江苏海门中学2025-2026学年度高一下学期数学周末练习二3.21

**基本信息** 聚焦向量与解三角形核心内容，通过基础巩固题（如向量共线、正弦定理应用）、综合应用题（如三角形面积与基本不等式求最值）及创新定义题（如“伴随函数”新情境），分层考查数学抽象与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/32分|向量共线、数量积、投影向量；解三角形正弦定理、面积公式|第7题结合三角形面积与基本不等式求最值，体现数学思维的严谨性| |多选题|3题/15分|单位向量性质、三角函数周期与奇偶性、三角形重心垂心判定|第11题综合向量关系与三角形性质，考查空间观念与推理意识| |填空题|3题/15分|向量垂直坐标运算、向量夹角最值|第14题通过几何构图转化向量夹角问题，培养数学眼光的直观性| |解答题|5题/88分|向量共线应用、解三角形角平分线计算、新定义“伴随函数”|第19题以新定义串联向量与三角函数，考查数学语言表达与创新应用，契合高考命题趋势|

江苏省海门中学高一数学第二学期周末练习二 一、单选题 1．已知向量，不共线，向量，且，则的值为（      ） A．1 B． C．±1 D．2 2．已知向量，满足，且，则的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D． 3．在中，若，，则（   ） A． B． C． D． 4．在四边形中，，设.若，则（    ） A． B． C． D．2 5．非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．2 6．已知，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 7．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的面积为，则的最小值为（   ） A．3 B． C．6 D． 8．在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足，则点集所表示的区域的面积是（    ） A．8 B． C．4 D． 二、多选题 9．已知单位向量，，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 10．已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．是奇函数 D．的单调递减区间为, 11．点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（    ） A．若则为的重心 B．若，则点为的垂心 C．在中，向量与满足，且，则为等边三角形 D．若，，分别表示，的面积，则 三、填空题 12．在中，已知，，，则______. 13．已知平面向量若，则___________ 14．已知非零平面向量不共线，且满足，记，则当与的夹角取得最大值时，______． 四、解答题 15．（本题13分）设是两个不共线的向量，． (1)若三个向量的起点相同，且终点在同一直线上，求； (2)若，且与的夹角为，那么为何值时，的值最小？ 16．（本题15分）如图，在中，点是中点，点、分别在边、上，，.AD、EF交于点O，设，. (1)用向量、表示； (2)若，，，求向量、夹角的余弦值. 17．（本题15分）已知的内角A、B、C的对边分别为，满足． (1)求A； (2)设点D为上一点，是的角平分线，且、，求的长度． 18．（本题17分）如图，在中，，，，，. (1)求的值； (2)线段上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的位置，若不存在，请说明理由； (3)若是内一点，且满足，求的最小值. 19．（本题17分）定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为. (1)写出的“伴随函数”，并直接写出的最大值； (2)已知向量，，函数，求函数的“伴随向量”的坐标； (3)已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设（，），且的伴随函数为，其最大值为p. ①若，求p的取值范围； ②求证：向量的充要条件是. 江苏省海门中学高一数学第二学期周末练习二 一、单选题 1．已知向量，不共线，向量，且，则的值为（      ） A．1 B． C．±1 D．2 【答案】C 【分析】根据向量共线定理及平面向量基本定理列出等式解出即可. 【详解】解：因为向量，不共线，且， 所以，即，， 所以，解得或. 故选：C 2．已知向量，满足，且，则的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D． 【答案】A 【分析】由两边平方可得，，由此可求结论, 【详解】由， 所以， 所以，， 所以，又， 所以． 3．在中，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】由，所以， 所以． 故选：D. 4．在四边形中，，设.若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】作出草图，过作，又，可得四边形是平行四边形． ，根据．可得 ，又，可得，据此即可得出结果． 【详解】如图所示，过作，又． ∴四边形是平行四边形． ， 又， ， 又，则. 故选：B．    5．非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】先利用投影向量求出，再利用向量垂直关系计算向量数量积构造关于实数的方程，最后结合及解方程求出实数． 【详解】向量在向量上的投影向量为， ， ， ， 又， ， 是非零向量，， ，解得， 故选：A． 6．已知，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用和角公式及二倍角公式化简，将表示为的函数，再利用基本不等式求出最大值. 【详解】由，得， 即，则， 由，，得， 因此， 当且仅当时取等号，所以的最大值为. 故选：A 7．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的面积为，则的最小值为（   ） A．3 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】结合题设利用正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，再结合的面积为可得，进而根据基本不等式求解即可. 【详解】由， 根据正弦定理得，， 则， 在中，，则，即， 又，则， 又，则， 所以，当且仅当时等号成立， 则的最小值为6. 8．在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足，则点集所表示的区域的面积是（    ） A．8 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得是等边三角形，不妨设，，且，求得，结合，确定区域形状，进而求得其面积. 【详解】由题意知，可得， 因为，所以，所以是等边三角形， 不妨设，，且 因为，可得， 即，所以，解得， 又，则，画出如下图形， 则平行四边形及其内部即为点集所表示的区域， 由可得， 由可得， 由可得， 所以， 点到直线的距离 所以平行四边形的面积为， 即点集所表示的区域的面积是. 二、多选题 9．已知单位向量，，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】ABD 【详解】对于A，由，得，即，解得， 则，而，因此，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，在上的投影向量为，D正确. 10．已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．是奇函数 D．的单调递减区间为, 【答案】ACD 【分析】由辅助角公式可得，即可得A正确，代入检验可知B错误，易知为奇函数，可知C正确，整体代换法可求得的单调递减区间为,，即D正确. 【详解】根据题意可得， 所以的最小正周期为，即A正确； 将代入可得，没有取到最值， 所以的图象不关于直线对称，即B错误； 易知，可得是奇函数，即C正确； 令，，解得，； 所以的单调递减区间为,，可得D正确； 故选：ACD 11．点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（    ） A．若则为的重心 B．若，则点为的垂心 C．在中，向量与满足，且，则为等边三角形 D．若，，分别表示，的面积，则 【答案】ACD 【分析】（1）由向量关系可以判断出为中线的三等分点，可知为重心； （2）由向量关系可以判断出为边与边垂直平分线的交点，可知不是垂心； （3）由判断出三角形为等腰三角形，由判断出，可知为等边三角形； （4）令，，则为的重心，由此求出面积比即可. 【详解】 对于A，如图，取边中点，连接边上的中线，则， 又∵由，∴，∴， ∴为的重心，故选项A正确； 对于B，如图，取边中点，边中点，连接，， 则，， ∵，∴， ∴，∴，，∴，， ∴，分别是，边上的垂直平分线， ∴，为的外心，故选项B错误； 对于C，作角的内角平分线与边交于点， ∵为方向的单位向量，为方向的单位向量， ∴（），∴（）， ∴，∴，∴，为等腰三角形， 又∵，且，∴， ∴为等边三角形，故选项C正确； 对于D，设，，由得， 则由选项A可知，为的重心，设的面积， ∴， 又∵，， ∴，，， ∴， ∴，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．在中，已知，，，则______. 【答案】 【分析】利用三角形内角和与正弦定理可得答案 【详解】由三角形内角和得，则， 又由正弦定理：，则. 13．已知平面向量若，则___________ 【答案】 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 14．已知非零平面向量不共线，且满足，记，则当与的夹角取得最大值时，______． 【答案】4 【分析】作，，，与的夹角为，不妨设，利用两角差的正切公式得，利用基本不等式即可求解. 【详解】如图，作，，，与的夹角为，不妨设， 则 ， 当时，最大，即最大，此时． 故答案为：4. 四、解答题 15．（本题13分）设是两个不共线的向量，． (1)若三个向量的起点相同，且终点在同一直线上，求； (2)若，且与的夹角为，那么为何值时，的值最小？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量共线定理进行求解即可； （2）根据平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可. 【详解】（1）由已知可得， ∵不共线，∴， 解得．∴当时，向量终点在同一直线上. （2）， 故当时，最小. 16．（本题15分）如图，在中，点是中点，点、分别在边、上，，.AD、EF交于点O，设，. (1)用向量、表示； (2)若，，，求向量、夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量的减法可得出关于、的表达式； （2）向量、夹角即为向量、夹角 解法一：利用平面向量数量积的运算性质可求得向量、夹角的余弦值； 解法二：推导出为等腰直角三角形，然后以为原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标表示可求得结果； 解法三：推导出为等腰直角三角形，然后以为原点，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】（1）由题意可得. （2）解法一：由（1）得 ， 向量、夹角即为向量、夹角， 因为为的中点，所以， 从而， ， 所以， 故向量、夹角的余弦值为； 解法二：因为， 又因为，所以， 所以为等腰直角三角形， 如图，以为原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系. 向量、夹角即为向量、夹角， 可得、、、、， 则，， 所以， 故向量、夹角的余弦值为； 解法三：因为， 又因为，所以， 所以为等腰直角三角形， 向量、夹角即为向量、夹角， 如图，以为原点，的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系. 可得、、、、、 ， 从而，， 所以， 故向量、夹角的余弦值为. 17．（本题15分）已知的内角A、B、C的对边分别为，满足． (1)求A； (2)设点D为上一点，是的角平分线，且、，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理进行边化角，然后利用正切函数即可得到答案； （2）利用三角形的面积关系解出即可． 【详解】（1）已知， 由正弦定理得， ，， ，即， ，又， ； （2） 是的角平分线， 由（1）知，，则， 因为， 则， 因为，，即有， 故． 18．（本题17分）如图，在中，，，，，. (1)求的值； (2)线段上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的位置，若不存在，请说明理由； (3)若是内一点，且满足，求的最小值. 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）应用向量的加减法转化向量的数量积即可； （2）应用向量的数量积表示向量的垂直计算求参； （3）先转化表示数量积，再结合基本不等式求出最小值即可. 【详解】（1）， ， （2）设， ， ， ， ， ， 解得； （3）， 所以， ， ， ， ， ，，、、三点共线， ， 当且仅当即为中点时取等号， 而， 所以的最小值为. 19．（本题17分）定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为. (1)写出的“伴随函数”，并直接写出的最大值； (2)已知向量，，函数，求函数的“伴随向量”的坐标； (3)已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设（，），且的伴随函数为，其最大值为p. ①若，求p的取值范围； ②求证：向量的充要条件是. 【答案】(1)，最大值为2. (2) (3)①，②证明见详解 【分析】（1）根据新定义可得得表达式，由辅助角公式化简即可求解； （2）根据向量数量积坐标运算结合三角恒等变换化简，根据“伴随向量”的定义求解； （3）设，，①由新定义结合三角恒等变换化简求得的取值范围；②由题得，则，先证明充分性，再证明必要性. 【详解】（1）由，得， ， 当且仅当，即时，取得最大值2. （2）由题，可得， 所以函数的“伴随向量”. （3）由题，设，， ①因为，所以， ， 所以 ， 因为，所以的取值范围为. ②因为， 所以 ， 故， 先证明充分性：由，得， 即， 所以，故， 所以； 必要性：当时，可得， . 综上，向量的充要条件是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $