11.3.2 余弦定理、正弦定理的应用（2）同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

11.3.2 余弦定理、正弦定理的应用（2） 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、单项选择题 1 (2025连云港期中)某地为大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图，测得∠C＝120°，BC＝3km，AC＝5km，则A，B间的直线距离约为(　　) A.6 km B.7 km C.8 km D.5 km 2 (2025淄博期中)一艘海轮从A处出发，以每小时50n mile的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2h后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，则B，C两点间的距离是(　　) A.50 n mile B.50 n mile C.100 n mile D.100 n mile 3 (2025台州期中)为测量某建筑物的总高度CD，选取与塔底C在同一水平面内的两个测量基点A与B，某人在C的正西方向点A处测得塔顶的仰角为60°，C在B的西偏北75°方向，A在B的西偏北30°方向，AB＝32m，则这幢建筑物的总高度为(　　) A.(96－32)m B.(96－32)m C.(92－32)m D.(92－32)m 4 (2025苏州期中)如图，小张同学为测量学校紫阳楼的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点测得建筑物顶端的仰角分别为30°，45°，且A，B两点间的距离为10m，则紫阳楼的高度为(　　) A.5(＋1)m B.10(＋1)m C.5(＋1)m D.10(＋1)m 二、多项选择题 5 (2025枣庄月考)初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编队，奔赴多个海区开展实战化海上训练．如图，在一次海上训练中，雷达兵在P处发现在北偏东50°方向，相距30 km的水面Q处，有一艘A舰艇发出液货补给需求，它正以50km/h的速度，沿南偏东70°方向前进，这个雷达兵立马协调在P处的B舰艇以70km/h的速度，沿北偏东50°＋θ方向与A舰艇对接并进行横向液货补给.若B舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则下列说法中正确的是(　　) A.B舰艇所需的时间为1 h B. B舰艇所需的时间为2 h C.sin θ＝ D. sin θ＝ 6 (2024白山月考)湖光岩玛珥湖，位于广东省湛江市麻章区湖光镇，是中国乃至世界上最大的湿玛珥湖，是中国玛珥湖研究的始发点，也是世界玛珥湖研究的关键点．某小组计划测量如图所示的湖光岩玛珥湖的东西方向的总湖长，即测量湖光岩玛珥湖湖岸的两个测量基点P，Q之间的距离，在湖光岩玛珥湖的湖岸取另外两个测量基点M，N，测得MN＝380 m，∠PMQ＝，∠QMN＝∠PNM＝，∠PNQ＝，则下列结论中正确的是(　　) 　　 A.MQ＝380 m B.PM＝380 m C.PN＝380 m D.PQ＝1 900 m 三、填空题 7 (2025潍坊期末)如图，在倾斜角为15°的山坡上有一根旗杆，当太阳的仰角是60°时，旗杆在山坡上的影子的长是20m，则旗杆的高为________m. 8 (2025南通期中)为测量河北岸两点A，B之间的距离(不可到达)，现在河南岸选定两点C，D，并测得CD＝100m，∠ACB＝∠ADB＝60°，∠ACD＝45°，∠BDC＝30°，则AB＝________m. 四、解答题 9 (2025广东纪元中学期中)如图，甲船在距离A 港口24n mile并在南偏西20°方向的C处驻留等候进港，乙船在 A 港口南偏东40°方向的B 处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31n mile. (1) 求∠ABC 的正弦值； (2) 当乙船行驶20n mile到达D 处时，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，求此时甲、乙两船之间的距离． 10 (2025荆州期中)某社区规划在小区内建立一个如图所示的圆形休闲区，经调研确定，该圆的内接四边形ABCD为儿童娱乐设施建筑用地，AB＝AD＝2CD＝6，BC＝9. (1) 求∠ABC和∠ADC的大小； (2) 求儿童娱乐设施建筑用地的面积； (3) 若点A，C，D不动，在圆弧 上取一点E，使得儿童娱乐设施的新建筑用地AECD的面积最大，并求出最大值． 参 考 答 案 1.B　由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C＝25＋9－2×5×3cos 120°＝49，解得AB＝7km. 2.A　如图，由题意可知∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ABC＝40°＋65°＝105°，AB＝2×50＝100(n mile)，则∠BCA＝45°.因为＝，所以BC＝×sin 30°＝50 n mile. 3.A　如图，由题意，得∠DAC＝60°，∠CBM＝75°，∠ABM＝30°，且AC∥BM，所以∠CBA＝45°，∠CAB＝30°，∠ACB＝105°.设DC＝x m，则AC＝x m，在△ABC中，＝，sin 105°＝sin (60°＋45°)＝，解得x＝(96－32)m. 4.A　如图，设CD＝h，因为从A，B两点测得建筑物顶端的仰角分别为30°，45°，所以BC＝h，AC＝2h.又∠ACB＝15°，AB＝10，且sin 15°＝sin (60°－45°)＝×－×＝，由正弦定理，得＝，即＝，所以h＝＝，解得h＝5(＋1)m. 5.AD　如图，设B舰艇经过xh后在M处与A舰艇汇合，则MQ＝50x，MP＝70x，∠PQM＝120°.由余弦定理，得(70x)2＝302＋(50x)2－3 000x cos 120°，解得x＝1或x＝－(舍去)，故MQ＝50，MP＝70.由正弦定理，得＝，解得sin θ＝＝.故选AD. 6.ABD　在△PMN中，∠PMN＝＋＝，∠PNM＝∠MPN＝，则PM＝MN＝380 m，故B正确；在△MNQ中，∠MNQ＝＋＝.又∠QMN＝，所以∠MQN＝，由正弦定理可得＝，即＝，解得MQ＝380 m，故A正确；在△PMN中，同理可得PN＝＝190＋190(m)，故C错误；在△PMQ中，由余弦定理，得PQ2＝(380)2＋(380)2－2×380×380×＝5×(380)2，所以PQ＝380×5＝1 900(m)，故D正确．故选ABD. 7.20　由题意，得∠BAC＝60°－15°＝45°，AC＝20m.又旗杆与水平面垂直，所以∠ACB＝180°－75°＝105°，则∠ABC＝180°－105°－45°＝30°.由正弦定理＝，得BC＝＝＝＝20(m). 8.50　如图，由∠BDC＝30°，∠ADB＝60°，∠ACD＝45°，得∠ADC＝90°，CD＝AD＝100 m，所以AC＝100 m．在△BCD中，∠CBD＝180°－60°－45°－30°＝45°.由正弦定理，得＝＝，则BC＝50 m．在△ABC中，由余弦定理，得cos ∠ACB＝＝＝，解得AB＝50 m. 9.(1) 由题意，得∠BAC＝60°，BC＝31 n mile，AC＝24 n mile， 在△ABC中，由正弦定理，得＝， 则sin ∠ABC＝＝＝. (2) 由题意，得BD＝20 n mile，且∠ABC为锐角， 所以cos ∠ABC＝＝. 由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC cos∠ABC＝400＋961－2×20×31×＝441， 所以CD＝21n mile. 10.(1) 如图，连接AC. 由题意，得∠ABC＋∠ADC＝π， 则cos ∠ABC＋cos ∠ADC＝0. 由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos ∠ABC＝ AD2＋CD2－2AD·CD cos ∠ADC， 则AC2＝62＋92－2×6×9cos ∠ABC＝62＋32－2×6×3cos ∠ADC， 所以cos ∠ABC＝，cos ∠ADC＝－， 所以∠ABC＝，∠ADC＝. (2) 四边形ABCD的面积为AB·BC sin ∠ABC＋AD·CD sin ∠ADC＝×6×9×＋×6×3×＝18. (3) 由余弦定理可得AC2＝62＋32－2×6×3×＝63. 由(1)可得∠AEC＝∠ABC＝， 由余弦定理，得AC2＝AE2＋CE2－AE·CE≥AE·CE，则AE·CE≤63, 当且仅当AE＝CE时，等号成立， 所以△AEC的面积S1＝AE·CE sin ∠AEC＝AE·CE≤. 又△ACD的面积为S2＝AD·CD sin ∠ADC＝， 所以儿童娱乐设施的新建筑用地AECD的面积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $