第08讲 圆与圆的位置关系（知识详解+7典例精讲+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（苏教版选修第一册）

第08讲 圆与圆的位置关系（知识详解+7典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：圆与圆的位置关系的判断 知识点02：两圆相切问题 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：判断圆与圆的位置关系 题型02：求两圆的交点坐标 题型03：由圆的位置关系确定参数或范围 题型04：由圆与圆的位置关系确定圆的方程 题型05：相交圆的公共弦方程 题型06：两圆的公共弦长 题型07：圆的公切线条数、方程和长 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】圆与圆的位置关系的判断 1.代数法:设两圆的一般方程为 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1>0), C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(+-4F2>0), 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下: 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 2.几何法:若两圆的半径分别为r1,r2,两圆的圆心距为d,则两圆的位置关系如下: 位置关系 图示 d与r1,r2的关系 外离 d>r1+r2 外切 d=r1+r2 相交 |r1-r2|< d <r1+r2 内切 d=|r1-r2| 内含 d<|r1-r2| 温馨提示　(1)利用代数法判断两圆的位置关系时,当方程组无解或有一解时,无法判断两圆的位置关系.可结合小圆的圆心是否在大圆内进行判定. (2)在判断两圆的位置关系时,优先使用几何法. 【例1】已知圆，圆，判断两圆的位置关系。 【知识点02】两圆相切问题 两圆的位置关系 公切线条数 图示 外离 4 外切 3 相交 2 内切 1 内含 0 温馨提示　两圆的位置关系确定两圆公切线的条数. 【例2】已知圆，圆心为原点，半径；圆，若两圆相切，求正数的值。 【题型01】判断圆与圆的位置关系 【典例1-1】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知圆：（，为常数）与：.若圆心与关于直线对称，则圆与的位置关系为（    ） A．内含 B．相交 C．相切 D．相离 【变式1-1】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）圆 与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 【变式1-2】（24-25高二上·江苏南通）圆与圆的位置关系为______. 【变式1-3】已知两圆，，判断圆与圆的位置关系． 【题型02】求两圆的交点坐标 【典例2-1】圆与的交点坐标为______. 【变式2-1】求圆与圆的交点坐标. 【变式2-2】求圆与圆的交点的坐标． 【变式2-3】求满足下列条件的各圆的方程： （1）圆心为点，且经过点． （2）经过两点，且圆心C在直线上． （3）圆心在直线上，且过圆与圆的交点． 【题型03】由圆的位置关系确定参数或范围 【典例3-1】已知圆和圆，则使得圆与圆相切的的值有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】（多选）（25-26高二上·山东淄博·期中）已知圆，若对于圆上任意一点，在圆上总存在点，使得，则的取值可能为（    ） A．4 B．0 C． D．1 【变式3-2】（25-26高二上·江苏盐城·期末）已知圆：（）与圆：相交，则r的取值范围是________ 【变式3-3】设m为实数，若圆与圆相交，求m的取值范围． 【题型04】由圆与圆的位置关系确定圆的方程 【典例4-1】（24-25高二上·江苏·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（多选）已知圆与圆关于直线l对称，则下列说法正确的是（    ） A． B．圆与圆相交 C．直线的方程为 D．直线l的方程为 【变式4-2】以为圆心且与圆外切的圆的方程为______． 【变式4-3】求过圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程． 【题型05】相交圆的公共弦方程 【典例5-1】（24-25高二上·安徽合肥·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·陕西榆林·期中）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·江苏南京·期末）圆与圆的公共弦所在直线方程是______. 【变式5-3】（24-25高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知两圆与相交于、两点，求它们的公共弦所在的直线方程． 【题型06】两圆的公共弦长 【典例6-1】（24-25高二上·湖北·期中）圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知圆：与圆：相交于，两点，则弦的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】圆与圆的公共弦长为______. 【变式6-3】已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 【题型07】圆的公切线条数、方程和长 【典例7-1】（24-25高二上·江苏南通·期中）已知圆，圆，则与圆和都相切的直线的条数为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（多选）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【变式7-3】（25-26高二上·江苏宿迁·阶段检测）已知圆O: 圆 (1)求圆O与圆M 的公共弦长： (2)求圆O与圆M的公切线的交点P的坐标，并求公切线方程. 知识点01两圆五种位置关系完整梳理（必考公式） 通过圆心距与半径和、半径差的大小关系判定： 1. 外离：，两圆无公共点，无交点 2. 外切：，两圆有且仅有一个公共点 3. 相交：，两圆有两个不同公共点 4. 内切：，两圆有且仅有一个公共点 5. 内含：，两圆无公共点，一圆完全在另一圆内部；时为同心圆 知识点02两圆相切核心考点（重点） 两圆相切分为外切、内切两类，均为单公共点，是本章高频题型，解题必须分类讨论。 1. 相切判定公式 外切： 内切： 2. 相切核心性质 无论外切、内切，两圆圆心、切点三点共线，该性质常用于求切点坐标、圆心轨迹问题。 3. 解题关键 题干仅说明“两圆相切”，未指明内外切时，必须同时讨论两种情况，极易漏解。 知识点03标准解题步骤（通用模板） 步骤1：定要素：从两圆方程中提取圆心坐标和半径 步骤2：求圆心距：利用两点间距离公式计算 步骤3：算定值：计算 与 步骤4：比大小：根据不等关系判定位置关系；相切问题分类求解参数 步骤5：验范围：半径为正数，舍去不合理的负根 知识点04高频易错点梳理 1. 混淆内切与外切公式：内切为半径差的绝对值，外切为半径和； 2. 相切问题漏解：默认只外切或只内切，未分类讨论； 3. 忽略半径取值范围：求解参数后未舍去负数半径； 4. 同心圆判定遗忘：且半径不等为内含，半径相等为重合圆； 5. 相交条件记反：必须同时满足大于半径差、小于半径和。 一、单选题 1．（25-26高二上·江苏·期中）两圆和的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 2．已知圆与圆交于、两点，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，圆：与圆：的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高二上·云南曲靖·阶段检测）圆与圆的公共弦长为（   ） A．2 B． C．2 D．4 5．（25-26高二上·江苏南京·期末）若圆与圆的公共弦长为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 6．（25-26高二上·江苏常州·期中）若圆上总存在两个点到原点的距离均为2，则正实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）经过点以及圆与圆交点的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知圆与圆相交，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知圆O： ()与圆M：，则下列说法正确的有（ ） A．若，则两圆外切 B．若，直线为两圆的公切线 C．若，则两圆的公共弦所在直线方程为 D．若，则两圆外离 10．（多选）已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．两圆相交 B．直线的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段的长为 11．（25-26高二上·江苏盐城·期中）圆和圆的交点为，，则（    ） A．圆和圆的公切线有3条 B．两圆圆心距 C．公共弦的长为 D．公共弦所在直线的方程为 三、填空题 12．（24-25高二上·江苏无锡·阶段检测）写出一个同时满足下列条件①②的圆的方程：__________. ①与圆相切，②与x轴相切. 13．（2025高二上·江苏·专题练习）圆与圆的公切线条数为__________. 14．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知圆与圆有且只有一个公共点，则的值为___________． 四、解答题 15．（2024高二·全国·专题练习）已知两圆和. (1)当a为何值时，两圆外切？ (2)当时，试判断两圆的位置关系. 16．（25-26高二上·河南濮阳·期末）已知圆（，）过原点，且与直线相切. (1)求圆的方程； (2)判断圆与圆是否相交，若相交，请求出公共弦的长. 17．（25-26高二上·贵州遵义·期末）在平面直角坐标系中，圆与两坐标轴都相切，且过点． (1)求圆的方程． (2)若圆与圆相交，求两圆的公共弦长． 18．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知圆，圆． (1)若圆与圆恰有条公切线，求实数的取值范围； (2)当时，圆与圆相交于两点，求四边形的面积． 19．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知圆与圆． (1)若圆与圆有两个不同的交点，求的取值范围； (2)若，且圆与圆有两个不同的交点，，求直线的方程； (3)若，求圆与圆的公切线方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 圆与圆的位置关系（知识详解+7典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：圆与圆的位置关系的判断 知识点02：两圆相切问题 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：判断圆与圆的位置关系 题型02：求两圆的交点坐标 题型03：由圆的位置关系确定参数或范围 题型04：由圆与圆的位置关系确定圆的方程 题型05：相交圆的公共弦方程 题型06：两圆的公共弦长 题型07：圆的公切线条数、方程和长 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】圆与圆的位置关系的判断 1.代数法:设两圆的一般方程为 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1>0), C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(+-4F2>0), 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下: 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 2.几何法:若两圆的半径分别为r1,r2,两圆的圆心距为d,则两圆的位置关系如下: 位置关系 图示 d与r1,r2的关系 外离 d>r1+r2 外切 d=r1+r2 相交 |r1-r2|< d <r1+r2 内切 d=|r1-r2| 内含 d<|r1-r2| 温馨提示　(1)利用代数法判断两圆的位置关系时,当方程组无解或有一解时,无法判断两圆的位置关系.可结合小圆的圆心是否在大圆内进行判定. (2)在判断两圆的位置关系时,优先使用几何法. 【例1】已知圆，圆，判断两圆的位置关系。 解：步骤1：提取两圆圆心与半径 由圆的标准方程可得： 圆：圆心，半径 圆：圆心，半径 步骤2：计算圆心距 由两点间距离公式： 步骤3：计算半径和与半径差 ， 步骤4：比较大小判断位置关系 因为，即 结论：两圆外离，无公共点。 【知识点02】两圆相切问题 两圆的位置关系 公切线条数 图示 外离 4 外切 3 相交 2 内切 1 内含 0 温馨提示　两圆的位置关系确定两圆公切线的条数. 【例2】已知圆，圆心为原点，半径；圆，若两圆相切，求正数的值。 解：步骤1：确定圆心、半径与圆心距 圆： 圆： 圆心距： 步骤2：分两种相切情况讨论 情况1：两圆外切 由得：，解得 情况2：两圆内切 由得： 绝对值方程拆解： 或 解得（舍去，半径为正）或 步骤3：汇总结果 结论：两圆相切时，或。 【题型01】判断圆与圆的位置关系 【典例1-1】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知圆：（，为常数）与：.若圆心与关于直线对称，则圆与的位置关系为（    ） A．内含 B．相交 C．相切 D．相离 【答案】B 【分析】根据条件求出 的圆心 ，再根据 圆心的距离即可判断. 【详解】圆的方程为， 依题意，， 因为圆心与关于直线对称， 所以，又，，，， ，所以两个圆相交； 故选：B. 【变式1-1】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）圆 与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 【答案】C 【分析】分别计算出两圆圆心及半径后，比较其半径之和与圆心距离的关系即可得. 【详解】圆 的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径， 则， ， 所以，， 故两圆外切. 故选：C 【变式1-2】（24-25高二上·江苏南通）圆与圆的位置关系为______. 【答案】外离 【分析】由圆和圆的方程求两圆的圆心坐标及半径，再求圆心距，比较与半径和，半径差的绝对值的大小，可得结论. 【详解】设圆的半径为，圆的半径为，则 圆的圆心的坐标为，半径为， 圆的圆心的坐标为，半径为， 因为，，， 所以， 所以圆和圆外离. 故答案为：外离. 【变式1-3】已知两圆，，判断圆与圆的位置关系． 【答案】圆与圆的位置关系是相交 【分析】利用圆心距与两圆半径之间的关系判断可得结果. 【详解】把圆的方程化为标准方程，得,则圆的圆心坐标为，半径． 把圆的方程化为标准方程，得,则圆的圆心坐标为，半径． 圆与圆的圆心距， 又圆与圆的半径之和是，半径之差是， 而，即，所以圆与圆的位置关系是相交． 【题型02】求两圆的交点坐标 【典例2-1】圆与的交点坐标为______. 【答案】和 【分析】联立两圆的方程即可求解. 【详解】联立，两式相减得，将其代入中得或，进而得或， 所以交点坐标为 故答案为：和 【变式2-1】求圆与圆的交点坐标. 【答案】 【分析】直接求出圆与圆的交点坐标 【详解】联立与，解得：或，即两圆交点坐标为与 【变式2-2】求圆与圆的交点的坐标． 【答案】、 【分析】联立两圆方程可得，将其代入其中一个圆的方程中求出点坐标. 【详解】由题设，，相减可得， 所以，解得或， 当时，；当时，； 所以交点坐标为、. 【变式2-3】求满足下列条件的各圆的方程： （1）圆心为点，且经过点． （2）经过两点，且圆心C在直线上． （3）圆心在直线上，且过圆与圆的交点． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）直接求出半径即可得出方程； （2）求出直线的中垂线方程，与直线联立可求得圆心坐标，再求出半径即可得出； （3）联立两圆方程，求出交点坐标，设出圆心，即可建立关系求出. 【详解】（1）可得半径为， 所以所求圆的方程为； （2）直线的斜率为，中点为， 则直线的中垂线方程为，即， 联立方程组可得，即圆心为， 半径， 故所求圆的方程为； （3）联立方程组解得或， 即交点坐标为， 因为圆心在直线上，则可设圆心为，则它到两个交点的距离相等， 即，解得，即圆心为， 则半径， 故所求圆的方程为. 【题型03】由圆的位置关系确定参数或范围 【典例3-1】已知圆和圆，则使得圆与圆相切的的值有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】确定两圆的圆心坐标与半径，再分两圆相外切与相内切两种情况讨论. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 若圆与圆相外切，则，即，解得或； 若圆与圆相内切，则，即，解得或； 故使得圆与圆相切的的值有、、、，共个. 【变式3-1】（多选）（25-26高二上·山东淄博·期中）已知圆，若对于圆上任意一点，在圆上总存在点，使得，则的取值可能为（    ） A．4 B．0 C． D．1 【答案】ACD 【分析】由，得到 为圆的切线，判断出两圆外离，所以再列不等式求解即可. 【详解】因为，所以 为圆的切线， 即圆上任意一点都可以向圆作切线， 所以两圆外离，所以,即 ， 化简得到，解得或 ， 所以的取值可能为 故选：ACD. 【变式3-2】（25-26高二上·江苏盐城·期末）已知圆：（）与圆：相交，则r的取值范围是________ 【答案】 【分析】求出两圆的圆心距，根据两圆相交的条件建立关于的不等式求解. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为，圆的圆心坐标为，半径为1， 所以， 因为两圆相交，所以， 即，又，所以得， 故答案为： 【变式3-3】设m为实数，若圆与圆相交，求m的取值范围． 【答案】 【分析】利用圆心距与半径之和、半径之差的关系可得的取值范围. 【详解】由的圆心，半径为， 由可得， 圆心为，半径为6， 因为两圆相交，故， 解得，即， 所以的取值范围为. 【题型04】由圆与圆的位置关系确定圆的方程 【典例4-1】（24-25高二上·江苏·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过点关于直线对称求圆的圆心和半径来求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为. 所以圆的半径为，设圆心为， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：A 【变式4-1】（多选）已知圆与圆关于直线l对称，则下列说法正确的是（    ） A． B．圆与圆相交 C．直线的方程为 D．直线l的方程为 【答案】BD 【分析】根据对称性求得，然后根据两个圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆即， 根据对称性可知，解得，所以A选项错误. 此时，圆心为，半径. ， 由于，所以两圆相交，B选项正确. 直线的方程，所以C选项错误. 线段中点坐标为，直线斜率为， 所以直线l的方程为，所以D选项正确. 故选：BD 【变式4-2】以为圆心且与圆外切的圆的方程为______． 【答案】 【分析】求出两圆圆心距，利用两圆外切求出圆的半径，即可得出圆的方程. 【详解】设圆的半径为，圆的圆心为坐标原点，半径为， 两圆圆心距为，故， 因此，以为圆心且与圆外切的圆的方程为. 故答案为：. 【变式4-3】求过圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程． 【答案】 【分析】所求的圆过已知圆交点，故可表示为：，求出圆心坐标再代入直线方程即可求解． 【详解】所求的圆过已知圆交点，故可表示为：， 即，① 从而圆心坐标为． 因为圆心在直线上，代入可得，解得． 代入①得，即为所求圆的方程． 【题型05】相交圆的公共弦方程 【典例5-1】（24-25高二上·安徽合肥·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两圆的方程整理成一般式，化简后相减得到一个二元一次方程即得. 【详解】将两个圆的方程化为一般式，分别为和， 作差整理得，即为所求． 故选：B. 【变式5-1】（25-26高二上·陕西榆林·期中）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出圆心，再判断两圆位置关系，将两圆方程相减可判断选项； 【详解】圆圆心，半径为； 圆圆心，半径为； 因为，此时两圆相交， 将两圆方程相减得，即， 故两圆公共弦所在直线的方程为； 故选：D. 【变式5-2】（25-26高二上·江苏南京·期末）圆与圆的公共弦所在直线方程是______. 【答案】 【分析】由两圆的方程作差即可求出公共弦所在直线方程. 【详解】由，得，即， 又，两圆方程相减得，即， 所以两圆的公共弦所在直线方程是. 故答案为：. 【变式5-3】（24-25高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知两圆与相交于、两点，求它们的公共弦所在的直线方程． 【答案】 【分析】根据两个圆的方程，作差得出直线AB的方程. 【详解】两圆与相交于、两点， 两圆的方程作差可得 ， 所以公共弦所在的直线方程为：. 【题型06】两圆的公共弦长 【典例6-1】（24-25高二上·湖北·期中）圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先两圆相减求公共弦所在直线方程，再代入弦长公式，即可求解. 【详解】圆与圆，相减得， 圆心到直线的距离，又 则公共弦长为． 故选：C． 【变式6-1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知圆：与圆：相交于，两点，则弦的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出圆圆心坐标、半径，再求出直线的方程，再结合弦长公式即可求解. 【详解】圆：即圆：，圆心坐标、半径依次为， 圆：与圆：方程相减得，，即， 圆心到直线的距离为， 所以. 故选：B. 【变式6-2】圆与圆的公共弦长为______. 【答案】 【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长. 【详解】将圆与圆的方程作差可得， 所以，两圆相交弦所在直线的方程为， 圆的圆心为原点，半径为， 原点到直线的距离为， 所以，两圆的公共弦长为. 故答案为：. 【变式6-3】已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 【答案】 【分析】将两圆方程作差得到公共弦所在直线的方程，再利用点到直线距离公式和勾股定理求弦长即可. 【详解】将两圆方程作差得公共弦所在直线的方程， 圆，其圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，则两圆的公共弦长为． 【题型07】圆的公切线条数、方程和长 【典例7-1】（24-25高二上·江苏南通·期中）已知圆，圆，则与圆和都相切的直线的条数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断两圆的位置关系，即可得出结论. 【详解】由题意，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 圆心距为，所以，， 所以，两圆相交，故两圆的公切线条数为. 故选：B. 【变式7-1】（多选）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可. 【详解】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切，则两圆有三条公切线，如图，的中点为两圆外切切点， 当直线过的中点，且与垂直时， 因为，所以直线的方程为，即； 当直线与平行，且到的距离为时，设直线的方程为， 所以，解得或， 所以直线的方程为或． 故选：ABC． 【变式7-2】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【答案】2 【分析】由圆和圆的圆心和半径确定两圆位置关系，从而得到轴为与的一条公切线，确定与轴相切的点坐标，即可得公切线段的长度. 【详解】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 故答案为：2. 【变式7-3】（25-26高二上·江苏宿迁·阶段检测）已知圆O: 圆 (1)求圆O与圆M 的公共弦长： (2)求圆O与圆M的公切线的交点P的坐标，并求公切线方程. 【答案】(1) (2)，公切线方程为和. 【分析】（1）首先根据题意得到公共弦方程，再利用弦长公式求解即可. （2）首先判断两圆的位置关系得到圆和圆相交，根据图形得到为两圆的一条公切线，从而得到，再求另一条公切线即可. 【详解】（1）圆①，圆②， ①②得公共弦方程：. 到的距离， 则公共弦长为. （2）如图所示： 因为，， 所以圆和圆相交， 因为到的距离为，到的距离为， 所以为两圆的一条公切线. 因为，，所以， 设公切线为，即， 到的距离，解得， 即公切线方程为. 综上：，公切线方程为和. 知识点01两圆五种位置关系完整梳理（必考公式） 通过圆心距与半径和、半径差的大小关系判定： 1. 外离：，两圆无公共点，无交点 2. 外切：，两圆有且仅有一个公共点 3. 相交：，两圆有两个不同公共点 4. 内切：，两圆有且仅有一个公共点 5. 内含：，两圆无公共点，一圆完全在另一圆内部；时为同心圆 知识点02两圆相切核心考点（重点） 两圆相切分为外切、内切两类，均为单公共点，是本章高频题型，解题必须分类讨论。 1. 相切判定公式 外切： 内切： 2. 相切核心性质 无论外切、内切，两圆圆心、切点三点共线，该性质常用于求切点坐标、圆心轨迹问题。 3. 解题关键 题干仅说明“两圆相切”，未指明内外切时，必须同时讨论两种情况，极易漏解。 知识点03标准解题步骤（通用模板） 步骤1：定要素：从两圆方程中提取圆心坐标和半径 步骤2：求圆心距：利用两点间距离公式计算 步骤3：算定值：计算 与 步骤4：比大小：根据不等关系判定位置关系；相切问题分类求解参数 步骤5：验范围：半径为正数，舍去不合理的负根 知识点04高频易错点梳理 1. 混淆内切与外切公式：内切为半径差的绝对值，外切为半径和； 2. 相切问题漏解：默认只外切或只内切，未分类讨论； 3. 忽略半径取值范围：求解参数后未舍去负数半径； 4. 同心圆判定遗忘：且半径不等为内含，半径相等为重合圆； 5. 相交条件记反：必须同时满足大于半径差、小于半径和。 一、单选题 1．（25-26高二上·江苏·期中）两圆和的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【分析】根据两圆的圆心距与两圆的半径之和的关系，可得两圆的位置关系． 【详解】由圆可化为，则圆心，半径为； 由可化为，则圆心，半径为. 则，即两圆外切． 故选：D． 2．已知圆与圆交于、两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用垂径定理及勾股定理计算可得. 【详解】圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，，则两圆相交，其公共弦所在方程为， 点到的距离， 所以. 故选：A 3．（25-26高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，圆：与圆：的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求出圆心距，得到两圆相交，有两条公切线． 【详解】圆心，半径， ，故圆心，半径． 圆心距， 所以两圆相交，有两条公切线． 故选：B． 4．（25-26高二上·云南曲靖·阶段检测）圆与圆的公共弦长为（   ） A．2 B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，再求出圆心到公共弦的距离，由弦长即可求出两圆的公共弦长. 【详解】由，可得圆心的坐标为，半径， 由，可得圆心的坐标为，半径， 故，故圆与圆相交， 两圆方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为． 则圆心到公共弦的距离． 所以两圆的公共弦长为． 故选：A 5．（25-26高二上·江苏南京·期末）若圆与圆的公共弦长为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】圆：，圆：. 两式相减得公共弦所在直线方程：，即 圆圆心，半径，圆心到公共弦的距离 由公共弦长，得弦长一半为，由，即 解得，又，故. 代入圆：.得圆心，半径 圆心距，因为所以 所以两圆相交，存在公共弦，符合条件. 6．（25-26高二上·江苏常州·期中）若圆上总存在两个点到原点的距离均为2，则正实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】问题转化为圆与圆有两个交点，利用圆与圆的位置关系，即得所求的取值范围. 【详解】到原点的距离为2的点的轨迹为圆， 因此问题转化为圆与圆有两个交点， 易知，，，，， 所以，即， 解得或， 又因为 所以实数的取值范围为. 故选：A. 7．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）经过点以及圆与圆交点的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设过两圆交点的圆系方程，再将经过的点的坐标代入，求得所求圆的方程即可得圆心． 【详解】设经过两圆与交点的圆的方程为， 因为该圆经过点， 所以，解得， 所以，故圆心坐标为 故选：B. 8．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知圆与圆相交，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两圆相交的判断方法得到不等式组，解出即可. 【详解】由题知圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，． 若圆和圆相交，则，解得或． 故选：C． 二、多选题 9．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知圆O： ()与圆M：，则下列说法正确的有（ ） A．若，则两圆外切 B．若，直线为两圆的公切线 C．若，则两圆的公共弦所在直线方程为 D．若，则两圆外离 【答案】ABD 【分析】根据两圆外切的条件可判断A，根据切线定义判断B，根据两圆的公共弦的求法判断C，根据两圆外离条件判断D. 【详解】若r＝1，两圆心间距离为，即两圆心间距离等于两圆半径之和，故A对； 若r＝1，则两圆心到距离分别为，，即两圆心到距离分别为圆的半径，故B对； 若，则，，两式相减得两圆的公共弦所在直线方程为，故C错； 两圆心间距离为，因为两圆外离，所以，即，故D对 故选：ABD 10．（多选）已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．两圆相交 B．直线的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段的长为 【答案】ACD 【分析】对于AC，由两圆圆心距与两圆半径关系可得两圆位置关系；对于B，两圆方程相减可得直线的方程；对于D，由B分析可得到直线的距离，据此可得线段长度. 【详解】对于AC，圆的圆心是，半径为2；圆的圆心是，半径为1， 圆心距为，所以两圆相交，公切线有两条．故AC正确； 对于B，将两圆方程相减，整理得．故B不正确； 对于D，点到直线的距离为， 所以．故D正确. 故选：ACD 11．（25-26高二上·江苏盐城·期中）圆和圆的交点为，，则（    ） A．圆和圆的公切线有3条 B．两圆圆心距 C．公共弦的长为 D．公共弦所在直线的方程为 【答案】BC 【分析】把两圆分别化成标准方程，得到圆心和半径，求出圆心距即可判断B；把两圆方程相减得到公共弦所在直线的方程，即可判断D；判断两圆的位置关系，即可判断A；因为公共弦所在直线过圆心，所以公共弦的长等于，即可判断C． 【详解】圆化成标准方程， 则圆心，半径， 圆化成标准方程， 则圆心，半径， 故两圆圆心距，故B正确； 圆和圆， 将两方程相减得，即， 即公共弦所在直线的方程为，故D错误； 因为， 所以，则两圆相交， 所以圆和圆的公切线有2条，故A错误； 因为公共弦所在直线过圆心， 所以公共弦的长等于，故C正确． 故选：BC． 三、填空题 12．（24-25高二上·江苏无锡·阶段检测）写出一个同时满足下列条件①②的圆的方程：__________. ①与圆相切，②与x轴相切. 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用圆的标准方程和圆与圆的位置关系求解即可； 【详解】设圆的方程为， 由题意可得，整理可得， 可令，即， 故答案为：（答案不唯一）. 13．（2025高二上·江苏·专题练习）圆与圆的公切线条数为__________. 【答案】2 【分析】分别确定两圆的圆心坐标与半径，求得，的值，即可判断圆与圆的位置关系，从而可得圆与圆的公切线条数. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 则，， 所以，故圆相交，故两圆公切线条数为2. 故答案为：2. 14．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知圆与圆有且只有一个公共点，则的值为___________． 【答案】4或6 【分析】求出两圆的圆心距，根据两圆有且只有一个公共点的条件建立关于的不等式求解即可. 【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径为； 圆的圆心坐标为，半径为1， 则， 因为两圆有且仅有一个公共点，所以两圆的位置关系为外切或内切， 即或，则解得或6. 故答案为：4或6． 四、解答题 15．（2024高二·全国·专题练习）已知两圆和. (1)当a为何值时，两圆外切？ (2)当时，试判断两圆的位置关系. 【答案】(1)或 (2)两圆相交 【分析】（1）把两圆的一般方程转化为标准方程，在根据两圆外切的条件列式求解即可. （2）把代入方程直接判断两圆位置关系即可. 【详解】（1）将两圆的方程写成标准方程为， ，所以两圆的圆心和半径分别为 ，， 两圆的圆心距为， 当两圆外切时，，即，解得或. （2）当时，，所以两圆相交. 16．（25-26高二上·河南濮阳·期末）已知圆（，）过原点，且与直线相切. (1)求圆的方程； (2)判断圆与圆是否相交，若相交，请求出公共弦的长. 【答案】(1) (2)相交， 【分析】（1）利用圆过原点，以及直线与圆相切，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出圆的方程； （2）利用圆与圆的位置关系可判断出圆与圆相交，将两圆方程作差，可得出相交弦方程，再利用勾股定理可求出相交弦所在直线截圆所得弦长即可. 【详解】（1）圆过原点，，① 圆与直线相切，，② ①②联立，解得，，圆的方程为. （2）圆，圆心，半径. ， 圆与圆相交. 圆的方程与圆的方程相减，得公共弦所在直线方程为， 圆的圆心到公共弦所在直线的距离， 公共弦的长为. 17．（25-26高二上·贵州遵义·期末）在平面直角坐标系中，圆与两坐标轴都相切，且过点． (1)求圆的方程． (2)若圆与圆相交，求两圆的公共弦长． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设圆的方程为，将点代入，求得的值，即可求解； （2）根据圆与圆的位置关系的判定方法，得出两圆的位置关系，进而求得相交弦的方程， 【详解】（1）由题可设圆的方程为， 将点代入圆的方程，可得，解得或， 所以圆的方程为或． （2）当圆的方程为时，可得圆心，半径为， 又由圆，可得圆心，半径为， 则，可得，所以圆和圆相交，符合题意， 设两圆交于，两点， 由圆，可化为 联立方程组，两式相减，可得， 即的直线方程为，所以点到直线的距离， 根据圆的弦长公式，可得； 当圆的方程为时，可得圆心，半径为， 可得，此时，两圆相离，不符合题意． 综上可得，圆与圆的公共弦长为． 18．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知圆，圆． (1)若圆与圆恰有条公切线，求实数的取值范围； (2)当时，圆与圆相交于两点，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两圆公切线条数判定两圆相交，根据相交的充要条件列出不等式求解. （2）将两圆方程相减得相交弦的方程，再由圆的弦长公式求公共弦长，最后根据面积公式求值即可. 【详解】（1）因为圆与圆恰有条公切线， 所以圆与圆相交， 又圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径 所以， 故，所以， 解得； （2）当时，圆的方程可化成， 所以， 所以， 因为圆与圆相交于两点， 所以所在的直线方程为， 化简得：， 所以到直线的距离为， 所以， 又， 所以四边形的面积为 19．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知圆与圆． (1)若圆与圆有两个不同的交点，求的取值范围； (2)若，且圆与圆有两个不同的交点，，求直线的方程； (3)若，求圆与圆的公切线方程． 【答案】(1)； (2)； (3)，，. 【分析】（1）求出两圆的圆心距，再利用两圆相交的充要条件列式求解即得. （2）将两圆方程相减求得公共弦所在直线的方程. （3）设出公切线方程，利用点到直线的距离公式列出方程组并求解即可. 【详解】（1）圆的圆心，半径；圆的圆心，半径， ，由圆与圆有两个不同的交点，得，解得， 所以的取值范围是. （2）当时，由（1）知，圆与圆相交，由， 消去二次项得，所以直线的方程是. （3）当时，，即圆与圆外切，圆与圆有1条内公切线，2条外公切线， 显然切线的斜率存在，设方程为，则， 整理得或，解，得 解，得或， 因此内公切线的方程为，即； 外公切线的方程为，的方程为，即， 所以圆与圆的公切线方程为，，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $