专题14：一般的一元二次方程的解法（2大知识点+8大题型+真题检验） 2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册暑假班预修提升课程

2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题14 一般的一元二次方程的解法 知识点一、配方法解一元二次方程 1.配方法：把一般形式的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个常数，进而可用直接开平方法来求解，这种通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。 2.可化为(x+n)²=p 的形式的一元二次方程的根 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)²=p（Ⅱ）. ①当p>0时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根，； ②当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根x1=x2=－n； ③当p<0时，因为对任意实数x，都有 (x + n)²≥0，所以方程（Ⅱ）无实数根. 3.用配方法解一元二次方程的一般步骤： 一移：常数项且二次项系数化为 1； 二配：成完全平方公式[配上]； 三写：成(x+n)2=p； 四直：接开平方法解方程. 4.配方法的应用 （1）完全平方式中的求参。如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4. （2）求最值或证明代数式的值恒为正(或负)。对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值. （3）利用配方构成非负式的和的形式。对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负式的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0，则a2＋(b－2)2=0，即a=0，b=2. 知识点二、公式法解一元二次方程 1.求根公式 解一元二次方程时，先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式. 2.公式法 用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法. 注意：：运用公式法解一元二次方程时,首先要将方程化为一般式, 然后当 Δ= b²－4ac≥0时,才可以用求根公式. 3.一元二次方程求根公式的推导 一元二次方程求根公式的推导过程就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程，推导过程如下： 移项，得ax2+bx=－c，二次项系数化为1，得x2+x=， 配方，得x2+x+()2=()2， 即(x+)2=. 当Δ= b2－4ac时， . 4.用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）变形：化已知方程为一般形式； （2）确定系数：用a，b，c写出各项系数； （3）计算：b2－4ac的值； （4）判断：若Δ=b2－4ac≥0，则利用求根公式求出；若Δ=b2－4ac < 0，则方程没有实数根. 5.b²-4ac（△）的取值与根的个数之间的关系 Δ=b2－4ac >0 有两个不等的实数根 Δ=b2－4ac = 0 有两个相等的实数根 Δ=b2－4ac＜0 没有实数根 题型01：配方 【名师点拨】左边加上的数是一次项系数的一半的平方 【例1】填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； 【例2】如果是一个完全平方式，那么的值可以是（ ） A．2 B． C．2或 D．都不对 【跟踪训练】 1.用适当的数填空：[来源:学|科|网] ①； ②； ③ ； ④； 2.在横线上填一个数，使左边变成一个完全平方式： 3.若是一个完全平方式，则的值是（ ） A．3 B． C． D．以上都不对 4.用配方法将二次三项式变形，结果是（ ） A． B． C． D． 题型02：配方法解一元二次方程 【名师点拨】配方法的解题步骤： 第1步:化,把方程化为一元二次方程的一般形式,且使二次项系数为1; 第2步:移,使方程左边是二次项和一次项,右边是常数项; 第3步:配,方程两边同时加上一次项系数一半的平方; 第4步:开,当方程的右边是非负数时,用直接开平方法解方程; 第5步:写,写出一元二次方程的两个根 【例3】解方程： 【例4】解方程：． 【例5】用配方法解一元二次方程： ． 【跟踪训练】 1．用配方法解方程时，配方法所得的方程是（      ） A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程，此方程可化为（    ） A． B． C． D． 3．解方程：． 4．解方程：． 5.解方程： 6.解方程：．（用配方法解） 7．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型03：配方法的应用 【例6】代数式的值的值一定（    ） A．大于3 B．小于3 C．等于3 D．不小于1 【例7】若M=2-12x+15，N=-8x+11，则M与N的大小关系为（　　） A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N 【跟踪训练】 1．代数式的最小值为（    ）． A． B．0 C．3 D．5 2.代数式的值的值一定（    ） A．大于3 B．小于3 C．等于3 D．不小于1 3.已知三角形的三条边为，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（    ） A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜13 4.已知、是实数，，．则、的大小关系是（　　） A． B． C．＜ D．＞ 题型04：公式法解一元二次方程 【名师点拨】“公式法”的三点注意 (1)使用公式法时，必须先把方程化为一般形式，再确定系数. (2)确定a,b,c的值时,要注意符号,不要遗漏“-” (3)利用公式法解方程时，要先计算 b-4ac 的值,只有当b-4ac≥0时，才能使用求根公式求方程的根. 【例8】解方程：． 【例9】解方程：． 【例10】解方程：． 【例11】解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【跟踪训练】 1.方程中，的值为 ，根是 ． 2.若用公式法解关于x的一元二次方程，其根为（　　） A． B． C． D． 3.用公式法解方程，其中求得的值是（    ）. A．16 B． C．32 D．64 4.用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型05：公式法解一元二次方程的应用 【例12】当时，下列一元二次方程中两个根是实数的是（   ） A． B． C． D． 【例13】 【例14】解方程：． 题型06：选择适当的方法解一元二次方程 【例15】解下列方程：①  ②  ③  ④．较简便的方法依次是（    ） A．直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法 B．因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法 C．直接开平方法，公式法，公式法，因式分解法 D．直接开平方法，公式法，因式分解法，因式分解法 【例16】用适当的方法解下列一元二次方程． (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)（因式分解）； (4)（适当方法）； (5)（适当方法）． 【跟踪训练】 1.解下列方程：①2x2－18＝0；②9x2－12x－1＝0；③3x2＋10x＋2＝0；④2(5x－1)2＝2(5x－1)．用较简便的方法依次是(    ) A．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法 B．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法 C．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法 D．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法 2.解方程① 9(x -3)2 = 25，② 6x2 -x = 1，③ x2 +4x -3596 = 0，④ x(x -1) = 1.较简便的方法依次是（      ）； A．开平方法、因式分解法、公式法、配方法 B．因式分解法、公式法、公式法、配方法 C．配方法、因式分解法、配方法、公式法 D．开平方法、因式分解法、配方法、公式法 3.已知下列方程，请把它们的序号填在最适当的解法后的横线上． ①；②；③；④；⑤． (1)直接开平方法： ； (2)配方法： ； (3)公式法： ； (4)因式分解法： ． 题型07：分析解答过程是否有误 【例17】下图是嘉淇同学用配方法推导一元二次方程（且）的求根公式的过程． ………………第一步 ………………第二步 ………………第三步 第四步 (1)嘉淇的解法从第_____步开始出现错误； 事实上，当时，方程的求根公式是_____； (2)用配方法解方程：． 【例18】小明在解方程时出现了错误，解答过程如下： ∵，，（第一步）， ∴（第二步）， ∴（第三步）， ∴，（第四步）． 小明解答过程开始出错的步骤是（　　） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【例19】（1）解方程： （2）茗茗同学在解关于x 的方程时，过程如下： 第一步：，，， 第二步： 第三步：当（即）时，；当时方程无解 你认为茗茗同学的解方程过程忽视的问题是________________． 你认为在上述解题过程中应该增加的一个步骤是______________． 【例20】解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 或 乙同学： ，， ， ， 此方程无实数根． (1)你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法__________，乙同学的解法__________．（填“正确”或者“不正确”） (2)请选择合适的方法解一元二次方程． 题型08：新定义问题 【例21】新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（   ） A．2023 B．2024 C．2018 D．2019 【例22】如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 （填序号）． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若p、q满足，则关于x的方程是倍根方程； ④若时，则方程是倍根方程． 【例23】配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”，理由：因为，所以10是“完美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“完美数”有 　①③　（填序号）； ①29 ②48 ③13 ④28 探究问题： （2）若可配方成 ，为常数），则的值为 　　； （3）已知，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 拓展应用： （4）已知实数，满足，求的最小值． 1、 选择题 1．（2024八年级上·上海奉贤·期中）用配方法解一元二次方程时，在方程两边应同时加上（　　） A． B． C． D． 2．（2024八年级上·上海静安期中）一元二次方程的实数根为（    ） A． B． C． D． 3．（2024上海·八年级期中）用配方法解一元二次方程﹣2x﹣7＝0，则方程变形为（　　） A．＝11 B．＝11 C．＝8 D．＝8 4．（2024奉贤区期中）一元二次方程在用配方法配成时，下面正确的是　　 A．是的一半 B．是的一半的平方 C．是的2倍 D．是的一半的相反数 5.（24-25八年级上·上海宝山·期中）以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 6．（2024上海静安区期中）下列多项式中，是完全平方式的为（　　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2024杨浦区期中）配方：　　　 　． 8.（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）用配方法解方程时，若将方程化为的形式，则 ． 9．（2025建平中学期中）若一元二次方程配方后为，则 ． 10．（2023奉贤区校级期中）方程的根是　　． 11．将方程化成一般形式为 ， ，用求根公式求得 ， ． 12.（2024格致中学期中）如果一个三角形的三边均满足方程，则此三角形的面积是 13．（2024上宝中学期中）无论x、y取任何实数，多项式x2+y2－2x－4y+16的值总是 数． 3、 解答题 14.（2024上海八年级课时作业）用配方法解下列方程： (1)；(2)．（3）． 15.（2024上海八年级课时作业）用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 16．（2024上海八年级课时作业）用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3）3x（x+2）=5（x+2） （4） 17.（1）解关于的方程： （2）解关于x的方程： 18．（2024上海八年级课时作业）已知：、是实数，且满足，求关于的一元二次方程的根． 19．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）阅读与思考：用配方法求二次三项式的最值 我们通常把称为完全平方公式，由此可知多项式的最小值为0．有些多项式不是完全平方式，可以通过添加项，用配方法变成完全平方式，再减去这个添加的项，使原多项式的值不变，这样可以解决一些最值问题．如：求代数式的最小值． 解 的最小值是． 解决问题： (1)将代数式用配方法可转化为______． (2)已知，则______，______． (3)请求出代数式的最小值． 20．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）【阅读材料】 方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①， 解方程①可得，； 当时，，即，； 当时，，即，； 原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到_______的目的（选填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 21．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最大值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)知识迁移： 如图，在中，，点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题14 一般的一元二次方程的解法 知识点一、配方法解一元二次方程 1.配方法：把一般形式的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个常数，进而可用直接开平方法来求解，这种通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。 2.可化为(x+n)²=p 的形式的一元二次方程的根 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)²=p（Ⅱ）. ①当p>0时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根，； ②当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根x1=x2=－n； ③当p<0时，因为对任意实数x，都有 (x + n)²≥0，所以方程（Ⅱ）无实数根. 3.用配方法解一元二次方程的一般步骤： 一移：常数项且二次项系数化为 1； 二配：成完全平方公式[配上]； 三写：成(x+n)2=p； 四直：接开平方法解方程. 4.配方法的应用 （1）完全平方式中的求参。如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4. （2）求最值或证明代数式的值恒为正(或负)。对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值. （3）利用配方构成非负式的和的形式。对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负式的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0，则a2＋(b－2)2=0，即a=0，b=2. 知识点二、公式法解一元二次方程 1.求根公式 解一元二次方程时，先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式. 2.公式法 用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法. 注意：：运用公式法解一元二次方程时,首先要将方程化为一般式, 然后当 Δ= b²－4ac≥0时,才可以用求根公式. 3.一元二次方程求根公式的推导 一元二次方程求根公式的推导过程就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程，推导过程如下： 移项，得ax2+bx=－c，二次项系数化为1，得x2+x=， 配方，得x2+x+()2=()2， 即(x+)2=. 当Δ= b2－4ac时， . 4.用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）变形：化已知方程为一般形式； （2）确定系数：用a，b，c写出各项系数； （3）计算：b2－4ac的值； （4）判断：若Δ=b2－4ac≥0，则利用求根公式求出；若Δ=b2－4ac < 0，则方程没有实数根. 5.b²-4ac（△）的取值与根的个数之间的关系 Δ=b2－4ac >0 有两个不等的实数根 Δ=b2－4ac = 0 有两个相等的实数根 Δ=b2－4ac＜0 没有实数根 题型01：配方 【名师点拨】左边加上的数是一次项系数的一半的平方 【例1】填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； 【例2】如果是一个完全平方式，那么的值可以是（ ） A．2 B． C．2或 D．都不对 【答案】D 【解析】通过公式进行解答，根据完全平方有和的平方，差的平方两 种，所以有两种情况，并且中间一项是积的2倍． 【总结】本题考查通过公式进行配方，要考虑两种情形． 【跟踪训练】 1.用适当的数填空：[来源:学|科|网] ①； ②； ③ ； ④； 2.在横线上填一个数，使左边变成一个完全平方式： 3.若是一个完全平方式，则的值是（ ） A．3 B． C． D．以上都不对 4.用配方法将二次三项式变形，结果是（ ） A． B． C． D． 题型02：配方法解一元二次方程 【名师点拨】配方法的解题步骤： 第1步:化,把方程化为一元二次方程的一般形式,且使二次项系数为1; 第2步:移,使方程左边是二次项和一次项,右边是常数项; 第3步:配,方程两边同时加上一次项系数一半的平方; 第4步:开,当方程的右边是非负数时,用直接开平方法解方程; 第5步:写,写出一元二次方程的两个根 【例3】解方程： 解：移项，得（把常数项移到方程的右边） 配方，得 （方程两边都加上一次项系数一半的平方） 即（写成的形式） 两边同时开平方得： 原方程的根是， 【例4】解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．利用配方法求解即可． 【详解】解： ， 【例5】用配方法解一元二次方程： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，掌握配方法成为解题的关键． 先移项，然后再按照配方法即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ∴． 【跟踪训练】 1．用配方法解方程时，配方法所得的方程是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握配方法的方法步骤是解本题的关键．方程变形后，配方得到结果，即可做出判断． 【详解】解：方程， 变形得：， 配方得：，即， 故选：B． 2．用配方法解一元二次方程，此方程可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案． 【解析】解：， ， 则， 即， 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法． 3．解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的解法，解题关键是熟练掌握配方法、因式分解法等一元二次方程的解法． 利用配方法求解即可． 【详解】解：， ， ， 解得，． 4．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式，然后开方求解即可；解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：， ， ， ， ∴， 解得，． 5.解方程： 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解： 解得：． 6.解方程：．（用配方法解） 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．根据配方法解一元二次方程的一般步骤解出方程，即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 7．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】利用配方法求解即可． 【解析】（1）解：3x2−5x=2 移项得：x2-x=， 配方得：x2-x+=+， 合并得：（x-）2=， 解得：x1=+=2，x2=-=-； （2）解：x2+8x=9 配方得：x2+8x +16=9+16， 合并得：（x+4）2=25， 解得x1=1，x2=-9； （3）解：x2+12x−15=0 移项得：x2+12x+36=15+36， 配方得：（x+6）2=51 解得x1=-6＋，x2=-6- （4）解：x2−x−4=0 去分母得：， 移项得：， 配方得：x2-4 x+4=16+4， 合并得：（x-2）2=20， 解得：x1=2＋2，x2=2－2； （5）解：2x2+12x+10=0 系数化为1得：， 移项得：， 配方得：x2+6x+9=-5+9， 合并得：（x+3）2=4， 解得：x1=-1，x2=--5； （6）解：x2+px+q=0， 移项得：， 配方得：x2+px+=-q+， 合并得：(x+)2=， 解得x=． 【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法是解题的关键． 题型03：配方法的应用 【例6】代数式的值的值一定（    ） A．大于3 B．小于3 C．等于3 D．不小于1 【答案】D 【分析】利用配方法把所给代数式变形为，根据偶次方的非负性推出，由此即可得到答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的值一定不小于1， 故选D． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确将所给代数式变形为是解题的关键． 【例7】若M=2-12x+15，N=-8x+11，则M与N的大小关系为（　　） A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N 【答案】A 【解析】∵M=2-12x+15，N=-8x+11， ∴M-N= . ∵， ∴M-N0， ∴MN. 故选A. 点睛：比较两个含有同一字母的代数式的大小关系时，当无法直接比较两者的大小关系时，可以通过求出两者的“差”，再看“差”的值是“正数”、“负数”或“0”来比较两者的大小. 【跟踪训练】 1．代数式的最小值为（    ）． A． B．0 C．3 D．5 【答案】A 【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案． 【详解】代数式 ∵， ∴即代数式， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式和不等式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的性质，从而完成求解． 2.代数式的值的值一定（    ） A．大于3 B．小于3 C．等于3 D．不小于1 【答案】D 【分析】利用配方法把所给代数式变形为，根据偶次方的非负性推出，由此即可得到答案． 【解析】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的值一定不小于1， 故选D． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确将所给代数式变形为是解题的关键． 3.已知三角形的三条边为，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（    ） A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜13 【答案】C 【分析】先利用配方法对含a的式子和含有b的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a和b的值，然后根据三角形的三边关系可得答案． 【解析】解：∵a2-10a+b2-16b+89=0， ∴（a2-10a+25）+（b2-16b+64）=0， ∴（a-5）2+（b-8）2=0， ∵（a-5）2≥0，（b-8）2≥0， ∴a-5=0，b-8=0， ∴a=5，b=8． ∵三角形的三条边为a，b，c， ∴b-a＜c＜b+a， ∴3＜c＜13． 又∵这个三角形的最大边为c， ∴8＜c＜13． 故选：C． 【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键． 4.已知、是实数，，．则、的大小关系是（　　） A． B． C．＜ D．＞ 【答案】B 【分析】判断、的大小关系，把进行整理，判断结果的符号可得、的大小关系．考查了配方法的应用；关键是根据比较式子的大小进行计算；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大． 【解析】解：， ，， ， ， 故选：B 题型04：公式法解一元二次方程 【名师点拨】“公式法”的三点注意 (1)使用公式法时，必须先把方程化为一般形式，再确定系数. (2)确定a,b,c的值时,要注意符号,不要遗漏“-” (3)利用公式法解方程时，要先计算 b-4ac 的值,只有当b-4ac≥0时，才能使用求根公式求方程的根. 【例8】解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握公式法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 【例9】解方程：． 【答案】， 【分析】此题考查了公式法解一元二次方程，解题时要注意将方程化为一般形式，确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解． 【详解】解： ， ，． 【例10】解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，利用公式法求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得． 【例11】解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)； (3)； (4) 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键． （1）用公式法解方程即可； （2）变形后利用因式分解法解方程； （3）配方解方程即可； （4）利用公式法解方程即可． 【解析】（1） ∵， ∴， ∴， ∴ （2） ∴ ∴， ∴或， ∴； （3） ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （4） ∵， ∴， ∴， ∴ 【跟踪训练】 1.方程中，的值为 ，根是 ． 【答案】 12 【分析】确定a、b、c的值后，直接计算△的值即可． 【解析】解：变形为： ， ∵a=2，b=2，c=-1， ∴△=b2-4ac=22-4×2×(-1)=4+8=12>0， ∴x==， ∴ 故答案为：12，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和根的判别式，掌握一元二次方程求根公式及掌握ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式的公式△=b2-4ac是解题的关键． 2.若用公式法解关于x的一元二次方程，其根为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用公式法求解一元二次方程，熟练掌握公式法求一元二次方程的方法是解题的关键． 根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3.用公式法解方程，其中求得的值是（    ）. A．16 B． C．32 D．64 【答案】D 【分析】先将方程化为一般形式，然后计算即可. 【解析】解：方程整理得：， ∴，，， ∴， 故选D. 【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解此题的关键． 4.用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)， (3)方程无解 (4) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键． （1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （4）由题意易得，然后根据公式法可进行求解． 【解析】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵ ∴， ∴， ∴原方程无解． （4）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 题型05：公式法解一元二次方程的应用 【例12】当时，下列一元二次方程中两个根是实数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据公式法，判断选项中的一元二次方程的实数根是否是题目中给出的那个． 【详解】一元二次方程，当，的时候，它有两个实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法——公式法，解题的关键是掌握求根公式． 【例13】 【答案】，，， 【分析】利用换元法解这个方程，先设，.求得t的值后再代回，求解x. 【详解】解：设，则原方程化为： ， ， 或， 当时，， 解此方程得或， 当时，， 解此方程得或， ∴原方程得解为，，，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，利用换元法解方程可以把较为复杂的一元二次方程化为简单的方程从而得解. 【例14】解方程：． 【答案】， 【分析】利用求根公式法求解即可． 【详解】解：， ， 即，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活选取解法是关键． 题型06：选择适当的方法解一元二次方程 【例15】解下列方程：①  ②  ③  ④．较简便的方法依次是（    ） A．直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法 B．因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法 C．直接开平方法，公式法，公式法，因式分解法 D．直接开平方法，公式法，因式分解法，因式分解法 【答案】D 【分析】根据各方程的特点逐一判别即可． 【详解】解：①适合直接开平方法； ②适合公式法； ③适合因式分解法； ④适合因式分解法； 故选：D． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【例16】用适当的方法解下列一元二次方程． (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)（因式分解）； (4)（适当方法）； (5)（适当方法）． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 方程利用配方法求解即可； 方程利用公式法求解即可； 方程利用因式分解法求解即可； 方程整理后，利用公式法求解即可； 方程利用因式分解法求解即可． 【解析】（1）解：方程整理得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，； （2）解：，，， ， ， 解得：，； （3）解：方程整理得：， 分解因式得：， 所以或， 解得：，； （4）解：方程整理得：， ，，， ， ， 解得：，； （5）解：方程分解得：， 所以或， 解得：，． 【跟踪训练】 1.解下列方程：①2x2－18＝0；②9x2－12x－1＝0；③3x2＋10x＋2＝0；④2(5x－1)2＝2(5x－1)．用较简便的方法依次是(    ) A．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法 B．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法 C．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法 D．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法 【答案】D 【解析】①2x2=18，所以利用直接开平方法.②9x2－12x－1＝0，公式法.③3x2＋10x＋2＝0，公式法. ④ 2(5x－1)2-2(5x－1)=0,利用因式分解法. 所以选D. 2.解方程① 9(x -3)2 = 25，② 6x2 -x = 1，③ x2 +4x -3596 = 0，④ x(x -1) = 1.较简便的方法依次是（      ）； A．开平方法、因式分解法、公式法、配方法 B．因式分解法、公式法、公式法、配方法 C．配方法、因式分解法、配方法、公式法 D．开平方法、因式分解法、配方法、公式法 【答案】D 【分析】对于第①个方程，由于左右两边是某个数或式子的平方，据此选择开平方法解方程；对于方程②可结合因式分解中的基本方法分析即可得解; 对于方程③二次项系数为1可考虑配方法; 对于方程④利用公式法求解比较简便. 【解析】解：方程①符合直接开方法的形式，因此选择开平方法比较简便； 方程②等号左边含有公因式x，则可利用因式分解法比较简便； 方程③等号左边二次项系数为1，则可利用配方法比较简便； 方程④等号左边展开，移项，然后利用公式法求解比较简便. 故选D. 【点睛】本题是解一元二次方程的题目，关键是知道如何合理的选择解一元二次方程的方法. 3.已知下列方程，请把它们的序号填在最适当的解法后的横线上． ①；②；③；④；⑤． (1)直接开平方法： ； (2)配方法： ； (3)公式法： ； (4)因式分解法： ． 【答案】 ① ④⑤ ③ ② 【分析】根据方程的特征逐一判断即可. 【解析】解: ① x-1= x=1. 故①用直接开平方法解更简单. ②原方程可变形为:； ∴此方程用因式分解法解更简单. ③ -5x+6=3 -5x+3=0 ∴此方程用公式法求解更好. ④ ∴此方程用配方法解更好. ⑤． =100 ∴此方程用配方法解更好. 故答案为:  (1). ①    (2). ④⑤    (3). ③    (4). ② 【点睛】本题考查了选择适当的解法求解一元二次方程. 题型07：分析解答过程是否有误 【例17】下图是嘉淇同学用配方法推导一元二次方程（且）的求根公式的过程． ………………第一步 ………………第二步 ………………第三步 第四步 (1)嘉淇的解法从第_____步开始出现错误； 事实上，当时，方程的求根公式是_____； (2)用配方法解方程：． 【答案】(1)四， (2) 【分析】本题考查配方法解一元二次方程： （1）观察可知，第四步，等号两边同时开平方时出现错误，应为； （2）先移项，再利用完全平方公式进行配方，即可求解． 【详解】（1）解：嘉淇的解法从第四步开始出现错误； 事实上，当时，方程的求根公式是， 故答案为：四，； （2）解：， ， ． 【例18】小明在解方程时出现了错误，解答过程如下： ∵，，（第一步）， ∴（第二步）， ∴（第三步）， ∴，（第四步）． 小明解答过程开始出错的步骤是（　　） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】C 【分析】根据公式法，可得第三步为，即可解答． 【解析】解：根据公式法可得， 故第三步为， 所以第三步开始出错， 故选：C． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟知一元二次方程的解的公式是解题的关键． 【例19】（1）解方程： （2）茗茗同学在解关于x 的方程时，过程如下： 第一步：，，， 第二步： 第三步：当（即）时，；当时方程无解 你认为茗茗同学的解方程过程忽视的问题是________________． 你认为在上述解题过程中应该增加的一个步骤是______________． 【答案】（1），；（2）没有考虑的情况；当时， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法是解题的关键． （1）根据解一元二次方程-公式法直接求解即可； （2）根据一元二次方程的定义，公式法的条件即可求出答案． 【详解】解：（1）这里， ， ，； （2）茗茗同学的解方程过程忽视的问题是没有考虑的情况； 在上述解题过程中应该增加的一个步骤是当时，方程， 解得：； 故答案为：没有考虑的情况；当时，． 【例20】解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 或 乙同学： ，， ， ， 此方程无实数根． (1)你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法__________，乙同学的解法__________．（填“正确”或者“不正确”） (2)请选择合适的方法解一元二次方程． 【答案】(1)不正确，不正确 (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是运用恰当的方法进行计算． （1）利用因式分解法解方程可对解法一进行判断；根据公式法可对解法二进行判断； （2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程． 【详解】（1）解：甲同学的解法不正确，乙同学的解法不正确， 故答案为：不正确；不正确； （2）解：， ， ， 或， ，． 题型08：新定义问题 【例21】新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（   ） A．2023 B．2024 C．2018 D．2019 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，一元二次方程的定义，理解题目中的新定义是解题的关键；利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【解析】与是“同族二次方程”， ， ， ，解得：， ， 当时，能取的最小值是2019， 故选：． 【例22】如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 （填序号）． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若p、q满足，则关于x的方程是倍根方程； ④若时，则方程是倍根方程． 【答案】③④/④③ 【分析】考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． ①求出方程的解，再判断是否为倍根方程； ②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，即可判断； ③当p，q满足，则，求出两个根，进而判断是否为倍根方程； ④用求根公式求出两个根，将变为：，代入进一步化简，得出关系式，利用“倍根方程”定义即可判定． 【解析】解：①解方程得： ，， ， 方程不是倍根方程； 故①不正确； ②若是倍根方程，， 因此或， 当时，， 当时，， 故②错误； ③∵， 方程变为：， 即， ∴， ∴或 ，， ， 关于x的方程是倍根方程， 故③正确； ④方程的根为： ，， ， ， ，， ， 若时，则方程是倍根方程， 故④正确， 故答案为：③④． 【例23】配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”，理由：因为，所以10是“完美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“完美数”有 　①③　（填序号）； ①29 ②48 ③13 ④28 探究问题： （2）若可配方成 ，为常数），则的值为 　　； （3）已知，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 拓展应用： （4）已知实数，满足，求的最小值． 【分析】（1）根据“完美数”的定义分别进行判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值； （3）利用完全平方式把原式变形，根据“完美数”的定义，即可证明结论； （4）利用配方法和非负数的性质，即可求得的最小值． 【解答】解：（1），，48和28不能表示成两个数的平方和， “完美数”有29和13， 故答案为：①③； （2）， ，， ， ． 故答案为：； （3）当时，是“完美数”， 理由如下： ， ，是整数， 和也是整数， 当时，是“完美数”； （4）， ， ， ， 的最小值为． 【点评】本题考查了配方法的应用，理解新定义“完美数”并会把算式灵活配方是解决问题的关键． 1、 选择题 1．（2024八年级上·上海奉贤·期中）用配方法解一元二次方程时，在方程两边应同时加上（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据配方法的步骤，利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：进行配方，方程两边应同时加上一次项系数的一半的平方， 即 ∴， ∴在方程两边应同时加上． 故选：C． 【点睛】本题考查配方法，用配方法解一元二次方程得一般步骤：（1）化二次项系数为，当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数；（2）加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式，但又要使此方程的等式关系不变，故在右侧同时加上一次项系数一半的平方；（3）配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程．熟知配方法的步骤是解题的关键． 2．（2024八年级上·上海静安期中）一元二次方程的实数根为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直接开方法解一元二次方程即可得． 【详解】， 两边同除以得：， 利用直接开方法得：， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握直接开方法是解题关键． 3．（2024上海·八年级期中）用配方法解一元二次方程﹣2x﹣7＝0，则方程变形为（　　） A．＝11 B．＝11 C．＝8 D．＝8 【答案】C 【分析】根据配方的基本要求规范落实即可． 【详解】∵方程﹣2x﹣7＝0， 移项得： ﹣2x＝7， 配方得： ﹣2x+1＝8， 即＝8． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握配方的基本步骤是解题的关键． 4．（2024奉贤区期中）一元二次方程在用配方法配成时，下面正确的是　　 A．是的一半 B．是的一半的平方 C．是的2倍 D．是的一半的相反数 【分析】把化成一般式即可判断． 【解答】解：化为， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键． 5.（24-25八年级上·上海宝山·期中）以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键．根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：A、，则，故该选项不正确，不符合题意； B、，则，故该选项不正确，不符合题意； C、，则，故该选项不正确，不符合题意； D、，则，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 6．（2024上海静安区期中）下列多项式中，是完全平方式的为（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用配方法分别转化为完全平方式的形式即可求解． 【详解】A选项=，故正确 B选项=，故错误 C选项=，故错误 D选项=，故错误 故选：A 【点睛】本题考查配方法的运用，熟练添加常数项，即一次项系数一半的平方是解决问题的关键，添加之后要注意再减去添加的常数项，进行等价转化． 二、填空题 7．（2024杨浦区期中）配方：　　　 　． 【分析】由于二次项系数是，那么常数项是一次项系数一半的平方，等号右边中括号内的减数是常数项的底数，即可求出答案； 【解答】解：因为一次项系数为：， 所以常数项为等号右边底数中的减数为； 故答案为：，． 【点评】考查配方法的应用；配方法应用之前，应把二次项系数整理为1；用到的知识点为：． 8.（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）用配方法解方程时，若将方程化为的形式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以2，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得m、n的值，进而可得答案． 【详解】解： ， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2025建平中学期中）若一元二次方程配方后为，则 ． 【答案】12 【分析】将配方后的方程化为一般形式，即可得出a=4，b=3，代入代数式求解即可． 【解析】解：∵一元二次方程−ax+b=0配方后为， ∴将整理为， ∴a=4，b=3， ∴ab=12， 故答案为：12． 【点睛】题目主要考查一元二次方程的配方法及求代数式的值，将配方后的方程展开是解题关键． 10．（2023奉贤区校级期中）方程的根是　　． 【分析】此题考查了公式法解一元二次方程，解题时要注意将方程化为一般形式． 【解答】解：，， ． 【点评】解此题的关键是熟练应用求根公式，要注意将方程化为一般形式，确定、、的值． 11．将方程化成一般形式为 ， ，用求根公式求得 ， ． 【答案】 121 1 【分析】方程整理后，化为一般形式，求出根的判别式的值，即可求出方程的根． 【解析】化简方程，得， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】此题考查解一元二次方程-公式法，解题关键在于利用根的判别式进行求解. 12.（2024格致中学期中）如果一个三角形的三边均满足方程，则此三角形的面积是 【答案】 【解析】解方程：，得 ， ∴. ∵一个三角形的三边均满足方程 ， ∴此三角形是以5为边长的等边三角形， ∴三角形的面积=°=. 故答案是：. 13．（2024上宝中学期中）无论x、y取任何实数，多项式x2+y2－2x－4y+16的值总是 数． 【答案】正 【解析】x2+y2－2x－4y+16=（x2－2x+1）+（y2－4y+4）－1－4+16=（x－1）2+（y－2）2+11，由于（x－1）2≥0，（y－2）2≥0，故（x－1）2+（y－2）2+11≥11，所以x2+y2－2x－4y+16的值总是正数. 故答案为正. 点睛：要证明一个式子的值总是正数，可以用配方法将式子写成多个非负数之和与一个正数的和的形式即可证明. 3、 解答题 14.（2024上海八年级课时作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． （3）． 【分析】此题考查了解一元二次方程配方法．各方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． 【解析】（1）解：原方程可化为． 配方，得，即． 两边直接开平方，得， 所以或， 所以，； （2）解：原方程可化为． 配方，得， 即． 两边直接开平方，得， 所以或， 所以，． （3）解：， 移项得， 二次项系数化成1得， 配方得，即 ， 解得，． 【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 15.（2024上海八年级课时作业）用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），； （2），； （3），． 【解析】（1）∵，∴，∴， ∴原方程的解为：，； （2） 整理可得：，，则，， ∴原方程的解为：，； （3）整理可得：，，则，， ∴原方程的解为：，． 16．（2024上海八年级课时作业）用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3）3x（x+2）=5（x+2） （4） 【答案】（1）；（2），；（3）；（4） 【解析】 解：（1）， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴，； （3）， ∴， ∴， ∴； （4）， ∴， ∴， ∴． 17.（1）解关于的方程： 【答案（1）】 【解析】 解： ∴ ∴． ∴原方程的解为． （2）解关于x的方程： 【答案】（2）当a=-1时，x=3；当a≠-1时， 【解析】 解：（2）当a=-1时，代入方程，得 解得：x=3； 当a≠-1时， 解得： 18．（2024上海八年级课时作业）已知：、是实数，且满足，求关于的一元二次方程的根． 【分析】利用非负数的性质求得、的值，然后利用因式分解法求解即可． 【解答】解：、是实数，且满足， ，， 关于的一元二次方程为， 整理得， ， 解得，． 【点评】本题综合考查了解一元二次方程，非负数的性质，根据方程的特点灵活选用合适的解一元二次方程方法是解题的关键． 19．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）阅读与思考：用配方法求二次三项式的最值 我们通常把称为完全平方公式，由此可知多项式的最小值为0．有些多项式不是完全平方式，可以通过添加项，用配方法变成完全平方式，再减去这个添加的项，使原多项式的值不变，这样可以解决一些最值问题．如：求代数式的最小值． 解 的最小值是． 解决问题： (1)将代数式用配方法可转化为______． (2)已知，则______，______． (3)请求出代数式的最小值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质； （1）把原式化为，再结合完全平方公式进一步解答即可； （2）把化为，再与比对即可； （3）把化为，结合非负数的性质可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∴，； （3）解： ； ∵， ∴， ∴的最小值为； 20．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）【阅读材料】 方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①， 解方程①可得，； 当时，，即，； 当时，，即，； 原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到_______的目的（选填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 【答案】(1)降次 (2) (3) 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据题意可得换元法达到降次的目的； （2）仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解； （3）仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解． 【详解】（1）解：利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想 （2）解：设，则原方程可化为 整理，得 解得， 又∵ （3）解：设，则原方程可化为 解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 原方程的解为． 21．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最大值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)知识迁移： 如图，在中，，点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)20 【分析】本题考查了配方法的应用，三角形的面积，解题的关键是掌握配方法． （1）利用“配方法”计算即可； （2）两式相减，差和0比较，确定大小； （3）大三角形面积减去小三角形面积，再把含有t的式子配方，求最小值． 【详解】（1）解：， ， ， 的最大值为； （2） ， ， ； （3），点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动 点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ， ， ， ， S的最小值为20． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$