福建省三明市2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2025−2026学年第二学期期末适应性练习 八年级 数学 （满分：150分 练习时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．校徽是一所学校的外在形象标识，象征性诠释了学校特有的历史、理念和追求，是学校文化的一个重要组成部分．下列四幅图案是四所学校校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是 A． B． C． D． 2．已知，下列不等式错误的是 A．   B． C．   D． 3．下列是最简分式的是 A．   B． C．   D． 4．某双向六车道高速公路，分车道与车型组合限速，其标牌版面如图所示．每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）．王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速范围是 A． B． C． D． 5．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是 A． B． C． D． 6．如图是李叔叔用一种正多边形地板砖（忽略厚度）铺设书房地面的局部示意图，则这个正多边形地板砖的形状是 A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形 7．用反证法证明：在中，，的对边分别是，，若，则．第一步应假设 A． B． C． D． 8．舂（）米，是我国古代的一种劳动方式．舂的结构简单（如图），一口石臼（）上架着用一根木头做成的“碓（）身”，“碓”的头部下面有杵（）．“碓”肚的两边有支撑翘动的横杆，“碓”尾部悬空．舂米时，谷类放到臼内，劳作者踩踏“碓”尾，使“碓”头高高抬起来，如图所示．已知交于点，与碓身所在水平线相交于点，若米，，则点到的距离为 A．米 B．米 C．米 D．米 9．若如图所示关于的不等式解集中有且只有个正整数解，则字母的取值范围是 A． B． C． D． 10．如图，和的顶点都在格点上，与，分别交于点，点，与交于点．下列结论： ①； ②； ③点在的平分线上； ④． 其中正确的有 A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11．请写出一个使分式有意义的的值________．（写出一个即可） 12．为了测量某小区地下车库立柱两条对角棱之间的水平距离，小明在空地上取一点，连接，，取，的中点，，连接．测得，则，之间的距离为________． 13．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若，，则的长为________． 14．将含角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若，点，对应的刻度分别为，，则的周长为________． 15．关于的方程有增根，则________． 16．如图，直线和交于点，关于的不等式的解集为________． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17．（8分） 因式分解：（1）； （2）． 18．（8分） 解不等式组： 19．（8分） 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）把向右平移个单位长度，得到，请画出，并写出的坐标； （2）把绕原点逆时针旋转，得到，请画出，并写出的坐标． 20．（8分） 先化简，再求值：，其中． 21．（8分） 如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点． （1）求证：； （2）若是的中点，求证：． 22．（10分） 如图，为内一点，连接，． （1）在内求作一点，使四边形是平行四边形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． 23．（10分） 我市将于年月日至日举办福建省第十八届运动会．吉祥物“明明”以三明麒麟山传说中的瑞兽为创作原型，通体以青绿为主色调，手持竹笋状火炬，闪耀金黄色山形火苗．某文旅商店准备采购A，B两种吉祥物套装，已知每个B套装的进价比每个A套装的进价多元，商店用元采购A套装的数量与用元采购B套装的数量相同． （1）求A，B两种套装每个的进价分别是多少？ （2）该商店采购两种套装的吉祥物共个，两种套装均按各自进价倍的价格销售，若购进的B套装数量不超过A套装数量的一半，且所有商品均可全部售完，如何安排进货，才能使销售总利润最大，并求出最大利润． 24．（12分） （1）【问题再现】如图，在直线上找一点，使得的值最小，小明为了解决这个问题，设计了以下四种方案： 你认为方案________可行，根据是：________．（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③线段垂直平分线的性质．） （2）【类比迁移】如图，村庄，位于河两岸（两岸互相平行），规划在河面上修建一座桥，要求桥与河岸垂直，测得，两点到河岸的距离，分别是米，米，河宽为米，且到直线距离为米，当等于多少米时，才能使得到的路线最短？ （3）【拓展应用】如图，已知是边长为的等边三角形，，分别为，上的动点，且，连接，，求的最小值． 25．（14分） 如图，在中，，点为边上一动点（不含端点），连接，将绕点逆时针旋转得到，与交于点． （1）求的度数； （2）如图，过点作，交射线于点． ①求证：； ②若，，当时，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $三明市2025一2026学年第二学期期末适应性练习 八年级数学参考答案 说明：以下各题除本参考答案提供的解法外，其他解法参照本评分标准按相应给分点评分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分. 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 C 0 A C D B B D C 二、填空题：本题共6小，每小题4分，共24分 11.2 12.0.5 13, 6 改 14.21 15.1 16. x>- X 三、解答题：本题共9小题，共86分 17.(8分) 解：（1)4-x2 =（2十x以2-x)…4分 (2)m3-6m2+9m =m2-6m+9） …6分 =m-3)2 8分 18.(8分) x+1 >1, ① 解不等式组： {2 7x-8≤9x。 ② 解：解不等式①，得 x>1 3分 解不等式②，得 x≥-4 …6分 不等式组的解集： x>l…8分 19.(8分) .(1)如下图， ………………………… 3分 B1(2,1)方 …4分 (2)如下图， …7分 B2(-2,-4).…8分 20.(8分) 先化简，再求值：1-1) a2-4a+4,其中-4。 a-1a-1 解：方法一： a-1) a2-4a+4 a-1' a-1 3分 =a-2.a-1 (a-1)(a-2)2 …5分 1 6分 a-2 当a=4时，原式=1 11 -24-22 …8分 方法二： 2 a-1与)÷ a2-4a+4 a-1 a-1 a-1 a-1(a-2) …2分 a-1 1 (a-2y(a-2)7 …3分 a-2 …5分 (a-2)2 1 6分 a-2 当a=4时，原式= 111 a-24-22 …8分 21.(8分) 证明： (1)方法一： .DE⊥AC, .∠AED=∠CED=90°。…1分 .∴∠A十∠D=90°，∠C叶∠EFC=90°…2分 .'AB=BC, E .∠A=∠C …3分 .∠D=∠EFC。 .∠BFD=∠EFC。 B D ∠D=∠BFD。… …4分 方法二： 如图1，过点B作BG⊥AC于点G, .'AB=BC, G .∠ABG∠CBG。 ℉…1分 .DE LAC, .∴.DE∥BG。… B D 图1 …2分 ∴.∠ABG=∠D,∠CBG=∠BFD。 …3分 ∴∠D=∠BFD。 …4分 (2)方法一： 如图2，过点B作BH⊥DE于点H, .∠D=∠BFD ∴.BF=BD E ∴FH=HD。… …5分 ,DE⊥AC,BH⊥DE H .∠CEF=∠BHF-90°。…A B 6分 图2 ,F是BC的中点， ∴.BF-CF。 .∠BFH=∠CFE, △FBH≌△FCE。…7分 ∴.FH=EF。 .∴.FH=HD=EF E71DF…8分 方法二： 如图3 延长FE至M,使得E=EF,连接CM。 .DE LAC, .∴.CM=CF。 .∠∠EFC。…5分 .'∠D=∠BFD,∠BFD=∠EFC M ∴.∠D=∠M 6分 .F是BC的中点， ∴.BF-CF。 ∴.△DBF≌△MCF. ………D …7分 图3 ∴.FM=DF, 1 ∴EF=DF。 2 ·。…············…··个 22.（10分) (1)作图（如下多种方法等）正确 4分 方法一： 方法二： D 方法三： D 如图所示，点F就是所求作的。…5分 (2)证明：接BD。 .四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC… ∴.∠ADB=∠CBD… …7分 .四边形BFDE是平行四边形 ∴.DE∥BF, R .∠EDB=∠FBD… …9分 ∴.∠ADB-∠EDB=∠CBD-∠FBD 即∠ADE=∠CBF… 10分 23.(10分) (1)设A套装吉祥物每个的进价是x元， 则B套装每个的进价是c+80)元。 根据题意： 250650 …2分 xx+80 解得：X=50…3分 经检验x=50是所列方程的解且符合题意，…4分 B套装每个的进价是50+80=130元 答：A,B两种套装吉祥物每个的进价分别是50元和130元 ………………5分 (2)设采购A套装m个，则采购B套装(600-m)个。 1 根据题意：600-m≤二1… …7分 解得：m≥400 …8分 总利润w=0.5×50m+0.5×130(600-m)=25+39000-65m =-40m+39000 当m=400时，最大利润w=-40×400+39000=23000万元.…9分 答：购买400个A套装吉祥物和200个B套装吉祥物时， 销售总利润最大，最大利润23000元.…10分 24.(1)三，① …4分 (2)如图，在AD上截取AK=EF=40米，连接CK,交河岸一侧 于点F,过F作FE⊥DE于点E,此时A到C的路线最短。…5分 依题意，得KQ=DK+BD+BQ=40+40+70=150（米)，CQ=80米： SFK-SAKCO-SFCQ…6分 知·nFk0·C0- 2 ÷CQ·BQ 3*150xa5×15080- x80×70…7分 2 解得，Bn-128 8分 K Di G 6 (3)方法（一）： 过A作AK∥BC,截取AK=BC,连接M。…9分 ,'AK∥BC,AK=BC,△ABC是等边三角形： .∴.∠KA=∠ABC=∠BAC=60°. .'AK=BC,∠KAME∠ABC,AM=CN, .∴.△AMK≌△CNB(SAS), =BW。…10分 '.BN+CM=KM+CM企CK。 当K,M,C三点共线时，BN+CM=CK为最小值； 。。。 11分 此时，在△ACK中， AK=AC=4,∠KAME∠MAC=60°， .CK=2CM2×2V3=4V5, .BW+CM的最小值是4√5。 12分 K 图3 (3)方法二 如图4，将线段BN沿BC方向平移至CH,再作线段CH关于直线BC的对称图形线段CT, 则BN-CH=CT,∠WBC=∠HCS∠TCS。…9分 当M,C,T三点在一条直线上时，CM什BN的值最小。…I0分 此时∠BC∠TCS。 ∴.∠BCMf=∠NBC。 M 易证，△BCM≌△CBW H ∴.BM=CW,BN=CM。 …11分 .AM-CN, 图4 .AM=B=2。 .'△ABC是等边三角形， > ∴.∠BMC=90°。 CM=√BC2-BMF=√42-22=25 .BN+CM=2CM=43 。…12分 25(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC, .∠A+∠B=180°， .∠BAD=60° .∠B=120°。 △PBC绕点P逆时针旋转60°得到△PEF, ∴.∠PEF=∠B=120°，∠BPE=60°，… F. …2分 ∴.∠BAD=∠BPE .AD∥PE, .∠AGE+∠PEF=180 01 ∠AGE=60°。…4分 (2)方法一： 如图连接BE,延长FH,交BC的延长线于点K,…5分 .BP=PE,∠BPE=60°， ∴.∠PBE=∠PEB=60°。 由(1)知，∠PEF=∠PBC-120° ,B,E,F三点共线，∠FBC-60°。…6分 .FH∥AB, .∠FKB=180°-∠ABC=60°。 ∴.△FBK是等边三角形。 ,BF=BK。小…G…D八……7分 .FE-BC, ∴.BE-CK。 ∴.BP=CK。 8分 FH∥AB∥CD,AH∥BC, ∴.四边形CKHD是平行四边形。 9分 ∴.DH=CK。 ∴.BP=DH。… …10分 (2)方法二： 过P作PM∥EF,交CD的延长线于点M,连接FM。 …5分 易证，△DMN,△APN为等边三角形， …6分 ∴.PN=AN,IN=DN, .∴.PN+MN=AN+DN=AD …7分 .依题意，易得AD=BC,BC-EF, ∴.EF=PM ∴.四边形PEM是平行四边形 M …8分 PE=FM,PE∥FM ∴.DH∥FM .FH∥AB,CD∥AB ∴.DM∥FH ∴.四边形DHFM是平行四边形…9分 ∴.MF=DH ..PE-DH 10分 (3)方法一： 连接BE,DF。 由(2)知，∠FGH=∠FHG=60° ∴.△FGH为等边三角形…》 …11分 .'FD⊥AH ∴.GD=DH 易证，△BPE为等边三角形 ∴.∠PEB=609 .∴.∠PEB+∠PEF=60°+120=180° B,E,G三点共线， …12分 9 易证，△ABG为等边三角形 ∴.AG=AB=3a, ..DH-DG=AD-AG=5a-3a-2a …13分 ∴.BP=DH=2a ∴.AP=AB-BP=3-2a=a 4Pa.1 …14分 BP 2a 2 (3)方法二 ,△GHF是等边三角形，FD⊥GH .GD=HD H 设GD=HD=x 000 .∠BAD=60°，∠AGE=60°，AG∥PE 易证AP=GE=5a-2x…12分 AP=3a-x ∴.5a-2x=3a-x 解得：x=2a 4P_3a-2a-a-1 14分 BP 2a 2a 2 10