5.3分式方程的解法同步练习2025-2026学年北师大新版八年级下册数学

5.4分式方程的解法同步基础练习题 一．选择题 1．下列关于x的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．将分式方程去分母，正确的是（　　） A．2（x﹣2）＝3（x+2）+5 B．2（x+2）＝3（x﹣2）+5（x+2）（x﹣2） C．2＝3+5（x+2）（x﹣2） D．2（x﹣2）＝3（x+2）+5（x+2）（x﹣2） 3．将分式方程3化为整式方程，正确的是（　　） A．x﹣2＝3 B．x+2＝3 C．x﹣2＝3（x﹣2） D．x+2＝3（x﹣2） 4．解分式方程时，去分母变形正确的是（　　） A．2﹣6x+2＝﹣5 B．6x﹣2﹣2＝﹣5 C．2﹣6x﹣1＝5 D．6x﹣2+1＝5 5．若分式和的值相等，则x的值为（　　） A．3 B．1 C．﹣2 D．﹣3 6．小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（　　） A． B． C． D． 7．小海解分式方程的过程如表所示，他从某一步开始出现了错误，则出现错误的是（　　） 解：方程整理，得，第一步 去分母，得x﹣1﹣1＝3x﹣4，第二步 移项，合并同类项，得x＝1，第三步 经检验x＝1是原分式方程的解．第四步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 8．关于x的分式方程的解是x＝2，那么k的值是（　　） A．4 B．2 C． D． 9．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．m＝2或m＝6 B．m＝2 C．m＝6 D．m＝2或m＝﹣6 10．若关于x的方程有增根，则m的值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．﹣1 11．关于x的方程解为非负数，则k的取值范围是（　　） A．k≤2 B．k≥2 C．k≤2且 D．k≥2且 12．若关于x的方程2的解为正数，则m的取值范围是（　　） A．m＜6 B．m＞6 C．m＜6且m≠0 D．m＞6且m≠8 13．已知关于x的分式方程1的解是负数，则m的取值范围是（　　） A．m≤3 B．m≤3且m≠2 C．m＜3 D．m＜3且m≠2 14．若分式方程无解，则a的值是（　　） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 15．关于x的方程无解，则m的值为（　　） A．﹣5 B．﹣8 C．﹣2 D．5 16．若关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程有正整数解，则满足条件的整数a的值为（　　） A．2或3 B．3或4 C．2或5 D．2或3或5 17．若整数a使关于x的不等式组有且只有3个整数解，且使关于y的分式方程的解满足y＜5，则所有满足条件的整数a的值之积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．10 18．若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程2的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（　　） A．8 B．14 C．18 D．38 二．填空题 19．当x＝ 　 　 时，分式与的值互为相反数． 20．关于x的分式方程有增根，则增根为　 　 ． 21．若关于x的分式方程无解，则m＝　 　 ． 22．关于x的分式方程3的解为非负数，则a的取值范围为　 　 ． 23．已知关于x的方程的解大于1，则实数m的取值范围是　 　 ． 三．解答题 24．解方程：． 25．解方程：1． 26．解方程． （1）． （2）2． 27．解方程：1 28．小方同学解分式方程的过程如下，请认真阅读并解答下列问题： 解：第一步： 第二步：1﹣x＝6+1 第三步：﹣x＝﹣6+1﹣1 第四步：x＝6 第五步：检验：当x＝6时，x﹣6＝0 第六步：原分式方程无解． （1）解分式方程需要去分母：去分母的依据是（　 　 ）（填序号）； ①分式基本性质；②等式基本性质；③乘法分配律． （2）小方的解法在第　 　 步出错； （3）写出正确的解答过程． 29．在解分式方程2时，小李的解法如下： 第一步：•（x﹣2）•（x﹣2）﹣2， 第二步：1﹣x＝﹣1﹣2， 第三步：﹣x＝﹣1﹣2﹣1， 第四步：x＝4， 第五步：检验：当x＝4时，x﹣2≠0， 第六步：∴原分式方程的解为x＝4． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 30．嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字◆印刷不清楚． （1）他把“◆”猜成5，请你解方程：； （2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？ 31．已知，关于x的分式方程1． （1）当a＝2，b＝1时，求分式方程的解； （2）当a＝1时，求b为何值时分式方程1无解； （3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程1的解为整数时，求b的值． 参考答案与试题解析 一．选择题 1．【解答】解：②，④是分式方程； ①，③是一元一次方程； 所以是分式方程的是②④， 故选：B． 【点评】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键． 2．【解答】解：， 去分母，方程两边都乘（x+2）（x﹣2）得： 2（x﹣2）＝3（x+2）+5（x+2）（x﹣2）， 故选：D． 【点评】本题考查了解分式方程，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3．【解答】解：去分母得：x+2＝3（x﹣2）， 故选：D． 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 4．【解答】解：原方程两边同乘2（1﹣3x）得2（1﹣3x）+2＝﹣5， 即2﹣6x+2＝﹣5 故选：A． 【点评】本题考查解分式方程﹣去分母，找到正确的最简公分母是解题的关键． 5．【解答】解：∵分式和的值相等， ∴， 去分母得：4＝2（x﹣2）+2， 去括号得：4＝2x﹣4+2 移项得：4+4﹣2＝2x， 合并同类项得：2x＝6， 系数化为1得：x＝3， 经检验，x＝3 是原方程的解， ∴x＝3， 故选：A． 【点评】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 6．【解答】解：设撕坏的一角■＝x，则原式可表示为：根据图片信息列出方程可得： ， ， ， ， ， 故选：A． 【点评】本题考查了分式方程的变形与求解，核心是通过逆向推导还原被撕去的表达式；解题的关键是利用等式性质，将已知部分变形为方程并求解未知项． 7．【解答】解：分式方程， 原方程整理后为，去分母时两边应同乘x﹣2， ∴左边：， 右边：， 得1＝3x﹣4， 但小海第二步写为x﹣1﹣1＝3x﹣4，错误在于未将﹣1乘以x﹣2， ∴出现错误的是第二步， 故选：B． 【点评】本题考查解分式方程，根据解分式方程的步骤进行判断即可，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 8．【解答】解：∵关于x的分式方程的解是x＝2， ∴， 即k， 故选：D． 【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键． 9．【解答】解：， x+m﹣x（2+x）＝4﹣x2， 解得：x＝m﹣4， ∵分式方程有增根， ∴4﹣x2＝0， ∴x＝±2， 当x＝2时，m﹣4＝2， ∴m＝6， 当x＝﹣2时，m﹣4＝﹣2， ∴m＝2， ∴m的值是6或2， 故选：A． 【点评】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后，代入到整式方程中进行计算是解题的关键． 10．【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），得 m﹣1﹣x＝0， ∵方程有增根， ∴最简公分母x﹣1＝0，即增根是x＝1， 把x＝1代入整式方程，得m＝2． 故选：B． 【点评】增根问题可按如下步骤进行： ①确定增根的值； ②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 11．【解答】解：原方程可变形为， x+k﹣4k＝3（x﹣2）， x﹣3k＝3x﹣6， 2x＝6﹣3k， 解得：， ∵方程的解为非负数，且分式分母不为0， ∴， 解不等式得，k≤2， 解不等式得，， ∴k的取值范围是k≤2且． 故选：C． 【点评】本题考查了解分式方程，分式方程的解，掌握解分式方程的步骤是关键． 12．【解答】解：原方程化为整式方程得：2﹣x﹣m＝2（x﹣2）， 解得：x＝2， 因为关于x的方程2的解为正数， 可得：， 解得：m＜6， 因为x＝2时原方程无解， 所以可得， 解得：m≠0． 故选：C． 【点评】此题考查分式方程的应用，关键是根据分式方程的解法进行分析． 13．【解答】解：1 解得：x＝m﹣3， ∵关于x的分式方程1的解是负数， ∴m﹣3＜0， 解得：m＜3， 当x＝m﹣3＝﹣1时，方程无解， 则m≠2， 故m的取值范围是：m＜3且m≠2． 故选：D． 【点评】此题主要考查了分式方程的解，正确得出分母不为零是解题关键． 14．【解答】解：， 方程两边同时乘x﹣3得： ax﹣3＝2（x﹣3）， ax﹣3＝2x﹣6， ax﹣2x＝3﹣6， （a﹣2）x＝﹣3， ∵分式方程无解， ∴x﹣3＝0， ∴x＝3， ∴3（a﹣2）＝﹣3， 解得：a＝1， ∵分式方程无解， ∴a﹣2＝0， 解得：a＝2， 综上可知：a＝2或1， 故选：D． 【点评】本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握分式方程无解的条件． 15．【解答】解：去分母得：3x﹣2＝2x+2+m， 由分式方程无解，得到x+1＝0，即x＝﹣1， 代入整式方程得：﹣5＝﹣2+2+m， 解得：m＝﹣5， 故选：A． 【点评】此题考查了分式方程的解，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 16．【解答】解：若关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程有正整数解， 由不等式①得x≤3， 由不等式②得x＞a﹣2， ∵关于x的不等式组有解， ∴a﹣2＜3， 解得：a＜5； 解分式方程得：， ∵y﹣1≠0， ∴y≠1， ∴， ∴a≠5， ∵关于y的分式方程有正整数解， ∴a﹣1是4的正约数，即a﹣1＝1或2或4， ∴a＝2或3或5， ∵a≠5， ∴a＝2或a＝3， 结合a＜5，满足条件的整数a为2或3． 故选：A． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的解，分式方程的解，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的方法，是解题的关键． 17．【解答】解：， 解得：， ∵不等式组有且只有3个整数解， ∴， 解得：﹣2＜a≤4， 将分式方程的两边都乘以y﹣3得， a﹣3＝3﹣y， 解得：y＝6﹣a， ∵y＜5且y≠3， 即6﹣a＜5且6﹣a≠3， ∴a＞1且a≠3， 综上所述，1＜a≤4且a≠3， 又∵a为整数， ∴a＝2或a＝4， 即满足条件的整数a的值之积为2×4＝8． 故选：C． 【点评】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，掌握相应的运算法则是关键． 18．【解答】解：． 解①得：x≤5． 解②得：． ∵关于x的不等式组至少有两个正整数解． ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数， 当时，解集包含x＝4，5， 此时a≤9， 分式方程化简为：， 解得， 要求解为正整数且x≠1，则为大于2的整数， 即a为大于等于6的偶数， ∵a≤9， ∴a＝6或8， 当a＝6时，不等式组的解集为2.5≤x≤5，整数解为3，4，5，满足条件， 当a＝8时，不等式组的解集为3.5≤x≤5，整数解为4，5，满足条件， 则所有满足条件的整数a之和为6+8＝14， 故选：B． 【点评】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，注意正确运算． 二．填空题 19．【解答】解：∵分式与的值互为相反数， ∴． ∴x+2＝2﹣x． ∴x＝0． 经检验，x＝0是分式方程的解． 故答案为：0． 【点评】本题考查了分式方程，掌握分式方程的解法是解决本题的关键． 20．【解答】解：关于x的分式方程有增根， 则x﹣2＝0， 解得：x＝2， 即它的增根为x＝2， 故答案为：x＝2． 【点评】本题考查分式方程的增根，熟练掌握其定义是解题的关键． 21．【解答】解：（1）x＝﹣2为原方程的增根， 此时有2（x+2）+mx＝3（x﹣2），即2×（﹣2+2）﹣2m＝3×（﹣2﹣2）， 解得m＝6． （2）x＝2为原方程的增根， 此时有2（x+2）+mx＝3（x﹣2），即2×（2+2）+2m＝3×（2﹣2）， 解得m＝﹣4． （3）方程两边都乘（x+2）（x﹣2）， 得2（x+2）+mx＝3（x﹣2）， 化简得：（m﹣1）x＝﹣10． 当m＝1时，整式方程无解． 综上所述，当m＝﹣4或m＝6或m＝1时，原方程无解． 【点评】分式方程无解，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形． 22．【解答】解：3， 方程两边同乘以x﹣1，得 2x﹣a+1＝3（x﹣1）， 去括号，得 2x﹣a+1＝3x﹣3， 移项及合并同类项，得 x＝4﹣a， ∵关于x的分式方程3的解为非负数，x﹣1≠0， ∴， 解得，a≤4且a≠3， 故答案为：a≤4且a≠3． 【点评】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解分式方程的方法． 23．【解答】解：方程两边乘x﹣2得：x+m＝2﹣x， 移项得：2x＝2﹣m， 系数化为1得：x， ∵方程的解大于1， ∴1，且2，解得m＜0，且m≠﹣2． 故答案为：m＜0，且m≠﹣2． 【点评】本题主要考查了分式方程的解，解题的关键是不要漏掉分式方程有意义的条件． 三．解答题 24．【解答】解：方程两边都乘3（x+1）， 得：3x﹣2x＝3（x+1）， 解得：x， 检验：当x时，3（x+1）≠0， ∴x是方程的解， ∴原方程的解为x． 【点评】当分母是多项式，又能进行因式分解时，应先进行因式分解，再确定最简公分母．分式方程里单独的一个数和字母也必须乘最简公分母． 25．【解答】解：方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得 （x+1）2﹣4＝（x+1）（x﹣1）， 整理得2x﹣2＝0， 解得x＝1． 检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0， 所以x＝1是增根，应舍去． ∴原方程无解． 【点评】解分式方程的关键是两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，易错点是忽视检验． 26．【解答】解：（1）去分母，得 5（2x+1）＝x﹣1， 去括号，得 10x+5＝x﹣1， 移项，合并同类项，得 9x＝﹣6， 系数化为1，得 x， 检验：把x代入（x﹣1）（2x+1）≠0， 所以x是原方程的解； （2）去分母，得 1+2（x﹣2）＝x﹣1， 去括号，得 1+2x﹣4＝x﹣1， 移项，合并同类项，得 x＝2， 检验：把x＝2代入x﹣2＝0，因此x＝2不是原分式方程的解， 所以此方程无解． 【点评】本题考查了解分式方程，解决本题的关键是解分式方程时要验根． 27．【解答】解：去分母得：2x2﹣8＝x2﹣2x，即x2+2x﹣8＝0， 分解因式得：（x﹣2）（x+4）＝0， 解得：x＝2或x＝﹣4， 经检验x＝2是增根，分式方程的解为x＝﹣4． 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 28．【解答】解：（1）解分式方程需要去分母：去分母的依据是等式基本性质， 故答案为：②； （2）小方的解法在第一步出错， 故答案为：一； （3）， ， 1﹣x＝﹣6+x﹣6， ﹣x﹣x＝﹣6﹣6﹣1 ﹣2x＝﹣13， x， 检验：当x时，x﹣6≠0， 所以原分式方程的解是x． 【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 29．【解答】解：小李的解法中，第一步是去分母； 去分母的依据是：等式的基本性质； 小李的解答过程不正确； 正确的解答过程： 2， 去分母，得•（x﹣2）•（x﹣2）﹣2（x﹣2），整理，得1﹣x＝﹣1﹣2x+4， 移项并合并，得x＝2． 检验：当x＝2时，x﹣2＝0． ∴原分式方程无解． 【点评】本题考查了分式方程，掌握分式方程的解法是解决本题的关键． 30．【解答】解：（1）方程整理得：2， 去分母得：x＝2（x﹣3）+5， 解得：x＝1， 检验：把x＝1代入得：x﹣3≠0， ∴分式方程的解为x＝1； （2）设原题中“◆”是a， 方程变形得：2， 去分母得：x＝2（x﹣3）+a， 由分式方程无解，得到x＝3， 把x＝3代入整式方程得：a＝3． 【点评】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，解分式方程利用了转化的思想，注意要检验． 31．【解答】解：（1）把a＝2，b＝1代入分式方程 中，得， 方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5）， 2（x﹣5）﹣（1﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5）， 2x2+3x﹣13＝2x2﹣7x﹣15， 10x＝﹣2， x， 检验：把x 代入（2x+3）（x﹣5）≠0，所以原分式方程的解是x． 答：分式方程的解是x． （2）把a＝1代入分式方程 得， 方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5）， （x﹣5）﹣（b﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5）， x﹣5+2x2+3x﹣2bx﹣3b＝2x2﹣7x﹣15， （11﹣2b）x＝3b﹣10， ①当11﹣2b＝0时，即，方程无解； ②当11﹣2b≠0时，， 时，分式方程无解，即，b不存在； x＝5时，分式方程无解，即，b＝5． 综上所述，或b＝5时，分式方程 无解． （3）把a＝3b代入分式方程 中，得： 方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5）， 3b（x﹣5）+（x﹣b）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5）， 整理得：（10+b）x＝18b﹣15， ∴， ∵，且b为正整数，x为整数， ∴10+b必为195的因数，10+b≥11， ∵195＝3×5×13， ∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195， 但1、3、5 小于11，不合题意，故10+b可以取13、15、39、65、195这五个数． 对应地，方程的解x为3、5、13、15、17， 由于x＝5为分式方程的增根，故应舍去． 对应地，b只可以取3、29、55、185， 所以满足条件的b可取3、29、55、185这四个数． 【点评】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/15 17:22:11；用户：微信用户；邮箱：or ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $