第08讲 圆与圆的位置关系（八大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（苏教版2019选择性必修第一册）

第08讲 圆与圆的位置关系 【苏教版2019】 模块一 圆与圆的位置关系及判定 1．圆与圆的位置关系及判断方法 (1)圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. (2)圆与圆的位置关系的判定方法 ①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)： 设两圆与的圆心距为d，则 d=，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 ②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当Δ>0时，两圆有两个公共点，相交；当Δ=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当Δ<0时， 两圆无公共点，包括内含与外离. 【题型1 判断圆与圆的位置关系】 【例1】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知圆：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．内含 【变式1.1】（24-25高二上·北京密云·期末）已知圆和圆，则它们的位置关系是（    ） A．外离 B．相切 C．内含 D．相交 【变式1.2】（24-25高二上·贵州黔西·期末）圆：与圆：的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【变式1.3】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【题型2 根据圆与圆的位置关系求参数】 【例2】（24-25高二上·吉林四平·期中）若圆和圆相切，则等于（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式2.1】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知圆与圆外切，则的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2.2】（24-25高二上·福建莆田·期末）已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数等于（     ） A． B． C．或 D．或 【变式2.3】（24-25高二上·浙江·期中）已知圆与圆，则“”是“圆与圆外切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 模块二 两圆的公切线 1．两圆的公切线 (1)两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。 (3)求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 【题型3 两圆的公切线长】 【例3】（24-25高二上·湖南·阶段练习）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【变式3.1】（2025高二上·河北·学业考试）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2025高三·全国·专题练习）圆与圆的一条公切线长为 （填入一个答案即可）． 【变式3.3】（2025·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 【题型4 求两圆的公切线方程】 【例4】（24-25高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式4.1】（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【变式4.2】（2025·河南·模拟预测）下列方程中，圆与圆的公切线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（    ） A． B． C． D． 【题型5 两圆的公切线条数问题】 【例5】（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知圆与圆，则两圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5.1】（24-25高二上·青海西宁·期末）已知圆及圆，则与圆都相切的直线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5.2】（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知圆，圆，若圆与圆恰有三条公切线，则（    ） A． B． C． D． 【变式5.3】（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知圆，圆，则两圆的公切线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 模块三 两圆的公共弦 1．两圆的公共弦问题 (1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆:，① 圆:，② ①-②，得，③ 若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点 满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. (2)求两圆公共弦长的方法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股 定理求出公共弦长. 【题型6 相交圆的公共弦方程】 【例6】（24-25高二上·河北邢台·期末）圆与圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）圆与圆交于两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高二上·河北衡水·阶段练习）若圆，圆，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式6.3】（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型7 两圆的公共弦长问题】 【例7】（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知圆与圆交于、两点，则（   ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高二上·辽宁·期末）圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高二上·甘肃临夏·期末）圆与圆相交，则公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【变式7.3】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆，圆，两圆的交点为，，则（   ） A． B．1 C． D．2 【题型8 由圆与圆的位置关系确定圆的方程】 【例8】（24-25高二上·江苏·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（2025高三·全国·专题练习）过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（23-24高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8.3】（24-25高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，圆.若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高二上·北京密云·期末）已知圆和圆，则它们的位置关系是（    ） A．外离 B．相切 C．内含 D．相交 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）圆，圆，则圆与（    ） A．相离 B．有3条公切线 C．关于直线对称 D．公共弦所在直线方程为 3．（24-25高二上·安徽合肥·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知圆与圆有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·山西·期末）已知圆与圆的交点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（   ） A． B．2 C． D．3 8．（24-25高二上·广西百色·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 二、多选题 9．（24-25高二上·广东梅州·期末）圆与圆有且只有一个公共点，则的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆，圆，则（   ） A．的面积为 B．若，则内切 C．若外切，则 D．当时，相交弦所在直线的方程为 11．（24-25高二上·河北唐山·期中）已知圆与圆交于两点，则（    ） A．圆与圆有两条公切线 B．直线的方程为 C． D．线段的垂直平分线的方程为 三、填空题 12．（24-25高二上·江苏南通·期末）圆与圆的位置关系 . 13．（24-25高二上·广西河池·期末）已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 . 14．（24-25高二上·重庆·期中）已知圆与圆有条公切线，则实数的取值是 . 四、解答题 15．（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知圆：，圆：． (1)证明：圆与圆相交； (2)若圆M经过圆与圆的交点，且圆心M在y轴上，求圆M的方程． 16．（24-25高二上·浙江衢州·期末）已知圆M经过和，且圆心在直线上． (1)求圆M的方程； (2)若圆N：与圆M外切，求实数a的值． 17．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆与轴相切于点，圆心在经过点与点的直线上． (1)求圆的方程； (2)圆与圆：相交于两点，求两圆的公共弦的直线方程． 18．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知圆：（），点，圆与直线相切. (1)若圆与圆相交，求的取值范围； (2)若圆与圆公共弦的长度为，求的值. 19．（24-25高二上·广东·期末）已知，圆是以线段为直径的圆，圆． (1)求的标准方程； (2)求与的公切线条数，并探究与是否有公共弦，若有，求出公共弦的一般式方程；若没有，说明理由． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 圆与圆的位置关系 【苏教版2019】 模块一 圆与圆的位置关系及判定 1．圆与圆的位置关系及判断方法 (1)圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. (2)圆与圆的位置关系的判定方法 ①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)： 设两圆与的圆心距为d，则 d=，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 ②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当Δ>0时，两圆有两个公共点，相交；当Δ=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当Δ<0时， 两圆无公共点，包括内含与外离. 【题型1 判断圆与圆的位置关系】 【例1】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知圆：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．内含 【解题思路】求出两圆半径及圆心距，再判断两圆的位置. 【解答过程】圆：的圆心，半径，圆：圆心，半径， 而，所以两圆相交. 故选：A. 【变式1.1】（24-25高二上·北京密云·期末）已知圆和圆，则它们的位置关系是（    ） A．外离 B．相切 C．内含 D．相交 【解题思路】判断两圆心之间的距离与半径之和的关系即可得出结论. 【解答过程】圆的圆心为，半径为， 圆化简为标准方程为，故其圆心为，半径为， 故， 故圆与圆的位置关系为相切. 故选：B. 【变式1.2】（24-25高二上·贵州黔西·期末）圆：与圆：的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【解题思路】求出两圆的圆心坐标及半径，再求出圆心距即可判断. 【解答过程】圆：的圆心，半径， 圆：的圆心，半径， 则， 所以两圆相交. 故选：B. 【变式1.3】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【解题思路】由题意可得圆心位于直线上，根据圆的方程写出圆心与半径，结合圆与圆的位置，可得答案. 【解答过程】圆关于直线对称， 圆心在直线上，，， 圆，即，圆心为，半径为． 圆的标准方程是，圆心，半径， 所以， 所以圆与圆的位置关系是相交． 故选：B. 【题型2 根据圆与圆的位置关系求参数】 【例2】（24-25高二上·吉林四平·期中）若圆和圆相切，则等于（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【解题思路】由两圆的位置关系列式计算即可. 【解答过程】由题意圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为 ； 则，所以当两圆外切时，，解得； 当两圆内切时，，解得，不合题意； 所以. 故选：B. 【变式2.1】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知圆与圆外切，则的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】两圆外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和.先求出两圆的圆心坐标和半径，再根据两圆外切的性质列出等式求解的值. 【解答过程】对于圆，其圆心坐标，半径. 对于圆，即， 其圆心坐标，半径， 因为两圆外切，所以两圆的圆心距等于两圆半径之和. 两圆的圆心距， 根据两圆外切性质，即，解得. 故选：B. 【变式2.2】（24-25高二上·福建莆田·期末）已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数等于（     ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】根据的方程求出的取值范围，再将两圆方程化为标准式，得到圆心坐标与半径，分两圆外切或内切两种情况讨论，分别计算可得. 【解答过程】由圆得，解得． 圆的标准方程为，圆心，半径； 圆的标准方程为，圆心，半径． 因为圆与圆有且仅有一个公共点，所以两圆外切或内切． ①若两圆内切，则，解得，符合， ②若两圆外切，则，解得，符合． 综合①②得实数 或． 故选：C． 【变式2.3】（24-25高二上·浙江·期中）已知圆与圆，则“”是“圆与圆外切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】利用两圆相切圆心距与两半径之和相等，分别证明充分性和必要性是否成立即可得出答案. 【解答过程】根据题意将圆化成标准方程为； 易知， 所以可得圆心，半径为，圆心，半径为， 可得，两半径之和； 若，圆心距，两半径之和，此时， 所以圆与圆外切，即充分性成立； 若圆与圆外切，则，解得或（舍）， 所以必要性成立； 即“”是“圆与圆外切”的充分必要条件. 故选：C. 模块二 两圆的公切线 1．两圆的公切线 (1)两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。 (3)求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 【题型3 两圆的公切线长】 【例3】（24-25高二上·湖南·阶段练习）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【解题思路】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为轴，求公切线的长即可. 【解答过程】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为： 故选：D. 【变式3.1】（2025高二上·河北·学业考试）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设直线交轴于点，推导出为的中点，为的中点，利用勾股定理可求得. 【解答过程】如下图所示，设直线交轴于点， 由于直线与圆，圆都相切，切点分别为、， 则，，， ，为的中点，为的中点，， 由勾股定理可得. 故选：C. 【变式3.2】（2025高三·全国·专题练习）圆与圆的一条公切线长为 或 （填入一个答案即可）． 【解题思路】先判断圆与圆的位置关系，即可得公切线情况，利用几何关系即可求出公切线的长. 【解答过程】由题意得，，，，，故两圆相离，有四条公切线．如图，    设四条公切线分别为直线、直线、直线、直线，且交于点． 由对称性可知，．连接，过作，垂足为，连接， 则四边形为矩形，所以．连接． 易知，所以．又，所以． 所以在中，，所以． 故两圆的一条公切线长为或． 故答案为：或（填一个即可）. 【变式3.3】（2025·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 【解题思路】利用圆与圆的位置关系，结合图形和几何关系，即可求解. 【解答过程】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，由，    所以两圆相交，则. 故答案为：. 【题型4 求两圆的公切线方程】 【例4】（24-25高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解题思路】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程. 【解答过程】解：，圆心，半径， ，圆心，半径， 因为， 所以两圆相内切，公共切线只有一条， 因为圆心连线与切线相互垂直，， 所以切线斜率为， 由方程组解得， 故圆与圆的切点坐标为， 故公切线方程为，即． 故选：A. 【变式4.1】（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【解题思路】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 【解答过程】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：C. 【变式4.2】（2025·河南·模拟预测）下列方程中，圆与圆的公切线方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设公切线l与圆，圆分别相切于第一象限的A，B两点，由几何关系求出，即可得出. 【解答过程】根据题意可知，， 如图，设公切线l与圆，圆分别相切于第一象限的A，B两点，与x轴相交于点P， 由几何关系可知，，，， 所以，，，，l的斜率为， 则l的方程为，即， 根据对称可得出另一条公切线方程为. 故选：B． 【变式4.3】（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用点到直线的距离公式逐项验证即可. 【解答过程】由题意知：， 所以圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为2， 对于A，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于B，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于C，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于D，圆的圆心到直线的距离为，不满足相切条件， 即直线不可能是两圆的公切线； 故选：D. 【题型5 两圆的公切线条数问题】 【例5】（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知圆与圆，则两圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】求出两圆的位置关系，即可得出圆的公切线的条数． 【解答过程】因为圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 则两圆的圆心的距离为，又， 则两圆的圆心的距离等于两圆的半径之和，所以两圆外切， 所以有3条公切线． 故选：C. 【变式5.1】（24-25高二上·青海西宁·期末）已知圆及圆，则与圆都相切的直线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距和两半径的关系得到两圆内切，从而得到公切线条数. 【解答过程】圆的标准方程为，圆心，半径， 圆的标准方程为，圆心，半径， 所以，圆内切， 所以与圆都相切的直线只有1条． 故选：A． 【变式5.2】（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知圆，圆，若圆与圆恰有三条公切线，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分析可知，两圆外切，根据圆与圆的位置关系可得出关于的等式，解之即可. 【解答过程】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，则，可得， 圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切，且， 由题意可得，即，解得. 故选：B. 【变式5.3】（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知圆，圆，则两圆的公切线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】首先要将圆的方程化为标准方程，然后求出两圆的圆心距，再与两圆半径之和、半径之差作比较，根据比较结果来确定两圆的位置关系，进而得出公切线的条数. 【解答过程】将圆的方程化为标准方程, 圆，将其配方可得. 此时圆的圆心坐标为，半径. 圆，其圆心坐标为，半径. 根据两点间距离公式，两圆的圆心距. 两圆半径之和，两圆半径之差. 因为，所以两圆相交. 当两圆相交时，公切线的条数为条. 故选：B. 模块三 两圆的公共弦 1．两圆的公共弦问题 (1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆:，① 圆:，② ①-②，得，③ 若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点 满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. (2)求两圆公共弦长的方法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股 定理求出公共弦长. 【题型6 相交圆的公共弦方程】 【例6】（24-25高二上·河北邢台·期末）圆与圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】两圆方程相减即可求解； 【解答过程】由圆与圆方程相减可得： ， 所以公共弦所在的直线方程为， 故选：A. 【变式6.1】（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）圆与圆交于两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由两圆方程相减即可求解； 【解答过程】①，②，. ②−①化简可得， 方程为， 故选：A． 【变式6.2】（24-25高二上·河北衡水·阶段练习）若圆，圆，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题设，将两圆方程作差即可得公共线方程. 【解答过程】由题设，将两圆作差，有， 整理可得，即公共弦所在直线为. 故选：B. 【变式6.3】（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】两圆方程作差即可求得公共弦的方程. 【解答过程】根据已知条件， ：，化为：， ：，化为：， 因为两圆相交，所以两圆方程相减得：， 所以直线的方程为：. 故选：A. 【题型7 两圆的公共弦长问题】 【例7】（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知圆与圆交于、两点，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】两圆方程作差得到公共弦方程，再利用垂径定理及勾股定理计算可得. 【解答过程】圆即，圆心，半径； 圆即，圆心，半径， 因为，则，所以两圆相交， 则两圆的公共弦方程为， 则到的距离， 所以. 故选：A. 【变式7.1】（24-25高二上·辽宁·期末）圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】首先两圆相减求公共弦所在直线方程，再代入弦长公式，即可求解. 【解答过程】圆与圆，相减得， 圆心到直线的距离，又 则公共弦长为． 故选：C． 【变式7.2】（24-25高二上·甘肃临夏·期末）圆与圆相交，则公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先由两圆相减得到公共弦方程，再由几何法求出弦长即可； 【解答过程】圆即， 两圆方程相减可得公共弦方程为， 圆心到公共弦的距离为， 所以公共弦长为. 故选：B. 【变式7.3】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆，圆，两圆的交点为，，则（   ） A． B．1 C． D．2 【解题思路】联立两圆方程得到公共弦所在直线方程，利用点到直线的距离公式，结合几何法求弦长计算即可求解. 【解答过程】由得， 所以圆和圆的公共弦所在直线方程为， 圆的圆心为，半径， 到公共弦所在直线的距离为， 所以. 故选：C. 【题型8 由圆与圆的位置关系确定圆的方程】 【例8】（24-25高二上·江苏·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】通过点关于直线对称求圆的圆心和半径来求得正确答案. 【解答过程】圆的圆心为，半径为. 所以圆的半径为，设圆心为， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：A. 【变式8.1】（2025高三·全国·专题练习）过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设圆系方程，利用圆心坐标求出参数，建立方程求解即可. 【解答过程】经过圆：和圆：交点的圆可设为，即， 圆心在直线上，故，解得， 所以圆的方程为. 故选：A. 【变式8.2】（23-24高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用圆系方程可求圆的方程. 【解答过程】由题可先设出圆系方程：， 则圆心坐标为； ， 又圆心在直线上，可得，解得， 所以圆的方程为：，故A正确. 故选：A. 【变式8.3】（24-25高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，圆.若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题知圆C与圆的公共弦是圆的直径，圆C与圆的公共弦是圆的直径，进而设圆C的圆心为，半径为得，再结合距离公式解方程即可得答案. 【解答过程】圆C平分圆C1等价于圆C与圆的公共弦是圆的直径． 同理圆C与圆的公共弦是圆的直径 设圆C的圆心为，半径为，则， 所以，即，解得 所以圆C的方程为． 故选：A. 一、单选题 1．（24-25高二上·北京密云·期末）已知圆和圆，则它们的位置关系是（    ） A．外离 B．相切 C．内含 D．相交 【解题思路】判断两圆心之间的距离与半径之和的关系即可得出结论. 【解答过程】圆的圆心为，半径为， 圆化简为标准方程为，故其圆心为，半径为， 故， 故圆与圆的位置关系为相切. 故选：B. 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）圆，圆，则圆与（    ） A．相离 B．有3条公切线 C．关于直线对称 D．公共弦所在直线方程为 【解题思路】求出两圆的圆心及半径、两圆的圆心距离判断ABD；求出线段的中垂线方程判断C. 【解答过程】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径，， 圆与圆相交，有2条公切线，AB错误； 对于D，两圆方程相减得公共弦所在直线方程，D错误； 对于C，线段的中垂线的斜率为，过线段的中点，该中垂线方程为， 又圆与圆是等圆，它们关于线段的中垂线对称，C正确. 故选：C. 3．（24-25高二上·安徽合肥·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将两圆的方程整理成一般式，化简后相减得到一个二元一次方程即得. 【解答过程】将两个圆的方程化为一般式，分别为和， 作差整理得，即为所求． 故选：B. 4．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分别求出两圆的圆心和半径，结合两圆外离求解即可. 【解答过程】由，圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心，半径为，， 又，且两圆外离， 则，即，解得， 所以，即的取值范围是. 故选：C. 5．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知圆与圆有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由两圆圆心距与半径和差得关系即可求解； 【解答过程】由题意可得：， 即：， 解得：，且， 所以的取值范围为， 故选：C. 6．（24-25高二上·山西·期末）已知圆与圆的交点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程. 【解答过程】∵，， ∴两圆方程相减得，，化简得. 故选：B. 7．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（   ） A． B．2 C． D．3 【解题思路】设两圆心，由圆心到切线距离等于半径求出，再结合求出即可计算. 【解答过程】两圆的一条公切线的方程为 即过点， 不妨设两圆心，则， 则，， 则，故. 故选：D. 8．（24-25高二上·广西百色·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 【解题思路】利用之间的数量关系确定判断圆与圆的位置关系可判断A；通过两圆的方程相减得公共弦所在直线的方程即判断B；由结合勾股定理求解可判断C;根据两圆位置关系结合半径大小可知公切线，由此判断D. 【解答过程】解：由题可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径 对于A，显然，圆与圆相交，故A错误; 对于B，易知两圆相交，将方程与相减， 得公共弦所在直线的方程为，故B错误; 对于C，因为，， 所以公切线段长为，故C错误; 对于D，因为两圆相交，所以两圆的公切线只有两条， 又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点P， 即过点P可以作出两条与两圆都相切的直线，故D正确; 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高二上·广东梅州·期末）圆与圆有且只有一个公共点，则的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】圆与圆有且只有一个公共点，则两圆相切，从而得到方程，求出答案. 【解答过程】圆的圆心为，半径为1， 圆：的圆心为，半径为3， 圆与圆有且只有一个公共点，则两圆相切， 所以或，即或， 所以或， 不满足要求，满足要求. 故选：BD. 10．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆，圆，则（   ） A．的面积为 B．若，则内切 C．若外切，则 D．当时，相交弦所在直线的方程为 【解题思路】计算两圆圆心坐标及半径，逐项判断即可确定选项. 【解答过程】由题意得，，圆半径，，圆半径. A. 圆的面积为，选项A正确. B. 若，则，圆心距，故圆内切，选项B正确. C.由题意得，， ∵圆外切，∴，即，解得，选项C错误. D.当时，， 由得，圆与圆相交，两圆方程作差得，，选项D错误. 故选：AB. 11．（24-25高二上·河北唐山·期中）已知圆与圆交于两点，则（    ） A．圆与圆有两条公切线 B．直线的方程为 C． D．线段的垂直平分线的方程为 【解题思路】根据圆的方程确定圆心和半径，进而判断圆的位置关系确定切线条数，两圆方程作差求相交弦方程，应用几何法求相交弦长，垂直关系求斜率并应用点斜式求直线方程. 【解答过程】由，则圆心，半径， 由，则圆心，半径， 所以，即，故两圆相交， 所以圆与圆有两条公切线，A对； 两圆作差有，整理得，B对； 由到的距离，则，C错； 由B知，则线段的垂直平分线的斜率， 故线段的垂直平分线的方程为，D对. 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高二上·江苏南通·期末）圆与圆的位置关系 相交 . 【解题思路】首先将圆的方程化为标准方程，求得两圆的圆心坐标、半径，由两点间的距离公式算出圆心距，比较圆心距与半径之和、半径之差的大小关系即可求解. 【解答过程】由题意圆的标准方程为， 所以圆的圆心、半径， 由，可知圆的圆心，半径， 所以两圆的圆心距，所以， 所以圆与圆的位置关系是相交. 故答案为：相交. 13．（24-25高二上·广西河池·期末）已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 . 【解题思路】将圆和圆作差即可得两圆公共弦所在直线的方程. 【解答过程】圆：和圆， 两圆作差相减，得直线方程为，经检验，直线方程满足题意； 故答案为：. 14．（24-25高二上·重庆·期中）已知圆与圆有条公切线，则实数的取值是 . 【解题思路】根据条件得到圆与圆外切，再利用圆与圆的位置关系，即可求解. 【解答过程】因为圆与圆有条公切线，所以圆与圆外切， 又圆的圆心为，半径为，的圆心为，半径为， 所以，得到，又，所以， 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知圆：，圆：． (1)证明：圆与圆相交； (2)若圆M经过圆与圆的交点，且圆心M在y轴上，求圆M的方程． 【解题思路】（1）求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距即可推理得证. （2）联立两个圆的方程求出交点坐标，结合已知求出圆的方程. 【解答过程】（1）圆的标准方程为，圆心，半径； 圆的标准方程为，圆心，半径； 于是，即， 所以圆与圆相交. （2）由，得， 将代入圆得：，当时，；当时，， 则圆与圆的交点为，，线段AB的中点坐标为， 而圆心M在y轴上，因此圆心M为，所以圆M的方程为. 16．（24-25高二上·浙江衢州·期末）已知圆M经过和，且圆心在直线上． (1)求圆M的方程； (2)若圆N：与圆M外切，求实数a的值． 【解题思路】（1）求出以和为端点的线段的垂直平分线，将所得直线与联立，可得圆心坐标，进而得到圆的方程； （2）根据圆与圆的位置关系求解即可. 【解答过程】（1）以和为端点的线段的中点为，斜率为， 所以以和为端点的线段的垂直平分线为：， 即圆心在上， 又圆心在直线上，由，解得， 所以圆心为，半径为， 所以圆M的方程为：； （2）圆，所以圆心，半径， 因为圆M与圆N外切，所以， 所以，所以 17．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆与轴相切于点，圆心在经过点与点的直线上． (1)求圆的方程； (2)圆与圆：相交于两点，求两圆的公共弦的直线方程． 【解题思路】（1）根据直线的两点式方程，结合圆的切线性质进行求解即可； （2）根据两圆的一般方程，利用作差法进行求解即可, 【解答过程】（1）经过点与点的直线方程为 ． 由题意可得，圆心在直线上， 由，解得圆心坐标为， 故圆的半径为4． 则圆的方程为； （2）∵圆的方程为 即， 圆：， 两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为． 18．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知圆：（），点，圆与直线相切. (1)若圆与圆相交，求的取值范围； (2)若圆与圆公共弦的长度为，求的值. 【解题思路】（1）由圆与直线相切，求出圆的半径，得到圆的方程，然后由圆与圆相交，求解即可； （2）由圆与圆相交，求出公共弦所在直线的方程，计算圆心到公共弦所在直线的距离，由弦长公式计算即可. 【解答过程】（1）因为圆与直线相切， 所以圆心到直线的距离是圆的半径. 所以圆的方程为. （或者）. 因为圆：（）的圆心为， 半径为，且两个圆相交，所以， 即，解得. （2）圆与圆交点满足方程组， 所以两圆公共弦所在的直线方程为， 圆心到公共弦所在直线的距离为， 因为两圆的公共弦长为，所以， 整理得，解得或， 由（1）可知，或均符合题意. 19．（24-25高二上·广东·期末）已知，圆是以线段为直径的圆，圆． (1)求的标准方程； (2)求与的公切线条数，并探究与是否有公共弦，若有，求出公共弦的一般式方程；若没有，说明理由． 【解题思路】（1）求出的中点坐标、可得圆心坐标、半径，可得的标准方程； （2）求出圆心距，即可判断两圆相交，再两圆方程作差，可求出公共弦方程． 【解答过程】（1）因为，所以的中点为， 且， 因为是以线段为直径的圆，即圆心为， 半径， 所以的标准方程为； （2）圆的圆心2， 又， 所以，故两圆相交，其公切线条数为2， 此时有公共弦， 则两圆方程作差得到公共弦的一般式方程为． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$