3.6 课时 一次函数的应用 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦一次函数的应用，通过“跑步比赛路程时间关系”情境导入，结合函数图象分析速度与相遇问题，衔接一次函数图象知识，为后续数据建模提供学习支架。 其亮点在于以奥运会撑竿跳高数据、出租车计费等生活实例为载体，引导学生经历“数据分析-建模验证-预测反思”过程，培养模型意识与推理能力。采用问题驱动教学，总结建模步骤与分段函数要点，助力学生提升数学应用能力，也为教师提供清晰的教学路径。

3.6 一次函数的应用 课时2 一次函数的应用 第3章 一次函数 22051 1.能根据已有数据，建立一次函数模型并作出合理预测； 2.通过函数图象获取信息，进一步训练学生的识图能力，培养学生的数形结合意识； 3.能利用函数图象解决实际问题，进一步发展学生的数学应用能力. 22051 情境导入 王大强和张小勇两人比赛跑步，路程和时间的关系如图：根据图象回答下列问题： （1）王大强和张小勇谁跑得快？ 王大强：100÷18≈5.56(m/s). 张小勇：80÷18≈4.44(m/s). 5.56＞4.44，故王大强跑得快. （2）出发几秒后两人相遇？ 由图可知，出发18s后两人相遇. 22051 探索新知 在第二、三、四届奥运会比赛中，男子撑竿跳高的纪录如下表所示： 观察表中的数据，为上述三届奥运会比赛男子撑竿跳高记录与所在年份的关系建立一个函数模型. 年份 1900 1904 1908 高度/m 3.3 3.5 3.71 22051 上表中每一届的记录比上一届都大约提高了0.2m，于是可以尝试建立一次函数模型来刻画. 用t表示从1900年起增加的年份，那么可以设奥运会男子撑竿跳高的纪录y(m)与t之间的一次函数表达式为y=kt+b（k，b为常数，k≠0）. 年份 1900 1904 1908 高度/m 3.3 3.5 3.71 22051 由于t＝0(即1900年)时，男子撑竿跳高的纪录为3.3m，t＝4(即1904年)时，纪录为3.5m，因此 解得b=3.3，k=0.05. 于是y=0.05t+3.3. ① 当t=8时，y=3.7，这说明1908年奥运会的男子撑竿跳高纪录基本符合①式. 22051 探究1 在第二、三、四届奥运会比赛中，男子撑竿跳高的纪录如下表所示： 问题1：观察表格中的数据你发现了什么？得到了什么结论？ +4 +4 +0.2 因变量随自变量的变化是均匀的. 男子撑竿跳高纪录与所在年份的关系可以尝试建立一次函数模型来刻画. 接近+0.2 22051 问题2：如何求这个函数表达式呢？ 待定系数法 用t表示从 1900 年起增加的年份，那么可以设奥运会男子撑竿跳高的纪录y（m）与t之间的一次函数表达式为y = kt+ b（k，b为常数，k ≠ 0）. 由于 t= 0（即 1900年）时，男子撑竿跳高的纪录为 3.3 m，t= 4（即 1904年）时，纪录为3. 5 m，因此 b = 3.3， 4k + b = 3.5, 解得 b=3.3，k=0.05. 所以 y=0.05t+3.3. 问题3：当t=8时，奥运会的男子撑竿跳高纪录符合这个函数表达式吗？当t=12时,男子撑竿跳高纪录是多少？符合表达式吗？ 当t=8时，y=3.7，基本符合.当t=12时，y=3.9，经查询，1912年奥运会的男子撑竿跳高纪录为3.95m，也基本符合. 22051 思考：用y=0.05t+3.3估计1988年奥运会的男子撑竿跳高纪录，你有什么发现？ 当t= 88时，可得y= 0.05×88+ 3.3= 7.7. 经查询可知，1988 年奥运会的男子撑竿跳高纪录是 5.90 m，我们发现这个数据远低于7.7m. 用所建立的函数模型远离已知数据作预测是不可靠的. 22051 探究新知 建模预测问题 1 在第二、三、四届奥运会比赛中，男子撑竿跳高的纪录如下表所示： 观察表中的数据，为上述三届奥运会比赛男子撑竿跳高记录与所在年份的关系建立一个函数模型. 年份 1900 1904 1908 高度/m 3.3 3.5 3.71 +4 +4 +0.2 接近+0.2 尝试建立一次函数模型，刻画男子撑竿跳高纪录与所在年份的关系 22051 解：用t表示从 1900 年起增加的年份，那么可以设奥运会男子撑竿跳高的纪录y（m）与t之间的一次函数表达式为y = kt + b （k，b为常数，k ≠ 0）. 由于 t = 0（即 1900年）时，男子撑竿跳高的纪录为 3.3 m， t = 4（即 1904年）时，纪录为3. 5 m，因此 b = 3.3， 4k + b = 3.5. 解得 b=3.3，k=0.05. 于是 y=0.05t+3.3. 当t =8，12时，奥运会的男子撑竿跳高纪录符合这个函数表达式吗？ 1912年奥运会的男子撑竿跳高纪录为3.95m 当t = 8时，y = 3.7 当t = 12时，y = 3.9 基本符合 基本符合 22051 （1）利用上式估计1988年奥运会的男子撑竿跳高纪录. （2）查阅相关纪录，与（1）中结果比较，你能发现什么？ （1）由于t=88，可得y=0.05×88+3.3=7.7. （2）经查询可知，1988年奥运会的男子撑竿跳高纪录是5.90m， 远低于7.7m. 这表明：用所建立的函数模型远离已知数据作预测是不可靠的． y=0.05t+3.3. 22051 当t=12时，y=3.9，经查询可知，1912年奥运会的男子撑竿跳高纪录为3.95m，这一纪录也接近符合①式. 由于t＝0(即1900年)时，男子撑竿跳高的纪录为3.3m，t＝4(即1904年)时，纪录为3.5m，因此 解得b=3.3，k=0.05. 于是y=0.05t+3.3. ① 22051 于是，①式可以大致反映上述三届奥运会男子撑竿跳高纪录与所在年份之间的函数关系． 由于t＝0(即1900年)时，男子撑竿跳高的纪录为3.3m，t＝4(即1904年)时，纪录为3.5m，因此 解得b=3.3，k=0.05. 于是y=0.05t+3.3. ① 22051 1.分析数据，找出自变量和因变量，发现对应关系； 2.抽象出函数表达式； 3.验证并化简函数表达式，得出问题的变化规律. 通过建立函数模型，对变量的变化情况进行预测问题的解题步骤： 22051 探究2 某市出租车的计费方法如图所示，x(km)表示出租车行驶的里程，y(元)表示打车的费用. 问题1：若某乘客的乘车里程为2.5 km，则他需要付的打车费是多少元? 观察图象可知，当乘客的乘车里程x≤3时，打车的费用均为 8元，所以若某乘客的乘车里程为2.5 km，则他需要付的打车费是8元. 22051 例2 某地为保护环境，鼓励节约用电，实行阶梯电价制度，规定： 每户居民每月用电量不超过200kW·h时，按0.6元/(kW·h)收费； 若超过200kW·h，则超出部分每1kW·h加收0.3元. （1）写出某户居民某月应缴纳的电费y(元)与用电量x(kW·h)之间的函数表达式； （2）画出这个函数的图象； （3）小玲家3月份、4月份分别用电150kW·h和220kW·h，各应缴纳电费多少元？ 2 分段函数 22051 （1）写出某户居民某月应缴纳的电费y(元)与用电量x(kW·h)之间的函数表达式； 解 （1）由生活常识可知，电费与用电量相关. 当0≤x≤200时，y=0.6x； 当x＞200时， y=200×0.6+(x-200)×(0.6+0.3)=0.9x-60. y与x之间的函数表达式也可以合起来表示为 此类函数称为分段函数 写分段函数解析式时，自变量的取值范围写在相应函数解析式的后面 22051 （2）该函数的图象如图所示. 该函数图象由两个一次函数的图象拼接在一起. （3）当x=150时，y=0.6×150=90，故小玲家3月份应缴纳电费90元. 当x=220时，y=0.9×220-60=138，故小玲家4月份应缴纳电费138元. 22051 （1）利用①式估计1988年奥运会的男子撑竿跳高纪录.（2）查阅相关纪录，与（1）中结果比较，你能发现什么？ （1）由于t=88，由①式可得y=0.05×88+3.3=7.7. （2）经查询可知，1988年奥运会的男子撑竿跳高纪录是5.90m， 远低于7.7m. 这表明：用所建立的函数模型远离已知数据作预测是不可靠的． 22051 总结归纳 通过建立函数模型，对变量的变化情况进行预测问题的解题步骤： 1.分析数据，找出自变量和因变量，发现对应关系； 2.抽象出函数表达式； 3.验证并化简函数表达式，得出问题的变化规律. 22051 问题2：当x≥3时，求y与x之间的函数关系式. 问题3：若某乘客一次打车付费36元，求这位乘客的乘车里程. 当x≥3时,y与x之间的函数关系式为y=kx+b. ∵点(3，8)，(5，12)在该函数的图象上， ∴ 解得 ∴当x≥3时，y与x之间的函数关系式为y=2x+2. ∵32元＞8元，∴当y=32时，32=2x+2，解得x=15. 所以这位乘客的乘车里程是15 km. 22051 思考：上述问题中的函数由几段组成？你能写出该函数的函数关系式吗？ 由两段组成，一条水平线段和一条射线. 分两段讨论：当0＜x≤3时，y=8；当x≥3时，y=2x+2. 所以 注意写出自变量的取值范围 22051 1.分段函数要根据自变量的取值范围分段描述. 2.分段函数是一个函数而不是多个函数，求出的分段函数解析式必须写出自变量的取值范围. 22051 为全面推进乡村振兴，拓宽农民增收致富渠道，某村通过种植优质荔枝新品种，实现荔枝品牌化发展，助推村民增收致富.该村张师傅驾车运送荔枝到某地出售，汽车出发前油箱里有油 50 L，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中剩 余油量y(L)与行驶时间 t(h) 之间的关系如图所示. （1）汽车行驶_____h后加油， 中途加油_____L. 3 31 【课本P116 练习 】 22051 （2）求加油前油箱剩余油量 y 与行驶时间 t 的函数解析式. y = -12t + 50（0 ≤ t ≤ 3） （3）已知加油前、后汽车都以70 km/h 匀速行驶，如果加油站距目的地210 km，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由. 够用，理由： 由图可知，汽车每小时用油（50-14）÷3=12（L）.到达目的地需油210÷70×12=36（L）.因为45>36，所以油箱中的油够用. 22051 例2 某地为保护环境，鼓励节约用电，实行阶梯电价制度，规定：每户居民每月用电量不超过200kW·h时，按0.6元/(kW·h)收费；若超过200kW·h，则超出部分每1kW·h加收0.3元. （1）写出某户居民某月应缴纳的电费y(元)与用电量x(kW·h)之间的函数表达式； （2）画出这个函数的图象； （3）小玲家3月份、4月份分别用电150kW·h和220kW·h，各应缴纳电费多少元？ 22051 （1）写出某户居民某月应缴纳的电费y(元)与用电量x(kW·h)之间的函数表达式； 解 （1）由生活常识可知，电费与用电量相关. 当0≤x≤200时，y=0.6x； 当x＞200时， y=200×0.6+(x-200)×(0.6+0.3)=0.9x-60. y与x之间的函数表达式也可以合起来表示为 22051 （2）该函数的图象如图所示. 该函数图象由两个一次函数的图象拼接在一起. （2）画出这个函数的图象； 22051 例1 某地为保护环境，鼓励节约用电，实行阶梯电价制度，规定：每户居民每月用电量不超过 200 kW · h 时，按 0. 6 元/（kW · h）收费；若超过200 kW · h，则超出部分每1 kW · h加收0. 3元. (1)写出某户居民某月应缴纳的电费 y(元)与用电量 x(kW · h)之间的函数表达式； 解：（1）当0≤x≤200时， y=0.6x； 当x＞200时， y = 200×0.6+（x -200）×（0.6+0.3）= 0.9x-60. y与x的函数表达式也可以合起来表示为 y = 0.9x-60 （x＞200）. 0.6x （0≤x≤200）， 注意：写分段函数解析式时，自变量的取值范围写在相应函数解析式的后面. 找分界点，分类讨论 22051 (2)画出这个函数的图象； (3)小玲家3月份、4月份分别用电150 kW · h和220 kW · h，各应缴纳电费多少元？ y = 0.9x-60 （x＞200）. 0.6x （0≤x≤200）， (2)如图所示. (3)当x=150时，y=0.6×150 = 90，故小玲家3月份应缴纳电费90元. 当x=220时，y= 0.9×220-60=138，故小玲家4月份应缴纳电费138元. 注意：函数图象由两个一次函数拼接在一起，我们要按照图象实行分段处理，每段看它适合哪种函数模型. 22051 课堂小结 一次函数 模型的应用 建立一次函数模型解决实际问题 对分段函数的理解及运用 22051 $