第04讲 两条直线的交点（2大知识点+6大题型）（讲义）-2026年新高二数学暑假进阶精品讲义（苏教版2019）

第04讲 两条直线的交点 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：直线的交点 3 知识点二：过两条直线交点的直线系方程 3 03 题型精讲举一反三 4 题型一：求直线交点 4 题型二：由解数判定直线位置关系 4 题型三：由交点个数求参数 5 题型四：由交点坐标求参数 7 题型五：三线构三角形判定 7 题型六：直线交点系方程 7 04 过关测试 9 知识点一：直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 知识点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 知识点二：过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 题型一：求直线交点 例1．（2026·高二·湖南长沙·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 例2．（2026·高二·安徽滁州·阶段检测）直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·高二·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式1．（2026·高二·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·高二·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 变式3．直线和交于点，则过点、的直线方程是（   ） A． B． C． D． 题型二：由解数判定直线位置关系 例4．判断下列各对直线是否平行： (1)； (2)； (3)； (4)． 例5．判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标． (1)直线； (2)直线． 例6．分别判断下列直线与是否相交．如果相交，求出交点的坐标． (1)，； (2)，； (3)，． 变式4．分别判断下列两条直线的位置关系.如果相交，求出它们的交点坐标. (1)，； (2)，. 变式5．判断下列直线是否相交，若相交，求出交点的坐标. (1)，； (2)，. 题型三：由交点个数求参数 例7．已知直线，直线，根据下列条件分别求实数的值： (1)与相交； (2)与平行； (3)与重合. 例8．三条直线､､有且只有两个交点，求实数的值. 例9．已知两条直线和，试分别确定的值，使： (1)与相交于一点； (2)且过点； (3)且l1在y轴上的截距为. 变式6．已知三条直线，，. （1）若直线，，交于一点，求实数的值； （2）若直线，，不能围成三角形，求实数的值. 变式7．（2026·高三·江西宜春·阶段检测）过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：和l2：截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程. 题型四：由交点坐标求参数 例10．（2026·高二·浙江绍兴·期中）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 例11．（2026·高二·山东济南·期中）若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例12．（2026·高二·河北保定·期中）若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式8．三条直线相交于两点.已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型五：三线构三角形判定 例13．（2026·高二·湖南衡阳·阶段检测）三条直线与能围成三角形，则实数的取值集合为__________. 例14．（2026·高二·天津·阶段检测）两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是_____． 例15．（2026·高二·江苏镇江·阶段检测）若三条直线，，不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为_____. 变式9．（2026·高二·全国·单元测试）已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为___________． 变式10．（2026·高二·福建莆田·期末）已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值_________． 题型六：直线交点系方程 例16．（2026·高二·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为_______________．（写成一般式） 例17．（2026·高二·湖北武汉·阶段检测）过两直线和的交点且过原点的直线方程为________． 例18．（2026·高二·安徽六安·期中）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为_________ . 变式11．经过点和两直线；交点的直线方程为_________. 变式12．若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为______． 1．（2026·高二·江苏南京·期中）若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东·模拟预测）已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．2 D．1 3．（2026·高二·广西南宁·阶段检测）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，，则的欧拉线方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·高二·广东·期中）已知直线：与直线：交于点，则（   ） A．点为定点 B．直线可能同时经过第三、四象限 C．直线可能不经过第三象限 D．存在定点，使得为定值 5．（2026·高二·贵州贵阳·阶段检测）若直线l经过两条直线和的交点，且垂直于直线；则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·高二·山西·期中）在中，点A的坐标为,边的中线所在的直线方程为，边的高线所在的直线方程为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·高二·福建福州·期中）过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·高二·湖北襄阳·期中）瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高二·河北邢台·期中）以下四个命题是真命题的是（   ） A．直线恒过定点 B．若直线：与：互相垂直，则 C．已知直线：与：平行，则 D．过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线方程为或 10．（多选题）（2026·高二·江苏无锡·期中）下列说法正确的是（   ） A．直线在轴上的截距为 B．若三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值集合为 C．过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为 D．过，两点的直线方程为 11．（多选题）（2026·高二·河南新乡·期中）已知直线，直线m在x轴上的截距为，且，则下列说法正确的有（    ） A．直线l在y轴上的截距为 B．向量是直线m的方向向量 C．直线l与m的交点坐标为 D．直线l，m与x轴围成的三角形的面积为 12．方程的图象与轴围成的图形的面积是___. 13．（2026·高二·安徽黄山·阶段检测）过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____. 14．（2026·高二·甘肃张掖·阶段检测）已知的顶点，高所在直线方程为，角B的平分线所在直线方程为，则边所在直线方程________. 15．（2026·高二·重庆·阶段检测）经过点和两直线，交点的直线方程为______________ 16．（2026·高二·广东中山·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． 17．（2026·高二·山东淄博·期中）在中，，直线的斜率为2，直线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求点A关于直线BC的对称点的坐标 (3)若，求的高所在直线的方程 18．（2026·高二·江苏常州·阶段检测）直线经过两直线和的交点. (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程； (3)若直线与直线垂直，求直线与坐标轴围成的三角形周长. 19．（2026·高二·广西百色·期末）已知直线：，：，其中m为实数. (1)当，求实数m的值. (2)当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 20．（2026·高二·福建泉州·期中）已知直线. (1)证明：直线恒过定点，并求该点坐标. (2)若直线与轴的交点的横坐标与其在轴上的截距相等，求的值； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设三角形的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 21．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知直线. (1)求直线过定点的坐标； (2)若直线被两平行直线：与：所截得的线段的中点恰好在直线上，求的值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 两条直线的交点 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：直线的交点 3 知识点二：过两条直线交点的直线系方程 3 03 题型精讲举一反三 4 题型一：求直线交点 4 题型二：由解数判定直线位置关系 6 题型三：由交点个数求参数 8 题型四：由交点坐标求参数 10 题型五：三线构三角形判定 11 题型六：直线交点系方程 14 04 过关测试 16 知识点一：直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 知识点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 知识点二：过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 题型一：求直线交点 例1．（2026·高二·湖南长沙·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】显然时不合题意，则直线的斜率为，直线的斜率为， 因为两条直线垂直，所以，解得， 联立可得，解得，即两条直线的交点坐标为. 例2．（2026·高二·安徽滁州·阶段检测）直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线经过两条直线和的交点， 由， 可得交点为， 直线与直线垂直， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 即． 故选:B． 例3．（2026·高二·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】由，解得， 即两条直线的交点坐标为， 所以两条直线的交点所在的象限是第二象限， 故选：B 变式1．（2026·高二·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由直线与互相垂直，可得，解得， 将代入直线，得到， 联立方程组，解得，交点坐标为. 故选：C 变式2．（2026·高二·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】联立，可得，所以与的交点为， 又因为与直线平行，所以设直线为， 代入得，所以， 所以直线的方程为，满足题设. 故选：A 变式3．直线和交于点，则过点、的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为点在直线和上， 所以有，从而点、均满足， 故过点、的直线方程是即. 题型二：由解数判定直线位置关系 例4．判断下列各对直线是否平行： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）∵， ∴平行； （2）即直线， ∵， ∴平行； （3）即直线， ∴平行； （4）∵， ∴不平行. 例5．判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标． (1)直线； (2)直线． 【解析】（1）联立，解得， 所以两直线相交，交点坐标为. （2）当时，，， 联立，方程组有无数组解，故两直线重合， 当时，，， 联立，方程组无解，故两直线平行， 当，联立，解得， 所以两直线相交，交点坐标为. 综上所述：当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交，交点坐标为. 例6．分别判断下列直线与是否相交．如果相交，求出交点的坐标． (1)，； (2)，； (3)，． 【解析】（1）解方程组，得， 所以与相交，交点坐标为． （2）解方程组，方程组无解， 所以与无公共点，即与不相交． （3）解方程组， 因为方程可化为， 所以方程组有无数组解， 所以与有无数个公共点，即与不相交． 变式4．分别判断下列两条直线的位置关系.如果相交，求出它们的交点坐标. (1)，； (2)，. 【解析】（1）因为，， 联立，解得， 所以与相交，交点坐标为. （2）因为，可化为， 联立，两式相减得，显然不成立，故方程组无解， 所以与平行. 变式5．判断下列直线是否相交，若相交，求出交点的坐标. (1)，； (2)，. 【解析】（1）解方程组，得， 所以这两条直线相交，交点坐标是. （2）由化为方程可知， 所以有无数多个解， 故与重合， 题型三：由交点个数求参数 例7．已知直线，直线，根据下列条件分别求实数的值： (1)与相交； (2)与平行； (3)与重合. 【解析】（1）已知，直线， 若与相交，则，即，解得且. （2）已知，直线， 若与平行，则，即，解得. （3）已知，直线， 若与重合，则，即，解得. 例8．三条直线､､有且只有两个交点，求实数的值. 【解析】由得：，即有一个交点，或； 即或，解得：或. 例9．已知两条直线和，试分别确定的值，使： (1)与相交于一点； (2)且过点； (3)且l1在y轴上的截距为. 【解析】（1）由于与相交于一点，故把点代入的方程 可得，联立解得. （2）当时，可得和，此时不满足； 当时，因为且过点，可得， 解得或. （3）由且l1在y轴上的截距为，可得，解得. 变式6．已知三条直线，，. （1）若直线，，交于一点，求实数的值； （2）若直线，，不能围成三角形，求实数的值. 【解析】（1）∵直线，，交于一点， ∴与不平行，∴， 由，得， 即与的交点为， 代入的方程，得， 解得或. （2）若，，交于一点，则或； 若，则； 若，则； 若，则不存在满足条件的实数. 综上，可得或或4或. 变式7．（2026·高三·江西宜春·阶段检测）过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：和l2：截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程. 【解析】设l1与l的交点为A(a，8-2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(-a，2a-6)在l2上， 代入l2的方程得:-a-3(2a-6)＋10＝0，解得a＝4， 即点A(4，0)在直线l上， ∴直线l的方程为即x＋4y-4＝0. 题型四：由交点坐标求参数 例10．（2026·高二·浙江绍兴·期中）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】联立，可得，即交点为， 由题意. 故选：B 例11．（2026·高二·山东济南·期中）若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解析】联立方程，解得， 可知：直线的斜率为，的斜率为，且直线、的交点为， 若三条直线不能围成三角形，则直线与直线或直线平行，或直线过点， 可知直线的斜率存在，且为， 可得或或，解得或或， 所以实数的取值最多有3个. 故选：B. 例12．（2026·高二·河北保定·期中）若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得， 因为两直线的交点在第一象限，所以， 解得：. 故选：B. 变式8．三条直线相交于两点.已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】联立，解得， 所以是直线上的点， 代入直线得，解得. 故选：B. 题型五：三线构三角形判定 例13．（2026·高二·湖南衡阳·阶段检测）三条直线与能围成三角形，则实数的取值集合为__________. 【答案】且且 【解析】当三条直线交于一点或有两条直线平行或重合时，这三条直线不能围成三角形． 若三条直线交于一点，由，得直线，交点坐标为， 把代入到直线，得； 若直线平行，则可得， 若直线平行，可得， 所以或． 综上，且且时，直线与能围成三角形, 故答案为：且且 例14．（2026·高二·天津·阶段检测）两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是_____． 【答案】且 【解析】由得：， 联立，得， 所以直线过定点， 因为，所以不在直线上， 直线与轴相交于原点， 直线的斜率为，直线的斜率为. 因为两直线与轴相交且能构成三角形， 所以，直线不能经过原点，∴； 直线与轴不能平行，∴，即； 直线与直线不能平行，∴，即， 综上得满足的条件是：且． 故答案为：且． 例15．（2026·高二·江苏镇江·阶段检测）若三条直线，，不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为_____. 【答案】 【解析】当三条直线，，交于同一点时，不能构成三角形， 联立，解得，将代入得，解得； 当与平行时，不能构成三角形，此时； 当与平行时，不能构成三角形，此时； 综上，实数所有可能的取值组成的集合为. 故答案为： 变式9．（2026·高二·全国·单元测试）已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为___________． 【答案】/ 【解析】设直线与直线的交点分别为，且，则由题意可知，点关于点的对称点在上,所以，解得， 所以，所以． 因为直线过点，所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即． 联立的方程得解得的交点坐标为． 因为点到直线的距离， 所以这三条直线围成的三角形面积为． 故答案为：． 变式10．（2026·高二·福建莆田·期末）已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值_________． 【答案】 【解析】由解得，所以的交点坐标为， 过定点， 若直线不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行， 当经过点时，，解得； 当与平行时，，解得； 当与平行时，，解得. 故的值为. 故答案为：（只需写出其中一个即可）. 题型六：直线交点系方程 例16．（2026·高二·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为_______________．（写成一般式） 【答案】 【解析】由题设，令直线的方程为，且直线过， 所以，故直线的方程为. 故答案为： 例17．（2026·高二·湖北武汉·阶段检测）过两直线和的交点且过原点的直线方程为________． 【答案】 【解析】令所求直线为， 又直线过原点，则， 所以所求直线为. 故答案为： 例18．（2026·高二·安徽六安·期中）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为_________ . 【答案】 【解析】依题意两直线和的交点为， 所以在直线上， 所以过两点所在直线方程为. 故答案为： 变式11．经过点和两直线；交点的直线方程为_________. 【答案】 【解析】设所求直线方程为， 点在直线上， ， 解得， 所求直线方程为，即． 故答案为：. 变式12．若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为______． 【答案】 【解析】设直线l的方程为（其中为常数），即 ①． 又直线l的斜率为，则，解得． 将代入①式并整理，得，此即所求直线l的方程． 故答案为：. 1．（2026·高二·江苏南京·期中）若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由条件可知，，， 且，两式相加得， 即，得， 点是直线和的交点，所以，     所以点满足直线，即直线方程为， ，与直线垂直的直线方程的斜率为， 所以中垂线方程为，整理为. 故选：A 2．（2026·广东·模拟预测）已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．2 D．1 【答案】A 【解析】因为直线，，能构成三角形， 所以不平行于且不平行于且，，不共点， 当不平行于时，可得， 当不平行于时，可得， 当，，不共点时，由，解得， 所以，解得， 所以且且，所以， 所以的子集个数为. 3．（2026·高二·广西南宁·阶段检测）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，，则的欧拉线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以的重心，即， 又因为，，所以， 所以，所以的外心为的中点，即， 所以直线的方程为，即， 又三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上， 所以的欧拉线方程为. 故选：B. 4．（2026·高二·广东·期中）已知直线：与直线：交于点，则（   ） A．点为定点 B．直线可能同时经过第三、四象限 C．直线可能不经过第三象限 D．存在定点，使得为定值 【答案】D 【解析】联立，可得，显然点随的变化而变动，故A错误； 直线的方程可化为，该直线经过点在轴的正半轴上，不可能同时经过第三、四象限，故B错误； 直线的方程可化为，该直线经过点在第三象限，直线经过第三象限，故C错误； 当时，；当时，，则，所以， 则，取的中点，则为定值，故D正确. 故选：D. 5．（2026·高二·贵州贵阳·阶段检测）若直线l经过两条直线和的交点，且垂直于直线；则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 所以两直线交点为， 又与直线垂直，所以设l， 将代入得， 所以直线l的方程为， 故选：B. 6．（2026·高二·山西·期中）在中，点A的坐标为,边的中线所在的直线方程为，边的高线所在的直线方程为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 设点,线段的中点为,则. 因为点必在的高线上，故有； 因为边的中线所在直线方程为上,即点在该直线方程上,故有. 联立,解得. 即点. 故选：B. 7．（2026·高二·福建福州·期中）过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，∴交点坐标为． 设与直线平行的直线方程为， 把点的坐标代入，得，解得， ∴所求直线方程为， 故选：A. 8．（2026·高二·湖北襄阳·期中）瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知：的重心坐标为， ,， 所以边上的高所在直线为：， 所以边上的高所在直线为：， 联立两直线得：， 所以的垂心坐标为， 所以的欧拉线方程为：. 故选：D. 9．（多选题）（2026·高二·河北邢台·期中）以下四个命题是真命题的是（   ） A．直线恒过定点 B．若直线：与：互相垂直，则 C．已知直线：与：平行，则 D．过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线方程为或 【答案】BD 【解析】对于A，可化为， 令 ，解得定点为， 直线恒过定点，所以A错误． 对于B，若，则，解得，所以B正确． 对于C，若，则，解得或， 当时，：，：，所以符合题意， 当时，：，：，所以符合题意，所以C错误． 对于D，当直线过原点时，方程为，即； 当直线不过原点时，设直线方程为， 又因为过点，所以，解得， 所以直线方程为，故D正确． 故选：BD 10．（多选题）（2026·高二·江苏无锡·期中）下列说法正确的是（   ） A．直线在轴上的截距为 B．若三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值集合为 C．过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为 D．过，两点的直线方程为 【答案】AD 【解析】由直线的截距式方程可知直线在轴上的截距为，故A选项正确； 当直线与直线平行，即时三条直线不能构成三角形， 当直线与直线平行，即时三条直线不能构成三角形， 当三条直线相交于同一点时此三条直线不能构成三角形，联立解得，把点代入直线可得，所以实数a的取值集合为，故B选项错误； 过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为和，故C选项错误； 由直线的两点式方程变形可得出过，两点的直线方程为，故D选项正确； 故选：AD 11．（多选题）（2026·高二·河南新乡·期中）已知直线，直线m在x轴上的截距为，且，则下列说法正确的有（    ） A．直线l在y轴上的截距为 B．向量是直线m的方向向量 C．直线l与m的交点坐标为 D．直线l，m与x轴围成的三角形的面积为 【答案】BCD 【解析】对于A，由直线，令，得， 所以直线l在y轴上的截距为2，故A错误； 对于B，由直线，则直线l的斜率为， 因为，所以直线m的斜率为， 所以直线m的方向向量可以是， 因为，所以是直线m的方向向量，故B正确； 对于C，由题意知，直线m过点， 所以直线m的方程为，即， 联立，解得， 所以直线l与m的交点坐标为，故C正确； 对于D，设直线l，m与x轴的交点分别为A，B，直线l与m的交点为C， 则直线l，m与x轴围成的三角形即， 由直线，令，得，则， 由题意及C选项的分析可设，，所以， 则的面积，故D正确. 故选：BCD. 12．方程的图象与轴围成的图形的面积是___. 【答案】 【解析】由可得， ， 或. 即原方程的图象与轴围成的图形是三角形. 直线与交点为. 又直线与在轴上的截距分别为. 则围成的图形面积为 故答案为： 13．（2026·高二·安徽黄山·阶段检测）过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____. 【答案】或 【解析】由，解得，即两直线交点坐标为， 若所求直线在两坐标轴上截距为0，则该直线经过原点和， 方程为，整理得； 若所求直线在两坐标轴上截距不为0，则该直线方程可设为， 将点坐标代入方程可得，所以此时直线方程为， 整理得， 综上，所求直线方程为或. 故答案为：或. 14．（2026·高二·甘肃张掖·阶段检测）已知的顶点，高所在直线方程为，角B的平分线所在直线方程为，则边所在直线方程________. 【答案】. 【解析】的顶点，高所在直线方程为， 角B的平分线所在直线方程为， 直线的斜率， 直线的方程为:，即， 联立，得， B点坐标为; ，，角B的平分线所在直线方程为， ， ，解得或（舍）， 直线的方程为:，即. 故答案为:. 15．（2026·高二·重庆·阶段检测）经过点和两直线，交点的直线方程为______________ 【答案】 【解析】联立方程组，解得， 即的交点坐标为， 则过点和点的直线，即， 故答案为： 16．（2026·高二·广东中山·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． 【解析】（1）因为边上的高所在直线方程为， 所以,解得：. 所以直线的方程为，即. 由解得：，即. （2）因为点C在直线上，所以可设，则中点为. 把代入直线：， 有，解得：，所以. 又∵，∴，即， 所以BC所在直线方程为：． 17．（2026·高二·山东淄博·期中）在中，，直线的斜率为2，直线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求点A关于直线BC的对称点的坐标 (3)若，求的高所在直线的方程 【解析】（1）由已知得直线AB的方程为：，即 . （2）设， 因为直线的方程为，斜率为 ， 故斜率为 7，即， 因为中点在直线上， 所以，解得 所以. （3）解方程组，解得，所以， 又因为，所以中点， 又因为高线CD的斜率为， 所以CD所在直线的方程为，即. 18．（2026·高二·江苏常州·阶段检测）直线经过两直线和的交点. (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程； (3)若直线与直线垂直，求直线与坐标轴围成的三角形周长. 【解析】（1）由题意联立，解得，即直线过点， 设与直线平行的直线的方程为且， 将点代入可得，解得， 所以直线的方程为； （2）由（1）直线过点， ①横纵截距均为0时，设直线方程为， 即，解得，即； ②横纵截距均不为零时，设横截距为，则纵截距为，则直线方程为， 将代入得，则， 则直线方程为，即； 综上，直线的方程为或. （3）由（1）直线过点， 由直线和题意可设直线的方程为， 将点代入可得，可得，即直线的方程为， 令，可得；令，可得， 即直线在，轴上的交点分别为，， 所以，又，， 所以直线与坐标轴围成的三角形周长为. 19．（2026·高二·广西百色·期末）已知直线：，：，其中m为实数. (1)当，求实数m的值. (2)当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 【解析】（1）∵， ， 解得 ; （2）当时，直线的方程为：， ∴，解得， ∴两条直线的交点， 又因为所求直线垂直于，设所求直线的方程为， 将代入可得，解得， ∴直线方程. 20．（2026·高二·福建泉州·期中）已知直线. (1)证明：直线恒过定点，并求该点坐标. (2)若直线与轴的交点的横坐标与其在轴上的截距相等，求的值； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设三角形的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 【解析】（1）直线l的方程可化为，所以直线l恒过定点. （2）当时，直线的方程为，与轴无交点，不符合题意； 当时，直线的方程为， 令，则， 令，则， 由题意得，即， 即，解得或，经检验，均成立. 所以的值为或. （3）由题意可知，由（2）知，， 故， 当且仅当，即时，取等号， 故的最小值为16，此时直线的方程为. 21．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知直线. (1)求直线过定点的坐标； (2)若直线被两平行直线：与：所截得的线段的中点恰好在直线上，求的值. 【解析】（1）由直线，可化为， 联立方程组，解得， 所以直线恒过定点. （2）设直线分别与直线交于两点， 由，解得，即， 又由，解得，即， 所以的中点的坐标为， 不妨设点在直线上，点在直线上，则，所以， 所以为的中点，将点代入直线的方程， 可得，解得. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $