精品解析：浙江宁波市镇海蛟川书院2025-2026学年第二学期期末测试初一数学试卷

蛟川书院2025学年第二学期期末测试 初一数学试卷 （满分100分，考试时间100分钟） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列图形的形成过程，可以用“平移现象”解释的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列数据收集过程中，适合用普查的是（ ） A. 五一期间来杭游客最喜爱的景点调查 B. 神舟二十号发射前火箭零部件检查 C. 全市学生对学校食堂满意度调查 D. 某农场小麦种子单穗颗粒数调查 4. 已知，，，将，，按从小到大的顺序排列，结果为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，点D、E、F分别在边上，且．要使，还需要添加的条件可以是（ ） A. B. C. D. 6. 《孙子算经》收录一题：今有牧人、樵夫二人带银两不知数目，牧人得到樵夫银两的三分之一，则牧人共有60两；樵夫得到牧人银两的四分之三，则樵夫也共有60两．设牧人原有银两，樵夫原有银两，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将三角形纸片沿折叠，点落在处．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 若恒成立，则( ) A. 0 B. 4 C. 8 D. 12 9. 如图，钟摆的摆长固定，悬挂点为，钟摆静止时在最低点处，与钟面底部的水平台垂直．钟摆到达位置处，距离水平台的高度为；然后到达位置处，测得、两点到的水平距离、分别为和，且、则钟摆到达处时距离水平台的高度为（） A. B. C. D. 10. 等积变形是一种重要的数学转化思想．已知与长方形如图摆放，交于点，已知长方形的面积是面积的2倍，若要求出的面积，只需知道（ ） A. 的面积 B. 的面积 C. 的面积 D. 的面积 二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分） 11. 分解因式：ab2﹣a3=_____． 12. 某种病毒直径约米，用科学记数法表示为__________米． 13. 如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，作直线交于点F，交于点G，连接．若，，则的周长为________． 14. 若分式有意义，则需要满足的条件是__________． 15. 当__________时，关于的二次三项式是完全平方式． 16. 在中，是边上的高线，垂足为，，且，则的度数为__________． 17. 已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解为__________． 18. 如图，在中，，，是的角平分线，点在内部，连接、、，，，，则线段的长度为__________． 三、解答题（本题有6小题，共46分） 19. 解方程（组）： （1）； （2）． 20. 为响应国家政策要求，保证学生睡眠时长，某校从七年级随机抽取部分学生，统计其某天睡眠时长（单位：小时），部分信息如下表： 睡眠时长统计表格 等级 睡眠时长 频数 频率 不充足 24 0.3 适中 充足 16 （1）计算：__________，__________，__________； （2）若将结果绘制成扇形统计图，则等级为“充足”的部分所对应的扇形圆心角度数为__________； （3）全校七年级共有600人，请你根据上述表格，估算出七年级约有多少人睡眠不充足？ 21. 如图，、、在一条直线上，、、在一条直线上．已知，． （1）求证：； （2）若于点，，试求的度数． 22. 一位顾客到精品水果店选购A款芒果和B款芒果，他对比发现：花费360元买到的A款芒果重量，和花费450元买到的B款芒果重量完全相同，且B款芒果的单价比A款贵3元/斤． （1）求A、B两种芒果的单价； （2）顾客计划恰好用240元购买这两种芒果，两种芒果均需购买，且购买重量均为整数斤，有哪些购买方案？ 23. 关于的二次三项式，我们规定：将二次项系数与常数项互换，一次项系数保持不变，得到新的多项式称为原多项式的反系数配对式．已知二次三项式，它的反系数配对式记为，完成下列问题： （1）直接写出代数式，并因式分解； （2）求代数式的最大值； （3）已知关于的分式方程无解，求常数的值． 24. 我们已经学习了很多有关角平分线的知识，例如：角平分线的性质．实际上，还有另一个重要的定理：“三角形的一条内角平分线，和另外两个内角的外角平分线交于同一点”，即如下图在中，、、的角平分线交于同一点．根据上述材料回答以下问题： （1）如图1，的三条内角平分线交于点，过点分别作、、边上的垂线段、、．若的周长为16，，求的面积； （2）如图2，在中，、分别在、的延长线上，和的角平分线交于点，连接，若，，求的度数； （3）如图3，在中，，的角平分线交于点，延长至点，使，连接．过点作的角平分线交于点．若，，求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蛟川书院2025学年第二学期期末测试 初一数学试卷 （满分100分，考试时间100分钟） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. 故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 2. 下列图形的形成过程，可以用“平移现象”解释的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移. 平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，依次分析各选项即可得出答案． 【详解】解：根据平移前后，图形的形状，大小，方向均不变，可知，只有选项A的图形可以通过平移得到． 3. 下列数据收集过程中，适合用普查的是（ ） A. 五一期间来杭游客最喜爱的景点调查 B. 神舟二十号发射前火箭零部件检查 C. 全市学生对学校食堂满意度调查 D. 某农场小麦种子单穗颗粒数调查 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查普查，抽样调查；根据普查适用于数据要求精确、个体数量较少或结果影响重大的情况，逐一分析各选项是否满足条件即可． 【详解】A．调查五一期间游客最喜爱的景点，游客数量多且流动性大，适合抽样调查，故本选项不符合题意； B．检查火箭零部件，因涉及重大安全，必须逐一检查，故本选项符合题意； C．全市学生满意度调查，总体数量大，通常采用抽样，故本选项不符合题意； D．小麦单穗颗粒数，总体数量极大，适合抽样，故本选项不符合题意； 故选：B． 4. 已知，，，将，，按从小到大的顺序排列，结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据运算法则分别计算出，，的值，再比较大小即可得到排序结果． 【详解】解：∵任何非零数的次幂都等于， ∴， ∵， ， 又， ∴ ． 5. 如图，在中，点D、E、F分别在边上，且．要使，还需要添加的条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质与判定． 根据平行线的性质，两直线平行同位角相等，得出，再利用要使，找出符合要求的答案即可． 【详解】解：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， 要使，只要就行， ∵， ∴还需要添加条件即可得到（等量代换）， 故选：B． 6. 《孙子算经》收录一题：今有牧人、樵夫二人带银两不知数目，牧人得到樵夫银两的三分之一，则牧人共有60两；樵夫得到牧人银两的四分之三，则樵夫也共有60两．设牧人原有银两，樵夫原有银两，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题干描述的两个等量关系分别列出方程，即可得到正确方程组． 【详解】解：设牧人原有银两，樵夫原有银两， ∵牧人得到樵夫银两的三分之一后，牧人共有两， ∴可得方程 ， ∵樵夫得到牧人银两的四分之三后，樵夫共有两， ∴可得方程 ，  因此可列方程组 ． 7. 如图，将三角形纸片沿折叠，点落在处．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质得出 ，再根据平角的性质求出 ，利用角度的和差关系计算即可． 【详解】解：折叠的性质可得：，  ∵，  ∴，  ∴， ∴． 8. 若恒成立，则( ) A. 0 B. 4 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】先对等式右侧通分，根据等式恒成立时分母相同，对应分子为相等多项式，利用对应系数相等列方程组求解和，即可得到的值 【详解】解：右边 ∵等式恒成立，且左右两侧分母相同 ∴分子恒相等，即 整理右侧得 多项式相等则对应系数相等，可得方程组 解得： ∴． 9. 如图，钟摆的摆长固定，悬挂点为，钟摆静止时在最低点处，与钟面底部的水平台垂直．钟摆到达位置处，距离水平台的高度为；然后到达位置处，测得、两点到的水平距离、分别为和，且、则钟摆到达处时距离水平台的高度为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过证明得出对应边，，利用高度关系求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ，， 设点距离水平台的高度为， 点距离水平台的高度为， ， 点距离水平台的高度为． 10. 等积变形是一种重要的数学转化思想．已知与长方形如图摆放，交于点，已知长方形的面积是面积的2倍，若要求出的面积，只需知道（ ） A. 的面积 B. 的面积 C. 的面积 D. 的面积 【答案】A 【解析】 【分析】过点C作，交于H，连接，然后根据平行线间的距离都是相等的及等积法进行求解即可． 【详解】解：过点C作，交于H，连接，如图所示： ∵在长方形中，， ∴， ∴根据平行线间的距离都相等可知：， ∵，且长方形的面积是面积的2倍， ∴， ∴， ∴要求出的面积，只需知道的面积． 二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分） 11. 分解因式：ab2﹣a3=_____． 【答案】a（b+a）（b﹣a） 【解析】 【分析】首先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：ab2﹣a3=a（b2﹣a2）=a（b+a）（b﹣a）． 故答案为a（b+a）（b﹣a）． 12. 某种病毒直径约米，用科学记数法表示为__________米． 【答案】 【解析】 【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数． 【详解】解：左边起第一个不为零的数字前面的有个， ，， ． 13. 如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，作直线交于点F，交于点G，连接．若，，则的周长为________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了作图—作已知线段的垂直平分线、垂直平分线的性质等知识，理解线段垂直平分线的作法是解题关键．由作图可知，直线垂直平分，由垂直平分线的性质可得，然后由的周长，即可获得答案． 【详解】解：由作图可知，直线垂直平分， ∴， ∵， ∴的周长． 故答案为：． 14. 若分式有意义，则需要满足的条件是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零． 【详解】解：分式有意义， 分母， 即， ∴． 15. 当__________时，关于的二次三项式是完全平方式． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式的结构特征，对比对应项系数即可求出的值． 【详解】解：， 设该完全平方式为，  展开得，  将其与对比系数，得 ， 解得，  ． 16. 在中，是边上的高线，垂足为，，且，则的度数为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质，角的和差计算，需要分情况讨论垂足的位置，垂足在线段上和垂足在线段的延长线上，利用直角三角形两锐角互余求出，再结合已知条件求出，最后根据角的和差关系计算的度数． 【详解】解：是边上的高线， ，， 在中，， ， ， ， 分两种情况讨论： ①当垂足在线段上时， ， ②当垂足在线段的延长线上（点在，之间）时， ， 综上可得：的度数为或． 17. 已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用整体换元的思路，将待求解的方程组变形为和已知解的原方程组结构一致的形式，通过对应关系得到关于，的简单方程组，进而求出结果． 【详解】解： 原方程组为， 对第二个方程移项变形得， 即，  整理得， 因此变形后的待求解方程组为 ， 关于、的方程组的解为， ， 解得． 18. 如图，在中，，，是的角平分线，点在内部，连接、、，，，，则线段的长度为__________． 【答案】 3 【解析】 【分析】在上截取，连接，利用证明和全等，得出及，再结合已知角度关系推导出，再由全等证明，最后通过线段的和差关系求解． 【详解】解：在上截取，连接，过点作于点， 是的角平分线 在和中 ， ，，  又 ， ∵， ∴ ∵ ∴ ， ．  三、解答题（本题有6小题，共46分） 19. 解方程（组）： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原方程组可化为：， 由得，，解得， 将代入，解得 ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 20. 为响应国家政策要求，保证学生睡眠时长，某校从七年级随机抽取部分学生，统计其某天睡眠时长（单位：小时），部分信息如下表： 睡眠时长统计表格 等级 睡眠时长 频数 频率 不充足 24 0.3 适中 充足 16 （1）计算：__________，__________，__________； （2）若将结果绘制成扇形统计图，则等级为“充足”的部分所对应的扇形圆心角度数为__________； （3）全校七年级共有600人，请你根据上述表格，估算出七年级约有多少人睡眠不充足？ 【答案】（1）, , （2） （3）人． 【解析】 【分析】（1）先利用已知组的频数和频率求出抽取的总样本数，再根据频数、频率、总数的关系计算； （2）利用对应频率乘以得到扇形圆心角度数； （3）用样本频率估算总体人数，进行计算即可． 【小问1详解】 解：已知不充足组频数为，频率为， ∴抽取的总人数为 （人）， ∴ ， ∴ ， ； 【小问2详解】 等级为“充足”对应的扇形圆心角度数为：； 【小问3详解】 全校七年级共人，样本中睡眠不充足的频率为， ∴（人） 答：七年级约有180人睡眠不充足． 21. 如图，、、在一条直线上，、、在一条直线上．已知，． （1）求证：； （2）若于点，，试求的度数． 【答案】（1）证明：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由得到，推出，等量代换得到，即可证明； （2）首先求出，，然后结合平行线的性质求出，，进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 22. 一位顾客到精品水果店选购A款芒果和B款芒果，他对比发现：花费360元买到的A款芒果重量，和花费450元买到的B款芒果重量完全相同，且B款芒果的单价比A款贵3元/斤． （1）求A、B两种芒果的单价； （2）顾客计划恰好用240元购买这两种芒果，两种芒果均需购买，且购买重量均为整数斤，有哪些购买方案？ 【答案】（1）A款芒果单价为12元/斤，B款芒果单价为15元/斤 （2）共有3种购买方案，分别是：①购买A款15斤，B款4斤；②购买A款10斤，B款8斤；③购买A款5斤，B款12斤 【解析】 【分析】（1）设A款芒果的单价为元/斤，则B款芒果的单价为元/斤，根据题意列出分式方程求解即可； （2）根据总花费列出二元一次方程，求方程的正整数解，即可得到所有符合要求的购买方案． 【小问1详解】 解：设A款芒果的单价为元/斤，则B款芒果的单价为元/斤， 根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意；  ， 答：A款芒果单价为12元/斤，B款芒果单价为15元/斤； 【小问2详解】 设购买A款芒果斤，购买B款芒果斤，其中均为正整数， 根据题意得， 整理得 ， 均为正整数， 为整数， ∴是4的倍数， ∵得， 解得， 又， ∴的可取值为， 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 答：共有三种购买方案，分别是：购买A款芒果15斤，B款芒果4斤；购买A款芒果10斤，B款芒果8斤；购买A款芒果5斤，B款芒果12斤． 23. 关于的二次三项式，我们规定：将二次项系数与常数项互换，一次项系数保持不变，得到新的多项式称为原多项式的反系数配对式．已知二次三项式，它的反系数配对式记为，完成下列问题： （1）直接写出代数式，并因式分解； （2）求代数式的最大值； （3）已知关于的分式方程无解，求常数的值． 【答案】（1） ，因式分解结果为 （2） 最大值为 （3） 的值为或 【解析】 【分析】（1）根据反系数配对式的定义写出，再因式分解； （2）化简后，用配方法求最大值； （3）将分式方程化为整式方程，分整式方程无解、整式方程的解为增根两种情况讨论，得到的值． 【小问1详解】 解：已知原二次三项式， 根据反系数配对式的定义，交换二次项系数与常数项，一次项系数不变，得  因式分解得：； 【小问2详解】 解： ， ，  ， ， 因此的最大值为； 【小问3详解】 解：对于分式方程， 两边同乘去分母得，  代入，， 整理得，  分两种情况讨论： ① 当，即时，方程变为，整式方程无解，原分式方程无解； ② 当时，整式方程的解为，若原分式方程无解，则该解为增根， 因此 ，  解得  综上，常数的值为或． 24. 我们已经学习了很多有关角平分线的知识，例如：角平分线的性质．实际上，还有另一个重要的定理：“三角形的一条内角平分线，和另外两个内角的外角平分线交于同一点”，即如下图在中，、、的角平分线交于同一点．根据上述材料回答以下问题： （1）如图1，的三条内角平分线交于点，过点分别作、、边上的垂线段、、．若的周长为16，，求的面积； （2）如图2，在中，、分别在、的延长线上，和的角平分线交于点，连接，若，，求的度数； （3）如图3，在中，，的角平分线交于点，延长至点，使，连接．过点作的角平分线交于点．若，，求的周长． 【答案】（1）16 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据角平分线的性质求出，然后利用的面积整体求解即可； （2）首先根据角平分线的定义得到，，然后结合平角的定义和三角形内角和定理求出，然后得到平分，进而求解即可； （3）过点作，，，过点作，连接，连接，延长到，延长到点，由题意可得平分，平分，得到，由，可得，由，，，可得，，，再由，可得，最后由的周长为即可求出结果． 【小问1详解】 解：∵的三条内角平分线交于点，，，， ∴， ∴ ． 【小问2详解】 解：∵和的角平分线交于点，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵三角形的一条内角平分线，和另外两个内角的外角平分线交于同一点， ∴平分， ∴． 【小问3详解】 解：过点作于点G，于点I，于点J，过点作于点H，连接，连接，延长到，延长到点， ∵的内角的平分线交于点， ∴平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分，即是的外角平分线， ∴平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， 在与中 ∴， ∴， ∴， 在与中 ∴， ∴， 同理：，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵的内角的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $