精品解析：江苏省海门中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

江苏省海门中学2025-2026学年度第二学期期中考试试卷 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件结合公式求，再利用两角差正弦公式求结论. 【详解】因为，，， 所以， 所以， 故选：A. 2. 已知为实数，则“”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数为纯虚数得出关系即可判断. 【详解】若复数为纯虚数，则且，即， 故“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 如图，一个水平放置平面图形的直观图是边长为1的菱形，且 ，则原平面图形的面积为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据在轴上或平行于轴的线段，在直观图与原图中保持长度不变，在轴上或平行于轴的线段，原图中的长度是直观图中长度的2倍来将直观图还原. 【详解】把直观图还原出原平面图形为平行四边形，如图所示： 其中,， 所以原平面图形的面积为S＝2×1＝2． 故选：A. 4. 某数学兴趣小组成员为测量文峰塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2．已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则文峰塔的高度（   ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】设，用表示，再利用余弦定理，列式计算即得. 【详解】设，依题意，，，， 在中，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得 ， 由， 可得： 解得： 5. 已知两条直线，和平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理逐一判断即可. 【详解】对于A，若，，可能平行于平面，也可能(此时不平行于平面，)，故A错； 对于B，若，，直线，可能平行、相交或异面，故B错； 对于C，如果两平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面，故C正确； 对于D，若，，直线与平面可能相交、平行或. 6. 已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，解得，即， 因为，， 所以在方向上的投影向量的坐标为. 7. 在正四面体中，点，，分别为棱，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据异面直线夹角的定义结合余弦定理运算求解. 【详解】连接，设正四面体的棱长为2， 因为分别为的中点，则//， 所以异面直线，所成角为（或其补角）， 在中，则， 由余弦定理可得， 所以异面直线，所成角的余弦值为. 故选：A. 8. 已知的内角的对边分别为，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理、两角和的正弦公式、两角和的正切公式以及基本不等式求解即可. 【详解】因为，由正弦定理得：， 又，则，所以， 即, 所以， 由，则， 因为为边长，所以，所以， 所以角为钝角，，所以角为锐角即，此时， 所以由， 所以， 即， 因为，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，且，下列说法正确的是（ ） A. 是纯虚数 B. 是实数 C. 是虚数 D. 若，则是实数 【答案】AD 【解析】 【详解】A. 为纯虚数，故A正确； B.，只有时，才是实数，故B错误； C.，只有时为虚数，为实数，故C错误； D. 为实数，故D正确. 10. 在中，．则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 的面积为3 D. 的外接圆半径为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量线性运算可得判断A，由余弦定理求判断B，再由勾股定理判断三角形为直角三角形求面积判断C，求出三角形斜边判断D. 【详解】因为， 所以，故A错误； 如图， 因为，所以， 由余弦定理, 所以，故B正确； 因为，所以，即， 所以，故C错误； 由，所以（为三角形外接圆半径）， 故，故D正确. 故选：BD 11. 如图，在长方体，中，，，、、分别是，，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 若点P在平面ABCD内，且平面GEF，则线段长度的最小值为 D. 若点Q在平面ABCD内，且，则线段长度的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】连接，，，根据线面垂直的判定定理，先证明面，即可得到；判断A正确；根据A选项，可判断D选项中点的轨迹是直线，求出的最小值，进而可判断D正确；根据线面平行、面面平行的判定定理及性质，可证明B正确，结合B选项，得到C选项中，的轨迹是直线，求出的最小值，即可判定C错. 【详解】连接，，， 在长方体中，， 所以侧面与侧面都为正方形，平面， 因此，， 又，面，面， 面， 又面，，故A选项正确； 面，且，点的轨迹是直线， 为使取得最小值，只需，即与重合，此时，，故D选择项正确； 、、分别是，，的中点， 所以，， 又平面，平面，平面，平面， 面面， 又面，面，故B选项正确； 若在平面内，且面，则由B选项可知：的轨迹是直线， 为使线段长度最小，只需，此时在中，，，，，，故C选项错误. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛： 证明空间中位置关系时，通常需要根据空间中线面、面面垂直或平行的判定定理及性质，进行证明即可；有时也可建立适当的空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，根据空间位置关系的向量表示即可证明. 第二部分 （非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在直角（OAB逆时针排列）中，O为坐标原点，A为直角顶点，其坐标为，若，则点的坐标为_____. 【答案】 【解析】 【详解】在直角中，，，得， 因为，得， . 由“逆时针排列”可知，点在第一象限，设 ， 则，，，. 由，得，解得. . 13. 如图，等边的边长为1，点分别为的中点，连接并延长到点，使得，则______. 【答案】##0.125 【解析】 【分析】以为基底，将表示出来，从而求得数量积. 【详解】因为点D，E分别是边AB，BC的中点，所以， 因为，所以， 所以. 因为，，， 所以 . 故答案为： 14. 已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由结合题干中，得到，再由正弦定理得到，整理得，从而，由是锐角三角形得，由正弦定理，从而由的范围得到的取值范围. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 整理可得：，即， 在锐角三角形中，，即，即， 又因为，得，所以， 所以， 因为，所以. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：正弦定理边化角 正弦定理（为的外接圆半径）， 则，，， ， . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数为虚数单位)，在复平面上对应的点在第四象限，且满足(为的共轭复数)． （1）求实数的值; （2）若复数是关于的方程，且的一个复数根，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，可得，再由共轭复数及复数乘法计算得解. （2）利用方程根的意义，结合复数乘方运算、复数相等求解即得. 【小问1详解】 依题意，点在第四象限，即，由，得，即， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，由复数是关于的方程的根， 得，整理得，而， 因此，解得， 所以. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求角； （2）若外接圆的半径为，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）先根据展开，结合正弦和差化积公式进行化简，可得出，进而得出角的值. （2）根据题意和正弦定理可得出边长a的值，再由第一问和余弦定理得出b和c的关系，结合基本不等式即可求出面积的最大值. 【小问1详解】 由得，， 所以，又，所以， 所以，因为，所以； 【小问2详解】 由外接圆的半径为，则得， 由余弦定理得，，即， 所以，解得. 所以，故面积的最大值为. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）在中，若，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数性质求出周期作答. （2）由（1）中函数式求出A，再利用差角的正弦公式、辅助角公式结合正弦函数性质求解作答. 【小问1详解】 依题意， ， 所以函数的周期为. 【小问2详解】 由（1）知，， 在中，，有，于是，解得，则， ， 显然，，因此当，即时，， 所以的最大值为. 18. 如图，四棱锥的底面是菱形，侧面是正三角形，是上一动点，是中点． （1）当是中点时，求证：∥平面； （2）若，求证：； （3）在（2）的条件下，是否存在点，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）存在； 【解析】 【分析】（1）由三角形的中位线定理可得∥，再由线面平行的判定定理可证得结论； （2）取中点，连接，由是正三角形，可得，再由菱形的性质可得，然后由线面垂直的判定可得平面，再利用线面垂直的性质可证得结论； （3）取中点，连接，可得平面，然后过作∥交于点，证得平面，再利用平行线的性质可求得的值. 【小问1详解】 证明：因为点是中点，点是中点，所以∥． 因为平面平面， 所以∥平面． 【小问2详解】 证明：如图，取中点，连接． 因为侧面是正三角形，所以． 因为底面是菱形，且， 所以是等边三角形．所以． 因为平面， 所以平面，因为平面，所以． 【小问3详解】 如图，取中点，连接． 因为四棱锥的底面是菱形，侧面是正三角形， 所以，所以． 又，AB、BE在面ABE内， 所以平面． 过作∥交于点． 因为∥∥，所以点平面． 所以平面， 因为平面，所以， 因为为的中点，∥， 所以． 所以． 19. 在锐角中，，点O为的外心． （1）若，求的最大值； （2）若． ①求证：； ②求的取值范围． 【答案】（1）； （2）①证明见解析；②. 【解析】 【分析】（1）计算出和，由以及平面向量数量积的运算性质可得和，解出，再利用基本不等式即可求出的最大值； （2）① 证出，设出与的夹角为，计算得到，由可得，即可证得结论；② 计算出的外接圆半径为1，可得，求出角的取值范围，结合余弦函数的性质可求得的取值范围. 【小问1详解】 取的中点，连接,则,不妨设， 因，同理可得， 则由可得 ，即得：① 又由可得 ，即得：② 联立① ,②，解得： 则， 因，当且仅当时等号成立.即当时，取得最大值. 【小问2详解】 ①由，则，由图知,则, 设的外接圆半径为， 则, 即,又 ，而 , 则，而， 故, 不妨设与的夹角为， 则, 因，故，即， 故，得证. ②因则,即， ，其中，，且为锐角，故， 因可得,则，. 又由解得： 因，而函数在上单调递减，在上单调递增， 又由 故，则， 于是， 即的范围为. 【点睛】方法点睛：求向量模的常见思路与方法： （1）求模问题一般转化为模的平方，与向量数量级联系，并灵活应用； （2）或，此性质可用来求向量的模，可实现实数运算与向量运算的相互转化； （3）一些常见的结论要熟记：如等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省海门中学2025-2026学年度第二学期期中考试试卷 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为实数，则“”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 如图，一个水平放置平面图形的直观图是边长为1的菱形，且 ，则原平面图形的面积为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4. 某数学兴趣小组成员为测量文峰塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2．已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则文峰塔的高度（   ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 已知两条直线，和平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为（   ） A. B. C. D. 7. 在正四面体中，点，，分别为棱，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的内角的对边分别为，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，且，下列说法正确的是（ ） A. 是纯虚数 B. 是实数 C. 是虚数 D. 若，则是实数 10. 在中，．则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 的面积为3 D. 的外接圆半径为 11. 如图，在长方体，中，，，、、分别是，，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 若点P在平面ABCD内，且平面GEF，则线段长度的最小值为 D. 若点Q在平面ABCD内，且，则线段长度的最小值为 第二部分 （非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在直角（OAB逆时针排列）中，O为坐标原点，A为直角顶点，其坐标为，若，则点的坐标为_____. 13. 如图，等边的边长为1，点分别为的中点，连接并延长到点，使得，则______. 14. 已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数为虚数单位)，在复平面上对应的点在第四象限，且满足(为的共轭复数)． （1）求实数的值; （2）若复数是关于的方程，且的一个复数根，求的值． 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求角； （2）若外接圆的半径为，求面积的最大值. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）在中，若，求的最大值. 18. 如图，四棱锥的底面是菱形，侧面是正三角形，是上一动点，是中点． （1）当是中点时，求证：∥平面； （2）若，求证：； （3）在（2）的条件下，是否存在点，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 19. 在锐角中，，点O为的外心． （1）若，求的最大值； （2）若． ①求证：； ②求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $