江苏省海门中学2025-2026学年高一下学期数学周末练习六4.25

**基本信息** 立足高一数学核心内容，以校园改造、景点规划等真实情境为载体，融合复数、向量、立体几何与解三角形知识，实现基础巩固与创新应用的梯度考查，培养数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数共轭、斜二测画法、向量分解、三角形判定|第2题通过直观图还原考查空间观念，第7题结合圆形草坪面积最值体现应用意识| |多选题|3/18|复数性质、三角形结论判断、向量共线|第11题以扇形动点问题考查数学思维，选项D融合三角与向量求最值| |填空题|3/15|三角函数周期、复数旋转、小区改造规划|第14题结合适老化改造考查解三角形，体现数学语言表达现实世界| |解答题|5/77|向量运算、立体几何证明、解三角形综合、仿射坐标系|第18题以空地改造为背景，三问层层递进考查面积计算与最值；第19题引入仿射坐标系创新考查向量与三角综合，发展创新意识|

江苏省海门中学高一数学第二学期周末练习六 一、单选题（8小题，每小题5分，共40分） 1．若，则的共轭复数的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 2．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 3．在平行四边形ABCD中，点在线段AC上，且.若，其中，，则（   ） A． B． C． D． 4．在中，若，则一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 5．如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（   ） A．13 B．14 C．20 D．25 6．在三棱锥中，，分别是，上的点，且，，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．如图，海南中学校园内有一块圆形草坪，其内接锐角区域内种植花卉（阴影部分），已知，现为了扩大花卉的种植面积，欲在弧上找一点，使得新的种植区域锐角的面积S（单位：）最大，则S的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知的内角所对的边分别为，若，若与相交于点，则当取最小值时，（    ） A． B． C． D． 二、多选题共3小题，每小题6分，共18分 9．下列结论正确的是（   ） A．若复数满足，则 B．若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为 C．若复数在复平面内对应的点为，则复数 在复平面内对应的点在第一象限 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 10．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．若，则一定为等腰三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，且有两解，则的取值范围是 D．若的平分线交AC于点，则 11．下面四个结论正确的是（   ） A．点O在△ABC所在的平面内，若，则点O为△ABC的垂心． B．若对平面中任意一点O，有，则P，A，B三点共线． C．在△ABC中，已知，则． D．如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC＝150°，点P在弧BC上运动，，则的最大值是2． 三、填空题本题共3小题，共15分 12．已知函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，则的值为______ 13．将复数所表示的向量绕原点按逆时针方向旋转角所得的向量对应的复数为，则_____________． 14．某老旧小区积极响应国家“老旧小区改造”及“适老化改造”的政策号召，计划对小区内一空地进行重新规划改造，如图，四边形ABDC为空地，AC，CD为围墙，AB为单元楼，E为单元楼入口，D为小区入口，现规划在小区修建一条直道DE，并在BC与DE的交点F处安装路灯及监控．已知，，，，为的中点，，则______，______．    四、解答题共5小题，共77分 15．（13分）已知，，且与夹角为，求： (1)； (2)与的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的数量积的定义求出，由代入数值得到； （2）由代入数值得到，由代入数值得到，利用向量的数量积公式得到，代入数值得到所求. 【详解】（1），，且与夹角为，， ； （2）， ， . 16．（15分）四棱锥中，底面是平行四边形，是的中点，过的平面与交于． （） 求证：平面． （）求证：是中点． 17．（15分）在△ABC中，角，，的对边分别为，，，，. (1)求角； (2)若是线段的中点，且，求； (3)若△ABC为锐角三角形，求的周长的取值范围. 18．（17分）如图所示，某区有一块空地，其中，，．当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中M，N都在边AB上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在人工湖的周围安装防护网． (1)当时，求防护网的总长度； (2)若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小； (3)为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？ 19．（17分）如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 江苏省海门中学高一数学第二学期周末练习六 一、单选题（8小题，每小题5分，共40分） 1．若，则的共轭复数的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案． 【详解】由 ， 则，故， 又的共轭复数是， 故的共轭复数的虚部为. 2．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知直观图为等腰梯形，，，， 则； 将直观图复原为原图，如图所示： 则，，， 作于F，则， 所以， 故四边形的周长为. 3．在平行四边形ABCD中，点在线段AC上，且.若，其中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 又，则，故. 4．在中，若，则一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【详解】由二倍角的余弦公式可得：， 所以， 所以， 所以， 因为，则，， 所以由可得：，所以. 5．如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（   ） A．13 B．14 C．20 D．25 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算、向量数量积的运算及三角形外接圆的性质求解即可. 【详解】因为为边的中点，根据向量的平行四边形法则可知，， 所以. 取边中点，连接，则，所以. 所以 . 同理可得，. 所以. 6．在三棱锥中，，分别是，上的点，且，，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作交于，连接，可证得，得是与所成的角或其补角，由平行线性质求得，由余弦定理求得，从而得与所成的角. 【详解】 作交于，如图，连接，则， 又，所以，所以， 所以是与所成的角或其补角， 由，， 所以，，，所以， 在中，， 所以与所成角的余弦值为. 7．如图，海南中学校园内有一块圆形草坪，其内接锐角区域内种植花卉（阴影部分），已知，现为了扩大花卉的种植面积，欲在弧上找一点，使得新的种植区域锐角的面积S（单位：）最大，则S的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用正弦定理可得，结合圆的性质有，设并应用三角形面积公式及余弦定理，根据基本不等式求的最大值，注意取值条件. 【详解】在中，由正弦定理得，即，解得， 由“同弧所对圆周角相等”知， 设，则， 在中， 故，当且仅当时等号成立， 所以新的种植区域的面积最大为. 8．已知的内角所对的边分别为，若，若与相交于点，则当取最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用平面向量共线定理，结合已知条件将用表示，然后根据向量的模的计算公式得到关于的表达式，最后根据二次函数的性质即可得解. 【详解】因为共线，所以存在实数，使得， 又，则， 因为共线，所以存在实数，使得， 又，则， 又不共线， 所以，解得， 从而可得， 所以 ， 在中，由余弦定理得， 则， 则 ， 令，因为，所以， 则， 则 ， 当，即，即时， 取得最小值， 所以当取最小值时，. 二、多选题共3小题，每小题6分，共18分 9．下列结论正确的是（   ） A．若复数满足，则 B．若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为 C．若复数在复平面内对应的点为，则复数 在复平面内对应的点在第一象限 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 【答案】BCD 【详解】对于A，也满足，A错误． 对于B，因为，，所以，B正确． 对于C，复数对应的点为，则复数对应的点为，该点在第一象限，C正确． 对于D，复数对应的点构成的图形为圆环，它的面积为，D正确． 10．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．若，则一定为等腰三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，且有两解，则的取值范围是 D．若的平分线交AC于点，则 【答案】BCD 【详解】选项A，因为，即，所以有， 整理可得，所以或，故为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 选项B，若为锐角三角形，所以，所以， 由正弦函数在单调递增，则，故B正确； 选项C，如图，若有两解，则，所以，则b的取值范围是，故C正确；    选项D，的平分线交于点D，，由， 由角平分线性质和三角形面积公式得，即，故D正确. 11．下面四个结论正确的是（   ） A．点O在△ABC所在的平面内，若，则点O为△ABC的垂心． B．若对平面中任意一点O，有，则P，A，B三点共线． C．在△ABC中，已知，则． D．如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC＝150°，点P在弧BC上运动，，则的最大值是2． 【答案】BD 【分析】根据向量运算及数量积的性质即可判断A，利用共线向量的基本定理可判断B，利用两角和的余弦公式及同角三角函数基本关系判断C，以为轴，以为原点，建立坐标系，设，，根据平面向量基本定理的坐标运算可得：，再利用三角函数的有界性，即可判断D. 【详解】对于A，向量，分别表示在边和上取单位向量和，它们的差是向量， 当，即时，则点在的角平分线上， 同理，由，知点在的角平分线上， 故为△ABC的内心，A错误； 对于B，因为，即， 所以，即， 又因为有公共点，故点P，A，B三点共线，B正确； 对于C，在△ABC中，，则， 又，所以. 又，则，所以，则， 所以，C错误； 对于D，以为轴，以为原点，建立坐标系，如图， 设，，则，，， 因为，所以， 所以，，所以，， 所以， 因为，所以，所以当时，， 即的最大值是2，D正确. 三、填空题本题共3小题，共15分 12．已知函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，则的值为______ 【答案】 【详解】依题意，，其中， 由函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，得函数的最小正周期， 所以. 13．将复数所表示的向量绕原点按逆时针方向旋转角所得的向量对应的复数为，则_____________． 【答案】 【分析】根据复数的三角表示式进行求解即可. 【详解】由题意得，，． 所以将所表示的向量逆时针旋转，所得向量对应的复数为． 根据复数乘法的几何意义，旋转角。该值满足. 故答案为：. 14．某老旧小区积极响应国家“老旧小区改造”及“适老化改造”的政策号召，计划对小区内一空地进行重新规划改造，如图，四边形ABDC为空地，AC，CD为围墙，AB为单元楼，E为单元楼入口，D为小区入口，现规划在小区修建一条直道DE，并在BC与DE的交点F处安装路灯及监控．已知，，，，为的中点，，则______，______．    【答案】 / 【分析】建立如图所示平面直角坐标系，利用向量线性运算的坐标性质可求的坐标，设，根据求出，利用向量的夹角公式可求，从而可求. 【详解】    建立如图所示的平面直角坐标系，则, 因为，故， 故，故，故. 设，故， 故，而， 所以， 整理得，故或. 若，则，， 故， 而为三角形内角，故. 若，则， 故， 而为三角形内角，故, 综上，. 四、解答题共5小题，共77分 15．（13分）已知，，且与夹角为，求： (1)； (2)与的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的数量积的定义求出，由代入数值得到； （2）由代入数值得到，由代入数值得到，利用向量的数量积公式得到，代入数值得到所求. 【详解】（1），，且与夹角为，， ； （2）， ， . 16．（15分）四棱锥中，底面是平行四边形，是的中点，过的平面与交于． （） 求证：平面． （）求证：是中点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【详解】试题分析： （1）由平行四边形可得，根据线面平行的判断定理可得平面．（2）由（1）得平面，根据线面平行的性质定理可得，又是的中点，故得是中点． 试题解析： （1）证明： ∵  四边形为平行四边形， ∴  ， ∵  平面，平面， ∴  平面． （）证明： 由（1）可得平面， 又平面, 平面, ∴  ， 又是的中点， ∴  是中点． 17．（15分）在△ABC中，角，，的对边分别为，，，，. (1)求角； (2)若是线段的中点，且，求； (3)若△ABC为锐角三角形，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角A； （2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可； （3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解. 【详解】（1）由正弦定理可知， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵，∴， ∵，∴． （2）由（1）及余弦定理得，即，① 又因为，则， 则， 即， 所以，② 由得， 所以． （3）由（1）得，则，即， 由正弦定理可知，， 所以 ． 因为△ABC为锐角三角形，所以，， 即，， 则，即， 则， 故△ABC的周长的取值范围为． 18．（17分）如图所示，某区有一块空地，其中，，．当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中M，N都在边AB上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在人工湖的周围安装防护网． (1)当时，求防护网的总长度； (2)若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小； (3)为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？ 【答案】(1) (2) (3)时，面积取最小值为 【分析】（1）在中利用余弦定理可求得，可知为正三角形，由此可得结果； （2）设，由可得；在中，利用正弦定理可得；由此可构造方程求得； （3）设，由（2）知；在中，利用正弦定理可得，根据，结合三角恒等变换知识可化简得到，由正弦函数的最值可确定所求最小值. 【详解】（1）在中，，，，则， 在中，由余弦定理得：， 即，则，可得， 可知为正三角形，其周长为，即防护网的总长度为. （2）设， 因为，即，可得， 在中，由得：， 即，可得， 又因为，则， 则，解得，所以. （3）设，由（2）知：， 在中，由得：， 则， 当且仅当，即时，面积取最小值为. 19．（17分）如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）由题设且、的夹角为，应用向量数量积的定义和运算律求向量模长； （2）由题设，，且，应用向量数量积的运算律求的数量积和模长，再由夹角公式求夹角余弦值，即可得； （3）设、（，），且，，，进而有、，可得，在中应用正余弦定理及三角恒等变换化简并求出的最大值. 【详解】（1）由题意可知，、的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，则， 则， 所以. （2）由，，得，， 且， 所以，， 则， ， 因为与的夹角为，所以，解得. 又，，所以； （3）依题意，设、（，），且，，， 因为为的中点，则 ， 因为为中点，同理可得， 所以， 由题意知，， 则， 在中，依据余弦定理得，所以， 代入上式得，. 在中，由正弦定理得， 设，则，且， 所以，， ，为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $