5.3 分式方程(第2课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级下册数学同步练习（北师大版2024）

口数学 八年级下册（北师大版） 分式方程（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题 解方程： 2x+2x+2-x2-2 xx-2x2-2x9 【分析】方程两边都乘最简公分母x2-2x,将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的 解，经检验即可得到分式方程的解。 【解答】方程两边都乘x2-2x,得(2x+2)(x-2)-x(x+2)=x2-2。 解这个方程，得x=乃· 检验：将=}代人原方程，左边=了=右边。 所以=-2是原方程的根。 【点拨】本题应用转化思想，通过去分母把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程 一定注意要验根。 基础巩固达标闯关 es每 1.方程3=1的解是 2x+3 2若分式23的值是2，则：的值是 3.关于x的方程m=1的解是负数，则m的取值范围是 x+2 4.分式方程5。=3的解是（) x-2x A.x=-3 B.x=2 C.x=3 D.x=-2 5若关丁x的方程2的增根是x3,则m的值为（） x-3 A.-3 B.3 C.-1 D.1 6.解下列各分式方程。 (1)1=3 (2)3m-4_6m+5=0. x-2x 2m4m-1 企 分式与分式方程 第五章 (3)-2-1=16 1 +2 x240 (4)2x+1 x2-2x+1 ÷x-1-x +2=0。 能力提升晔综合拓展 7.某年我国多地出现洪涝灾害，洪水毁坏了多条公路。一筑路工程队接受抢修路段长为 4800m的国道任务，为了保障灾区人民的物资供应，该工程队加快了抢修进度，实际工作 效率比原计划提高了20%，结果提前2h完成任务，求原计划每小时抢修的公路长度。 8.怎么能有8=-2的呢？小红边算边琢磨，可是怎么也找不出原因来。 下面是小红的解题过程： 解方程：)+3=35。先把方程左边通分，得35-3-5 x-2 8+x x-28+x1 方程两边约去3x-5,得1=L,即x-2=+8,所以8=-2。 x-28+x 同学们，问题出在何处呢？请你帮助小红找出原因。 9.【阅读材料】 对于非零实数a,b,若关于x的分式x-@)(x-b的值为零，则解得=a,=b。又因为 (x-a）(x-b)=+b-(a+b),所以关于x的方程x+=a+b的解为x1=a,x=b。 【理解应用】 (1)根据阅读材料提供的信息，直接写出分式方程+2=5+2的解。 5 【知识迁移】 (2)若关于x的方程x+3=7的解为x=a,x=b,求+b2的值。 3 口数学 八年级下册（北师大版） *10.若关于x的分式方程-3=2m+m,无解，求m的值。 x-1 x-1 中考链接©真题演练 -s多 11.(2025北京)方程2+1=0的解为 x-6x 12.(2025武汉)方程1=4的解为 x-1x2-1 13.(2025·黑龙江)已知关于x的分式方程+-2k=3的解为负数，则k的取值范围为 x-44-x ( A.k<-4 B.k>-4 C.k<-4且k≠- 3 D.k>-4且k≠-4 3 14.(2025:浙江)解分式方程：0. 15.(2025·广东)在解分式方程1==1-2时，小李的解法如下： x-22-x 第-步：号x-2)2-2-2。 x-2 第二步：1-x=-1-2。 第三步：-=-1-2-1。 第四步：x=4。 第五步：检验：当x=4时，x-2≠0。 第六步：.原分式方程的解为x=4。 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确， 若不正确，请写出你的解答过程。 企参考答案与提示 答：种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试 验田的产粮量都为500kg。(2)“丰收1号”的单位面 1.解：原式=2a+1÷a+12+1.a aa ，a(a+1)p 积产量为500，丰收2号”的单位面积产量为500 a21 (a-1)29 41。 当a=V5-1时，原式=1 51 V5-1+1V5 500-500=500[(a-l)-(at1)1=- 1000 2-1(a-12 (a+1)(a-1)2, V⑤ (a+1)(a-1)2 (a+1)(a-1)2>0,.- 19000.9 1000 500 12解：原式w++w+小 x-Y :丰收2号小支单位面积产量育高。÷鸡 .-y=。(x+2P+-l=0,+2-0, (x+y)(x-y）xx+y ×0山-答：丰收2号小支的 l0。=2,l。原式2l。 单位面积产量高，高的单位面积产量是低的单位面积 3分式方程（第1课时） 产量的倍。 1.①④2.66-60 3.C4.D5.B x+2 x 2分式的运算（第4课时）】 1w中2) 6.解：1000-600 x+20x0 7解：+兴-120， a 2.解：原式=13-x -31 1 8.解：(1)x+20-9。 (2)+nn+l-2n+l。 +i3‘x+1x++x+D 9.6000=10010.A 女当V7时，原式7竖。 x+50x V22· 3分式方程（第2课时） 3解：原式品解不等式组1得-46 1.x=-92.33.m<2且m≠04.A5.B 2x+5<1, -2。x为整数，x=-3。当=-3时，原式=3=2。 6.(1)x=3 2)m费 (3)x=-2是增根， -3+1 (a() 4.解：La(b+l)+b(a+l)_2ab+a+b 原方程无解。 ④)=分 (a+1)(b+1) 7.解：设原计划每小时抢修的公路长为xm。根 a+b+2 +.当b=1时，P2g出山，02t a+b+2 (1+20%元+2，解得x=400。经检 据题意，得4800=4800 ∴P=Q 验：x=400是原方程的解。 答：略。 5.解：将已知等式变形得x-l,即2x2。 8.解： 3x-5_3-5,方程两边同时乘以(x+2)(8+ x-28+x 2y。·原式1 原分式化简得。1 0 ,方程化为3-50，解得=亨。经检验，=号是 6.解：由题意得，涨价前疫苗的单价为严元，涨 n 方程的解。小红将方程两边约去(3x-5)时，没有考 虑3x-5是否为0，而由上述方程变换可知3x-5=0, 价后疫苗的单价为，元，则疫苗每支所涨的钱数为 小红实质是在方程两边同除以0，所以出现8=-2的错 m-m=3(元)。 误结论。 n-3 n n2-3n 只解：)5，号 (2)方程x+3=7 7.解：小芳的妈妈买的油平均每千克为+y= 的解为x1=0,2=b,.a+b=7,ab=3。.a2+b2=(a+b)2 空（元），李阿姨买的油平均每千克为2b::+女》 2ab=49-6=43。 x y 10.解：方程两边都乘以(x-1),得x-3=2m(x-1) （元.y学得码0，铜 +m。整理方程，得(2m-1)x=m-3。当x=1时，分式 x+y 姨的购买方式合算。 方程的分母x-1=0,即分式方程有增根，此分式方程 8.解：原式=1，×(m+12_1=m+1_1-m_1 无解。把x=1代入(2m-1)x=m-3,解得m=-2。当 m+1× mmmmm m2o 2m-l0,即m号时，方程(2m-1x=m-3无解，分式 9解：原式“22导 方程无解。综上所述，若分式方程无解，m的值为-2 1。 或1 10.解：原式=+2-1.（+2y=+1.(+2 11.=212.x=313.A =x+2。 x+2x+1x+2x+1 14.解：方程两边同乘(x+1)(x-1),得3(x-1)- 数学 八年级下册（北师大版） (x+1)=0。去括号，得3x-3-x-1=0。解得x=2。检验： 机器每小时分拣20x件。根据题意，得6000-6000 将=2代入(x+1)(x-1)≠0，.原分式方程的解为=2。 20x5x20x 15.解：小李的解法中，第一步是去分母，去分母 =4。解得x=60。经检验，x=60是原分式方程的解。 的依据是等式的基本性质。小李的解答过程不正确。 答：人工每人每小时分拣60件。(2)设需要安排 正确的解答过程：去分母，得受x-2)·-2) y台分拣机。根据题意，得16x20x60y≥100000。解 -2(x-2)。整理，得1-x=-1-2x+4。移项并合并，得= 得y≥票-5京y为正整数，的量小值为6 241 2。检验：当x=2时，x-2=0。原分式方程无解。 答：至少需要安排6台这样的分拣机。 3分式方程（第3课时） 10.解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨 1.2400-15002.B x公里，根据题意，得80-116-22。解得x=2。经检 x-9 0.5xx 3.解：设甲每分钟跳x次，那么乙每分钟跳(x- 验，x=2是原方程的解。答：一辆该型号快速换轨车 20次。根据题意，得@0想，解得180，经 每小时更换钢轨2公里。 11.解：(1)由题意，设每个A种挂件的价格为 检验，=180是所列方程的根。答：甲每分钟跳180次。 x元，则每个B种挂件的价格为号x元。根据题意， 4.解：设这批单目显微镜的单价为x元，则双目显 微镜的单价为1.5x元。由题意，得8320+6720=40。 得300-200+7。解得=25。经检验，x=25是原方程 4 1.5x 5x 解得x=320。经检验，x=320是原方程的根。1.5x= 的根。答：每个A种挂件的价格为25元。(2)由 1.5×320=480。答：这批双目显微镜的单价为480元。 题意，设该游客最多购买m个A种挂件，则购买 5.解：设B型号的“文房四宝”的单价是x元， (m+5)个B种挂件，又结合(1)知每个A种挂件的 则A型号的“文房四宝”的单价是(1+30%)x元。根 据题意，得300_43003000-20。解得=10。经 价格为25元，每个B种挂件的价格为号×25=20元。 x(1+30%)x 检验，=100是所列方程的解。∴.(1+30%)x=(1+30%)× 根据题意，得25m+20m+5)≤60。m≤9=1g。 100=130(元)。答：A型号的“文房四宝”的单价是 又7m为整数，m=11,则该游客最多购买11个A 130元，B型号的“文房四宝”的单价是100元。 种挂件。 6.解：(1)设商场第一次购进x套运动服。由题 12.解：(1)设A种帐篷的单价为x元。由题 意得68000_32000=10。解这个方程，得x=200。经 2x 意，得1800-3000 xx+400 解得=600。经检验，x=600是 检验，x=200是所列方程的根。2x+x=600（套)。答： 所列原方程的解。x+400=600+400=1000(元)。答： 该商场两次共购进这种运动服600套。(2)设每套 A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000 运动服的售价为y元。由题意，得60032000-68000 元。(2)设购买A种帐篷m顶，则购买B种帐篷 32000+68000 ×100%≥20%。解这个不等式，得y≥200。答：每套 (20-m)顶，总费用为取元。由题意，得20-m≥号m。 售价至少是200元。 解得m≤15。又.：两种型号的帐篷均需购买，：0<m≤ 7.解：(1)由图象，可得甲车的速度为280-120 15。W=600m+1000(20-m)=-400m+20000。:-400<0, 2 .W随m的增大而减小。.当m=15时，W取最小值 =80(km/h),即甲车的速度是80km/h。(2)相遇 W小=-400x15+20000=14000。此时20-m=5。答：当 时间为00-2。由题意，可得+器-02 80+60 购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低， a 解得a=75。经检验，a=75是原分式方程的解，即a的 最低总费用为14000元。 值是75。 第六章平行四边形 8.解：(1)设这项工程的规定时间为x天。根据 1平行四边形的性质（第1课时） 题意，得+15+10-1。解得x=30。经检验， 1.142°，38°，142°2.26°3.20或284.3 2 x=30是原分式方程的解。答：这项工程的规定时间是 5.C6.B 30天。(2)设这项工程由甲、乙队合作完成，所 7.解：∠ABC=135°，∠C=45°，CD=BD=3V2。 需的时间为y天，则动01。解得)-25。 8.证明：：四边形ABCD是平行四边形，AB= CD,AB∥CD,即BE∥CD。∴.∠D=∠EAF。又AF= 该工程施工费用为22.5×(6500+3500)=225000（元）。 AB,.AF=CD.BE=AD,BE=AB+AE,AD=AF+DF. 答：该工程施工费用为225000元。 .'AE=DF。∴.△AEF≌△DFC(SAS)。 9.解：(1)设人工每人每小时分拣x件，则每台 9.解：(1)AE⊥BC于点E,.∠AEB=90°。