第09讲 点到直线的距离（三大题型归纳+分层练）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏教版2019选修一）

第09讲 点到直线的距离 目录 题型归纳 1 题型01 点到直线的距离公式 2 题型02 点到直线的距离公式的简单应用 4 题型03 点到直线距离公式的综合应用 7 分层练习 9 夯实基础 9 能力提升 16 创新拓展 23 点到直线的距离公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝____________________. 注意点： (1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)分子含有绝对值； (3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 题型01点到直线的距离公式 【解题策略】 两点到直线的距离相等，可用几何法，即直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，此类题型也可用代数法． 【典例分析】 课本例4　分别求点P(－1,2)到下列直线的距离： (1)2x＋y－10＝0； (2)3x＝2. 【例1】(1)已知直线l1：3x－y＝0，l2：4x＋y－7＝0，l3：3x－4y－6＝0，则l1，l2的交点A到l3的距离为(　　) A. B．3 C．2 D．1 (2)已知两点A(3,2)，B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为(　　) A．－6或1 B．－或1 C．－或 D．－6或 【变式演练】 【变式1】（23-24高二下·湖北·期中）已知直线恒过定点，则点到直线的距离为 . 【变式2】（23-24高二下·上海·期中）点到直线的距离为 . 【变式3】（23-24高二上·全国·期中）已知的三个顶点的坐标分别为. (1)求点到直线的距离； (2)求边上的高所在直线的方程. 题型02 点到直线的距离公式的简单应用 【解题策略】 　求点到直线的距离时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式；直线方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)中A＝0或B＝0时，公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可采用数形结合法求点到直线的距离． 【典例分析】 【例2】求过点P(1,2)且与点A(2,3)，B(4，－5)的距离相等的直线l的方程． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·重庆永川·阶段练习）已知直线经过点，且点到直线的距离相等，则直线的方程为 . 【变式2】（22-23高二上·四川雅安·开学考试）到，的距离相等的动点P满足的方程是 . 【变式3】（2023高二上·江苏·专题练习）求经过两直线与的交点，且与点的距离为5的直线l的方程. 题型03 点到直线距离公式的综合应用 【解题策略】 解决有限制条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的． 【典例分析】 【例3】（23-24高二上·福建福州·期末）已知直线与直线间的距离为2，则（    ） A．或4 B．4 C．或6 D．或16 【变式演练】 【变式1】（22-23高二上·河南驻马店·期末）点到直线距离的最大值为（    ） A．5 B． C． D．3 【变式2】（23-24高二下·上海·期中）设，若直线与直线之间的距离为，则的值为 ． 【变式3】（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）已知直线l：． (1)若l不经过第三象限，求a的取值范围； (2)求坐标原点O到直线l距离的最小值，并求此时直线l的方程． 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·广西北海·期末）已知点到直线的距离相等，则（    ） A．－1或0 B． C．－1 D．2 2．（23-24高二上·北京平谷·期末）圆心为，且与直线相切的圆的半径为（    ） A． B．2 C．8 D． 3.（23-24高二上·河南南阳·期末）点为两条直线和的交点，则点到直线：的距离最大为（    ） A． B． C． D．5 4．（23-24高二下·浙江·开学考试）已知点及直线上一点，则的值不可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 5．（23-24高二上·江苏·阶段练习）已知直线，则（    ） A．直线始终过第二象限 B．时，直线的倾斜角为 C．时，直线过点 D．点到直线的最大距离为 6．（23-24高二上·山东济宁·期末）已知直线l：，则下列说法中正确的是（   ） A．直线l恒过点 B．若直线l的倾斜角为，则 C．原点到直线l距离的最大值为 D．若直线l不经过第四象限，则 三、填空题 7．（22-23高二下·上海·期中）点到直线的距离是 . 8．（23-24高二上·广东广州·期末）若点在直线上，则的最小值为 . 9．（22-23高二上·云南昆明·期中）在△ABC中，点，，，则的面积为 ． 四、解答题 10．（23-24高二上·四川南充·阶段练习）已知直线； (1)证明：直线l过定点； (2)已知点，当点到直线l的距离最大时，求实数m的值． 11.（22-23高二上·广东东莞·阶段练习）已知直线：，直线：． (1)分别写出直线、恒过定点P、Q的坐标，并求直线PQ的方程； (2)若直线、相交于点R（异于P、Q两点），求△PQR面积的最大值． 【能力提升】 一、单选题 1．（2023高二上·全国·专题练习）若原点到直线的距离为1，则a，b，c应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北石家庄·期中）若点到直线l：的距离为3，则（ ） A．2 B．3 C． D．4 3．（2023·江苏南京·一模）已知实数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高三下·上海松江·阶段练习）若对一个角，存在角满足，则称为的“伴随角”.有以下两个命题： ①若，则必存在两个“伴随角”； ②若，则必不存在“伴随角”； 则下列判断正确的是（    ） A．①正确②正确； B．①正确②错误； C．①错误②正确； D．①错误②错误. 二、多选题 5．（23-24高二上·湖北十堰·期末）点到直线的距离相等，则的值可能为（    ） A．－2 B．2 C．9 D．11 6．（23-24高二上·福建福州·期末）已知直线，点，则（    ） A．直线的倾斜角为 B．若到直线的距离为1，则 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 三、填空题 7．（23-24高二下·上海·期中）点到直线的距离是 . 8．（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）已知到直线的距离等于3，则a的值为 . 9．（23-24高二上·江苏·单元测试）已知点，点分别是x轴和直线上的两个动点，则的最小值等于 ． 四、解答题 10．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知等腰的一个顶点在直线：上，底边的两端点坐标分别为，． (1)求边上的高所在直线方程； (2)求点到直线的距离． 11．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知直线的倾斜角为，且这条直线经过点． (1)求直线的方程： (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离． 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知，满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 二、多选题 2．（23-24高二上·广东·期末）已知正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法正确的是（    ） A．点到直线的距离为 B．点到平面的距离为 C．若点在直线上，则 D．若点在平面内，则 三、填空题 3．（23-24高二上·海南·期中）已知，，，设中边上的高所在的直线为，则点到的距离为 ． 四、解答题 4．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期中）设点到直线的距离，且点是直线上的任意一点，是直线的一个法向量． (1)写出点到直线的距离公式，并要有详细推导过程； (2)已知点关于直线的对称点为点，求点到直线的距离． 【下节预览】 1.（23-24高二上·山东济宁·期中）已知直线，直线． (1)当时，求两直线的交点坐标； (2)当时，求两直线间的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 点到直线的距离 目录 题型归纳 1 题型01 点到直线的距离公式 2 题型02 点到直线的距离公式的简单应用 4 题型03 点到直线距离公式的综合应用 7 分层练习 9 夯实基础 9 能力提升 16 创新拓展 23 点到直线的距离公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝. 注意点： (1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)分子含有绝对值； (3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 题型01点到直线的距离公式 【解题策略】 两点到直线的距离相等，可用几何法，即直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，此类题型也可用代数法． 【典例分析】 课本例4　分别求点P(－1,2)到下列直线的距离： (1)2x＋y－10＝0；(2)3x＝2. 解　(1)根据点到直线的距离公式，得 d＝＝＝2. (2)因为直线3x＝2平行于y轴，所以 d＝＝. 【例1】(1)已知直线l1：3x－y＝0，l2：4x＋y－7＝0，l3：3x－4y－6＝0，则l1，l2的交点A到l3的距离为(　　) A. B．3 C．2 D．1 答案　B 解析　联立解得即A(1,3)，所以点A到l3的距离d＝＝3. (2)已知两点A(3,2)，B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为(　　) A．－6或1 B．－或1 C．－或 D．－6或 答案　D 解析　方法一　依题意得，直线mx＋y＋3＝0过线段AB的中点或与直线AB平行． ①线段AB的中点坐标为(1,3)，且在直线mx＋y＋3＝0上． ∴m＋3＋3＝0，解得m＝－6； ②由两直线平行知＝－m，解得m＝. 因此m的值为－6或. 方法二　由题意得＝. 解得m＝－6或m＝. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二下·湖北·期中）已知直线恒过定点，则点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】先求出直线恒过定点的坐标，然后代入点到直线的距离公式求解即可. 【详解】直线可化为， 令，解得，于是此直线恒过点. 由点到直线的距离公式得到直线的距离. 故答案为： 【变式2】（23-24高二下·上海·期中）点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】直接利用点到直线的距离公式计算可得. 【详解】点到直线的距离. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·全国·期中）已知的三个顶点的坐标分别为. (1)求点到直线的距离； (2)求边上的高所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出直线的一般式方程，再由点到直线距离公式计算即可； （2）由直线方程的点斜式求解即可. 【详解】（1）由已知，直线的斜率为， ∴直线的方程为，即. ∴点到直线的距离为. （2）由第（1）问，直线的斜率为， ∴边上的高所在直线的斜率为， 又∵边上的高所在直线过点， ∴边上的高所在直线的方程为，即. 题型02 点到直线的距离公式的简单应用 【解题策略】 　求点到直线的距离时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式；直线方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)中A＝0或B＝0时，公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可采用数形结合法求点到直线的距离． 【典例分析】 【例2】求过点P(1,2)且与点A(2,3)，B(4，－5)的距离相等的直线l的方程． 解　方法一　由题意知kAB＝－4，线段AB的中点为C(3，－1)，所以过点P(1,2)与直线AB平行的直线方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0.此直线符合题意． 过点P(1,2)与线段AB中点C(3，－1)的直线方程为＝，即3x＋2y－7＝0.此直线也符合题意． 故所求直线l的方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0. 方法二　显然所求直线的斜率存在， 设直线方程为y＝kx＋b， 根据条件得 化简得或 所以或 所以所求直线l的方程为 y＝－4x＋6或y＝－x＋， 即4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·重庆永川·阶段练习）已知直线经过点，且点到直线的距离相等，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】根据点到直线的距离公式，即可根据直线有无斜率求解. 【详解】当直线有斜率时，设直线方程为， 到直线的距离相等，则，解得， 所以直线方程为，即， 当直线无斜率时，则直线方程为，此时到直线的距离均为3，符合题意， 综上可得：或， 故答案为：或 【变式2】（22-23高二上·四川雅安·开学考试）到，的距离相等的动点P满足的方程是 . 【答案】（或） 【分析】根据题意，设点，由结合两点间距离公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设点，由题意可得， 则， 即， 化简可得. 即动点P满足的方程是. 故答案为：. 【变式3】（2023高二上·江苏·专题练习）求经过两直线与的交点，且与点的距离为5的直线l的方程. 【答案】或 【分析】先求出交点坐标，对直线l的斜率分类讨论，结合点到直线的距离公式即可得到答案. 【详解】联立方程，解得，即直线与直线的交点为， 当直线l的斜率不存在时，直线， 可知点到直线l的距离为5，满足题意； 当直线l的斜率存在时，可设直线，即， 所以点到直线l的距离为，解得， 此时直线l的方程为，即； 综上所述：直线l的方程为或. 题型03 点到直线距离公式的综合应用 【解题策略】 解决有限制条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的． 【典例分析】 【例3】（23-24高二上·福建福州·期末）已知直线与直线间的距离为2，则（    ） A．或4 B．4 C．或6 D．或16 【答案】D 【分析】利用平行线间的距离公式求解即可. 【详解】由题意可知，直线与直线平行，所以， 因为直线与直线间的距离为2， 所以，解得或. 故选：D. 【变式演练】 【变式1】（22-23高二上·河南驻马店·期末）点到直线距离的最大值为（    ） A．5 B． C． D．3 【答案】A 【分析】首先确定直线所过的定点，再利用数形结合求点到直线的距离的最大值. 【详解】直线：，    令，，得直线过定点， 所以直线表示过定点的直线，如图，当时，表示点到直线的距离， 当不垂直于时，表示点到直线的距离，显然， 所以点到直线距离的最大值为, 所以点到直线距离的最大值为. 故选：A 【变式2】（23-24高二下·上海·期中）设，若直线与直线之间的距离为，则的值为 ． 【答案】2或 【分析】根据平行线间距离公式即可求解. 【详解】由题意可得，解得或， 故答案为：2或 【变式3】（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）已知直线l：． (1)若l不经过第三象限，求a的取值范围； (2)求坐标原点O到直线l距离的最小值，并求此时直线l的方程． 【答案】(1) (2)；或 【分析】（1）将直线方程转化为斜截式，从而得到关于的不等式组，进而求解即可； （2）利用点线距离公式，结合基本不等式求解即可． 【详解】（1）直线l的方程可化为， 要使直线l不经过第三象限，则必须有，解得， 故a的取值范围是． （2）设原点O到直线l的距离为d， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以原点O到直线l的距离的最小值为， 此时直线l的方程为或 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·广西北海·期末）已知点到直线的距离相等，则（    ） A．－1或0 B． C．－1 D．2 【答案】C 【分析】根据点到直线距离公式直接求解. 【详解】根据点到直线距离公式和已知可得，解得. 故选：C 2．（23-24高二上·北京平谷·期末）圆心为，且与直线相切的圆的半径为（    ） A． B．2 C．8 D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由题意知，圆心为，且与直线相切， 则圆的半径为. 故选：A. 3.（23-24高二上·河南南阳·期末）点为两条直线和的交点，则点到直线：的距离最大为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】求出点坐标，且直线过定点，当直线与直线垂直时，此时点到直线的距离最大，利用两点间的距离公式计算可得答案. 【详解】由得，即， 直线：，所以直线过定点， 所以当直线与直线垂直时，此时点到直线的距离最大， 且最大值为. 故选：B. 4．（23-24高二下·浙江·开学考试）已知点及直线上一点，则的值不可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】求出点到直线的距离，易知即可得出结论. 【详解】易知点到直线的距离为， 所以， 因此的值不可能是1. 故选：A 二、多选题 5．（23-24高二上·江苏·阶段练习）已知直线，则（    ） A．直线始终过第二象限 B．时，直线的倾斜角为 C．时，直线过点 D．点到直线的最大距离为 【答案】ACD 【分析】直线变形后求出直线过的定点即可对A项判断；求出直线的斜率，得到倾斜角，即可对B项判断；求出直线，并验证点是否在直线上，即可对C项判断；直线过的定点与点的连线垂直时，距离最大，由两点间距离公式求出答案，即可对D项判断； 【详解】对于A：直线：，可化为， 令，解得，所以直线恒过点，故A项正确； 对于B：当时，直线：，斜率为，所以倾斜角为，故B项错误； 对于C：当时，直线：，把点代入得，故C项正确； 对于D：当直线过的定点与点的连线垂直直线时距离最大， 所以最大距离为，故D项正确. 故选：ACD. 6．（23-24高二上·山东济宁·期末）已知直线l：，则下列说法中正确的是（   ） A．直线l恒过点 B．若直线l的倾斜角为，则 C．原点到直线l距离的最大值为 D．若直线l不经过第四象限，则 【答案】AC 【分析】结合直线的倾斜角与斜率，过定点问题依次判断即可. 【详解】解：对于A项，直线，则直线l恒过点，故A项正确； 对于B项，直线l的倾斜角为，则直线l的斜率为， 得，故B项错误； 对于C项，由A项知，直线l恒过点， 则原点到直线l距离的最大值即为原点到点的距离，即，故C项正确； 对于D项，当时，直线不经过第四象限，故D项错误. 故选：AC 三、填空题 7．（22-23高二下·上海·期中）点到直线的距离是 . 【答案】2 【分析】利用点到直线的距离公式可求答案. 【详解】点到直线的距离. 故答案为：2. 8．（23-24高二上·广东广州·期末）若点在直线上，则的最小值为 . 【答案】/0.8 【分析】转化为求直线上点到定点距离的平方的最小值，由点到直线距离可得解. 【详解】表示点到点距离的平方，又点在直线上， 问题转化为求直线上点到定点距离的平方的最小值， ， 所以得最小值为. 故答案为：. 9．（22-23高二上·云南昆明·期中）在△ABC中，点，，，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】由直线的两点式可得直线的方程，再由点到直线的距离公式可求出边上的高，再由两点间距离公式可得，再结合三角形的面积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由两点式可得直线的方程为，即为， 再由点到直线的距离公式可得， 点到直线的距离， 且两点间的距离为， 所以的面积为. 故答案为： 四、解答题 10．（23-24高二上·四川南充·阶段练习）已知直线； (1)证明：直线l过定点； (2)已知点，当点到直线l的距离最大时，求实数m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）直线方程整理为关于的方程，然后由恒等式知识得结论； （2）利用过定点与的直线和直线垂直时，距离最大可得． 【详解】（1）由直线方程可得，， ， 直线l过恒过定点. （2）由题意可知，点到直线l的距离的最大值为点到定点的距离， 此时直线l与过点与定点的直线垂直， 则过与定点的直线的斜率为，所以， 所以． 11.（22-23高二上·广东东莞·阶段练习）已知直线：，直线：． (1)分别写出直线、恒过定点P、Q的坐标，并求直线PQ的方程； (2)若直线、相交于点R（异于P、Q两点），求△PQR面积的最大值． 【答案】(1)，；(2)2 【分析】（1）由两条直线的方程可得恒过的定点的坐标； （2）求出两条直线的交点R的坐标，进而求出R到直线PQ的距离d的表达式，由函数的单调性可知d的最大值，进而求出三角形面积的最大值． 【详解】（1）直线：，可得直线恒过定点 直线：可得， 所以直线PQ的方程为：，即；    （2）由（1）可得， 联立，可得，， 即， 所以R到直线PQ的距离 ， 因为，所以， 所以， 即d的最大值为， 所以． 即的面积的最大值为2． 【能力提升】 一、单选题 1．（2023高二上·全国·专题练习）若原点到直线的距离为1，则a，b，c应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用点到直线的距离公式分析求解. 【详解】原点到直线的距离为1， 则，整理得. 故选：A. 2．（23-24高二上·河北石家庄·期中）若点到直线l：的距离为3，则（ ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离求解. 【详解】由点到直线距离公式知，， 解得， 故选：A 3．（2023·江苏南京·一模）已知实数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意设直线：，点，利用点到直线的距离公式得点A到直线的距离为，由直线的斜率不存在得，由得，化简即可求解. 【详解】根据题意，设直线：恒过原点，点， 那么点到直线的距离为：， 因为，所以，且直线的斜率， 当直线的斜率不存在时，，所以， 当时，， 所以，即， 因为，所以. 故选：A. 4．（22-23高三下·上海松江·阶段练习）若对一个角，存在角满足，则称为的“伴随角”.有以下两个命题： ①若，则必存在两个“伴随角”； ②若，则必不存在“伴随角”； 则下列判断正确的是（    ） A．①正确②正确； B．①正确②错误； C．①错误②正确； D．①错误②错误. 【答案】B 【分析】将已知方程变形为，则为直线与单位圆的交点.用圆心到直线的距离解决问题 【详解】将已知方程变形为， 则为直线与单位圆的交点. 考虑圆心到直线的距离 ，其中. 对于①，若，则，于是，即， 直线与圆必有两个不同交点， 为直线与单位圆的交点， 故必存在两个“伴随角”，即①正确； 对于②若，则，于是， 即直线与圆可能公共点，故可能存在“伴随角”，即②错误； 综上，①正确②错误， 故选:B. 【点睛】 关键点点睛: 把转化为直线与单位圆的交点是解题的关键点. 二、多选题 5．（23-24高二上·湖北十堰·期末）点到直线的距离相等，则的值可能为（    ） A．－2 B．2 C．9 D．11 【答案】BD 【分析】分点在直线的同侧或两侧进行讨论即可. 【详解】①若点在的同侧，则直线， 即，解得， ②若在的两侧，则经过线段的中点， 即， 故选：BD. 6．（23-24高二上·福建福州·期末）已知直线，点，则（    ） A．直线的倾斜角为 B．若到直线的距离为1，则 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 【答案】AC 【分析】A选项，根据直线斜率求出倾斜角；B选项，利用点到直线距离公式得到方程，求出；C选项，设出平行直线，代入点，求出答案；D选项，设出垂直直线的方程，代入，求出答案. 【详解】A选项，直线斜率，故倾斜角为，故正确； B选项，由点到直线的距离公式得，得，所以，故B错误； C选项，设与直线平行的直线方程为， 因为平行直线方程经过点，所以，解得， 即平行直线方程为，故C正确； D选项，设与直线垂直的直线方程为， 因为垂直直线方程经过点，所以，解得， 即垂直直线方程为，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 7．（23-24高二下·上海·期中）点到直线的距离是 . 【答案】 【分析】根据题意代入点到直线的距离公式运算求解即可. 【详解】由题意可知：到直线的距离是. 故答案为：. 8．（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）已知到直线的距离等于3，则a的值为 . 【答案】或 【分析】由距离公式，解方程得出a的值. 【详解】由距离公式可得，， 即，解得或. 故答案为：或. 9．（23-24高二上·江苏·单元测试）已知点，点分别是x轴和直线上的两个动点，则的最小值等于 ． 【答案】 【分析】作关于轴的对称点，由此将问题转化为“求的最小值”，然后判断出最小值即为到的距离，代入公式可求结果. 【详解】如图，作点关于轴的对称点，则， 此时最小值即为到直线的距离，即， 所以的最小值为， 故答案为：. 四、解答题 10．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知等腰的一个顶点在直线：上，底边的两端点坐标分别为，． (1)求边上的高所在直线方程； (2)求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的中点的坐标，利用垂直关系得到高所在直线的斜率，得到高所在直线方程； （2）联立两直线得到点的坐标，利用点到直线距离公式求出答案. 【详解】（1）由题意可知，为的中点， ，， ． 又， ． 所在直线方程为，即． （2）由，解得，所以． 又直线方程为，即． 点到直线的距离． 11．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知直线的倾斜角为，且这条直线经过点． (1)求直线的方程： (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式求出直线方程； （2）直线变形后求出定点坐标，进而由点到直线距离公式求出答案. 【详解】（1）由，，则，， ∴直线的斜率，且直线过点， ∴由直线的点斜式方程得， 即， ∴所求直线的方程为； （2）∵直线化简得：， ∴直线过定点， 则点到直线的距离为： ， 故A到直线的距离为. 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知，满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先求出点关于线段的对称点的坐标，且有，根据几何意义，结合图形，即可得出取最小值，从而得解. 【详解】如图，过点作点关于线段的对称点，则. 设，则有，解得，所以. 设，则，所以， 又，所以点到轴的距离为， 所以可视为线段上的点到轴的距离与到的距离之和. 过作轴，过点作轴， 显然有，则为所求最小值，此时与线段的交点，即为最小值时的位置. 易得，所以的最小值为. 故选：B． 【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于将问题转化为点到轴的距离与到的距离之和，从而结合图形即可得解. 二、多选题 2．（23-24高二上·广东·期末）已知正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法正确的是（    ） A．点到直线的距离为 B．点到平面的距离为 C．若点在直线上，则 D．若点在平面内，则 【答案】BC 【分析】由题意对于A，可由等面积法验算；对于B，由即可验算；对于C，由与共线即可验证；对于D，由即可验证. 【详解】 由题意， 所以， 若点在直线上，则， 由与共线可得，故C正确； 又，所以， 而，， 不妨设点到直线的距离为， 由等面积法有，解得，故A错误； ，不妨设平面的法向量为， 则，令，解得，即取平面的法向量为， 若点在平面内，则， 所以，即，故D错误； 又， 所以点到平面的距离为，故B正确. 故选：BC. 三、填空题 3．（23-24高二上·海南·期中）已知，，，设中边上的高所在的直线为，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】根据以及点坐标求解出的方程，再根据点到直线的距离公式求解出结果. 【详解】因为，， 所以的方程为，即为， 所以到的距离为， 故答案为：. 四、解答题 4．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期中）设点到直线的距离，且点是直线上的任意一点，是直线的一个法向量． (1)写出点到直线的距离公式，并要有详细推导过程； (2)已知点关于直线的对称点为点，求点到直线的距离． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）首先得到点到直线的距离公式，再求出直线的一个单位方向向量，以及，再由计算可得. （2）求出点到直线的距离即可得解. 【详解】（1）点到直线的距离， 直线的一个法向量，则直线的一个单位方向向量为， 又点是直线上的任意一点， 所以，则，， 所以点到直线的距离 ， 又，即，所以. （2）因为点关于直线的对称点为点， 所以点到直线的距离与点到直线的距离相等， 即为，即点到直线的距离为. 【下节预览】 1．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知直线，直线． (1)当时，求两直线的交点坐标； (2)当时，求两直线间的距离． 【答案】(1)、 (2) 【分析】（1）根据直线垂直求得，进而求得交点坐标. （2）根据直线平行求得，进而求得两直线间的距离. 【详解】（1）若，所以， 解得或； 当时，， 即，所以交点为. 当时，， 即， 由解得，所以交点为. 综上所述，交点为、. （2）若，所以， ，解得或. 当时，， 两直线间的距离为. 当时，， 即，两直线重合，不符合题意. 综上所述，两直线间的距离为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$