江苏省南通中学2025-2026学年高一下学期数学周考5.27

**基本信息** 南通中学高一数学周测试卷，聚焦立体几何、三角函数、向量等核心内容，通过斜二测直观图还原、正方体动态点探究、测量塔高情境等问题，考查空间想象、逻辑推理及数学应用能力，层次分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/48|斜二测直观图、圆锥体积表面积、二倍角公式|第1题通过斜二测画法还原平面图形，考查空间想象| |多选题|3/18|空间线面关系、解三角形多解性、正方体动态问题|第11题以正方体为载体，探究N点运动时体积、线面垂直等，体现分层设计| |填空题|3/34|向量共线垂直、测量塔高（余弦定理）、三角形最值|第13题结合测量情境，用余弦定理求塔高，强化数学应用|

南通中学高一数学练5.27 一、单选题本题共8小题，每小题6分，共48分 1．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，则该平面图形的高为（    ） A． B．4 C． D． 2．已知圆锥的体积为，其侧面积与底面积的比为，则该圆锥的母线长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 3．已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 5．在正三棱柱中，，设和所成的角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．设是球表面上的四个点，平面，，，，，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 7．已知在梯形中，，，，，点E在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．在锐角中，内角的对边分别为，已知，，且边上的中线长为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题共3小题，每小题6分，共18分 9．下列说法正确的是（   ） A．若非零向量满足，则 B． C．若为单位向量，则 D．向量可以作为平面内的一个基底 10．已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，且该三角形有两解，则 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为锐角三角形 11．如图，在正方体中，M是BD的中点，N是线段上一动点，则下列说法正确的有（ ） A．三棱锥的体积随着点N的位置的改变而随之变化． B．无论点N在何处，始终有平面成立． C．直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为． D．平面BDN截得正方体的截面可能是三角形或四边形． 三、填空题 本题共3小题，共34分 12．（10分）已知向量，若，且，则_________. 13．（12分）如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米．    14．（12分）在中，内角,,所对的边分别为,，，若，则的最大值等于__________. 南通中学高一数学练5.27 一、单选题本题共8小题，每小题6分，共48分 1．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，则该平面图形的高为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据斜二测画法将直观图还原为直角梯形，如图，结合勾股定理计算即可求解. 【详解】在直角梯形中，， 则， 直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形， ，，，， 所以该平面图形的高为． 故选：C． 2．已知圆锥的体积为，其侧面积与底面积的比为，则该圆锥的母线长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，由侧面积与底面积的比为得，即，利用圆锥的体积即可求出，进而求解. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，所以侧面面积为，底面面积为， 由侧面积与底面积的比为有，即，所以高， 所以圆锥的体积为，解得， 所以母线长， 故选：A. 3．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 4．在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用面面平行、线面平行的关系，逐项判断即可. 【详解】对于A，由，，，得或是异面直线，A错误； 对于B，由，，得或，B错误； 对于C，由，，得与相交或，C错误； 对于D，由，得存在过的平面与相交，令交线为，则， 而，，于是，又，，则，因此，D正确. 故选：D 5．在正三棱柱中，，设和所成的角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将正三棱柱补成直四棱柱，平移到即可解. 【详解】将正三棱柱补成直四棱柱， 使正三棱柱与正三棱柱全等， 则由直棱柱性质可知，与所成角为（或其补角）； 因为，， 所以， 所以. 6．设是球表面上的四个点，平面，，，，，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，画出几何体的图形，利用直棱柱和球的截面的性质，求得外接球的半径，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】解：由题意，画出几何体的图形，如图所示， 把扩展为三棱柱， 上下底面三角形外接圆圆心连线的中点与的距离为球的半径， 由，，，， 则， 设三角形外接圆半径为，球的半径为， 则，且， 所以外接球的表面积为. 故选：B. 7．已知在梯形中，，，，，点E在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，求出、的坐标，再由向量数量积的坐标运算及二次函数配方法求最值可得答案 【详解】以A为原点，、所在的直线分别为轴建立 如图所示的平面直角坐标系，则，，， ，所以， 设，故， 因为，所以， 则，， 所以， 因为，其对称轴为，取得最小值， 当，取得最大值，所以 8．在锐角中，内角的对边分别为，已知，，且边上的中线长为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理及两角和的正弦公式得出，再根据三角形中线的向量表示及平面向量数量积的运算律得出，由三角形面积公式即可求解． 【详解】由已知条件，化简得． 由正弦定理得，， 又，所以， 所以，由于为锐角三角形，所以． 边上的中线长为， 设边上的中线长为，则， 所以 ， 所以， 所以．    二、多选题共3小题，每小题6分，共18分 9．下列说法正确的是（   ） A．若非零向量满足，则 B． C．若为单位向量，则 D．向量可以作为平面内的一个基底 【答案】ABC 【分析】利用平面向量共线定理判断A，D，根据平面向量线性运算法则判断B，根据数量积的运算律判断C. 【详解】对于A：由，存在实数，使得， 由，存在实数，使得，则，故，A正确； 对于B：由，故B正确； 对于C：由， ，则，故C正确； 对于D：由，所以，即， 故向量不可以作为平面内的一个基底，D错误. 故选：ABC. 10．已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，且该三角形有两解，则 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为锐角三角形 【答案】ABD 【分析】根据大边对大角及正弦定理判断A，根据图形数形结合可判断B，由正弦定理及三角恒等变换判断C，由两角和的正切公式变形可判断D. 【详解】因为，所以，由正弦定理，可知，故A正确； 如图，   ，，且该三角形有两解，所以，即， 故B正确； 由正弦定理可得，，即，所以，因为，所以或， 即或，所以三角形为等腰或直角三角形，故C错误； 因为 ，且， 所以，即为锐角，所以为锐角三角形，故D正确. 故选：ABD 11．如图，在正方体中，M是BD的中点，N是线段上一动点，则下列说法正确的有（ ） A．三棱锥的体积随着点N的位置的改变而随之变化． B．无论点N在何处，始终有平面成立． C．直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为． D．平面BDN截得正方体的截面可能是三角形或四边形． 【答案】BCD 【分析】A选项，直角面积为定值，点N到平面的距离为定值，进而判断体积；B选项，平面即为平面 ，再结合正方体特点判断； C选项，作出辅助线，得到即为直线与平面所成角，设大小为，设，，分，和三种情况，得到的取值范围；D选项，当为的中点，和三种情况，画出平面BDN截得正方体的截面. 【详解】A选项，在点N的位置移动时，点N到平面的距离为定值， 等于正方体的棱长，且直角面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，不会随着点N的位置的改变而变化，A错误； B选项，平面ACN即为平面AC ，而正方体中必有平面；得到B正确； C选项，取的中点，连接，则⊥，过点作⊥于点， 则，故⊥平面， 所以即为直线MN与平面所成角，设大小为， 设正方体的棱长为2，则， 设，， 若，则， 由勾股定理得， 则， 当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为1，故， 若，此时平面，此时夹角为0，， 若，则， 由勾股定理得， 则， 显然，，， 此时， 综上，， 直线MN与平面所成角的正切值的取值范围为，C正确； D选项，当为的中点时，平面截得正方体的截面为正， 当时，延长交于点，连接， 则即为平面BDN截得正方体的截面， 当时，延长交于点， 在平面上，过点作平行于，交于点，连接， 则四边形即为平面BDN截得正方体的截面， 故平面截得正方体的截面可能是三角形或四边形，D正确. 三、填空题 本题共3小题，共34分 12．（10分）已知向量，若，且，则_________. 【答案】 【分析】设，由向量的坐标表示向量共线和垂直，解出，再计算模长可得. 【详解】设，则， 由，可得，解得， 则，所以. 故答案为：. 13．（12分）如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米．    【答案】 【分析】根据余弦定理结合几何关系求出，结合河宽至少12米进一步判断即可. 【详解】由题意知，平面，，，，. 因为平面，所以，. 在中，，所以. 在中，，所以. 在中，由余弦定理得，， 即，整理得， 即，解得或. 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故. 14．（12分）在中，内角,,所对的边分别为,，，若，则的最大值等于__________. 【答案】 【分析】利用正弦定理，化简已知条件，得到；再根据正弦定理和余弦定理，将目标式化为关于的三角函数，进而求三角函数的最大值即可. 【详解】因为，由正弦定理可得：， 又，，则 因为 ， 当且仅当时，取得最大值，最大值为，也即的最大值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $