像和性质得到，即的最大值， 从而得到的最大值. 【详解】因为， 所以， 解得：，即：， 又，则， 则， 设 （边长比值为正），则 ， 将其代入得： ，即， 又， 则，即， 即，即，即，故， 将 、代入表达式， 得到， ， ， 即， 由正切定义（，，比值符号为正）， 故：， 令 ， 因为，， ， 设， 令 ，则 ，由得， 则转化为函数， 拆分化简：， 令，由得， 函数转化为， 该二次函数开口向下，对称轴为，且 ， 在定义域内可取到最大值， 将代入得：， 即的最大值为，又因为三角形内角， ， 故的最大值为. 故选项B正确. 二、多选题共3小题，每小题6分，共18分 9．已知复数，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则=0 【答案】BC 【分析】举例说明判断AD；利用复数运算及共轭复数、复数模的意义计算判断BC. 【详解】对于A，取，，而，A错误； 对于B，设， ，由， 得，，B正确； 对于C， . ， 的共轭分别为，，两者相乘得： ，C正确； 对于D，取，，则，但且，D错误. 故选：BC 10．在中，．则下列结论正确的有（   ） A． B． C．的面积为3 D．的外接圆半径为 【答案】BD 【分析】根据向量线性运算可得判断A，由余弦定理求判断B，再由勾股定理判断三角形为直角三角形求面积判断C，求出三角形斜边判断D. 【详解】因为， 所以，故A错误； 如图， 因为，所以， 由余弦定理, 所以，故B正确； 因为，所以，即， 所以，故C错误； 由，所以（为三角形外接圆半径）， 故，故D正确. 故选：BD 11．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ） A．三棱锥的体积为定值 B．直线与直线所成角的余弦值为 C．的最小值为 D．点在正方体表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【分析】根据体积桥可确定A正确；作出异面直线所成角，结合余弦定理可求得B正确；将与沿直线展开到同一平面内，根据可求得C错误；过作出平面的平行平面截正方体所得的截面，根据线面垂直关系可确定点轨迹即为正六边形，知D正确. 【详解】对于A，连接， 四边形为正方形，， 平面，平面，， 平面，，平面， 点到平面的距离， 又， ，即三棱锥的体积为定值，A正确； 对于B，延长至点，使得，连接， ，，又， 四边形为平行四边形，， 异面直线与所成角即为（或其补角）， ，，， ， 直线与直线所成角的余弦值为，B正确； 对于C，将与沿直线展开到同一平面内，如下图所示， （当且仅当为线段与交点时取等号），； ，，； ，为等边三角形，， ， ， 的最小值为，C错误； 对于D，，，，平面， 平面，又平面，； 同理可证得：， ，平面，平面； 取中点，连接， ，平面，平面，平面， ，平面，平面，平面， ，平面，平面平面， 作出平面截正方体所得的截面，其中分别为的中点，则截面平面； 平面，平面， 则当平面时，， 点的轨迹即为正六边形，点的轨迹长度为，D正确. 三、填空题 本题共3小题，共34分 12．（10分）已知圆锥底面半径为2，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为______． 【答案】 【分析】使用扇形的弧长公式与圆锥的体积公式求解. 【详解】设圆锥的母线长为，由圆锥底面圆的周长等于展开图扇形的弧长，，得， 则圆锥的高为：， 所以圆锥的体积为： 13．（12分）如图，等边的边长为1，点分别为的中点，连接并延长到点，使得，则______. 【答案】/0.125 【分析】以为基底，将表示出来，从而求得数量积. 【详解】因为点D，E分别是边AB，BC的中点，所以， 因为，所以， 所以. 因为，，， 所以 . 故答案为： 14．（12分）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】由结合题干中，得到，再由正弦定理得到，整理得，从而，由是锐角三角形得，由正弦定理，从而由的范围得到的取值范围. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 整理可得：，即， 在锐角三角形中，，即，即， 又因为，得，所以， 所以， 因为，所以. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：正弦定理边化角 正弦定理（为的外接圆半径）， 则，，， ， . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $