暑假预习专题 第12讲 幂、指数与对数（暑假预习讲义）新高一年级数学沪教版

暑假预习专题 第12讲 幂、指数与对数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 幂 指数 对数 1. 理解整数指数幂及其运算律，并会进行相关运算。 2. 了解根式的概念和性质，理解分数指数幂的概念，会对根式、分数指数幂 进行互化。 3.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导和成立的条件，并熟练其运算技巧。 学习重点：掌握有理数指数幂的运算性质，并会进行相关运算。 学习难点：能熟练运用对数的性质进行化简求值；掌握换底公式。 1．的 次幂： 如果 是一个实数， 是一个正整数，那么称为的次幂. 正整数指数幂的运算性质：对任意给定的实数， b及正整数s ， t，有 （1） ；（2） ；（3） ． 2．整数指数幂 当 时，可以定义；这样，可以证明对任意给定的非零实数及整数，上述幂的运算性质(1)到(3)仍然成立. 3.根式 （1）一般地，如果 为大于 1 的整数，且 ，那么 叫做 的 次方根； 式子 叫做 的 次根式， 叫做根指数， 叫做被开方数. ： 4.有理数指数幂 幂的概念 、 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义 有理数指幂的运算性质 ，， 5.对数的定义：在 ，且的条件下，唯一满足 的数，称为以为底的 对数，并用符号 表示，而 称为真数. 6.常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以 10为底的对数 自然对数 以无理数(的值约为2.71828…)为底的对数 7．对数的运算性质 性质1：当 时， ； 性质2：当 时， ； 性质 3：当 时，对任何给定的实数 ． 8.对数换底公式:当 时， ． 9.常用结论： （1）对数恒等式： 且 ；（2） 且 ． 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 幂与指数 知识点1.指数幂 1． 的 次幂：如果 是一个实数， 是一个正整数，那么称 为的次幂. 正整数指数幂的运算性质：对任意给定的实数, b及正整数s , t，有 （1） ；（2） ；（3） ． 2．整数指数冥：当 时，可以定义 这样,可以证明对任意给定的非零实数及整数，上述幂的运算性质(1)到(3)仍然成立 3.根式 （1）一般地，如果 为大于 1 的整数，且 ，那么 叫做 的 次方根． 式子 叫做 的 次根式， 叫做根指数， 叫做被开方数. 4.有理数指数幂 幂的概念 、 、 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义 有理数指幂的运算性质 知识点2.幂的运算性质 性质 对任意给定的正数及实数有 ，，. 实数指数幂运算的注意事项 (1)实数指数幂的运算性质是由有理数指数幂、整数指数幂的运算性质推广而来的， 有理数指数幂、整数指数幂的运算性质对于实数指数幂也同样适用. (2)在运算性质中,特别要注意幂的底数是正数的规定，若改变等式成立的条件，则等式有可能不成立. 知识点3.幂的基本不等式 定理 无论给出的条件是 还是 ，我们都可以通过倒数进行调整； 无论给出的条件是 还是 ，我们都可以通过相反数 进行调整； 将条件调整到底数大于 1 ，指数大于 0 ，进而应用幂的基本不等式． 【经典例题】 【例1】分数指数幂与根式运算的转化． （1） （，为正整数，）； （2） （，，为正整数，）． 【技巧归纳】根据题意，结合指数幂的运算法则与运算性质，即可求解. 【例2】（24-25高一上·上海浦东新·期中）当时，化简 . 【技巧归纳】将根式里面进行配方，结合的范围即可化简. 【例3】（24-25高一上·上海·期中）已知，化简式子： . 【技巧归纳】根据指数幂的运算法则计算化简即可. 【例4】（24-25高一上·上海浦东新·期中）化简：. 【技巧归纳】根据幂的运算法则计算化简即可. 【例5】（24-25高一上·上海·期中）若，且，则的值为 ． 【技巧归纳】利用指数幂的运算求解.. 【对点练习】 【练习1】（24-25高一上·上海·月考）已知，，则 【练习2】（24-25高一上·上海·期中）已知，化简 . 【练习3】（24-25高一上·上海浦东新·月考）若，则 【练习4】（24-25高一上·上海·期中）已知，则 . 【练习5】（24-25高一上·上海·期中）已知，那么等于 . 【练习6】（25-26高一上·上海·月考）已知，化简 ． 【练习7】（24-25高一上·上海·开学考试）化简：= . 【练习8】（24-25高一上·上海·期中）设，下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点02 对数 知识点4.对数 1.对数的定义：在 ，且 的条件下，唯一满足 的数 ， 称为 以 为底的对数，并用符号 表示，而 称为真数. ＂log＂的含义：对于初学对数的同学们来说， ＂log＂这个符号似乎很难理解，但是如果将＂log＂类比成＂＂或者＂＂的运算来看，其实就不难理解．对数运算不过是将运算的符号写在数字的前面， 是已知一个底数和它的幂求指数的运算． 2.常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以 10为底的对数 自然对数 以无理数(的值约为2.71828…) 为底的对数 3.对数与指数的关系 （1）只有符合 且 这三个条件的情况下，才有 ， 如 不可转化为对数式； （2）两个式子是同一数量关系的满种不同表现形式，它们互为逆运算． 知识点5.对数的运算性质 1．两个常用结论 （1）对数恒等式： 且 ；（2） 且 ． 2．对数的运算性质 性质1：当 时， ； 性质2：当 时， ； 性质 3：当 时，对任何给定的实数 ． 知识点6.对数的换底 1.对数换底公式：当 时， ． （1）换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义. （2）换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数问题转化为同底数问题进行化简、计算及证明. （3）换底公式在实际应用中应当根据已知的条件选择适当的“底”,一般换成以10或e为底的对数. 2.常用推论： 推论 ，即 ； 推论 ． 相当于＂约分＂； 推论3： 可看作运算性质 3 的推广. 【经典例题】 【例6】（24-25高一上·上海·期中）关于的方程的解集为 ． 【技巧归纳】整理可得，结合对数解方程即可. .【例7】（22-23高一上·上海浦东新·期中）若，则 . 【易错提醒】由对数的概念运算求解即可. 【例8】（24-25高一上·上海·期中）设，是方程的两根，则 ． 【易错提醒】先由韦达定理得，，然后化简求解即可. 【例9】24-25高一上·上海奉贤·期中）数学上将形如（p为素数）的素数称为“梅森素数”， 试估计“梅森素数”的位数为（   ） A．607 B．608 C．609 D．610 【易错提醒】由题意求出的近似值，可将写成的形式，即可得到结果. 【例10】（23-24高一上·上海青浦·期中）已知为正实数， (1)若，求证:； (2)若，不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 【易错提醒】（1）取对数表示，利用换底公式及对数运算法则证明即可； （2）利用均值不等式求出的最小值，解不等式即可求解. 【对点练习】 【练习9】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知，则用表示 . 【练习10】（23-24高一上·上海浦东新·期中）若方程的两个解为，， 求的值为 ． 【易错提醒】利用换底公式，得到，再结合韦达定理求值. 【练习11】（24-25高一上·上海闵行·期中）已知，则= ． 【练习12】（24-25高一上·上海·期中）已知e是自然对数的底，求值： ． 【练习13】（24-25高一上·上海·期中）已知，用的代数式表示 ． 【练习14】已知，则（    ） A． B． C． D． 【练习15】若，是方程的两个实根，则ab的值等于（    ） A．2 B． C．100 D． 【练习16】 已知，求证：. 1．（23-24高一上·上海·期中）化简： ． 2．（24-25高一上·上海·期中）化简: . 3．（24-25高一上·上海·期中）当时，式子的值是 . 4．（24-25高一上·上海浦东新·期中）计算 5．（24-25高一上·上海·期中）代数式化成分数指数幂为 ． 6.已知，则的值为 . 7．（22-23高一上·上海静安·期中）在中，x的取值范围是 8．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知，则 ．（用a和b表示） 9．（24-25高一上·上海·期中）若，则用来表示是 . 10.已知，则实数的取值范围是 . 11.设实数a、b、c满足a≥1，b≥1，c≥1，且abc＝10，alga•blgb•clgc≥10，则a+b+c＝ 12.若实数x，y满足，且，则的最小值为 . 13.（22-23高一上·上海·期中）若，则关于的首数与尾数的叙述中正确的是（    ） A．首数为，尾数为 B．首数为，尾数为 C．首数为，尾数为 D．首数为，尾数为 14.（22-23高一上·上海松江·期中）对数中的实数的取值范围与下列哪个不等式的解相同（    ） A． B． C． D． 15.标准的围棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种 不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局 围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是（     ） （参考数据：） A． B． C． D． 16.（24-25高一上·上海·期中）设a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数，则下列性质中错误的是（   ） A． B． C． D． 17.（24-25高一上·上海·期中）成立”是“成立”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．既非充分也非必要 D．充要 18.（24-25高一上·上海金山·期中）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收” （明《增广贤文》是勉励人们专心学习的.  假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是.  一年后“进步者”是 “退步者”的倍.  照此计算，大约经过（    ）天，“进步者”是“退步者”的倍 （近似取计算）. A．33 B．35 C．37 D．39 19.（24-25高一上·上海·期中）已知，，用表示. 20.计算下列各式：(1)；(2)；(3)． 21（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 22.（24-25高一上·上海·月考）已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1， (1)求证：； (2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明． 23.已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c． 求证：． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假预习专题 第12讲 幂、指数与对数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 幂 指数 对数 1. 理解整数指数幂及其运算律，并会进行相关运算。 2. 了解根式的概念和性质，理解分数指数幂的概念，会对根式、分数指数幂 进行互化。 3.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导和成立的条件，并熟练其运算技巧。 学习重点：掌握有理数指数幂的运算性质，并会进行相关运算。 学习难点：能熟练运用对数的性质进行化简求值；掌握换底公式。 1．的 次幂： 如果 是一个实数， 是一个正整数，那么称为的次幂. 正整数指数幂的运算性质：对任意给定的实数， b及正整数s ， t，有 （1） ；（2） ；（3） ． 2．整数指数幂 当 时，可以定义；这样，可以证明对任意给定的非零实数及整数，上述幂的运算性质(1)到(3)仍然成立. 3.根式 （1）一般地，如果 为大于 1 的整数，且 ，那么 叫做 的 次方根； 式子 叫做 的 次根式， 叫做根指数， 叫做被开方数. ： 4.有理数指数幂 幂的概念 、 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义 有理数指幂的运算性质 ，， 5.对数的定义：在 ，且的条件下，唯一满足 的数，称为以为底的 对数，并用符号 表示，而 称为真数. 6.常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以 10为底的对数 自然对数 以无理数(的值约为2.71828…)为底的对数 7．对数的运算性质 性质1：当 时， ； 性质2：当 时， ； 性质 3：当 时，对任何给定的实数 ． 8.对数换底公式:当 时， ． 9.常用结论： （1）对数恒等式： 且 ；（2） 且 ． 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 幂与指数 知识点1.指数幂 1． 的 次幂：如果 是一个实数， 是一个正整数，那么称 为的次幂. 正整数指数幂的运算性质：对任意给定的实数, b及正整数s , t，有 （1） ；（2） ；（3） ． 2．整数指数冥：当 时，可以定义 这样,可以证明对任意给定的非零实数及整数，上述幂的运算性质(1)到(3)仍然成立 3.根式 （1）一般地，如果 为大于 1 的整数，且 ，那么 叫做 的 次方根． 式子 叫做 的 次根式， 叫做根指数， 叫做被开方数. 4.有理数指数幂 幂的概念 、 、 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义 有理数指幂的运算性质 知识点2.幂的运算性质 性质 对任意给定的正数及实数有 ，，. 实数指数幂运算的注意事项 (1)实数指数幂的运算性质是由有理数指数幂、整数指数幂的运算性质推广而来的， 有理数指数幂、整数指数幂的运算性质对于实数指数幂也同样适用. (2)在运算性质中,特别要注意幂的底数是正数的规定，若改变等式成立的条件，则等式有可能不成立. 知识点3.幂的基本不等式 定理 无论给出的条件是 还是 ，我们都可以通过倒数进行调整； 无论给出的条件是 还是 ，我们都可以通过相反数 进行调整； 将条件调整到底数大于 1 ，指数大于 0 ，进而应用幂的基本不等式． 【经典例题】 【例1】分数指数幂与根式运算的转化． （1） （，为正整数，）； （2） （，，为正整数，）． 【答案】 【详解】解：（1）由指数幂的运算法则与运算性质，可得； （2）由指数幂的运算法则与运算性质，可得. 故答案为：；. 【技巧归纳】根据题意，结合指数幂的运算法则与运算性质，即可求解. 【例2】（24-25高一上·上海浦东新·期中）当时，化简 . 【答案】4 【详解】因为,所以, 所以,故答案为：4. 【技巧归纳】将根式里面进行配方，结合的范围即可化简. 【例3】（24-25高一上·上海·期中）已知，化简式子： . 【答案】 【详解】,故答案为：. 【技巧归纳】根据指数幂的运算法则计算化简即可. 【例4】（24-25高一上·上海浦东新·期中）化简：. 【答案】 【详解】. 【技巧归纳】根据幂的运算法则计算化简即可. 【例5】（24-25高一上·上海·期中）若，且，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】解：因为，且，所以， 所以，故答案为：. 【技巧归纳】利用指数幂的运算求解.. 【对点练习】 【练习1】（24-25高一上·上海·月考）已知，，则 【答案】/【分析】应用指数幂的运算性质计算即可. 【详解】解：因为，，所以；故答案为：. 【练习2】（24-25高一上·上海·期中）已知，化简 . 【答案】a【分析】根据根式与指数幂的互化与指数幂的运算公式化简可得解. 【详解】因为，故答案为：. 【练习3】（24-25高一上·上海浦东新·月考）若，则 【答案】±【分析】根据题意，利用指数幂的运算法则，以及根式的互化，准确计算，即可求解. 【详解】由，可得，即，所以；故答案为：. 【练习4】（24-25高一上·上海·期中）已知，则 . 【答案】/【分析】条件等式两边平方可求，结合立方和公式求，由此可得结论. 【详解】因为，所以，故，故， 又，所以，所以；故答案为：. 【练习5】（24-25高一上·上海·期中）已知，那么等于 . 【答案】【分析】根据，再结合时，则，即可求解. 【详解】由，因为，则， 故，即得；故答案为：. 【练习6】（25-26高一上·上海·月考）已知，化简 ． 【答案】【分析】根据已知条件化简求得解. 【详解】；故答案为：. 【练习7】（24-25高一上·上海·开学考试）化简：= . 【答案】1【分析】根据指数幂的运算法则计算即可. 【详解】解:由题意可知，所以；故答案为：1. 【练习8】（24-25高一上·上海·期中）设，下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】利用指数幂的运算法则，对各个选项逐一计算判断即可得解. 【详解】对于选项A，，故选项A错误，对于选项B，，故选项B正确， 对于选项C，，故选项C错误，对于选项D，，故选项D错误， 故选：B. 知识点02 对数 知识点4.对数 1.对数的定义：在 ，且 的条件下，唯一满足 的数 ， 称为 以 为底的对数，并用符号 表示，而 称为真数. ＂log＂的含义：对于初学对数的同学们来说， ＂log＂这个符号似乎很难理解，但是如果将＂log＂类比成＂＂或者＂＂的运算来看，其实就不难理解．对数运算不过是将运算的符号写在数字的前面， 是已知一个底数和它的幂求指数的运算． 2.常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以 10为底的对数 自然对数 以无理数(的值约为2.71828…) 为底的对数 3.对数与指数的关系 （1）只有符合 且 这三个条件的情况下，才有 ， 如 不可转化为对数式； （2）两个式子是同一数量关系的满种不同表现形式，它们互为逆运算． 知识点5.对数的运算性质 1．两个常用结论 （1）对数恒等式： 且 ；（2） 且 ． 2．对数的运算性质 性质1：当 时， ； 性质2：当 时， ； 性质 3：当 时，对任何给定的实数 ． 知识点6.对数的换底 1.对数换底公式：当 时， ． （1）换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义. （2）换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数问题转化为同底数问题进行化简、计算及证明. （3）换底公式在实际应用中应当根据已知的条件选择适当的“底”,一般换成以10或e为底的对数. 2.常用推论： 推论 ，即 ； 推论 ． 相当于＂约分＂； 推论3： 可看作运算性质 3 的推广. 【经典例题】 【例6】（24-25高一上·上海·期中）关于的方程的解集为 ． 【答案】 【详解】因为，可得，所以方程的解集为；故答案为：. 【技巧归纳】整理可得，结合对数解方程即可. .【例7】（22-23高一上·上海浦东新·期中）若，则 . 【答案】 【详解】由对数运算的定义，有∵，∴，∴， ∴.故答案为：. 【易错提醒】由对数的概念运算求解即可. 【例8】（24-25高一上·上海·期中）设，是方程的两根，则 ． 【答案】 【详解】因为，是方程的两根，所以由韦达定理可知，. 则；故答案为：. 【易错提醒】先由韦达定理得，，然后化简求解即可. 【例9】24-25高一上·上海奉贤·期中）数学上将形如（p为素数）的素数称为“梅森素数”， 试估计“梅森素数”的位数为（   ） A．607 B．608 C．609 D．610 【答案】B 【详解】因为，则， 即，所以的位数为；故选：B. 【易错提醒】由题意求出的近似值，可将写成的形式，即可得到结果. 【例10】（23-24高一上·上海青浦·期中）已知为正实数， (1)若，求证:； (2)若，不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【详解】（1）令且，则，，， 所以，，故成立. （2）由（1）知，，即，所以， 当且仅当时，即时等号成立，由恒成立知， 成立，即，解得. 【易错提醒】（1）取对数表示，利用换底公式及对数运算法则证明即可； （2）利用均值不等式求出的最小值，解不等式即可求解. 【对点练习】 【练习9】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知，则用表示 . 【答案】【分析】利用换底公式和对数运算性质即可. 【详解】因为，所以；故答案为：. 【练习10】（23-24高一上·上海浦东新·期中）若方程的两个解为，， 求的值为 ． 【答案】 【详解】由题意：， 又；故答案为：． 【易错提醒】利用换底公式，得到，再结合韦达定理求值. 【练习11】（24-25高一上·上海闵行·期中）已知，则= ． 【答案】 【分析】先利用对数的定义可得，，代入利用对数的换底公式计算即可求值. 【详解】因为，所以，， ，所以；故答案为：. 【练习12】（24-25高一上·上海·期中）已知e是自然对数的底，求值： ． 【答案】/【分析】利用对数的换底公式求解. 【详解】解：，故答案为：. 【练习13】（24-25高一上·上海·期中）已知，用的代数式表示 ． 【答案】【分析】应用对数运算律计算化简即可. 【详解】因为，则， 所以；故答案为：. 【练习14】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】应用对数运算律结合已知计算求解. 【详解】因为，则， 则， 则；故选：D. 【练习15】若，是方程的两个实根，则ab的值等于（    ） A．2 B． C．100 D． 【答案】C【分析】依题意，由韦达定理得，解等式即可. 【详解】因为是方程的两个实根 所以，即，所以，故选：C. 【练习16】 已知，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】先令，根据指数式与对数式的互化，以及换底公式，即可证明结论成立. 【详解】令，则，，， 所以. 1．（23-24高一上·上海·期中）化简： ． 【答案】【分析】由根式的计算求解即可. 【详解】，故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·期中）化简: . 【答案】【分析】利用根式和分数指数幂的运算求解. 【详解】解：，故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·期中）当时，式子的值是 . 【答案】0 【分析】利用根式的运算性质化简即可. 【详解】因为，所以；故答案为：0. 4．（24-25高一上·上海浦东新·期中）计算 【答案】9【分析】运用分数指数幂和根式之间转化计算即可. 【详解】；故答案为：9. 5．（24-25高一上·上海·期中）代数式化成分数指数幂为 ． 【答案】【分析】先将根式化为分数指数幂，再化成负分数指数幂即可求解. 【详解】，故答案为：. 6.已知，则的值为 . 【答案】1或【分析】根据题意，先求，即可得解. 【详解】根据题意，，所以， 则或；故答案为：1或. 7．（22-23高一上·上海静安·期中）在中，x的取值范围是 【答案】【分析】根据底数和真数的范围，列出不等式，求解即可. 【详解】要使得有意义，则，且，解得. 故答案为：. 8．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知，则 ．（用a和b表示） 【答案】【分析】由题意可得，利用换底公式结合对数运算求解. 【详解】因为，则， 所以；故答案为：. 9．（24-25高一上·上海·期中）若，则用来表示是 . 【答案】【分析】根据题意利用换底公式以及对数的运算性质求解. 【详解】若，所以；故答案为：. 10.已知，则实数的取值范围是 . 【答案】【分析】化简方程可得，变形并结合对数真数大于0，可利用均值不等式求解. 【详解】易得，故，由得，故， 所以，当且仅当，即时等号成立；故答案为：. 11.设实数a、b、c满足a≥1，b≥1，c≥1，且abc＝10，alga•blgb•clgc≥10，则a+b+c＝ 【答案】12【解析】由已知可得0≤lga≤1，0≤lgb≤1，0≤lgc≤1，得到lg2a≤lga，lg2b≤lgb，lg2c≤lgc，进而得出lg2a+lg2b+lg2c≥lga+lgb+lgc，从而得到lg2a＝lga，lg2b＝lgb，lg2c＝lgc，由此得到a，b，c的值，则答案可求．【详解】由a≥1，b≥1，c≥1，且abc＝10，可得0≤lga≤1，0≤lgb≤1，0≤lgc≤1． 可得lg2a≤lga，lg2b≤lgb，lg2c≤lgc，又由alga•blgb•clgc≥10，可得lg（alga•blgb•clgc）≥lg10， 可得lg2a+lg2b+lg2c≥1，又由lgabc＝lga+lgb+lgc =lg10=1，可得lg2a+lg2b+lg2c≥lga+lgb+lgc， 所以lg2a＝lga，lg2b＝lgb，lg2c＝lgc，则a＝10或1，b＝10或1，c＝10或1， 由对称思想，不妨a＝10，则b＝1，c＝1，所以a+b+c＝12；故答案为：12． 12.若实数x，y满足，且，则的最小值为 . 【答案】8【分析】由给定条件可得，再变形配凑借助均值不等式计算作答. 【详解】由得：，又实数x，y满足， 则，当且仅当，即时取“=”， 由解得：，所以当时，取最小值8； 故答案为：8. 13.（22-23高一上·上海·期中）若，则关于的首数与尾数的叙述中正确的是（    ） A．首数为，尾数为 B．首数为，尾数为 C．首数为，尾数为 D．首数为，尾数为 【答案】C【分析】利用首数与尾数的概念求解即可. 【详解】，首数为，尾数为， 故选：C． 14.（22-23高一上·上海松江·期中）对数中的实数的取值范围与下列哪个不等式的解相同（    ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】根据对数中底数的取值要求进行求解判断即可. 【详解】对数中的实数的取值要求为：且，A：本选项显然不符合题意； B：，显然不符合题意；C：，或，显然不符合题意； D：且，所以有且，显然符合题意，故选：D. 15.标准的围棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种 不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局 围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是（     ） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C【分析】对取对数，利用对数的运算求解即可得. 【详解】， 所以，分析选项知C中与其最接近；故选：C． 16.（24-25高一上·上海·期中）设a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数，则下列性质中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】对于ABC：根据对数的定义和运算性质分析判断即可；对于D：举反例说明即可. 【详解】因为a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数， 对于选项A：，故A正确；对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C正确；对于选项D：例如， 则，此时，故D错误；故选：D. 17.（24-25高一上·上海·期中）成立”是“成立”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．既非充分也非必要 D．充要 【答案】B【分析】根据对数函数的性质将对数进行转化，注意使对数有意义的条件，然后根据充分、 必要条件的定义作出判断即可 【详解】成立，则，分为或两种情况，若，则成立，能推出成立，但，则成立，不能推出，而成立一定能推出成立， 所以“成立”是“成立”的必要而不充分条件，故选：B. 18.（24-25高一上·上海金山·期中）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收” （明《增广贤文》是勉励人们专心学习的.  假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是.  一年后“进步者”是 “退步者”的倍.  照此计算，大约经过（    ）天，“进步者”是“退步者”的倍 （近似取计算）. A．33 B．35 C．37 D．39 【答案】B【分析】列出方程，并根据已知数据求解即可. 【详解】设经过天后“进步者”是“退步者”的倍，则，故，根据已知条件 有，所以（天）；故选：B. 19.（24-25高一上·上海·期中）已知，，用表示. 【答案】【分析】根据条件，利用对数的运算，即可求解. 【详解】因为，又，，所以. 20.计算下列各式：(1)；(2)；(3)． 【答案】(1)320；(2)6；(3)3.【分析】由指数和对数运算计算即可. 【详解】（1）原式；（2）原式； （3）原式. 21（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）8；（3）证明见解析； 【分析】（1）由题设条件结合对数的运算证明即可； （2）利用换底公式证明即可；（3）利用换底公式证明即可. 【详解】解答：（1）证明：设，则，化为， 又，所以； （2）解：； （3）证明：；所以． 22.（24-25高一上·上海·月考）已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1， (1)求证：； (2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明． 【答案】(1)证明见解析；(2)推广：，证明见解析． 【分析】（1）利用换底公式通过计算证明；（2）类比推理进行推广，再利用换底公式通过计算证明． 【详解】（1），得证； （2）推广： 证明：． 23.已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c． 求证：． 【答案】见解析 【分析】利用直角三角形的勾股定理、对数的运算性质以及对数的运算法则可以证明等式成立. 【详解】证明：在中，因为，所以， 因为 ，所以. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $