11.2.2 正弦定理（2） 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

11.2.2 正弦定理（2） 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、单项选择题 1 (2025扬大附中期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3a＝5b，A＝，则sin B的值为(　　) A. B. C. D. 2 (2024南京月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝3，A＝，cos B＝，则b的值为(　　) A.2 B. C.2 D.2 3 (2025锡东中学期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝1，b＝4，C＝150°，则△ABC的面积为(　　) A.2 B. 2 C. D. 1 4 (2025湖南期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＋a cos B＝b cos A，则△ABC的形状为(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 5 (2025苏州期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a cos C＋a sin C－b＝0，则角A的大小为(　　) A. B. C. D. 6 (2025徐州期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且满足条件a2＋c2－b2＝－S.若D为边AC上一点，DB⊥AB，且AB＝2，BD＝，则边BC的长为(　　) A.2 B. C.3 D.4 二、多项选择题 7 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知＝，S△ABC＝，且b＝3，则下列结论中正确的是(　　) A.cos B＝ B.cos B＝ C.a＋c＝ D.a＋c＝3 8 (2025连云港期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中正确的有(　　) A.当a＝5，b＝7，A＝60°时，满足条件的三角形共有1个 B.若sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，则△ABC的最大角是120° C.若a2＋b2>c2，则△ABC为锐角三角形 D.若a cos B＝b cos A，则△ABC为等腰三角形 三、填空题 9 (2025阜阳月考)在△ABC中，若AB＝5，BC＝6，AC＝7，则△ABC的面积是________． 10 (2025淄博期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝3，B＝，则边AC上的高为________． 11 (2025南京期中)如图，点A，B是海岸线上相距10n mile的两个观测站，测得某外轮在点P位置，∠BAP＝45°，∠ABP＝120°，则此时点P离海岸线的距离为________n mile. 四、解答题 12 (2025连云港期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b cos A＝a sin B. (1) 求角A的大小； (2) 若a＝，△ABC的面积为，求b＋c的值． 13 (2024延边期中)如图，海岸上建有相距40 n mile的雷达站C，D，某一时刻接到海上船B因动力故障发出的求救信号后，调配附近的船A紧急前往救援，雷达站测得角度数据为α＝∠BCA＝45°，β＝∠ACD＝30°，γ＝∠BDC＝45°，δ＝∠ADB＝75°. (1) 救援出发时，船A距离雷达站C的距离为多少？ (2) 求A，B之间的距离，并判断若船A以30 n mile/h的速度前往B处，能否在3 h内赶到救援？ 参 考 答 案 1.A　由正弦定理，得sin B＝＝sin ＝. 2.D　因为cos B＝，B∈(0，π)，所以sin B＝.在△ABC中，因为a＝3，A＝，由正弦定理＝，得b＝＝＝2，所以b的值为2. 3.D　由题意，得△ABC的面积为S△ABC＝ab sin C＝×1×4×sin 150°＝1. 4.B　由题意，得b cos A－a cos B＝c.由正弦定理，得sin B cos A－sin A cos B＝sin C＝sin (A＋B)，即sin B cos A－sin A cos B＝sin A cos B＋cos A sin B，整理，得2sin A cos B＝0.又sin A≠0，所以cos B＝0，即B＝，则△ABC为直角三角形． 5.A　由正弦定理，得sin A cos C＋sin A sin C－sin B＝0.因为sin B＝sin (A＋C)，所以sin A cos C＋sin A sin C－sin A cos C－cos A sin C＝0，整理，得sin A sin C－cos A sin C＝0.因为sin C≠0，所以sin A－cos A＝0，即tan A＝.因为0<A<π，所以A＝. 6.D　在△ABC中，由a2＋c2－b2＝－S及余弦定理、面积公式，得2ac cos ∠ABC＝－·ac sin ∠ABC，则tan ∠ABC＝－.又0<∠ABC<π，所以∠ABC＝.如图，在△ABD中，DB⊥AB，AB＝2，BD＝，则AD＝，sin A＝，cos A＝.在△ABC中，sin C＝sin (－A)＝cos A－sin A＝×－×＝.由正弦定理，得BC＝＝＝4. 7.AD　由＝＝，整理，得sin B cos C＝2sin A cos B－sin C cos B，则sin B cos C＋sin C cos B＝sin (B＋C)＝sin A＝2sin A cos B.因为sin A≠0，所以cos B＝，故A正确，B错误；因为B∈(0，π)，所以B＝.因为S△ABC＝，所以＝ac sin B＝ac×＝ac，解得ac＝3.由余弦定理，得9＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝(a＋c)2－9，解得a＋c＝3，故C错误，D正确．故选AD. 8.BD　对于A，由正弦定理＝，得sin B＝＝＝>1，即不存在满足条件的三角形，故A错误；对于B，由正弦定理，得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7.设a＝3k，则b＝5k，c＝7k，由余弦定理，得cos C＝＝＝－.因为0°<C<180°，所以C＝120°，即△ABC的最大角是120°，故B正确；对于C，因为a2＋b2>c2，由余弦定理，得cos C＝>0，且0°<C<180°，所以C为锐角，但不能说明△ABC为锐角三角形，故C错误；对于D，由a cos B＝b cos A及正弦定理，得sin A cos B＝sin B cos A，即sin (A－B)＝0.因为0<A<π，0<B<π，所以－π<A－B<π，所以A－B＝0，即A＝B，所以△ABC为等腰三角形，故D正确．故选BD. 9.6　在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝7，由余弦定理，得cos B＝＝，则sin B＝＝，所以△ABC的面积为S△ABC＝×5×6×＝6. 10.　设边AC上的高为h.由余弦定理，得b＝＝＝.又S△ABC＝ac sin B＝bh，所以h＝＝＝. 11.15＋5　如图，过点P作PH⊥AB于点H.因为∠BAP＝45°，∠ABP＝120°，所以∠APB＝180°－(45°＋120°)＝15°.又sin 15°＝sin (45°－30°)＝×－×＝，所以由正弦定理＝，得PB＝＝10(＋1)(n mile)，在Rt△PBH中，PH＝PB sin (180°－120°)＝10(＋1)×＝15＋5(n mile).故此时点P离海岸线的距离为15＋5 n mile. 12.(1) 因为b cos A＝a sin B， 所以由正弦定理，得sin B cos A＝sin A sin B. 又B∈(0，π)，所以sin B≠0. 所以cos A＝sin A，即tan A＝. 因为A∈(0，π)，所以A＝. (2) 在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A， 得13＝b2＋c2－bc，即13＝(b＋c)2－3bc. 又S△ABC＝bc sin A＝bc＝， 所以bc＝4，所以13＝(b＋c)2－3×4， 解得b＋c＝5(负值舍去). 13.(1) 在△ADC中，因为∠ACD＝30°，∠BDC＝45°，∠ADB＝75°， 所以∠DAC＝180°－∠ACD－∠BDC－∠ADB＝30°，∠ADC＝∠BDC＋∠ADB＝120°. 又DC＝40，所以由正弦定理可得＝，即＝，解得AC＝120， 所以船A距离雷达站C的距离为120 n mile. (2) 在△BDC中，根据正弦定理可得＝， 即＝，解得BC＝40. 在△ABC中，由余弦定理可得AB2＝1202＋(40)2－2×120×40cos 45°＝8 000， 解得AB＝40，即A，B之间的距离为40 n mile. 因为船A以30 n mile/h的速度前往B处， 所以＝<3， 所以船A能在3 h内赶到救援． 学科网（北京）股份有限公司 $