暑假预习专题 第19讲 函数的应用（暑假预习讲义）新高一年级数学沪教版

暑假预习专题 第19讲 函数的应用 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 函数 函数的零点 函数的应用 1.借助零点的求法培养数学运算和逻辑推理的素养． 2.借助函数的零点同方程根的关系，培养直观想象的数学素养. 3.借助二分法的操作步骤与思想，培养数学建模及逻辑推理素养. 学习重点：理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系． 学习难点：①会求函数的零点并掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数． ②了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解． 1、函数的零点:方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 2、二次函数的零点 判别式 方程的根 函数的零点 两个不相等的实根 两个零点 两个相等的实根 一个二重零点 无实根 无零点 3、二次函数零点的性质： ①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号； ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立. 4、函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理：如果函数在一个区间上的图象不间断， 并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点， 即存在一点，使，这个也就是方程的根. （2）利用直接解方程法：求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点， 方程有实根则函数有零点． （3）利用数形结合法：函数的零点就是方程的实数根， 也就是函数的图象与的图象交点的横坐标． 5、二分法：所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近 零点，进而得到零点近似值的方法. 6、常见结论： （1）二分法要点：第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且； （2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的； 对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 函数的零点 1、对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 几何定义：函数的零点就是方程的实数解, 也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.  这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点. 2、函数的零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线， 且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在， 使得，这个也就是方程的解. 说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②； 两个条件缺一不可. 3、函数零点的求法： ①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解； ②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解. 4、函数零点个数的判断： ①利用代数法，求出所有零点； ②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数； ③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数； ④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调. 5、一元二次方程的实数根也称为函数的零点. 当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系 如下表所示： 的实数根 （其中） 方程无实数根 的图象 的零点 函数无零点 【经典例题】 【例1】函数的零点为（   ） A． B． C．或 D．或 【技巧归纳】直接解方程即得函数的零点. 【例2】（24-25高一上·上海嘉定·期末）函数的零点是 . 【技巧归纳】令，解方程求得答案. 【例3】（24-25高一上·上海·期末）函数的零点是 ． 【技巧归纳】根据题意，令，然后代入计算，即可得到结果. 【例4】已知函数，则函数的零点是 . 【技巧归纳】将问题转化为，或，求解即可. 【例5】已知函数，则函数的零点个数为 . 【技巧归纳】画出函数的图象，令，可得，求得的值，结合图象， 根据交点的个数，即可求解. 【例6】设，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是 . 【技巧归纳】求出在时的取值范围，再画出函数图象，则问题转化为与 有三个不同的交点，数形结合即可求出参数的取值范围. 【对点练习】 【练习1】函数的零点是 (写出满足条件的一个零点即可). 【练习2】函数的零点为 . 【练习3】方程的解集为 ． 【练习4】函数的零点个数为 . 【练习5】若关于的方程有两解，则的取值范围是 ． 【练习6】设函数，关于x的方程有三个不等实根， 则的取值范围是 ． 知识点02 二分法 1、二分法：所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步 逼近零点，进而得到零点近似值的方法. 2、用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度. 第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即， 零点位于区间中. 第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为. 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令 第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令； …… 继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的 精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止. 这时函数的近似零点满足给定的精确度. 3、要点诠释： （1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且． （2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的． 对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为 方程的根 【经典例题】 【例7】函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【易错提醒】利用零点存在性定理即可判断. 【例8】函数的零点所在的一个区间为（   ） A． B． C． D． 【易错提醒】先判断函数的单调性，然后根据零点存在性定理判断. 【例9】已知函数的零点位于区间上，则 . 【易错提醒】根据函数的单调性，结合零点存在定理判断零点所在区间进而求解. 【例10】借助信息技术，用二分法求函数零点的近似值得到下表数据： 1.00 1.25 1.50 1.625 0.6931 0.4325 0.0879 -0.1193 则由表中的数据，可得函数的一个零点的近似值为（精确度为0.1）（    ） A．1.5625 B．1.25 C．1.4375 D．1.46875 【易错提醒】利用零点存在性定了即可判断. 【对点练习】 【练习7】用二分法求函数在区间上的近似解，要求精确度为0.1时， 所需二分区间次数最少为（   ）次 A．3 B．4 C．5 D．6 【练习8】某同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示： 则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（    ） A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.32 【易错提醒】观察数据，由零点存在性定理得到区间内存在零点，得到答案. 【练习9】1．用二分法求函数在区间上的零点的近似值，由计算得，.下一个求，则 . 【练习10】已知函数，m为正的常数，则的零点之和为 ． 1.已知方程的解所在区间为，则= . 2.已知函数，则函数的零点为 ． 3．函数的零点个数为 4．若函数只有一个零点，则实数的值为 ． 5．已知函数有且仅有3个零点，则a的取值范围为 ． 6．已知函数，若，且，则 . 7．在用二分法求方程的近似解的过程中，已确定方程的一根，则再经过两次计算后， 所在的开区间为 ． 8．用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，， 则第二次应计算的函数值是 ． 9．（1）若方程有两解，则实数的取值范围是 ； （2）若方程有一解，则实数的取值范围是 ． 10.已知函数，则函数的零点是 ． 11.设函数是定义在上的奇函数，当时，，则的零点个数为 . 12.若函数只有一个零点，则实数的取值范围是 ． 13．已知方程的实根为的实根为的实根为，则的大小关系是（    ）. A． B． C． D． 14．函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 15.小明同学在用二分法研究函数在区间的零点时，发现，，， 那么他下一步应计算（    ）A． B． C． D． 16.已知函数在区间内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算的结果如下表所示， 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 0.875 0.2246 那么方程的一个近似根（精确度为0.1）为（   ） A．1 B．1.5 C．1.25 D．1.3125 17．已知函数，且函数是奇函数. (1)求实数的值；(2)设函数，判断函数在区间上的单调性，并证明你的判断； (3)设函数，写出函数的零点个数.（结论不要求证明） 18．已知指数函数，满足.(1)求函数的解析式； (2)若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 19.已知函数若存在实数使得方程有4个不同实根， 且．(1)求的取值范围；(2)求的值． 20.已知函数（且）的图象过点． (1)求实数的值；(2)解关于的不等式；(3)求函数的零点个数． 21.某工厂进行加工生产所的工料两种供应方式，一种是从市场上直接采购工料，另一种是通过工厂自身 生产工料，该工厂去年（2月至12月）每月所需的工料总量均为12000件，由于工厂生产车间处于调试 阶段，自身生产的工料有限，于是工厂从市场上采购一部分工料作为补充，两种供应方式同时进行， 2月至6月，该工厂从市场上采购的工料量（件）与月份x（，且x为整数）之间满足的 函数关系如下表： 月份x（月） 2 3 4 5 6 市场采购工料量（件） 6000 4000 3000 2400 2000 7月至12月，该工厂自身生产的工料量（件）与月份x（，且x为取整数）之间满足二次函数关系式为．其图象如图所示.2月至6月，该工厂每件工料的市场采购成本（元）与月份x之间满足函数关系式，该工厂自身生产的每件工料的成本（元）与月份x之间满足函数关系式：；7月至12月的每一个月份，该工厂从市场采购的工料成本均为3元/件，该工厂自身生产的工料成本为1.5元/件． (1)请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识， 分别求出与x之间的函数关系式； (2)请你求出该工厂去年（2月至12月）哪个月份所需的工料总费用W（元）最多，并求出这个最多费用． 22.某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内 共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且. 当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内 共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元. (1)求a，b；(2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； (3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 23.2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办 世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用； 假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件； 若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本） (2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式； (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 24.已知，函数. (1)若函数的值域为，求的取值范围； (2)若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求的取值范围. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假预习专题 第19讲 函数的应用 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 函数 函数的零点 函数的应用 1.借助零点的求法培养数学运算和逻辑推理的素养． 2.借助函数的零点同方程根的关系，培养直观想象的数学素养. 3.借助二分法的操作步骤与思想，培养数学建模及逻辑推理素养. 学习重点：理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系． 学习难点：①会求函数的零点并掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数． ②了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解． 1、函数的零点:方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 2、二次函数的零点 判别式 方程的根 函数的零点 两个不相等的实根 两个零点 两个相等的实根 一个二重零点 无实根 无零点 3、二次函数零点的性质： ①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号； ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立. 4、函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理：如果函数在一个区间上的图象不间断， 并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点， 即存在一点，使，这个也就是方程的根. （2）利用直接解方程法：求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点， 方程有实根则函数有零点． （3）利用数形结合法：函数的零点就是方程的实数根， 也就是函数的图象与的图象交点的横坐标． 5、二分法：所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近 零点，进而得到零点近似值的方法. 6、常见结论： （1）二分法要点：第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且； （2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的； 对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 函数的零点 1、对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 几何定义：函数的零点就是方程的实数解, 也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.  这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点. 2、函数的零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线， 且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在， 使得，这个也就是方程的解. 说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②； 两个条件缺一不可. 3、函数零点的求法： ①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解； ②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解. 4、函数零点个数的判断： ①利用代数法，求出所有零点； ②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数； ③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数； ④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调. 5、一元二次方程的实数根也称为函数的零点. 当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系 如下表所示： 的实数根 （其中） 方程无实数根 的图象 的零点 函数无零点 【经典例题】 【例1】函数的零点为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D【详解】令，即，解得, 所以函数的零点为或；故选：D. 【技巧归纳】直接解方程即得函数的零点. 【例2】（24-25高一上·上海嘉定·期末）函数的零点是 . 【答案】6【详解】令，即，则，， 解得或（舍去），所以函数的零点为6；故答案为：6. 【技巧归纳】令，解方程求得答案. 【例3】（24-25高一上·上海·期末）函数的零点是 ． 【答案】或 【详解】令，即，解得或， 所以函数的零点是或；故答案为：或. 【技巧归纳】根据题意，令，然后代入计算，即可得到结果. 【例4】已知函数，则函数的零点是 . 【答案】 【详解】令，则，或，解得，或， 则函数的零点是；故答案为：. 【技巧归纳】将问题转化为，或，求解即可. 【例5】已知函数，则函数的零点个数为 . 【答案】 【详解】画出函数的图象，如图所示，令，即，令，可得， 若，令，解得或；若，令，解得， 当时，即，此时函数和的图象有4个交点，即4个零点； 当时，即，此时函数和的图象有1个交点，即1个零点； 当时，即，此时函数和的图象有1个交点，即1个零点； 当时，即，此时函数和的图象有1个交点，即1个零点. 综上可得，函数的零点个数为7个；故答案为：. 【技巧归纳】画出函数的图象，令，可得，求得的值，结合图象， 根据交点的个数，即可求解. 【例6】设，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，当时，则，所以，即， 画出函数图象如下所示： 因为方程有三个不同的实数根，即与有三个不同的交点， 由图可知，即实数的取值范围是；故答案为：. 【技巧归纳】求出在时的取值范围，再画出函数图象，则问题转化为与 有三个不同的交点，数形结合即可求出参数的取值范围. 【对点练习】 【练习1】函数的零点是 (写出满足条件的一个零点即可). 【答案】（或填，答案不唯一）【分析】求出函数的零点，写出一个即可. 【详解】当时，，解得， 当时，，解得；故答案为：（或填，答案不唯一） 【练习2】函数的零点为 . 【答案】5【分析】令，得解出即可求解. 【详解】令，得，所以，解得或（舍去）； 故答案为：5. 【练习3】方程的解集为 ． 【答案】 【分析】令，先求得或，再分别解和即可， 注意结果写出集合形式. 【详解】令，原方程化为，解得或．当时，， 即，，此方程无解．当时，，即， 解得或．所以原方程的解集为；故答案为： 【练习4】函数的零点个数为 . 【答案】2【分析】根据函数零点个数与其对应方程的根、函数图象的交点个数之间的关系， 结合函数和的图象，利用数形结合的思想即可求解. 【详解】函数的定义域为，由得， 函数的零点即方程的根，作函数和的图象，如图， 由图可知在上有个交点，故函数在上有个零点；故答案为：. 【练习5】若关于的方程有两解，则的取值范围是 ． 【答案】或【分析】作出函数的图象，根据图象求解即可. 【详解】令函数，当时，， 当时，，则函数图象如图所示， 因为关于的方程有两解，所以或， 解得或；故答案为：或.    【练习6】设函数，关于x的方程有三个不等实根， 则的取值范围是 ． 【答案】【分析】画出函数图象，数形结合得到，，求出答案. 【详解】画出函数图象，结合图形可知，仅当时，方程有三个不等实根， 分别对应直线与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上，不妨设， 显然关于对称，故， 另一个交点位于一次函数图象上，令−2x+6=−1，解得x=72，显然它在和 以及的交点和之间，故，所以，故答案为：． 知识点02 二分法 1、二分法：所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步 逼近零点，进而得到零点近似值的方法. 2、用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度. 第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即， 零点位于区间中. 第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为. 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令 第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令； …… 继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的 精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止. 这时函数的近似零点满足给定的精确度. 3、要点诠释： （1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且． （2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的． 对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为 方程的根 【经典例题】 【例7】函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的定义域为，因为和均在上单调递减， 所以也在单调递减，又，，， 则，故零点位于区间内；故选：B. 【易错提醒】利用零点存在性定理即可判断. 【例8】函数的零点所在的一个区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数定义域为，函数在单调递减，由，；； ，又，所以；，又，所以；，所以， 所以函数的零点所在的一个区间为；故选：B 【易错提醒】先判断函数的单调性，然后根据零点存在性定理判断. 【例9】已知函数的零点位于区间上，则 . 【答案】 【详解】函数的是减函数，，所以，所以函数的零点位于区间上，所以；故答案为：. 【易错提醒】根据函数的单调性，结合零点存在定理判断零点所在区间进而求解. 【例10】借助信息技术，用二分法求函数零点的近似值得到下表数据： 1.00 1.25 1.50 1.625 0.6931 0.4325 0.0879 -0.1193 则由表中的数据，可得函数的一个零点的近似值为（精确度为0.1）（    ） A．1.5625 B．1.25 C．1.4375 D．1.46875 【答案】A 【详解】因为，故的零点在区间内， 区间长度为，因此需要取区间的中点1.5625， 两个区间和中必有一个满足区间端点的函数值符号相异， 此时区间长度，因此1.5625是一个近似解；故选：A. 【易错提醒】利用零点存在性定了即可判断. 【对点练习】 【练习7】用二分法求函数在区间上的近似解，要求精确度为0.1时， 所需二分区间次数最少为（   ）次 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】二分法的特点：每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过次操作后区间长度为， 从而列出不等式得出答案. 【详解】开区间的长度为1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过次操作后，区间长度为，因为二分法求在区间上近似解，要求精确度为， 所以，解得，所以所需二分区间次数最少为次；故选：B. 【练习8】某同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示： 则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（    ） A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.32 【答案】C 【详解】，，由零点存在性定理得，区间内存在零点， 由于，，故该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是1.27，其他选项不正确；故选：C. 【易错提醒】观察数据，由零点存在性定理得到区间内存在零点，得到答案. 【练习9】1．用二分法求函数在区间上的零点的近似值，由计算得，.下一个求，则 . 【答案】【分析】根据二分法的求解过程写出下一个，即可得得解. 【详解】由二分法的求解过程知，下一个为，所以；故答案为：. 【练习10】已知函数，m为正的常数，则的零点之和为 ． 【答案】【分析】根据给定条件，探讨函数的对称性，再结合零点的意义即可求解得答案. 【详解】函数的定义域为，由，得，令函数， ，则函数的图象关于直线对称， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，    直线与函数的图象有4个交点，令其横坐标从左到右依次为， 观察图象得，所以的零点之和为；故答案为：. 1.已知方程的解所在区间为，则= . 【答案】2【分析】构造函数，代入，再结合零点存在定理解答即可； 【详解】构造函数，则在为增函数，则， 由零点存在定理可得函数的零点在之间，所以，故答案为：2. 2.已知函数，则函数的零点为 ． 【答案】和【分析】函数的零点即求方程的解. 【详解】令，即，解得或， 所以函数的零点为和；故答案为：和. 3．函数的零点个数为 【答案】【分析】利用指数函数和对数函数图象来研究函数零点个数即可. 【详解】由函数的零点个数等价于方程解的个数， 又等价于与的交点个数， 作图： 由图可得与的交点个数为，故答案为：. 4．若函数只有一个零点，则实数的值为 ． 【答案】0或1【分析】对进行分类讨论，结合判别式来求得的值. 【详解】当时，，有唯一零点；当时，由题意可得，解得． 综上，实数的取值为或；故答案为：或 5．已知函数有且仅有3个零点，则a的取值范围为 ． 【答案】【分析】由题意可得在上有2个零点，可得所满足的条件，求解即可. 【详解】令，得，所以在上有1个零点， 则在上有2个零点，所以，解得， 所以a的取值范围为；故答案为：. 6．已知函数，若，且，则 . 【答案】 【分析】由题设得，根据及绝对值的性质和对数的运算化简整理，即可得. 【详解】令，得，由题设有， 由，得，则，故，所以；故答案为：. 7．在用二分法求方程的近似解的过程中，已确定方程的一根，则再经过两次计算后， 所在的开区间为 ． 【答案】．【分析】利用二分法求方程的近似解，只需计算和，判断出正负号即可. 【详解】令，可知，且，故函数零点位于， 又，所在的开区间为；故答案为：． 8．用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，， 则第二次应计算的函数值是 ． 【答案】【分析】根据零点的存在性定理，以及二分法的计算方法， 得到第二次计算，即可的得到答案. 【详解】由函数的零点时，第一次经过计算得，， 即，可得零点，根据二分法，第二次计算；故答案为：. 9．（1）若方程有两解，则实数的取值范围是 ； （2）若方程有一解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】（1）将方程解的个数问题转化为和的图象的交点个数问题，画出图象， 利用数形结合求解；（2）将方程解的个数问题转化为和的图象的交点个数问题， 画出图象，利用数形结合求解． 【详解】（1）方程有两解，即有两解，从而函数和的图象有两个交点，作出图象，如图1．    由图可知，，则实数的取值范围是． （2）方程有一解，则函数和的图象有一个交点，作出图象， 如图2．由图可知，或，则实数的取值范围是．    10.已知函数，则函数的零点是 ． 【答案】和【分析】根据分段函数解析式，由求得正确答案. 【详解】依题意，或，解得或（负根舍去）；故答案为：和. 11.设函数是定义在上的奇函数，当时，，则的零点个数为 . 【答案】3【分析】时，，由数形结合知，此时有一个零点．依据奇函数的对称性知，时也有一个零点．又因为奇函数定义域为全体实数，所以，即过原点．从而可求出结果. 【详解】∵函数是定义域为的奇函数，∴，所以0是函数的一个零点， 当时，令，得到， 分别画出函数和的图像，如图所示，有一个交点，      所以函数在上有一个零点，又根据对称性知，当时，函数也有一个零点. 综上所述，的零点个数为3；故答案为：3. 12.若函数只有一个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将函数零点转化为两个函数图像的交点，根据图像即可求解. 【详解】函数有一个零点等价于函数的图像与的图像有一个交 点．由数形结合分析可得，实数的取值范围是. 故答案为：. 13．已知方程的实根为的实根为的实根为，则的大小关系是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A【分析】在同一直角坐标系中作出函数的图象， 将方程实根转化为 “函数图象交点的横坐标”，即可得到答案. 【详解】由已知，即， 在同一坐标系中作出函数的图象，如下：    观察图象，易得；故选：A． 14．函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意，分析每一段零点个数，当时，易得一个零点， 当，根据单调性及零点存在定理判断即可. 【详解】当时，令，解得， 当时，，， ，所以在上存在零点， 又因为在上单调递增，所以函数在上有唯一零点． 综上，的零点个数为2；故选：C. 15.小明同学在用二分法研究函数在区间的零点时，发现，，， 那么他下一步应计算（    ）A． B． C． D． 【答案】C【分析】由二分法的概念判断． 【详解】由题意零点在区间上，因此应计算，故选：C． 16.已知函数在区间内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算的结果如下表所示， 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 0.875 0.2246 那么方程的一个近似根（精确度为0.1）为（   ） A．1 B．1.5 C．1.25 D．1.3125 【答案】D【分析】由零点存在性定理和，得到方程的一个近似根为1.3125. 【详解】由于在R上为连续函数，，， 且，而， 均不合要求，故方程的一个近似根为1.3125，D正确；故选：D. 17．已知函数，且函数是奇函数. (1)求实数的值；(2)设函数，判断函数在区间上的单调性，并证明你的判断； (3)设函数，写出函数的零点个数.（结论不要求证明） 【答案】(1)；(2)函数在区间上单调递增，证明见解析；(3)2个零点. 【分析】(1)根据奇函数定义，由，代入计算可求得； (2)利用函数单调性的定义证明函数的单调性；(3)借助函数奇偶性和单调性可得零点的个数. 【详解】（1）令，解得，所以函数的定义域为. 由于函数是奇函数，所以函数在其定义域内满足， 则.整理得：， 注意到对任意的上式均成立，可得，解得； （2）因为，可知函数在区间上单调递增. 证明如下（方法一）：对任意，且， 则. 因为，可得，即 所以函数在区间上单调递增. 证明单调性（方法二）：对任意，且， 则 因为，可得，即， 所以函数在区间上单调递增； （3）由题意得, 根据第(2)小问得在区间上单调递增， 又函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递增， 当时，，当时，， 根据零点存在定理得在区间上存在一个零点，同理可得在区间上存在一个零点， 所以函数有2个零点. 18．已知指数函数，满足.(1)求函数的解析式； (2)若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根题意设且，解出即可；（2）换元令，结合指数函数值域转化为一元二次方程有两个不等的正根求解即可. 【详解】（1）设且，由，可得，又，，； （2）由（1）知，又方程有两个不同的实数解， 有两个不同的实数解，设， 有两个不同的正实数解，，解得， 实数的取值范围为. 19.已知函数若存在实数使得方程有4个不同实根， 且．(1)求的取值范围；(2)求的值． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）结合函数图像，即可求出的取值范围； （2）是方程的两根，则有，即，是方程的两根，根据韦达定理得，进而可求的值． 【详解】（1）由，得，作出的大致图象， 如图所示， 结合图像可知的取值范围是． （2）由知，是方程的两根，所以， 故，即；又是方程的两个根，即方程的两个根， 所以，所以． 20.已知函数（且）的图象过点． (1)求实数的值；(2)解关于的不等式；(3)求函数的零点个数． 【答案】(1)；(2)；(3)1. 【分析】（1）将代入可计算出的值； （2）先由复合函数的单调性得到在上单调递增，从而由定义域和单调性将转化为解不等式得到结果； （3）将的零点个数转化为函数与的图象交点的个数，画图分析可得结果. 【详解】（1）因为函数（且）的图象过点． 所以，解得； （2）由复合函数的单调性知在上单调递增， 又，所以即即， 解得，所以不等式的解集为； （3）由（1）得函数，令，得， 则函数的零点个数即为函数与的图象交点的个数， 作出函数与的图象，如图所示，    由图象知，函数的零点个数为1. 21.某工厂进行加工生产所的工料两种供应方式，一种是从市场上直接采购工料，另一种是通过工厂自身 生产工料，该工厂去年（2月至12月）每月所需的工料总量均为12000件，由于工厂生产车间处于调试 阶段，自身生产的工料有限，于是工厂从市场上采购一部分工料作为补充，两种供应方式同时进行， 2月至6月，该工厂从市场上采购的工料量（件）与月份x（，且x为整数）之间满足的 函数关系如下表： 月份x（月） 2 3 4 5 6 市场采购工料量（件） 6000 4000 3000 2400 2000 7月至12月，该工厂自身生产的工料量（件）与月份x（，且x为取整数）之间满足二次函数关系式为．其图象如图所示.2月至6月，该工厂每件工料的市场采购成本（元）与月份x之间满足函数关系式，该工厂自身生产的每件工料的成本（元）与月份x之间满足函数关系式：；7月至12月的每一个月份，该工厂从市场采购的工料成本均为3元/件，该工厂自身生产的工料成本为1.5元/件． (1)请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识， 分别求出与x之间的函数关系式； (2)请你求出该工厂去年（2月至12月）哪个月份所需的工料总费用W（元）最多，并求出这个最多费用． 【答案】(1)（，且x取整数），（，且x取整数； (2)去年5月用于所需工料的总费用最多，最多费用是22000元. 【分析】（1）利用待定系数法即可求解， （2）根据题意列出总费用的函数关系，即可利用二次函数的性质求解. 【详解】（1）根据表格中数据可以得出定值，则与x之间的函数关系为反比例函数关系 设，将代入得：，故（，且x取整数） 根据图象可以看出：的图象过，两个点， 代入得：解得： 故（，且x取整数）； （2）当，且x取整数时： ,则开口向下，且对称轴为，当时，（元）； 当时，且x取整数时， 为开口向下，对称轴为轴，当时，W随x的增大而减小， 当时，（元） 去年5月用于所需工料的总费用最多，最多费用是22000元． 22.某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内 共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且. 当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内 共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元. (1)求a，b；(2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； (3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1)；(2)； (3)当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 【分析】（1）根据已知条件列出关于的方程组求解出结果；（2）根据利润的计算公式分别考虑当，时的解析式，由此可求解出结果；（3）利用二次函数性质分析时的最大值， 利用基本不等式分析时的最大值，由此可确定出结果. 【详解】（1）依题意，，所以； （2）当时，， 当时，， 所以所求函数解析式为； （3）当时，， 此时由二次函数单调性可知； 当时，， 当且仅当，即时取等号，因为， 所以当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 23.2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办 世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用； 假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件； 若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本） (2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式； (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【答案】(1)200万元；(2)； (3)当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元 【分析】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，是以80元的单价出售，每件30元成本， 且需要固定投入300万元，由此根据利润销售收入成本计算即可；（2）依题意，分三段：当时，当时，当时，写出函数解析式，其中，当时，需要设降价元，并用含的式子表示；（3）计算出各段函数的最大值进行比较.当时，根据一次函数的单调性求解最大值；当时，根据二次函数的最值求解最大值；当时，根据基本不等式求解最大值. 【详解】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，利润是万元. （2）当时，； 当时，不妨设降价元，则，得到， 所以；当时，； 所以； （3）由（2）知，当时，，函数单调递增， 当时，利润最大，此时利润是450万元；当时，， 当时，利润最大，此时利润是500万元； 当时，， 当且仅当，即时，利润最大，此时利润是910万元. 因为，所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元. 24.已知，函数.(1)若函数的值域为，求的取值范围； (2)若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）化简得到的值域为，故 能够取到一切大于0的实数，由于二次项系数含参，故需要分类讨论，当时，显然不符合题意； 故只能，再结合得到答案即可；（2） 化简对数方程得到在的条件下只有一个根，然后分类讨论得到答案即可. 【详解】（1）因为函数的值域为，所以的值域为， 故能够取到一切大于0的实数， 当时，，不符合题意； 当时, 不符合题意， 当时, 根据二次函数的图象和性质可得， 解得，综上可得，的取值范围是； （2）由题意得关于的方程的解集中恰好只有一个元素， 所以的解集中恰好只有一个元素， 即且的解集中恰好只有一个元素， 所以,即， ①当时，解得，此时，满足题意， ②当时，，此时也满足题意， ③当且时，两根为,，当时，由得， 当时，由得，因为和只能取一个值， 所以只能取，故且，解得.综上所述，的取值范围是. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $