江苏省海门中学2025-2026学年高一下学期数学周末练习九

**基本信息** 该卷聚焦高一数学核心内容，以三角函数、立体几何、向量为主体，通过基础巩固题（如复数几何意义）、能力提升题（如线面平行判定）、创新应用题（如动态几何最值）的梯度设计，体现数学眼光的空间观念与数学思维的推理运算。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|复数、线面平行、圆锥与球体积表面积|第2题通过6个命题辨析深化线面关系理解，体现推理意识| |多选题|3/18|向量运算、解三角形多解问题|第10题结合向量几何意义与余弦定理，考查模型观念| |填空题|3/15|三角函数诱导公式、三棱锥外接球|第13题将面面垂直转化为正方体补形，培养空间观念| |解答题|5/77|立体几何证明与二面角、解三角形周长范围|第19题以锐角三角形为背景，用正弦定理转化周长为三角函数值域问题，体现运算能力与应用意识|

江苏省海门中学高一数学周末练习九 一、选择题(共8小题，满分40分，每小题5分) 1．已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 2．下列命题中正确的个数是（    ） ①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面； ②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行； ③如果直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么直线a∥b； ④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α； ⑤如果直线a与平面α内的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α； ⑥如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么直线AB∥α． A．0 B．1 C．2 D．3 3．若圆锥的高与球的直径相等，圆锥的体积与球的体积也相等，则圆锥与球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D．或 5．如图，在三棱柱中，点在棱上，且，点分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则（   ）    A． B． C． D． 6．在平行四边形中，为边上的动点，为外接圆的圆心，且.若，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 7．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，，则的面积为（   ） A． B． C． D．3 8．已知的内角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 二、多选题(共3小题，满分18分，每小题6分) 9．已知向量，满足：，则（   ） A． B．与夹角的余弦值为 C．在上的投影向量坐标为 D．（）的最小值为1 10．的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若，且，则为等边三角形 D．若，，则面积的最大值为 11．在直三棱柱中，，，为线段的中点，则下列正确的有（    ） A．直线平面 B． C．直线与直线所成的角为 D．到平面距离为 三、填空题(共3小题，满分15分，每小题5分) 12．已知，则的值为__________. 13．已知平面平面，交线为为上的两点，，且，若，则三棱锥的外接球的表面积为___________． 14．如图所示，在梯形中，与交于点，若，则__________ ．    四、解答题(共5小题，满分77分) 15．（13分）已知向量，，，且， (1)求x的值； (2)若，求实数的值. 16．（15分）已知为锐角，． (1)求和的值； (2)求的值． 17．（15分）已知函数． 求函数的递增区间； 当时，求函数的值域． 18．（17分）如图，AC是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不同于A，C的点，AC=PA=2, AB=1． (1)若M为PA的中点，证明:OM//平面PBC； (2)求平面APC与平面PCB的夹角的余弦值． 19．（17分）在锐角中，角的对边分别为， . (1)求角； (2)已知，求周长的取值范围. 江苏省海门中学高一数学周末练习九 一、选择题(共8小题，满分40分，每小题5分) 1．已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意知，复数在复平面内对应的点为，则， 所以，，因此. 2．下列命题中正确的个数是（    ） ①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面； ②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行； ③如果直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么直线a∥b； ④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α； ⑤如果直线a与平面α内的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α； ⑥如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么直线AB∥α． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用直线与直线，直线与平面的位置关系逐项判断即可. 【详解】①错，a，b有可能在同一平面内； ②错，直线a也可能与平面内某直线异面； ③错，两直线也可能异面； ④正确；由线面平行的判定定理可得； ⑤错误，a可以在α内； ⑥正确，由平行线上到平面内的距离相等可得. 所以正确的个数有2个； 故选：C. 3．若圆锥的高与球的直径相等，圆锥的体积与球的体积也相等，则圆锥与球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设球的半径为，则球的直径为，由题意，圆锥的高， 所以球的体积为， 设圆锥底面半径为，则， 由，即，所以， 又因为圆锥的母线长， 所以， 又，所以. 4．已知，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】先结合题意得到，再对给定式子平方并利用两角和的正弦公式得到，最后结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】因为，所以，， 因为，所以， 则，由诱导公式得， 由正弦函数性质得在上单调递增， 得到，即，可得，则， 因为，所以， 因为，所以， 则，， 相加可得， 则，即， 解得，由同角三角函数的基本关系可得. 5．如图，在三棱柱中，点在棱上，且，点分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在平面内，作，与DE交于点，连接CF，证明MFCN是平行四边形，根据梯形中位线可求MF长度，从而得到答案. 【详解】如图所示，在平面内，作，与DE交于点，连接CF，则，所以共面，因为∥平面CDE，由线面平行的性质知，所以MFCN是平行四边形，所以. 又是的中点，所以MF是梯形的中位线， 设，则，即， 所以，所以. 故选：A. 6．在平行四边形中，为边上的动点，为外接圆的圆心，且.若，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据题意确定为直角三角形并求出线段的长，然后以为基底去计算的值即可. 【详解】由可知为的中点，又因为为外接圆的圆心， 所以为直角三角形，，所以， 又因为所以，所以， 又因为E为边上的动点，所以 ， 因为，所以当，的最大值为. 7．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，，则的面积为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】由结合正弦定理可知. 因为，则. 即，结合正弦定理得，即得. 将上式代入， 得，故，又，. 所以，，. 所以的面积为. 8．已知的内角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】由正弦定理可得，根据三角恒等变换可得，再根据基本不等式化简即可求解. 【详解】在中，， 由得，所以． 因为，， 即，所以， 则 ， 所以， 当且仅当，即时取等号， 由得，符合条件，所以的最小值为3． 二、多选题(共3小题，满分18分，每小题6分) 9．已知向量，满足：，则（   ） A． B．与夹角的余弦值为 C．在上的投影向量坐标为 D．（）的最小值为1 【答案】AD 【详解】选项A：由，知， 平方可得 ，则成立； 选项B：，故不成立； 选项C：在上的投影向量为，故不成立； 选项D： 所以当时，取得最小值，正确. 10．的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若，且，则为等边三角形 D．若，，则面积的最大值为 【答案】ACD 【分析】对于A，由正弦定理即可判断，对于B，由正弦定理结合大边对大角可判断，对于C，根据向量线性关系及数量积的几何意义可判断，对于D，由余弦定理结合基本不等式求出最大值，即可判定. 【详解】A选项，在中，由得，即，所以； B选项，由正弦定理得即，解得， 又因为，所以，所以只能是锐角，所以只有一解，B错误； C选项，和分别表示与和同方向的单位向量， 以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形， 又由结合菱形性质知的角平分线与垂直， 所以是等腰三角形且， 又因为，且， 所以，所以是等边三角形，C正确； D选项，因为，，所以由余弦定理得， 当且仅当时取等号，即， 所以，D正确. 11．在直三棱柱中，，，为线段的中点，则下列正确的有（    ） A．直线平面 B． C．直线与直线所成的角为 D．到平面距离为 【答案】ABD 【分析】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，对A，求直线的方向向量和平面的法向量，验证方向向量与法向量垂直，结合线不在面内判定；对B，计算和​的数量积判断；对C，利用异面直线夹角公式，计算两个方向向量夹角的余弦绝对值判断；对D，求出平面的法向量，代入距离公式计算验证. 【详解】以为原点，​分别为轴， 由，得各点坐标： ， 对于选项A：，平面中， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以是平面的一个法向量 ， 因为，故，且不在平面内， 因此平面，A正确； 对于选项B：， 因为 ，所以，B正确； 对于选项C：，设异面直线与所成角为， 则，得，C错误； 对于选项D：，设平面的法向量， 则，即，令，则， 所以是平面的一个法向量，又， 所以点到平面的距离： ，D正确. 三、填空题题(共3小题，满分15分，每小题5分) 12．已知，则的值为__________. 【答案】 【分析】根据角与互补，角与的关系，再结合诱导公式即可求解. 【详解】由题意可知：， 则， 又因为，所以， 所以， 故答案为：. 13．已知平面平面，交线为为上的两点，，且，若，则三棱锥的外接球的表面积为___________． 【答案】 【详解】由，根据面面垂直的性质定理，平面，则， 同理，故平面． 因为，所以可将三棱锥补成一个棱长为1的正方体， 三棱锥的外接球与正方体的外接球完全相同． 正方体的体对角线长度为， 即外接球的直径，故， 则三棱锥外接球的表面积． 14．如图所示，在梯形中，与交于点，若，则__________ ．    【答案】 【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，求得直线和的方程，联立方程组，求得，结合，列出方程组，求得的值，即可得到答案. 【详解】以为坐标原点，以所在的直线为轴，以过点垂直轴的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，设，则， 可得， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立两直线方程，解得，即， 所以， 因为，所以，解得，所以． 故答案为：.    四、解答题(共5小题，满分77分) 15．（13分）已知向量，，，且， (1)求x的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，结合向量平行的坐标表示运算求解； （2）根据题意可得，结合向量垂直的坐标表示运算求解. 【详解】（1）由题意可得：， 因为，则，解得. （2）由题意可得：， 因为，则，解得. 16．（15分）已知为锐角，． (1)求和的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先根据同角三角函数平方关系求出，再根据商数关系和两角和正切公式化简得结果； （2）根据二倍角公式得，，再根据两角和余弦公式得，最后根据范围求结果. 【详解】（1）因为为锐角，，所以， 所以， 又因为，所以， （2）因为为锐角，，所以，解得， 所以， ， 所以， 又因为为锐角，所以， 所以. 17．（15分）已知函数． 求函数的递增区间； 当时，求函数的值域． 【答案】（1）（2） 【分析】首先利用三角函数的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的单调区间． 直接利用函数的定义域求出函数的值域． 【详解】函数． ， 由， 解得：， 所以函数的递增区间为； 因为， 所以， 则， 所以函数的值域为． 【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 18．（17分）如图，AC是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不同于A，C的点，AC=PA=2, AB=1． (1)若M为PA的中点，证明:OM//平面PBC； (2)求平面APC与平面PCB的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理可证垂直； （2）根据二面角的三垂线定理作辅助线找到平面与平面的所成角，解三角形即可. 【详解】（1）因为M为PA的中点，O为AC的中点, 所以， 又因为平面PBC，平面PBC， 所以OM//平面PBC． （2）过点B作BD⊥AC，交AC于点D，过点D作DE⊥PC交PC于点E，连接BE， 因为PA垂直于圆O所在的平面，BD包含于圆O所在的平面， 所以， 又因为BD⊥AC，，平面， 所以平面， 因为DE⊥PC， 所以即为平面APC与平面PCB的夹角， 在中，AC=2, AB=1，AC为直径， 所以为直角，，根据等面积法可得， 由题可得平面，所以为直角三角形， 由勾股定理可得，，， 根据等面积法可得， 在中，平面APC与平面PCB的夹角的余弦值. 19．（17分）在锐角中，角的对边分别为， . (1)求角； (2)已知，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦边角关系和余弦定理计算即可求得； （2）利用正弦定理将边替换成角的表达式，再由锐角以及三角函数值域即可求出周长的取值范围. 【详解】（1）由题设及正弦边角关系知，得， 整理得，故，又，所以； （2）由（1）知，， 由于是锐角三角形，则，则， 由正弦定理得，即，. 又，故的周长为 . 而在上单调递减， 所以的周长的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $