5.3 分式方程 暑期专项练习 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦分式方程核心考点，以“概念-解法-应用”为主线，融合解题技巧提炼与实际问题建模，培养运算能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|2题|分式方程定义判断、等量关系分析|从定义出发，建立概念与方程表征的联系| |解法应用|5题|去分母法则、分步检验技巧|整式方程转化与解的合理性验证的逻辑链| |增根与无解|3题|增根代入整式方程、无解条件分类讨论|分式方程特殊情况的原理推导与应用| |实际应用|8题|工程/行程/经济问题等量关系建模|从实际情境抽象数学关系，培养应用意识|

5.3 分式方程暑 期专项练习 2025-2026学年北师大版 八年级数学下册 一、单选题 1．若，那么的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 2．下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 3．某AI公司租用云服务器进行模型训练，租用A、B两种型号的GPU实例（图形处理器）．A、B两种实例每小时的租用费用之和为100元，且两种实例的总租赁费用相同，均为12800元．已知“_________”，设A实例每小时的租用费用为元，则可列方程．根据此情境，题中“________”表示的缺失条件可以是（     ） A．A实例每小时的租赁费用是B实例每小时的租赁费用的两倍 B．B实例每小时的租赁费用是A实例每小时的租赁费用的两倍 C．A实例的租赁时间是B实例的租赁时间的两倍 D．B实例的租赁时间是A实例的租赁时间的两倍 4．若关于x的方程无解，则m的值是（    ） A．3 B．2 C．－3 D．－2 5．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A． B． C． D．或 6．解分式方程时，去分母正确的是（     ） A． B． C． D． 7．在课外活动跳绳时，相同时间内小林跳100次，小颖比小林多跳20次，已知小颖每分钟比小林多跳30次，求小颖每分钟跳多少次？设小颖每分钟跳次，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费元，第三次花费元，第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（   ） A．方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价 B．第一次购买节能灯的单价是元 C．第二次购买节能灯的数量比第一次多了个 D．如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为 9．某车间加工个零件后，采用了新工艺，工效提升了，这样加工同样多的零件就少用了．为了求采用新工艺前每小时加工多少个零件，设采用新工艺前每小时加工个零件，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 10．若数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数m的积为（　　） A． B．3 C． D．15 二、填空题 11．如图，点，，在数轴上对应的数分别是，，．若点到，两点的距离相等，则的值为__________． 12．对于任意不相等的实数，定义运算“”如下：．若，则x的值为______ ． 13．已知一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则k的值为_______． 14．某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多，结果提前10天完成任务．设原来每天制作x件，则可列方程是_______． 15．科幻题材《三体》首次影视化改编受到了观众的一致好评，其中大量的逼真特效镜头让网友大呼：科幻元年来了！所有的特效镜头全部由甲、乙、丙三家特效公司完成．三家公司共有8个渲染组，原计划三家公司每个渲染组每天渲染镜头数之比为．为了更好的呈现特效效果，三家公司均增加渲染组组数，减少每组工作量．甲公司渲染组增加1倍，乙与丙公司共增加4个渲染组．增加组数后，甲公司每组每天渲染镜头数比原来的一半少2个，乙、丙两个公司每组每天渲染镜头数都减少了4个，这样三家公司每天渲染镜头数总数比原计划多18个，甲公司每天渲染镜头数与三家公司每天渲染总镜头数之比为，则原计划三家公司每天渲染镜头总数为______． 三、解答题 16．解分式方程． (1) (2) (3) 17．对于，定义运算（其中）， (1)若，求的值； (2)若，，，比较与的大小关系． 18．某商城销售A，B两种自行车，A型自行车售价为2300元/辆，B型自行车售价为1950元/辆，每辆A型自行车的进价比每辆B型自行车的进价多300元，商城用60000元购进A型自行车的数量与用51000元购进B型自行车的数量相等． (1)求A，B两种自行车的进价分别是多少元/辆？ (2)现在商城准备一次购进这两种自行车共100辆，设购进A型自行车m辆，这100辆自行车的销售总利润为w元，要求购进B型自行车数量不少于A型自行车数量的2倍，且A型车辆至少30辆，请用含m的代数式表示w，并求获利最大的方案． 19．为丰富校园课外活动，鼓励同学们参与体育锻炼，某中学准备一次性购买若干个篮球和排球，已知用480元购买篮球的数量和用360元购买排球的数量相同，篮球的单价比排球的单价多15元． (1)求篮球和排球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际情况，需一次性购买篮球和排球共100个，但要求其总费用不超过5000元，那么学校最多可以购买多少个篮球？ 20．甲、乙两车分别从地出发，在、两地之间匀速往返行驶，甲的速度大于乙的速度，甲从地出发，乙从距离地千米的地方出发，两车同时出发，第一次相遇在距离地千米的地方，第二次相遇在距离地千米的地方，求、两地的距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C D A C A D A A 1．A 【详解】解：， ， ∴， 检验：当时，分母， 因此是原分式方程的解． 2．D 【详解】解：选项A ，分母是常数，不是未知数，是整式方程，不符合要求； 选项B，不是等式，不是方程，不符合要求； 选项C，分母都是常数，是整式方程，不符合要求； 选项D ，是等式，且分母都含有未知数，符合分式方程的定义． 3．C 【分析】先明确两个分式的实际意义，再根据给出的方程推导数量关系，即可得到缺失条件． 【详解】解：∵设A实例每小时的租赁费用为元，A、B两种实例每小时的租赁费用之和为100元， ∴B实例每小时的租赁费用为元 ∵两种实例的总租赁费用均为12800元， ∴表示A实例的租赁时间，表示B实例的租赁时间 已知方程为，即A实例的租赁时间是B实例租赁时间的两倍， 因此缺失条件为：A实例的租赁时间是B实例的租赁时间的两倍． 4．D 【分析】本题考查分式方程，能够掌握分式方程无解的条件是解题的关键． 先解方程得，再由方程无解得，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵， ①， ∵关于的方程无解， ∴，即； 把代入①，得，解得． 5．A 【分析】先求解原分式方程，再根据关于x的分式方程有增根得到的值，求解即可． 【详解】解：解得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴， 即， 解得：． 6．C 【分析】先确定分式的最简公分母，再给方程每一项同乘最简公分母消去分母，即可得到正确结果． 【详解】， 两个分式的最简公分母为， 给方程两边每一项同时乘 得：， 化简得：，和选项C一致． 7．A 【分析】本题主要考查了分式方程在实际生活中的应用．审清题意、找出等量关系是解题的关键． 设小颖每分钟跳次，，那么小林每分钟跳下．再根据相同时间内小林跳100次，小颖比小林多跳20次列出分式方程即可解答． 【详解】解：设小颖每分钟跳次，，那么小林每分钟跳下． 由题意可得： ． 故选：A． 8．D 【分析】根据总价，单价，数量的关系，逐一验证各选项即可得出结果． 【详解】解：∵方程中，是第二次购买的总价，是第三次购买的总价，且第二次和第三次购买的数量相同， 故第二次购买的单价为，第三次购买的单价为， ∵第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元， ∴表示第一次购买节能灯单价，故A选项说法正确，不符合题意； ， ， ， ， 解得， ∴ 第一次购买节能灯的单价是元，故B选项说法正确，不符合题意； 故第二次购买单价为元， ∴第一次购买数量为个，第二次购买数量为个，个， ∴ 第二次购买数量比第一次多个，故C选项说法正确，不符合题意； 若设第二次购买数量为个， ∵ 第二次和第三次购买数量相同， ∴ 第三次购买数量也为个， 故第二次单价为，第一次单价为，第三次单价为， ∵第三次单价比第一次单价多元， 故， 整理得，与选项D给出的方程不符，故D选项说法错误，符合题意． 9．A 【分析】先根据工效提升比例得到新工艺后的工作效率，再根据“加工同样多零件少用小时”找到等量关系，即可列出方程. 【详解】解：设新工艺前每小时加工个零件，已知工效提升，因此新工艺的工作效率为个/小时， 加工个零件，新工艺前用时为小时，新工艺后用时为小时， 由“新工艺加工同样多的零件少用小时”， 可得：． 10．A 【分析】本题主要考查解不等式组和解分式方程，解题的关键是注意分式方程的增根．先解不等式组，根据不等式组有解且至多3个整数解得到m的取值范围，再解分式方程，结合分式方程有整数解且分母不为0，找出符合条件的整数m，计算它们的积即可． 【详解】解：解不等式组 解①得 ， ∴不等式组的解集为 ， ∵不等式组有解且至多有3个整数解， ∴，解得， 解分式方程， 方程两边同乘得 ， 整理得 ， 当时，方程无解，不符合题意， 当时，， ∵分式方程分母不为0， ∴，即，得， ∵方程有整数解，m为整数， ∴是3的因数，即， 解得，排除，符合的整数m为， 它们的积为， 故选∶A． 11． 【分析】根据点到，两点的距离相等得出，解方程求出的值，再检验即可． 【详解】解：∵点到，两点的距离相等， ∴， 去分母得， 解得：， 经检验：是分式方程的解． ∴的值为． 【点睛】解分式方程时，最后要检验，避免出现增根． 12．3 【分析】本题考查新定义运算与分式方程的求解，需根据新定义分和两种情况，分别列出方程求解，再验证解是否满足前提条件，舍去不符合的解即可得到结果． 【详解】根据题意，分两种情况讨论： 1.当时，由定义得： ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得， ∵，符合条件， 故此解有效； 2.当时，由定义得： ， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， ∵，不符合的条件， 故此解舍去． 综上，x的值为3． 【点睛】理解新运算法则，根据新运算法则分情况讨论是解题的关键． 13． 【分析】先根据一次函数解析式求出图象与x轴、y轴的交点坐标，再根据三角形面积为3列出含绝对值的方程，求解即可得到k的值． 【详解】解：在中，当时，；当时，， 的图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为， 由题意可得：， 整理得， 解得， 经检验，均是原分式方程的解， ∴k的值为． 14． 【分析】根据工作时间等于工作总量除以工作效率，分别表示出原来和实际完成任务的时间，再根据提前10天完成建立等量关系即可 【详解】解：由题意可得，原来每天制作件，原来完成件订单需要的时间为， 实际每天制作件数比原来多，因此实际每天制作件数为， 实际完成订单需要的时间为，结果提前天完成， 即原来用时比实际用时多天， 因此可列方程： 15． 【分析】本题考查三元一次方程组与分式方程的应用，设甲、乙、丙三家公司分别有、、个渲染组，原计划三家公司每个渲染组每天渲染镜头数分别为、、，再根据题意分别列方程，最后消元求解即可． 【详解】设甲、乙、丙三家公司分别有、、个渲染组，原计划三家公司每个渲染组每天渲染镜头数分别为、、， ∴， 原计划三家公司每天渲染镜头总数为， 改变后甲、乙、丙三家公司分别有、、个渲染组，原计划三家公司每个渲染组每天渲染镜头数分别为、、， ∵三家公司每天渲染镜头数总数比原计划多18个， ∴， 整理得 ∴， ∵，为正整数， ∴，， ∵甲公司每天渲染镜头数与三家公司每天渲染总镜头数之比为， ∴甲公司每天渲染镜头数与乙丙两家公司每天渲染总镜头数之比为， ∴ ∴， 整理得， 由可得， ∴， 整理得 ∴， ∵，，，且、、为正整数， ∴是的倍数， ∴当时，，，， 当时，，不是的倍数， 当时，，不是的倍数， 当时，，不是的倍数， 当时，，不是的倍数， 当时，，不是的倍数， 当时，，不是的倍数， 综上所述，，，， ∴ 故答案为：． 16．(1) (2) (3)原方程无解，是方程的增根 【分析】根据去分母，去括号，移项，系数化为1，检验的步骤解方程即可； 【详解】（1）， 两边同时乘以， ， ， ， ， 检验：把代入中：， 是方程的解； （2）， 两边同时乘以， ， ， ， 检验：把代入中：， 是方程的解； （3）， 两边同时乘以：， ， ， ， 检验：把代入中：， 原方程无解，是方程的增根． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据给定运算写出的表达式，通过等式变形即可求出m的值； （2）先根据运算得到A和B的表达式， 利用作差法比较大小，结合判断差的符号，即可得到A与B的大小关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ （2）解：， ， ∵ ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 18．(1)A，B两种自行车的进价分别是2000元/辆，1700元/辆 (2)，获利最大的方案是A型自行车33辆，B型自行车67辆 【分析】（1）设每辆B型自行车的进价为x元，则每辆A型自行车的进价是元，根据题意列分式方程求解即可； （2）根据A，B两种自行车的进价及售价即可得到w，求出m的取值范围，根据一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：设每辆B型自行车的进价为x元，则每辆A型自行车的进价是元， ， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：A，B两种自行车的进价分别是2000元/辆，1700元/辆； （2）解：由题意可得，， ， ∴w随m的增大而增大， 由题意可知且， 解得，， ∵m是整数， ∴当时，w取得最大值， 即，获利最大的方案是A型自行车33辆，B型自行车67辆． 19．(1)篮球的单价是60元，排球的单价是45元； (2)学校最多可以购买33个篮球． 【分析】（1）根据数量相等的等量关系，设未知数列出分式方程，求解检验后即可得到单价； （2）根据总费用不超过5000元的要求，设未知数列出一元一次不等式，求解后取最大正整数即可得到结果． 【详解】（1）解：设篮球的单价是元，则排球的单价是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：篮球的单价是60元，排球的单价是45元． （2）解：设学校可以购买个篮球，则可以购买个排球， 依题意得：， 化简得：， 解得：， 为正整数， 可以取的最大值为33， 答：学校最多可以购买33个篮球． 20．、两地的距离为千米 【分析】设、两地的距离为千米，甲的速度为千米时，乙的速度为千米时，根据第一次相遇甲乙所走路程可得 ，第二次相遇时，甲从返回走的路程为，乙还没到时走的路程为，列方程求解即可. 【详解】解：设、两地的距离为千米，甲的速度为千米时，乙的速度为千米时， 第一次相遇时，甲走了千米，乙走了千米， 即 ， ∵甲的速度大于乙的速度， ∴第二次相遇时，甲从返回乙还没到时，甲走的路程为，乙走的路程为， ∵时间相同， ， ， 解得：， 答：、两地的距离为千米. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $