第7讲 直线与圆的位置关系（3大知识点+12大题型）讲义-2026-2027学年新高二苏教版数学暑假进阶

第7讲 直线与圆的位置关系 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：直线与圆的位置关系 3 知识点二：圆的切线方程的求法 3 知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法 4 03 题型精讲举一反三 5 题型一：直线与圆位置关系判定 5 题型二：由位置关系求参数 7 题型三：距离最值求解 9 题型四：直线与圆交点求解 12 题型五：直线与圆相交性质 14 题型六：切线方程求解 19 题型七：切线长计算 20 题型八：坐标法应用 22 题型九：弦长与中点弦问题 27 题型十：圆内接三角形问题 29 题型十一：切点弦问题 33 题型十二：直线与圆实际应用 37 04 过关测试 42 知识点一：直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 2、直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离． 知识点二：圆的切线方程的求法 1、点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 知识点诠释： 因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 常见圆的切线方程： （1）过圆上一点的切线方程是； （2）过圆上一点的切线方程是 ． 知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法 1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 题型一：直线与圆位置关系判定 例1．（2026·高二·江苏徐州·阶段检测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交且直线过圆心 D．相交但直线不过圆心 【答案】C 【解析】圆的圆心为， 圆心到直线的距离为：，      所以直线过圆心， 所以直线与圆相交且过圆心． 故选：C. 例2．（2026·高二·湖北荆门·期末）设直线，圆，则与圆C（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径， 则圆心C到直线l的距离， 故直线与圆C相离． 故选：C. 例3．（2026·高二·广东深圳·期末）直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 【答案】A 【解析】的圆心和半径分别为， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交但不经过圆心， 故选：A 变式1．（2026·高三·云南昭通·期中）已知直线：（其中）与圆C：，则直线与圆C的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与m的取值有关系 【答案】C 【解析】直线：可变形为： ， 令系数为0，则，解得， 直线恒过定点， 圆C：的标准形式为， 是以为圆心，半径是2的圆， ，故过圆内一点的直线与圆恒相交． 变式2．（2026·高二·广东肇庆·期中）直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切或相离 【答案】D 【解析】直线方程可变形为，恒过点.圆，是以为圆心，半径为1的圆. ，故P在圆外，直线与圆的位置关系示意如下： 设圆心到直线：的距离为d，则. 当时，，，解得：， 即当时，直线与圆相切. 当时，即时，直线与圆相交. 当时，即时，直线与圆相离. 综上，随着的变化，直线和圆可能相交、相切或相离. 故选：D. 题型二：由位置关系求参数 例4．（2026·天津东丽·二模）若过点的直线l与圆只有一个公共点，则l的斜率为______． 【答案】 【解析】圆的圆心，半径， 点在圆外，而直线与圆相交， 依题意，直线与圆相切，且斜率存在，设其方程为， 由，解得，所以的斜率为. 例5．（2026·高二·上海·阶段检测）设，若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】关于的方程有两个不相等的实根，即方程有两个不相等的实根. 所以的图象与函数的图象有两个交点. 的图象恒过定点，且直线的斜率，作出的图象，如图所示. 当直线经过点时，直线与的图象恰好有两个交点，此时直线的斜率. 当直线与半圆相切于点时，此时圆心到直线的距离，解得. 由图象可得，当直线的斜率由逐渐增大到时，此时直线与半圆始终有两个交点，符合题意，故的取值范围是. 例6．（2026·高二·上海·期中）设，且过点作圆的切线有且只有一条，则__________. 【答案】 【解析】过点作圆的切线有且只有一条， 则点在圆上， 所以，解得， 因为，所以. 变式3．（2026·高二·上海·阶段检测）若直线l：与曲线C：有公共点，则实数b的取值范围是_______ 【答案】 【解析】如图所示，曲线C：是以原点为圆心半径为1的上半圆， 直线是斜率为的直线，是直线的纵截距. 当直线过点时，取得最小值，此时； 当在第二象限与曲线相切时，取得最大值， 此时，到，即的距离为1， 所以，所以. 显然，所以. 所以实数b的取值范围是. 变式4．（2026·高二·上海·阶段检测）若直线与圆相离，则实数的取值范围是_________________ 【答案】 【解析】由圆的标准方程可知圆的圆心坐标为，半径为， 则圆心到直线的距离， 直线和圆相离则有，即， 解含绝对值不等式可得或， 即. 题型三：距离最值求解 例7．（2026·高二·海南·期末）过点作圆的切线，切点为，则的最大值为_____. 【答案】 【解析】易知点在直线上， 如图，在中，， 要使最大，只需最小， 的最小值即为点到的距离， 则，. 故答案为： 例8．（2026·高二·全国·期末）已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为_______． 【答案】 【解析】直线， 令，解得，所以直线恒过定点， 圆的圆心为，半径为， 且，即在圆内， 当时，圆心到直线的距离最大为， 此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为. 故答案为： 例9．（2026·高二·天津武清·阶段检测）若直线与圆交于两点，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】直线变形为， 令，解得，则，所以直线l恒过定点， 圆的圆心为，半径， 则圆心C到P点的距离， 分析可得，当直线l与PC垂直时，圆心C到直线l的距离d最大，且为， 此时有最小值，且. 故答案为： 变式5．（2026·高二·河北唐山·期中）已知直线与圆，则圆心到直线距离的最大值是______． 【答案】 【解析】由，得到， 由，解得，所以直线过定点， 又由，得到，所以圆心为，半径为， 又，所以点在圆内， 当时，圆心到直线距离最大，最大值为， 故答案为：. 变式6．（2026·高二·陕西商洛·期中）已知是直线上任意一点，则的最小值为________. 【答案】1 【解析】设，则表示圆心为原点，半径为的圆， 当圆与直线相切时，最小， 由点到直线的距离公式有：， 所以的最小值为， 故答案为：. 变式7．（2026·高二·贵州毕节·期中）已知，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】由，表示圆上的点到直线的距离的5倍. 圆的圆心，半径，如图： 由圆心到直线的距离. 所以直线与圆相离，且圆上点到直线距离的最小值为. 所以的最小值为. 故答案为：3. 题型四：直线与圆交点求解 例10．（2026·江西南昌·一模）直线与圆交于A，B两点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设，联立，消去y整理得：， 解得，故， 利用两点之间的距离得， 故选：C 例11．（2026·高三·河南南阳·期末）直线交圆于、两点，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】联立解得：，， 所以. 故选：D 例12．（2026·高二·江苏宿迁·期中）直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】联立直线方程和曲线方程可得可得， 即，解得或，故方程组的解为或. 故选：C 变式8．（2026·高二·安徽阜阳·期末）已知圆，点在圆C上，点A，直线AP与圆C的另一交点为Q，且Q为AP的中点，则直线AP的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点的坐标为，因为是中点，所以， 又因为，均在圆上，所以代入得，解得或 ，即，或，， 则直线AP的斜率或， 故选：D 变式9．（2026·高三·全国·阶段检测）已知圆：，直线：，直线交圆于，两点，设点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，圆：，将直线l的方程代入化简得：， 解得：或. 因为直线l的斜率，所以. 故选：D. 题型五：直线与圆相交性质 例13．（2026·高二·湖北·期中）已知圆的半径为2，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切． (1)求圆的方程； (2)若过点的直线与圆交于不同的两点，，且，为坐标原点，求直线的方程． 【解析】（1）设圆心坐标为，，所以，解得或（舍去）， 所以圆的方程为． （2）设，，直线， 联立得，， ，解得， 所以，， ， 因为， 所以，解得或（舍去）， 所以直线． 例14．（2026·高二·陕西西安·阶段检测）已知圆，过点的直线与交于点，，且. (1)求的方程； (2)设为坐标原点，求. 【解析】（1）将化为标准方程，得， 则的圆心为，半径. 当直线的斜率不存在时，的方程为. 此时圆心到的距离，不符合题意. 故直线的斜率存在，设的方程为， 即. 圆心到的距离. 由垂径定理可得，即，解得. 故直线的方程为. （2）联立整理得. 设，则. . 故. 例15．（2026·高二·贵州贵阳·期末）已知圆O：，过定点作两条互相垂直的直线，，且交圆O于两点，交圆O于两点. (1)若，求直线的方程； (2)求证：为定值. 【解析】（1）由题设可知圆O的圆心为，半径为， 由，可得到直线的距离为， 因为直线经过点，则有： 当直线的斜率不存在时，则，此时到直线的距离为，不合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得， 所以直线的方程为，即. （2）∵，即定点在圆内， ∴直线与圆均相交， 当直线与x轴垂直时，直线与x轴平行，此时，， 所以； 当直线与x轴垂直时，直线与x轴平行，此时，， 所以； 当直线与不坐标轴垂直时，设直线的方程为， 则直线的方程为， 联立方程，消去y得， 所以， 同理可得， 所以， 综上所述：为定值2. 变式10．（2026·高二·河北张家口·期末）已知直线与圆交于两点． (1)当最大时，求直线的方程； (2)若，证明：为定值． 【解析】（1）当最大时，为直径，即直线过圆心， 把圆心代入直线的方程，有，解得，直线的方程为. （2）证明：设，，由题意知k存在， 由，得 所以 ， ，且， 因为 ， ，， 所以 ，即为定值. 变式11．（2026·高二·湖南长沙·阶段检测）已知圆C的方程为，且圆C与直线相交于M、N两点. (1)若，求圆的半径； (2)若（为坐标原点），求圆的方程. 【解析】（1） 如图，是的中点，则，. 由得，圆心为. 圆心到直线的距离为. 在中，有，， ，所以， 故圆的半径为. （2）由得， ∴，即， 由题意联立，可得. 则，所以. 设、，由韦达定理可得，， 因为，所以，则， 又，，即有， 整理可得，即有， 解得，满足，且. 则圆的方程为. 变式12．（2026·高二·福建龙岩·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：，设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N（6，n），． (1)求圆N的标准方程； (2)若直线l过点（0，－4）且与圆N相交于P，Q两点，O为坐标原点，且，求此时直线l的方程． 【解析】（1）圆与轴相切，圆为：，， 又圆与圆外切，圆， 即圆，圆心，半径； 由，解得， 故圆的标准方程为． （2）依题意，直线的斜率存在，设，联立， 消得， 设，则， 由 ， 得或，当时，舍去. 故直线. 题型六：切线方程求解 例16．（2026·高二·上海·期中）经过圆：上一点且与圆相切的直线方程为______. 【答案】 【解析】由题意，圆，可得圆心坐标为，因为在圆上，则， 则过点且与圆相切的直线的斜率为， 根据直线的点斜式方程，可得直线的方程为，即， 例17．（2026·高二·广东清远·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为_____. 【答案】 【解析】由圆的圆心，半径为， 若过原点且斜率不存在，则，此时圆心到其距离为，显然不满足， 所以切线斜率存在，令过原点的切线为，则， 所以，整理得， 所以，即. 故答案为： 例18．（2026·高二·江苏常州·阶段检测）过点作圆的切线，则切线方程为________________. 【答案】 【解析】将点代入中，成立， 即点在圆上，圆心和连线的斜率为， 故过圆上点的切线的斜率为， 则切线方程为，即， 故答案为：. 变式13．（2026·高二·江苏淮安·期中）经过点作圆的切线，则切线的方程为__________. 【答案】或 【解析】当切线斜率不存在时，，此时点到直线的距离为， 故是圆的切线，符合； 当切线斜率存在时，设，即， 则有，化简得，即， 故，即； 综上所述：切线的方程为或. 故答案为：或. 变式14．（2026·高二·宁夏吴忠·期中）已知圆，直线过点且与圆相切，则直线的方程为________． 【答案】和 【解析】圆的圆心和半径分别为， 当直线无斜率时，此时：，与圆相切，符合题意， 当直线有斜率时，设， 此时圆心到直线的距离为，解得， 此时直线方程为，即， 综上可得和 故答案为：和 题型七：切线长计算 例19．（2026·天津河西·二模）已知圆心为C的圆经过，，且圆心C在直线上，过点作圆C的一条切线，则切线长为_______. 【答案】 【解析】设圆心坐标为：，圆的半径为，圆的方程为：， 因为圆过，，且圆心在直线上， 联立方程： ，解得：， 所以圆的方程为：， 则， 所以切线长为. 例20．（2026·高二·江苏南通·期中）过点作圆的切线，则切线长为__________. 【答案】 【解析】方程可化为，圆心，半径， 所以切线长为. 故答案为： 例21．（2026·高二·四川南充·期中）过点作圆的切线，切点为，则______． 【答案】 【解析】连接、，易知圆心，半径为， 因为是圆的切线，所以． 又，所以． 故答案为：. 变式15．（2026·高二·重庆·阶段检测）已知圆：，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为______. 【答案】2 【解析】因为点在直线上，过点作圆的一条切线，切点为，则， 所以在中，， 要使最小，只需最小，因为点在直线上，圆心， 则的最小值即为点到直线的距离， 即，， 故答案为：2 变式16．（2026·河北石家庄·一模）若圆被直线所截得的弦长为10，过点作圆的切线，其中一个切点为，则的值为__________. 【答案】 【解析】由弦长为，结合垂径定理可得：，解得， 结合已知点，可得： 所以， 故答案为：. 变式17．（2026·高三·山东枣庄·期末）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为__________. 【答案】3 【解析】设切点为，则， 而的最小值为点到直线的距离，即，则的最小值为，故切线长的最小值为. 故答案为：. 题型八：坐标法应用 例22．（2026·高二·四川·期中）已知三点，点在圆上运动． (1)若直线与圆有唯一公共点，求； (2)求的最小值． 【解析】（1）由题意知，圆的圆心为，半径， 故， 由题意可得直线与圆相切，且唯一公共点为点， 在中，由勾股定理可得． （2）设，且， 故 ， 而，当时，取得最小值． 例23．（2026·高二·北京西城·期中）已知圆的半径为1. (1)求的值； (2)设直线与圆交于，两点，若（为圆心）为锐角，求的取值范围. 【解析】（1）圆化为标准方程为， 由圆的半径为1可得，解得； （2）设， 与圆联立， 可得，得， 则，， 由，可得，， 若为锐角， 可得， 则，整理得，解得或， 又，所以的取值范围是． 例24．（2026·高二·安徽淮南·阶段检测）已知点到的距离是点到的距离的2倍． (1)求点的轨迹方程； (2)若点与点关于点对称，求的轨迹； (3)设为坐标原点，是否存在过点的直线与第（2）问中的轨迹交于两点，且．若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）设点，由题意可得，即， 化简可得，则点的轨迹方程为； （2）设，由（1）得点满足的方程，又点是线段的中点， 则，即，则有， 化简得，即的轨迹为； （3）设、， 当直线斜率不存在时，， 联立，解得， 则，符合； 当直线斜率存在时，设， 联立，消去得， 则，， 则 ， 故，故，即； 综上所述：直线的方程为或. 变式18．（2026·高二·广东东莞·阶段检测）已知点，，动点满足，其轨迹为. (1)求动点轨迹的方程； (2)过点的直线交轨迹于，两点， ①若，求直线的方程； ②求面积的最大值. 【解析】（1）设，则由可得， 化简得，即动点轨迹的方程为； （2）①若直线斜率不存在，则、分别为、， 此时，不符； 则直线斜率存在，设，、， 联立，消去得， 则，即， 有、， ， 即，则， 故直线的方程为或； ②若直线斜率不存在，此时不存在，不符，故直线斜率存在， ， 点到直线的距离， 则， 令，则， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故面积的最大值为. 变式19．（2026·高二·河北保定·阶段检测）已知点，动点满足． (1)求动点G的轨迹方程； (2)若直线与点G的轨迹交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为点C，若A，Q，C三点共线，求m的值． 【解析】（1）由已知得，， ∴，∴， 整理得． ∴动点G的轨迹方程为． （2）设，则． 将l的方程代入中，整理得， ∴，， ∵A，Q，C三点共线， ∴， 即． 即， ，即， 解得m＝4．所以m的值为4． 题型九：弦长与中点弦问题 例25．（2026·安徽合肥·模拟预测）圆与直线：交于、两点，则弦长的最小值为______． 【答案】2 【解析】因为圆， 所以圆心为，半径， 所以圆心到直线：的距离 ， 因为，所以， 又， 所以当时，. 例26．（2026·海南儋州·二模）若过点的直线的倾斜角为，则直线被圆所截得的弦长为________． 【答案】 【解析】由直线的倾斜角为，可得直线斜率， 结合直线过点，可得直线的方程为，即. 圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 因此，直线被圆截得的弦长. 例27．（2026·吉林·三模）设直线与圆交于，两点，若，则实数的值为______． 【答案】 【解析】可化为， 则圆心，半径为，且，即. 圆心到直线的距离. 由垂径定理得，，即，整理得， 解得，此时满足条件， 实数的值为. 变式20．（2026·高二·上海·阶段检测）直线被圆截得的弦长等于_____ 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径. 圆心到直线的距离. 故直线被圆截得的弦长等于. 变式21．（2026·四川·二模）若圆上到直线的距离为的点刚好有个，直线被圆截得的弦长为________. 【答案】 【解析】依题意，圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离， 圆上到直线的距离为的点，是圆与到直线距离为的两条平行直线的交点， 圆心到直线的距离， 则圆心到的距离分别为和， 因为交点刚好有个，所以其中一条直线与圆相切，另一条与圆相交， 故半径应等于中较大的一个，即， 所以直线被圆截得的弦长为. 变式22．（2026·高二·上海·期中）以为圆心，在直线上截得弦长为的圆方程为______. 【答案】 【解析】因为圆心为，所以圆心到直线的距离， 由圆的弦长公式得，解得， 所以圆的方程为. 变式23．（2026·高二·安徽芜湖·阶段检测）已知圆，直线与圆的交点为.若，则__________. 【答案】2 【解析】圆的圆心为， 则圆心到直线的距离， 则，可得. 题型十：圆内接三角形问题 例28．（2026·高二·辽宁铁岭·阶段检测）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD面积为（    ） A． B． C．8 D．13 【答案】B 【解析】圆的方程为，化为标准方程：， 圆心为，半径为， 当过点的直线与垂直时，弦长最短，且， 当过点的直线且过圆心时，弦长最长，且， 此时，， 所以四边形ABCD面积为， 故选：B 例29．（2026·高一·湖南·期末）过点引直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得， 所以曲线是以为圆心，半径的半圆， 因为直线与曲线相交于，两点，为坐标原点， 所以， 因此当面积取最大值时，， 此时， 所以圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，显然不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得 因为点在的右侧，所以，因此. 故选：B. 例30．（2026·高二·浙江杭州·期中）直线与圆相交于两点，当面积最大时，的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【解析】圆心到直线的距离， 则弦长， ， 当且仅当，即时， 面积取得最大值. 变式24．（2026·江苏南通·三模）已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．10 【答案】B 【解析】直线过定点，圆， 易知 设到距离为， ， 当时，. 故选:B． 变式25．（2026·高二·云南曲靖·期中）点在圆上运动，直线与圆交于、两点，则面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 则， 点到直线距离的最大值为， 所以，面积的最大值为. 故选：A. 变式26．（2026·高二·广东佛山·阶段检测）已知直线过定点A，过定点B，与交于点P（异于A，B两点），则的面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将直线变形为：，知过定点， 将直线变形为：，知过定点， 当时，，，此时， 当时，，，此时， 当且时，两直线的斜率乘积知：此时， 因为，由直径所对的圆周角为知， 点在以线段为直径的圆上（不含、两点）， 所以点到线段的距离即为的高，设为， 易知，因为，所以 所以， 即的面积的最大值是, 故选：D 题型十一：切点弦问题 例31．（2026·山东枣庄·三模）过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________. 【答案】 【解析】由题意知，圆心为，半径，点在圆外面， 由切线的性质定理可知，，，即， 所以点，在以为直径的圆上，即，，，四点共圆，且圆心为中点，半径， 设圆心为，根据中点坐标公式，则为，半径， 所以圆的方程为， 因此直线即为圆与圆公共弦所在的直线，方程为两个圆方程的差， 即，化简得， 所以直线的方程为. 例32．（2026·福建漳州·三模）过作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为___________． 【答案】 【解析】解法一：由图可知，， 所以，所以直线方程为． 解法二：，所以四点均在以为直径的圆上，圆心为，半径为，故圆方程为， 由，得，所以直线方程为． 解法三：直线方程为，即， 故答案为． 例33．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为______． 【答案】 【解析】  方法一：直接在一般式方程里用“留一代一”：需注意“Ey”要代成“”，切点弦所在直线方程为，整理得．   方法二：将方程化为标准形式得，根据“留一代一”可知，所求切点弦所在直线方程为，即． 方法三：将方程化为标准形式得，观察圆的方程和点坐标可知， 过点且与圆相切的两条直线中，有一条斜率不存在，此时切线方程为， 将代入圆的方程中得，故此直线与圆相切于点． 由圆的切线的性质可知，，． 又直线过点，直线的方程为，即． 故答案为：． 变式27．如图，圆，点为直线上一动点，过动点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为______，直线所经过的定点的坐标为______． 【答案】 【解析】如图，连接， 方法一 ：因为都是圆的切线，所以，，所以四点共圆， 且为直径，所以切点弦实际上是以为直径的圆与圆的公共弦， 则以为直径的圆的圆心为，半径为， 故以为直径的圆的方程为， 两圆方程相减得直线的方程为， 令，则，所以直线过定点． 方法二：实际上是以为圆心，为半径的圆与圆的相交弦． ，，所以， 在中，， 所以以为圆心，为半径的圆的方程为， 两圆方程相减，可得圆和圆的公共弦所在直线的方程为， 即，令，则，所以直线过定点． 方法三：直线的方程为，即， 令，得，所以直线过定点． 故答案为：； 变式28．（2026·高二·福建福州·期中）若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为__________，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为__________. 【答案】 【解析】①点到直线距离等于半径， ∴，∴圆的标准方程为 ②当斜率不存在时，切线：，与圆相切与点； 由圆的切线的性质可知，， ∴ ∴，即 故答案为：①② 变式29．（2026·高二·云南昆明·期末）过点作圆的切线，，则切线长为__________；过切点A，B的直线方程为__________． 【答案】 【解析】圆，则圆心，半径， 在中，，， ，． 以为直径的圆的方程，即以为圆心， 以为半径的圆的方程为：， 又圆，两圆方程相减可得． 故答案为：； 变式30．（2026·高二·广东广州·期中）过点作圆的两条切线，设两切点分别为A、B，则直线的方程为_________. 【答案】 【解析】根据题意，过点作圆的两条切线，设两切点分别为、， 则， 则以为圆心，为半径为圆为，即圆， 为两圆的公共弦所在的直线，则有， 变形可得：； 即直线的方程为， 故答案为： 题型十二：直线与圆实际应用 例34．（2026·高二·广东深圳·期末）中国拱桥一般分为圆弧线型、抛物线型和悬链线型．如图在一个圆弧线型拱桥中，圆拱跨度米，拱高米，现有一船，宽8米，露出水面的高度为米，则下列数据中能安全过桥的最高值为（   ）米（参考数据：） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 【答案】B 【解析】如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：；， 解得，. 故圆的方程为， 令，解得（负根舍去），， 可得题目数据中能安全过桥的最高值为3.1（米）. 故选：B 例35．（2026·高二·浙江·期中）一条东西走向的高速公路沿线有三座城市，其中在正西处，在正东处，台风中心在城市西偏南方向处，且以每小时的速度沿东偏北方向直线移动，距台风中心内的地区必须保持一级警戒，则从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间（单位：小时）在以下哪个区间内（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 作与，作与， 直线的方程为， 故 又可得，， ， 从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间为小时. 故选：A 例36．（2026·高二·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（    ） A．5 B． C．15 D． 【答案】C 【解析】设拱桥所在圆心为，连接，作于点，如下图所示： 设圆的半径为，在中利用勾股定理可得， 即，解得； 易知， 在中，易知，即，解得. 故选：C 变式31．如图，圆弧形拱桥的跨度米，拱高|米，则拱桥的直径为（　　） A．15米 B．13米 C．9米 D．6.5米 【答案】B 【解析】设圆心为，半径为，连接，如下图所示， ，则由勾股定理得， 即，解得，所以拱桥的直径为13米. 故选：B. 变式32．（2026·高二·北京顺义·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为.这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ）    A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 【答案】C 【解析】如图，以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系, 则，，圆方程， 直线方程：，即， 设到距离为，则， 所以外籍轮船能被海监船检测到， 设监测时间为，则（小时）， 外籍轮船能被海监船检测到的时间是0.5小时. 故选：C. 变式33．（2026·高二·云南昆明·期中）如图是某圆拱桥的示意图，水面跨度为16米，拱桥顶点离河面4米，当水面上涨2米后，水面宽为（    ）米 A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【解析】如图所示，设弦为水上升前的水面，弦为水上升后的水面， 为圆拱桥对应圆的圆心，为弦的中点，为弦的中点， 设圆的半径为，则， 则，解得， 所以， 所以， 即当水面上涨2米后，水面宽为米. 故选：C. 1．（2026·高二·河南驻马店·阶段检测）已知圆：与轴相切，则圆被轴截得的弦长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】圆：的标准方程为： 所以圆心，半径， 因为圆与轴相切， 所以圆心到轴的距离等于半径，即，解得, 所以圆的半径， 所以圆被轴截得的弦长为：. 2．（2026·河南开封·模拟预测）已知，，动点P满足，若直线上的两个点M，N满足，则面积的最大值为（    ） A．18 B．27 C．36 D．54 【答案】B 【解析】设，则， 由，得，整理得， 故在以为圆心，半径为4的圆上， 点到的距离， 故点到的距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 3．（2026·云南红河·模拟预测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是个圆．在平面直角坐标系中，已知，，若直线上存在点与点，的距离之比为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点，由点与点，的距离之比为，得， 化简整理可得，所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 又因为点在直线上，所以直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离，解得． 4．（2026·高二·浙江杭州·期中）设点P是圆上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由圆，可得圆心，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以点P到直线的距离的最小值为. 5．（2026·高二·江苏常州·期末）已知直线与圆，则圆上一点到直线的距离最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线可化为， 所以直线经过直线与的交点， 点到直线距离的最大值为， 所以圆上的一点到直线的最大距离等于， 当且仅当三点共线且时取得． 6．（2026·高二·江苏常州·期末）已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上， 关于直线的对称直线为， 故题意等价于函数的图象和的图象有两个交点， 令，即， 设直线和相切， 由，解得或（舍）， 又当直线过点时，解得， 所以的取值范围是． 7．（2026·山西运城·一模）已知直线，圆，则“”是“直线与圆相交”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由，得， 因为方程表示圆，所以，解得. 所以圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 若直线与圆相交可得，则可得，解得. 所以“”是“直线与圆相交”的充分不必要条件. 8．（2026·高二·安徽安庆·期末）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题得，圆心坐标为，半径. ∴，圆心到直线的距离为. 所以点到直线的最小距离为，最大距离为， 所以的面积的最小值为，最大值为. 所以的面积的取值范围为. 9．（多选题）（2026·高二·贵州贵阳·期中）已知直线l：与圆C：，则（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l被圆C所截的弦长为 C．直线l与圆C必然相交，且相交弦最短时直线l的方程为 D．直线l与圆C必然相交，且相交弦最长时， 【答案】ABD 【解析】对于A，可整理为： ， 令，则，故直线l过定点，故A正确. 对于B，当时，，圆C：的圆心为 ， 到直线的距离为：， 所以直线l被圆C所截的弦长为，B正确； 对于C，因为，直线l恒过定点在圆内， 所以直线l与圆C必然相交， 当时，直线被圆截得的弦长最短， 由直线的斜率，直线的斜率 ，且 ， 则，所以直线l的方程为，化简可得，故C错误； 对于D，由C知直线l与圆C必然相交，直线过圆心时，相交弦最长， 所以 ，解得：，故D正确. 10．（多选题）（2026·高二·河南新乡·期中）已知直线与圆相交于两点，是圆上一动点，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B． C．点到直线的最大距离为 D． 【答案】BC 【解析】∵圆的方程为，其圆心坐标为，故A错误； 圆心到直线的距离，故B正确； 点到直线的最大距离为圆心到直线的距离与半径之和，即，故C正确； ∵在中，，则，故D错误，故选BC． 11．（多选题）（2026·高二·河南周口·阶段检测）已知直线与直线，则下列选项正确的是（ ） A．恒过定点 B．若，则与圆相切 C．若，则或 D．若，则 【答案】ABD 【解析】对于A,将 , 代入 :,恒成立,故 A 正确. 对于B,当 时,,即 . 圆心 ,半径 ,圆心到直线的距离 , 故直线与圆相切,B 正确. 对于C,若 , 当 时, 即 ,,斜率分别为 和不存在,不平行. 当 时,,,由 得 ,即 , 整理得 ,即 ,解得 或 . 当 时,,,两直线平行不重合; 当 时, 即 , ， 即 ,两直线重合,故 时两直线重合而非平行,因此 C 错误. 对于D,若 ,当 时, 斜率不存在, 斜率为 ,不垂直. 当 时,,解得 ,即 ,,故 D 正确. 12．（2026·高二·安徽蚌埠·阶段检测）已知圆的圆心在轴上，若圆过点且与直线相切，则圆的半径为___________． 【答案】 【解析】设圆心坐标为，半径为，则圆方程为， 则，而圆与直线相切，可得， 得到，解得，故圆的半径为． 13．（2026·高二·河南·期中）已知点，，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，，则_________． 【答案】/ 【解析】由点，线段为的一条直径，得， 的半径， 由两条切线的斜率均存在，设切线方程为，则， 整理得，因此是方程的两个根， 所以. 14．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知圆：，若存在，使得直线与圆有公共点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】解法一：依题意，圆心到直线的距离， 即，即， 依题意，使得成立，故且，解得， 因此，实数的取值范围是. 解法二：当变化时，圆扫过的图形是以原点为圆心，为半径的圆盘， 故若存在，使得直线与圆有公共点，即直线与圆有交点，得，解得， 因此，实数的取值范围是. 15．（2026·高二·浙江·阶段检测）已知圆经过坐标原点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切. (1)求圆的标准方程； (2)直线与圆交于，两点. （i）求的取值范围； （ii）求的最小值. 【解析】（1）由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径， 又圆C与直线相切， 所以圆心C到直线的距离（负值舍）， 所以圆C的标准方程为； （2）（ⅰ）将直线l代入圆的方程得，则， 因为有两个交点，所以； （ⅱ）设，则， 由根与系数的关系， ，且， 令，则，得，当时， 当时，，而在上恒负，在上恒正， 要使最小，则，而在上单调递增，在上单调递减， 所以时，， 综上，. 16．（2026·高二·上海·期中）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程； 【解析】（1）设，由圆与直线相切于点， 得，解得，所以 则圆半径， 所以圆的标准方程为. （2）当切线斜率不存在时，直线为，显然圆心到直线的距离为，等于半径， 所以直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由圆心到切线的距离为得，，解得， 则，整理得， 综上，切线方程为或. 17．（2026·高二·广东潮州·期末）已知圆经过点，，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)求过点，且与圆相切的直线的方程． 【解析】（1）设圆心（圆心在上），圆的标准方程为：， 因为圆过和，代入两点得：， 展开化简得：，解得，即圆心， 则， 所以圆的方程为 （2）点代入圆方程左边得， 因此在圆上，过的切线仅有1条. 半径所在直线的斜率为：，切线与半径垂直， 因此切线斜率，由点斜式得切线方程：， 整理得：. 18．（2026·高二·上海·期中）已知圆，过点作圆的切线，求切线的方程. 【解析】圆即， 所以圆心为，半径， 过点作圆的切线， 所以切线的斜率存在，设切线的方程为，即， 所以，解得或， 所以切线的方程为或. 19．（2026·高一·河北邯郸·期末）已知点，点B为圆C：上的动点，D为的中点，记D的轨迹为曲线E． (1)求过点A且与曲线E相切的直线方程； (2)若点P在直线上，求的最小值． 【解析】（1）设，则，代入圆C的方程整理可得曲线E的方程为． 由题可知切线的斜率必存在，设切线方程为，即， 则圆心到切线距离，解得或， ∴所求直线方程为或； （2）设点A关于直线l的对称点为， 则有，解得， 曲线E的圆心为，半径为， ∵， ∴当且仅当P，，D，F四点共线时，取得最小值为． 20．（2026·高二·江西宜春·期末）已知圆C的圆心在直线上，且经过点和. (1)求圆C的标准方程； (2)过点的直线与圆C相切，求直线的方程. 【解析】（1）设圆心，半径为r， 则由题意可得解得； 所以圆C的标准方程为：. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为，不合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为， 则直线的方程为：，即. 由相切条件可得， 化简得：.解得：或. 直线的方程为或. 综上，直线的方程为：或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 直线与圆的位置关系 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：直线与圆的位置关系 3 知识点二：圆的切线方程的求法 3 知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法 4 03 题型精讲举一反三 5 题型一：直线与圆位置关系判定 5 题型二：由位置关系求参数 5 题型三：距离最值求解 6 题型四：直线与圆交点求解 6 题型五：直线与圆相交性质 7 题型六：切线方程求解 8 题型七：切线长计算 8 题型八：坐标法应用 9 题型九：弦长与中点弦问题 10 题型十：圆内接三角形问题 11 题型十一：切点弦问题 11 题型十二：直线与圆实际应用 12 04 过关测试 14 知识点一：直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 2、直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离． 知识点二：圆的切线方程的求法 1、点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 知识点诠释： 因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 常见圆的切线方程： （1）过圆上一点的切线方程是； （2）过圆上一点的切线方程是 ． 知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法 1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 题型一：直线与圆位置关系判定 例1．（2026·高二·江苏徐州·阶段检测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交且直线过圆心 D．相交但直线不过圆心 例2．（2026·高二·湖北荆门·期末）设直线，圆，则与圆C（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 例3．（2026·高二·广东深圳·期末）直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 变式1．（2026·高三·云南昭通·期中）已知直线：（其中）与圆C：，则直线与圆C的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与m的取值有关系 变式2．（2026·高二·广东肇庆·期中）直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切或相离 题型二：由位置关系求参数 例4．（2026·天津东丽·二模）若过点的直线l与圆只有一个公共点，则l的斜率为______． 例5．（2026·高二·上海·阶段检测）设，若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是________． 例6．（2026·高二·上海·期中）设，且过点作圆的切线有且只有一条，则__________. 变式3．（2026·高二·上海·阶段检测）若直线l：与曲线C：有公共点，则实数b的取值范围是_______ 变式4．（2026·高二·上海·阶段检测）若直线与圆相离，则实数的取值范围是_________________ 题型三：距离最值求解 例7．（2026·高二·海南·期末）过点作圆的切线，切点为，则的最大值为_____. 例8．（2026·高二·全国·期末）已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为_______． 例9．（2026·高二·天津武清·阶段检测）若直线与圆交于两点，则的最小值为___________． 变式5．（2026·高二·河北唐山·期中）已知直线与圆，则圆心到直线距离的最大值是______． 变式6．（2026·高二·陕西商洛·期中）已知是直线上任意一点，则的最小值为________. 变式7．（2026·高二·贵州毕节·期中）已知，则的最小值为_____． 题型四：直线与圆交点求解 例10．（2026·江西南昌·一模）直线与圆交于A，B两点，，则（   ） A． B． C． D． 例11．（2026·高三·河南南阳·期末）直线交圆于、两点，则（   ） A． B． C．1 D．2 例12．（2026·高二·江苏宿迁·期中）直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式8．（2026·高二·安徽阜阳·期末）已知圆，点在圆C上，点A，直线AP与圆C的另一交点为Q，且Q为AP的中点，则直线AP的斜率为（    ） A． B． C． D． 变式9．（2026·高三·全国·阶段检测）已知圆：，直线：，直线交圆于，两点，设点，则（    ） A． B． C． D． 题型五：直线与圆相交性质 例13．（2026·高二·湖北·期中）已知圆的半径为2，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切． (1)求圆的方程； (2)若过点的直线与圆交于不同的两点，，且，为坐标原点，求直线的方程． 例14．（2026·高二·陕西西安·阶段检测）已知圆，过点的直线与交于点，，且. (1)求的方程； (2)设为坐标原点，求. 例15．（2026·高二·贵州贵阳·期末）已知圆O：，过定点作两条互相垂直的直线，，且交圆O于两点，交圆O于两点. (1)若，求直线的方程； (2)求证：为定值. 变式10．（2026·高二·河北张家口·期末）已知直线与圆交于两点． (1)当最大时，求直线的方程； (2)若，证明：为定值． 变式11．（2026·高二·湖南长沙·阶段检测）已知圆C的方程为，且圆C与直线相交于M、N两点. (1)若，求圆的半径； (2)若（为坐标原点），求圆的方程. 变式12．（2026·高二·福建龙岩·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：，设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N（6，n），． (1)求圆N的标准方程； (2)若直线l过点（0，－4）且与圆N相交于P，Q两点，O为坐标原点，且，求此时直线l的方程． 题型六：切线方程求解 例16．（2026·高二·上海·期中）经过圆：上一点且与圆相切的直线方程为______. 例17．（2026·高二·广东清远·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为_____. 例18．（2026·高二·江苏常州·阶段检测）过点作圆的切线，则切线方程为________________. 变式13．（2026·高二·江苏淮安·期中）经过点作圆的切线，则切线的方程为__________. 变式14．（2026·高二·宁夏吴忠·期中）已知圆，直线过点且与圆相切，则直线的方程为________． 题型七：切线长计算 例19．（2026·天津河西·二模）已知圆心为C的圆经过，，且圆心C在直线上，过点作圆C的一条切线，则切线长为_______. 例20．（2026·高二·江苏南通·期中）过点作圆的切线，则切线长为__________. 例21．（2026·高二·四川南充·期中）过点作圆的切线，切点为，则______． 变式15．（2026·高二·重庆·阶段检测）已知圆：，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为______. 变式16．（2026·河北石家庄·一模）若圆被直线所截得的弦长为10，过点作圆的切线，其中一个切点为，则的值为__________. 变式17．（2026·高三·山东枣庄·期末）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为__________. 题型八：坐标法应用 例22．（2026·高二·四川·期中）已知三点，点在圆上运动． (1)若直线与圆有唯一公共点，求； (2)求的最小值． 例23．（2026·高二·北京西城·期中）已知圆的半径为1. (1)求的值； (2)设直线与圆交于，两点，若（为圆心）为锐角，求的取值范围. 例24．（2026·高二·安徽淮南·阶段检测）已知点到的距离是点到的距离的2倍． (1)求点的轨迹方程； (2)若点与点关于点对称，求的轨迹； (3)设为坐标原点，是否存在过点的直线与第（2）问中的轨迹交于两点，且．若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 变式18．（2026·高二·广东东莞·阶段检测）已知点，，动点满足，其轨迹为. (1)求动点轨迹的方程； (2)过点的直线交轨迹于，两点， ①若，求直线的方程； ②求面积的最大值. 变式19．（2026·高二·河北保定·阶段检测）已知点，动点满足． (1)求动点G的轨迹方程； (2)若直线与点G的轨迹交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为点C，若A，Q，C三点共线，求m的值． 题型九：弦长与中点弦问题 例25．（2026·安徽合肥·模拟预测）圆与直线：交于、两点，则弦长的最小值为______． 例26．（2026·海南儋州·二模）若过点的直线的倾斜角为，则直线被圆所截得的弦长为________． 例27．（2026·吉林·三模）设直线与圆交于，两点，若，则实数的值为______． 变式20．（2026·高二·上海·阶段检测）直线被圆截得的弦长等于_____ 变式21．（2026·四川·二模）若圆上到直线的距离为的点刚好有个，直线被圆截得的弦长为________. 变式22．（2026·高二·上海·期中）以为圆心，在直线上截得弦长为的圆方程为______. 变式23．（2026·高二·安徽芜湖·阶段检测）已知圆，直线与圆的交点为.若，则__________. 题型十：圆内接三角形问题 例28．（2026·高二·辽宁铁岭·阶段检测）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD面积为（    ） A． B． C．8 D．13 例29．（2026·高一·湖南·期末）过点引直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于(　　) A． B． C． D． 例30．（2026·高二·浙江杭州·期中）直线与圆相交于两点，当面积最大时，的值为（    ） A．2 B． C． D．4 变式24．（2026·江苏南通·三模）已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．10 变式25．（2026·高二·云南曲靖·期中）点在圆上运动，直线与圆交于、两点，则面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 变式26．（2026·高二·广东佛山·阶段检测）已知直线过定点A，过定点B，与交于点P（异于A，B两点），则的面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 题型十一：切点弦问题 例31．（2026·山东枣庄·三模）过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________. 例32．（2026·福建漳州·三模）过作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为___________． 例33．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为______． 变式27．如图，圆，点为直线上一动点，过动点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为______，直线所经过的定点的坐标为______． 变式28．（2026·高二·福建福州·期中）若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为__________，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为__________. 变式29．（2026·高二·云南昆明·期末）过点作圆的切线，，则切线长为__________；过切点A，B的直线方程为__________． 变式30．（2026·高二·广东广州·期中）过点作圆的两条切线，设两切点分别为A、B，则直线的方程为_________. 题型十二：直线与圆实际应用 例34．（2026·高二·广东深圳·期末）中国拱桥一般分为圆弧线型、抛物线型和悬链线型．如图在一个圆弧线型拱桥中，圆拱跨度米，拱高米，现有一船，宽8米，露出水面的高度为米，则下列数据中能安全过桥的最高值为（   ）米（参考数据：） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 例35．（2026·高二·浙江·期中）一条东西走向的高速公路沿线有三座城市，其中在正西处，在正东处，台风中心在城市西偏南方向处，且以每小时的速度沿东偏北方向直线移动，距台风中心内的地区必须保持一级警戒，则从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间（单位：小时）在以下哪个区间内（    ） A． B． C． D． 例36．（2026·高二·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（    ） A．5 B． C．15 D． 变式31．如图，圆弧形拱桥的跨度米，拱高|米，则拱桥的直径为（　　） A．15米 B．13米 C．9米 D．6.5米 变式32．（2026·高二·北京顺义·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为.这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ）    A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 变式33．（2026·高二·云南昆明·期中）如图是某圆拱桥的示意图，水面跨度为16米，拱桥顶点离河面4米，当水面上涨2米后，水面宽为（    ）米 A．8 B．10 C．12 D．14 1．（2026·高二·河南驻马店·阶段检测）已知圆：与轴相切，则圆被轴截得的弦长为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（2026·河南开封·模拟预测）已知，，动点P满足，若直线上的两个点M，N满足，则面积的最大值为（    ） A．18 B．27 C．36 D．54 3．（2026·云南红河·模拟预测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是个圆．在平面直角坐标系中，已知，，若直线上存在点与点，的距离之比为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高二·浙江杭州·期中）设点P是圆上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高二·江苏常州·期末）已知直线与圆，则圆上一点到直线的距离最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高二·江苏常州·期末）已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·山西运城·一模）已知直线，圆，则“”是“直线与圆相交”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2026·高二·安徽安庆·期末）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高二·贵州贵阳·期中）已知直线l：与圆C：，则（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l被圆C所截的弦长为 C．直线l与圆C必然相交，且相交弦最短时直线l的方程为 D．直线l与圆C必然相交，且相交弦最长时， 10．（多选题）（2026·高二·河南新乡·期中）已知直线与圆相交于两点，是圆上一动点，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B． C．点到直线的最大距离为 D． 11．（多选题）（2026·高二·河南周口·阶段检测）已知直线与直线，则下列选项正确的是（ ） A．恒过定点 B．若，则与圆相切 C．若，则或 D．若，则 12．（2026·高二·安徽蚌埠·阶段检测）已知圆的圆心在轴上，若圆过点且与直线相切，则圆的半径为___________． 13．（2026·高二·河南·期中）已知点，，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，，则_________． 14．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知圆：，若存在，使得直线与圆有公共点，则实数的取值范围是______． 15．（2026·高二·浙江·阶段检测）已知圆经过坐标原点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切. (1)求圆的标准方程； (2)直线与圆交于，两点. （i）求的取值范围； （ii）求的最小值. 16．（2026·高二·上海·期中）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程； 17．（2026·高二·广东潮州·期末）已知圆经过点，，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)求过点，且与圆相切的直线的方程． 18．（2026·高二·上海·期中）已知圆，过点作圆的切线，求切线的方程. 19．（2026·高一·河北邯郸·期末）已知点，点B为圆C：上的动点，D为的中点，记D的轨迹为曲线E． (1)求过点A且与曲线E相切的直线方程； (2)若点P在直线上，求的最小值． 20．（2026·高二·江西宜春·期末）已知圆C的圆心在直线上，且经过点和. (1)求圆C的标准方程； (2)过点的直线与圆C相切，求直线的方程. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $