第05讲有理数的乘法与除法 2026年人教版七年级数学暑假预习（知识点+题型精讲）

第05讲 有理数的乘法与除法 目录 知识点1 有理数乘法法则（基础核心） 2 知识点2 多个有理数相乘符号规则 2 知识点3 倒数的定义与性质 2 知识点4 有理数乘法运算律（简便运算必考） 3 知识点5 有理数除法法则 3 知识点6 有理数四则混合运算顺序 3 题型1 两个有理数乘法的运算 3 题型2 多个有理数的乘法运算 5 题型3 有理数乘法的实际应用 8 题型4 倒数 10 题型5 有理数乘法的运算律 12 题型6 有理数的除法运算 14 题型7 有理数除法的应用 16 题型8 有理数乘除混合运算 20 题型9 有理数乘除中的简便运算 21 题型10 有理数四则混合运算 26 题型11 有理数四则混合运算的实际应用 28 题型12 根据点在数轴的位置判断式子的正负 32 题型13 数轴上的翻折 34 1. 知识目标：熟记有理数乘法、除法的运算法则，理解倒数的定义、取值特点及求解方法，掌握有理数乘法三大运算律，明确有理数乘除运算与小学乘除运算的区别，知晓有理数四则混合运算的运算顺序。 2. 能力目标：能熟练完成两个及多个有理数的乘除基础运算，掌握乘除混合运算、四则混合运算的计算方法；能灵活运用乘法运算律进行简便运算，精准判断运算符号，规避高频计算错误。 3. 应用目标：能够将生活中的计费、行程、盈亏、配比等实际问题转化为有理数乘除运算模型，独立解决乘除应用题及四则混合实际问题。 4. 拓展目标：掌握数轴与有理数运算的结合题型，能根据数轴上点的位置判断式子正负，熟练掌握数轴翻折问题的解题思路，提升数形结合的数学思维。 5. 素养目标：建立符号意识、转化思想和数形结合思想，养成“先定符号、再算数值、规范步骤”的运算习惯，提升有理数综合运算与应用能力。 知识点1 有理数乘法法则（基础核心） 通用口诀：同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数乘0，积为0 1. 两数相乘：同号（正正、负负）相乘结果为正，异号（正负、负正）相乘结果为负，再将两个数的绝对值相乘。 示例：(+4)×(+2)=8，(-4)×(-2)=8，(+4)×(-2)=-8 2. 特殊规则：0与任何有理数相乘，结果都为0；1与任何数相乘得原数，-1与任何数相乘得原数的相反数。 知识点2 多个有理数相乘符号规则 1. 不含0的多个有理数相乘：积的符号由负因数的个数决定。负因数个数为偶数，积为正；负因数个数为奇数，积为负。 2. 含0的乘法：若干个有理数相乘，只要有一个因数为0，最终积为0。 3. 计算步骤：先数负因数个数定符号，再将所有因数的绝对值相乘得数值。 知识点3 倒数的定义与性质 1. 定义：乘积为1的两个有理数互为倒数。 2. 公式：若a×b=1（a≠0，b≠0），则a与b互为倒数，即a的倒数为1/a。 3. 核心性质：1的倒数是1，-1的倒数是-1；0没有倒数；正数的倒数为正数，负数的倒数为负数。 4. 求倒数方法：整数直接取分之一，分数分子分母互换位置，小数先化分数再求倒数。 知识点4 有理数乘法运算律（简便运算必考） 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数位置，积不变。字母表示：a×b = b×a 2. 乘法结合律：三个数相乘，任意结合相乘，积不变。字母表示：(a×b)×c = a×(b×c) 3. 乘法分配律：一个数乘两个数的和，等于这个数分别乘两个数再求和。字母表示：a×(b+c) = a×b+a×c 拓展：分配律可逆向运用，用于拆分、合并算式，是简便运算的核心工具。 知识点5 有理数除法法则 1. 转化法则（万能法则）：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。字母表示：a÷b = a×(1/b)（b≠0） 2. 符号法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 3. 特殊规则：0除以任何不为0的数，结果为0；0不能作为除数。 知识点6 有理数四则混合运算顺序 1. 先算乘除，后算加减； 2. 有括号先算括号内的运算（先小括号，再中括号，最后大括号）； 3. 同级运算（只有加减或只有乘除），从左到右依次计算； 4. 可灵活运用运算律调整计算顺序，简化运算。 题型1 两个有理数乘法的运算 解题技巧：严格遵循“先定符号，再算绝对值”两步法，杜绝符号错误。第一步：判断两数符号，同号正、异号负；第二步：去掉符号，将两数绝对值相乘得到结果数值。熟记特殊数乘法规律：任何数乘1得本身、乘-1得相反数、乘0得0。计算小数、分数乘法时，优先约分再计算，简化数值运算。 易错提醒：切勿先算数值后判符号，负数相乘的符号判断是高频易错点。 【典例1】．计算 的结果等于（     ） A． B． C． D．1 【变式1】．按运算步骤：输入乘加，若输入，则输出结果为______． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型2 多个有理数的乘法运算 解题技巧：核心抓“负因数个数”和“是否含0”两个关键点。1. 快速判0：算式中只要出现一个0，直接得出结果为0，无需计算；2. 符号判定：无0时，数负因数个数，偶正奇负；3. 数值计算：所有因数绝对值相乘，能约分、凑整的优先简化计算。多个负数相乘时，无需逐个计算，先定整体符号，再统一算绝对值，大幅减少失误。 【典例2】．下列说法：①最大的负整数是；②相反数是本身的数是正数；③有理数分为正有理数和负有理数；④数轴上表示的点一定在原点的左边；⑤几个有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数，其中错误的个数是（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】．如图，数轴上点A、B、C分别表示有理数a、b、c，若a、b、c三个数的乘积为正数，这三个数的和与其中一个数相等，则b____0． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】．计算： (1)； (2)． 题型3 有理数乘法的实际应用 解题技巧：核心是正负建模+倍数运算。第一步：根据题意规定正负意义（如盈利、上升、增加为正，亏损、下降、减少为负）；第二步：提取题目中的基数和变化倍数、数量；第三步：根据“单量×数量=总量”列乘法算式；第四步：计算结果并结合实际场景解读，标注单位。 【典例3】．嘉嘉在美术课上了解到，用不同比例的红、黄两种颜料能调配出多种暖色调颜色．如图，根据红色颜料的占比，可以将调配出的颜色分为①、②、③、④等四类．用红色颜料和黄色颜料调配出的颜色属于（     ） A．①类 B．②类 C．③类 D．④类 【变式1】．某地推出4种特色农产品，每种农产品货源充足，均为独立包装且不可拆分．各农产品每包的重量与价值如下表： 农产品 A B C D 重量（kg） 7 12 8 5 价值（元） 60 100 58 45 在某批农产品的销售中，根据客户需求，助农志愿者使用纸箱装运农产品，且每箱所装农产品的总重量不超过28kg． （1）若每箱只装同一种农产品，则一箱农产品的总价值最大是________元； （2）若每箱中每种农产品最多装包，则一箱农产品的总价值最大是________元． 【变式2】．小北爸爸在聚餐饮酒后呼叫代驾返家，代驾收费分为两部分： ①起步价（分时段）7千米以内：为元；为35元；为55元． ②里程费：超出起步路程后每千米收费4.5元（不足1千米，按1千米计算）． 小北爸爸晚上呼叫代驾，车程共13.7千米，需要支付代驾费多少元？ 【变式3】．大连一名网约车司机从门店出发，在东西走向的道路接送乘客，向东为正，行驶记录（单位：）： ． (1)接送完最后一批乘客后，司机在门店的哪个方向？距离门店多远？ (2)该车每千米耗油，求总耗油量； (3)计价规则：行驶路程不超收费元，超过的部分每千米收费元，不足按算，求司机本次一共收到车费多少元． 题型4 倒数 解题技巧：牢记倒数核心定义和避坑要点，快速解题。1. 判定技巧：两数相乘为1即可判定互为倒数；2. 求倒数方法：整数n（n≠0）倒数为1/n，真分数、假分数直接颠倒分子分母，小数先化最简分数再求倒数；3. 核心避坑：0无倒数，倒数符号与原数一致，互为倒数的两数乘积恒为1；4. 题型应用：已知倒数求参数、化简含倒数的算式，直接代入乘积为1计算。 【典例4】．2026的倒数是（    ） A． B．2026 C． D． 【变式1】．下列说法正确的是（     ） A．0的相反数和倒数都不存在 B．的倒数是4 C．互为相反数的两个数的和一定为0 D．若一个数的倒数等于它本身，则这个数只能是1 【变式2】．的相反数是______，的绝对值是______，的倒数是______． 【变式3】．当a，b满足___________，a，b互为相反数；当a，b满足___________，a，b互为倒数． 题型5 有理数乘法的运算律 解题技巧：三大运算律针对性使用，精准简化运算。1. 交换律+结合律：优先结合互为倒数、能凑整、可约分的数，简化乘法计算；2. 分配律：适用于一个数乘多个数的和/差，拆分后分别相乘再加减，规避复杂通分、大数计算；3. 逆向分配律：多个乘法算式含相同因数时，提取公因数合并计算；4. 关键细节：移动因数时必须连带前面的符号，负数参与分配律运算时注意符号变化。 【典例5】．在用运算律计算时，题目变形合理的为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题． 利用运算律计算： 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【变式2】．黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ (1)请将淇淇的解法补充完整； (2)计算：． 【变式3】．计算： (1)； (2)． 题型6 有理数的除法运算 解题技巧：统一转化，一步简化所有除法运算。牢记核心思路：所有除法全部转化为乘法。第一步：将除号变乘号，除数变为它的倒数；第二步：套用有理数乘法法则，先定符号、再算绝对值乘积。特殊处理：0除以非0数直接得0，严禁0做除数。分数除法、小数除法统一化成分数倒数计算，降低出错率。 【典例6】．计算的结果等于（     ） A．3 B． C．2 D． 【变式1】．计算： __________． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】．计算： (1) (2) (3)． (4)； 题型7 有理数除法的应用 解题技巧：适用于平均分、求单价、求倍数、求变化率问题。解题步骤：1. 审题确定总量、份数、单量，明确所求未知量；2. 结合正负意义，将实际数据转化为有理数；3. 根据“总量÷份数=单量”“总量÷单量=份数”列除法算式；4. 转化为乘法运算求解，根据结果正负判断实际意义。 高频场景：平均分配物资、平均气温变化、商品单价计算、速度与时间计算。 【典例7】．安安想将7个相同的正方体放入一个底面为，初始水位为的水箱中．水位最高可以达到（     ）厘米（注：根据图示，小正方体的边长为） A． B． C． D． E． 【变式1】．观察下面的3幅图，在装水的杯中放入大球和小球，请问大球的体积是( )立方厘米． 【变式2】．为积极响应国家推广节能减排的政策，王老师购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后，连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为_____，“●”处的数为_____； (2)求这辆新能源汽车这7天行驶的总路程； (3)该汽车行驶完这7天后，求行车电脑上显示的剩余电量的百分比． 【变式3】．【问题呈现】 为缓解百姓停车压力，政府新建多个公用停车场、小嘉同学家所在小区附近也建有一个．该停车场收费标准的指示牌如图所示． 【应用体验】 今年国庆期间，小嘉邀请同学小兴一家到家里做客，小兴爸爸将车停在了该停车场，从进场停车到取车驶离，共经过了小时，则小兴爸爸共花费了停车费___________元． 【深入思考】 今年秋假期间，小嘉妈妈的好友小禾阿姨到访，她也将车停在了该停车场，已知小禾阿姨的停车时长为整数小时，她一共花了15元停车费，求小禾阿姨的停车时长． 题型8 有理数乘除混合运算 解题技巧：统一化乘、从左到右、分步运算。1. 第一步统一转化：将算式中所有除法全部转化为乘法，整理为纯乘法算式；2. 第二步定符号：统计所有负因数个数，偶正奇负；3. 第三步算数值：绝对值相乘，优先约分、凑整简化计算；4. 同级运算严格从左到右，禁止跳步、乱序计算，避免漏符号、漏数字。 【典例8】．( ) A．2 B． C．1 D．4 【变式1】．计算：________． 【变式2】．计算： 【变式3】．计算： (1) (2) 题型9 有理数乘除中的简便运算 解题技巧：五大简便思路快速提速降错。1. 倒数凑1法：互为倒数的因数优先结合相乘得1；2. 凑整约分法：小数与整数、分数优先约分，凑整十、整百数；3. 符号归类法：先统一判定整体符号，再计算绝对值；4. 分配律巧用法：带括号的乘除算式，拆分后简便计算；5. 0优先法：算式含0直接得结果0，无需多余计算。核心原则：先观察数字特征，再选择简便方法，不盲目硬算。 【典例9】．运用你学过的运算律、规律、性质等使计算简便，写出主要过程． (1)； (2)； (3)． 【变式1】．用简便的方法计算 (1) (2) 【变式2】．计算 (1) (2) (3) (4) 【变式3】．用简便方法计算： (1)； (2)． 题型10 有理数四则混合运算 解题技巧：严守运算顺序，灵活简便运算。1. 优先级排序：括号>乘除>加减，逐层计算；2. 同级运算：从左到右依次进行；3. 分步化简：每一步运算单独定符号、算数值，避免混合出错；4. 简便优化：可运用乘法运算律简化乘除部分计算，再进行加减运算；5. 收尾核验：重点检查负号、括号、运算顺序三大易错点。 【典例10】．水的化学式是，其中氢元素的化合价是，氧元素的化合价是．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．定义新运算，则______________． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式3】．计算： (1) (2) (3) 题型11 有理数四则混合运算的实际应用 解题技巧：复杂实际问题建模求解四步法。1. 审题建模：提取题目中的增减、收支、涨跌数据，规定正负方向；2. 列式构造：根据实际逻辑，列出含加减乘除的综合算式；3. 规范运算：按四则运算顺序计算，灵活使用简便算法；4. 结果解读：结合实际场景解释结果正负含义，完整作答、标注单位。 【典例11】．《九章算术》中对于“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何?”给出了“盈不足”的算法：将盈和不足的数值相加作为被除数，人出钱数的差作为除数，所得结果就是人数．则该问题中，物价是（   ） A．41 B．45 C．53 D．59 【变式1】．社区超市使用统一规格纸箱打包日用品，单个纸箱最大承重为20kg，所有商品均为独立包装、不可拆分．四种日用品单件重量与单件价值如下表： 商品类型 卷纸 洗衣液 洗洁精 香皂 单件重量（kg） 1.2 3.5 1.8 0.3 单件价值（元） 18 49 26 6 （1）现有卷纸4件、洗衣液4件、洗洁精3件、香皂5件，需将所有商品全部分装至两个纸箱中，每箱均不超重，两个纸箱的商品总价值之差的最小值为________元； （2）若要求整箱商品总件数恰好为8件，在不超重的前提下，这箱商品的总价值最高为________元． 【变式2】．某班计划开展团建活动，了解到多数同学都喜欢吃哈密瓜．于是班级采购小组到市场调查，发现华星超市在搞促销活动，其中有一批大小差不多的哈密瓜也在促销．促销员说：这些瓜每个重量大约都在5斤左右，之前卖3.5元一斤的，现在搞活动全部卖15元一个．采购小组商量后买了10个回来．验货小组想知道这次购买的10个瓜的实际重量，于是将10个瓜逐个称重，以5斤为标准，超过记为正，不足记为负，记录结果如下：，，，，，，，，，．问： (1)最重的瓜比最轻的瓜重多少斤？ (2)该班采购的10个哈密瓜实际总重量为多少斤？ (3)如果按原价购买这10个瓜需付多少元？该班此次购买省了多少元？ 【变式3】．研学实践：为了解家庭每月的固定收入及日常生活支出情况，某校研学小组以建立“家庭生活收支账目”为主题展开学习． 数据搜集：为记录生活一周的收支账目，把收入记为正数，支出记为负数，计算当日的结余、一周的总收入、总支出及一周的平均结余情况． 2024年9月2日至8日某家庭生活收支统计 日期 收入（元，记为） 支出（元，记为） 结余（元） 2日 350 _______ 3日 240 160 4日 300 _______ 5日 260 140 6日 350 _______ 7日 200 120 8日 400 200 合计 2100 _______ _______ 数据应用： (1)计算9月2日、4日和6日这三天每日的结余（每日结余=收入+支出）． (2)求这一周的总支出和这一周的平均结余． 题型12 根据点在数轴的位置判断式子的正负 解题技巧：数形结合，三步精准判断。1. 定范围：根据数轴点的位置，判断数的正负、绝对值大小（原点左负右正，离原点越远绝对值越大）；2. 判运算：根据加减乘除运算规则，判断式子整体正负；3. 特殊结论：正数乘除正数为正，负数偶数个相乘为正、奇数个为负；大数减小数为正，小数减大数为负。可赋值法辅助验证，快速秒杀选择题。 【典例12】．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（） A． B． C． D． 【变式1】．如果两个有理数、在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（     ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．无法确定 【变式2】．如图，数轴上点，，表示的数分别是，，，且，则________（填“，或”）． 【变式3】．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是________（填序号）． ①；②；③；④． 题型13 数轴上的翻折 解题技巧：核心抓翻折中点公式，通用解题步骤。1. 核心原理：数轴翻折后，重合两点到折点的距离相等，折点为两点的中点；2. 中点公式：若点a、点b关于点c翻折重合，则c=(a+b)÷2；3. 解题流程：先根据已知点求翻折中心，再结合距离公式求对应重合点；4. 拓展应用：多段翻折、多次翻折问题，逐次利用中点公式推导，结合有理数运算求解。 【典例13】．数轴上有，，三点，其中点，分别表示数，，现以点为折点将数轴向右对折（如图），若点的对应点刚好与点重叠，则点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 【变式1】．小亮在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示（    ）的点重合 A．10 B． C．0 D． 【变式2】．如图，在一条可以折叠的数轴上，，两点表示的数分别是，，以点为折点，将此数轴向右对折，若对折点在点的右边，且，两点相距，则点表示的数是______． 【变式3】．在一条可以折叠的数轴上，点A和点B表示的数分别是和5，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A落在点B的右侧，且，则C点表示的数是_______． 1．2026年3月20日是春分，这一天全球昼夜等长，白昼时长为12小时．则数据12的倒数是（   ） A．12 B． C． D． 2．的相反数的倒数是（   ） A． B． C． D．2026 3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．小明的妈妈买了 4 筐萝卜，以每筐 25 千克为标准，超过的千克数记为正数， 不足的千克数记为负数，称重后的记录分别为，小红快速准确地算出了 4 筐萝卜的总质量为（    ） A．千克 B．1千克 C．99千克 D．101千克 5．快递公司为客户运送500只玻璃杯．为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，如果快递公司损坏一只玻璃杯，不但得不到运费，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱．如果快递公司共得运费87元，请问快递公司损坏（     ）只玻璃杯． A．10 B．11 C．12 D．13 6．如图，杆秤是中国传统的计量工具．已知秤钩到提纽的水平距离是，秤砣质量是．用杆秤称苹果，当秤砣与提纽的水平距离为时，杆秤左右平衡，此时苹果质量是（     ） A． B． C． D． 7．某馄饨店每碗有10个馄饨．其中虾仁馄饨14元/碗，鲜肉馄饨10元/碗．现计划推出“双拼”馄饨，其中含虾仁馄饨、鲜肉馄饨各5个，这种馄饨每碗合理定价为（    ） A．24元 B．22元 C．14元 D．12元 8．若”!”是一种数学运算符号，并且，，，，…，且公式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．斑马和长颈鹿的奔跑情况如图所示，15分钟时斑马和长颈鹿相距（   ）千米． A．6.6 B．6 C．6.5 D．6.8 10．从个元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．已知“！”是一种数学运算符号，且；……；若公式（为正整数），则为（    ） A．56 B．42 C．34 D．28 11．绝对值不大于的所有整数的积等于______． 12．若，则的倒数是___． 13．若，，且，则_________ ． 14．如图是一个计算机的运算程序，若一开始输入的x值为，则输出的结果y是____________． 15．结绳计数又名结绳记事，起源于大约300万年前．如图所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，右边绳子上的结每满8个则在左边的绳子上打一个结，请计算该部落在这段时间内所擒获的猎物总数为_______． 16．如图，已知点，，在数轴上对应的数分别是，，，小明通过探究得到如下结论：①若，则；②若，则；③若，则原点一定在点的右侧；④．其中正确的结论是________．（填写序号） 17．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 18．符号“”表示一种运算，它对一些数的运算如下：，，，， (1)根据以上的运算规律， ； (2)计算的值． 19．已知m，n为有理数，如果规定一种新运算#，定义．解答下列各题． (1) ； (2) ； (3)探索：任意选取两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列〇和◇内，并比较两个运算结果，你能发现什么？ 和 20．某登山队员以营地为基地，向距离营地3千米的顶峰进行冲击．由于天气变化无常，他们不得不几次下撤保障自身安全．将队员向上爬升的海拔高度记为正数，向下撤退时下降的海拔高度记为负数，行进过程记录如下（单位：千米）： ． (1)这次冲击，登山队员有没有登上顶峰？ (2)在登山过程中，海拔高度每上升或下降1千米，每名队员平均消耗600千卡的能量，每名队员在这次登山中，消耗了多少千卡的能量？ 21．近几年，新能源汽车产销量大幅增加．明明家把家中的燃油车换成了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程，如表，以50km为标准，多于50km的部分记为正，不足50km的部分记为负，刚好50km的记为零． 第天 1 2 3 4 5 6 7 路程/km (1)请求出明明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少千米？ (2)已知燃油车每行驶100km需用汽油8升，汽油价8元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为16度，每度电为0.5元，请计算这7天明明家换成新能源汽车比开燃油车节省多少钱？ 22．小海骑变速自行车上坡时，拨一下变速器，脚蹬会变轻；想骑快时再拨一下，后轮转速就会提升，这是如何实现的？ 秘密藏在自行车的齿轮组里：如图，前后两个齿轮通过链条连接，前侧连接脚蹬的齿轮组是牙盘（动力轮），后侧连接后轮轴心的齿轮组是飞轮（从动轮），自行车后轮转速与后飞轮一致．齿轮—链条啮合的传动原理与齿轮直接啮合一致（链条改变了飞轮转动方向），通过前（后）拨器切换链条卡在牙盘/飞轮的不同齿轮上，即可改变后轮转速，相同蹬车速度下，后轮速度越慢越省力． 小海观察自己的变速自行车，发现后飞轮有四层不同齿数的齿轮，由外到内的齿数分别为30（1档）、24（2档）、20（3档）、16齿（4档），前牙盘最外层有36齿． (1)小海在小区平路骑行时，将自行车飞轮拨至20齿，前牙盘调到最外层36齿，此时，后轮的速度_______小海蹬车速度（填“大于”“小于”），如果小海蹬车速度为40圈/分钟，那么后轮的转速为_______圈/分钟，齿轮—链条的升（降）速率为_______． (2)已知自行车后轮直径为，在一段上坡路上，小海将飞轮拨至24齿（牙盘36齿），车后轮转了150圈，这段坡路有多少米？（结果保留） (3)在（2）的条件下，小海认为此段坡路骑起来还是费力，于是保留后飞轮24齿，将前牙盘拨到另一齿轮档位，保持40圈/分钟的蹬车速度，他想用不超过5分钟骑完该坡路，并希望尽可能省力，请问他应该把前牙盘调到多少齿？（  ） A．15齿    B．18齿    C．20齿    D．24齿 23．根据以下素材，探索完成任务． 实验探究：钢球在“磁悬浮”轨道上如何运动 素材1 我国上海的“磁悬浮”列车，依靠“磁悬浮”技术使列车悬浮在轨道上行驶，从而减小阻力，因此列车时速可超过400公里．可利用钢球在“磁悬浮”轨道架上的运动模拟“磁悬浮”列车在轨道行驶，实验中钢球大小忽略不计．假设钢球的运动都是匀速的． 素材2 现有一个长为的“磁悬浮”轨道架，如图所示，轨道架上安置了三个大小和质量完全相同的钢球A、B、C，左右各有一个钢制挡板D和E，其中C到左挡板的距离为，B到右挡板的距离为，A、B两球相距． 素材3 在钢球碰撞实验中（相撞时间不计），当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动． 问题解决 任务1 根据素材2，若A球在数轴上表示坐标原点，B球表示的数为40，则C球表示的数为______．右挡板E表示的数为______． 任务2 在任务1的位置条件下，当A球以每秒的速度向左匀速运动，请回答下列问题： ①经过______秒，C球第一次撞到左挡板D；②经过______秒，C球第二次撞到左挡板D；③经过______秒，C球第n次（n为正整数）撞到左挡板D． 任务3 在任务1的位置条件下，如果A、B两球同时开始运动，A球向左运动，B球向右运动，A球速度是每秒，B球速度是每秒，试探究经过多长时间A、B两球相撞？相撞时在数轴上所对应的数是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 有理数的乘法与除法 目录 知识点1 有理数乘法法则（基础核心） 2 知识点2 多个有理数相乘符号规则 2 知识点3 倒数的定义与性质 2 知识点4 有理数乘法运算律（简便运算必考） 3 知识点5 有理数除法法则 3 知识点6 有理数四则混合运算顺序 3 题型1 两个有理数乘法的运算 3 题型2 多个有理数的乘法运算 5 题型3 有理数乘法的实际应用 8 题型4 倒数 10 题型5 有理数乘法的运算律 12 题型6 有理数的除法运算 14 题型7 有理数除法的应用 16 题型8 有理数乘除混合运算 20 题型9 有理数乘除中的简便运算 21 题型10 有理数四则混合运算 26 题型11 有理数四则混合运算的实际应用 28 题型12 根据点在数轴的位置判断式子的正负 32 题型13 数轴上的翻折 34 1. 知识目标：熟记有理数乘法、除法的运算法则，理解倒数的定义、取值特点及求解方法，掌握有理数乘法三大运算律，明确有理数乘除运算与小学乘除运算的区别，知晓有理数四则混合运算的运算顺序。 2. 能力目标：能熟练完成两个及多个有理数的乘除基础运算，掌握乘除混合运算、四则混合运算的计算方法；能灵活运用乘法运算律进行简便运算，精准判断运算符号，规避高频计算错误。 3. 应用目标：能够将生活中的计费、行程、盈亏、配比等实际问题转化为有理数乘除运算模型，独立解决乘除应用题及四则混合实际问题。 4. 拓展目标：掌握数轴与有理数运算的结合题型，能根据数轴上点的位置判断式子正负，熟练掌握数轴翻折问题的解题思路，提升数形结合的数学思维。 5. 素养目标：建立符号意识、转化思想和数形结合思想，养成“先定符号、再算数值、规范步骤”的运算习惯，提升有理数综合运算与应用能力。 知识点1 有理数乘法法则（基础核心） 通用口诀：同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数乘0，积为0 1. 两数相乘：同号（正正、负负）相乘结果为正，异号（正负、负正）相乘结果为负，再将两个数的绝对值相乘。 示例：(+4)×(+2)=8，(-4)×(-2)=8，(+4)×(-2)=-8 2. 特殊规则：0与任何有理数相乘，结果都为0；1与任何数相乘得原数，-1与任何数相乘得原数的相反数。 知识点2 多个有理数相乘符号规则 1. 不含0的多个有理数相乘：积的符号由负因数的个数决定。负因数个数为偶数，积为正；负因数个数为奇数，积为负。 2. 含0的乘法：若干个有理数相乘，只要有一个因数为0，最终积为0。 3. 计算步骤：先数负因数个数定符号，再将所有因数的绝对值相乘得数值。 知识点3 倒数的定义与性质 1. 定义：乘积为1的两个有理数互为倒数。 2. 公式：若a×b=1（a≠0，b≠0），则a与b互为倒数，即a的倒数为1/a。 3. 核心性质：1的倒数是1，-1的倒数是-1；0没有倒数；正数的倒数为正数，负数的倒数为负数。 4. 求倒数方法：整数直接取分之一，分数分子分母互换位置，小数先化分数再求倒数。 知识点4 有理数乘法运算律（简便运算必考） 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数位置，积不变。字母表示：a×b = b×a 2. 乘法结合律：三个数相乘，任意结合相乘，积不变。字母表示：(a×b)×c = a×(b×c) 3. 乘法分配律：一个数乘两个数的和，等于这个数分别乘两个数再求和。字母表示：a×(b+c) = a×b+a×c 拓展：分配律可逆向运用，用于拆分、合并算式，是简便运算的核心工具。 知识点5 有理数除法法则 1. 转化法则（万能法则）：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。字母表示：a÷b = a×(1/b)（b≠0） 2. 符号法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 3. 特殊规则：0除以任何不为0的数，结果为0；0不能作为除数。 知识点6 有理数四则混合运算顺序 1. 先算乘除，后算加减； 2. 有括号先算括号内的运算（先小括号，再中括号，最后大括号）； 3. 同级运算（只有加减或只有乘除），从左到右依次计算； 4. 可灵活运用运算律调整计算顺序，简化运算。 题型1 两个有理数乘法的运算 解题技巧：严格遵循“先定符号，再算绝对值”两步法，杜绝符号错误。第一步：判断两数符号，同号正、异号负；第二步：去掉符号，将两数绝对值相乘得到结果数值。熟记特殊数乘法规律：任何数乘1得本身、乘-1得相反数、乘0得0。计算小数、分数乘法时，优先约分再计算，简化数值运算。 易错提醒：切勿先算数值后判符号，负数相乘的符号判断是高频易错点。 【典例1】．计算 的结果等于（     ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】根据有理数乘法法则，同号两数相乘得正，再将两个数的绝对值相乘. 与都是负数，符号相同， . 【变式1】．按运算步骤：输入乘加，若输入，则输出结果为______． 【答案】1 【详解】解：根据题意得，． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式3】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4)3 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据两个有理数乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型2 多个有理数的乘法运算 解题技巧：核心抓“负因数个数”和“是否含0”两个关键点。1. 快速判0：算式中只要出现一个0，直接得出结果为0，无需计算；2. 符号判定：无0时，数负因数个数，偶正奇负；3. 数值计算：所有因数绝对值相乘，能约分、凑整的优先简化计算。多个负数相乘时，无需逐个计算，先定整体符号，再统一算绝对值，大幅减少失误。 【典例2】．下列说法：①最大的负整数是；②相反数是本身的数是正数；③有理数分为正有理数和负有理数；④数轴上表示的点一定在原点的左边；⑤几个有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数，其中错误的个数是（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】解：对于①：最大的负整数是，故①正确； 对于②：相反数是本身的数是，不是正数，故②错误； 对于③：有理数分为正有理数、负有理数和零，故③错误； 对于④：当时，在原点的右边，故④错误； 对于⑤：若因数中包含零，则乘积为零，不是负数，故⑤错误； ∴一共有4个错误结论． 【变式1】．如图，数轴上点A、B、C分别表示有理数a、b、c，若a、b、c三个数的乘积为正数，这三个数的和与其中一个数相等，则b____0． 【答案】 【分析】根据有理数的乘法法则：几个数的积是正数，则这几个数中负因数的个数应该是偶数个，从而得出 a，b，c 三个数都是正数或其中两个是负数，又根据这三个数的和与其中一个数相等得出这三个数只能是一个正数，两个为负数，由数轴可知，故只能 a，b 是负数，c 是正数，即可得出结果． 【详解】解：∵a 、b、c 三个数的乘积为正数， ∴a，b，c 三个数都是正数或其中两个是负数， 又∵这三个数的和与其中一个数相等， ∴这三个数只能是一个正数，两个为负数， ∵， ∴只能 a，b 是负数，c 是正数， 即． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （2）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （3）根据乘法分配律进行计算即可； （4）根据乘法的交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握运算法则“多个有理数相乘，符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数时，结果为负；当负因数个数是偶数时，结果为正”． （1）根据有理数乘法法则求解即可； （2）根据有理数乘法法则求解即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解： ． ． 题型3 有理数乘法的实际应用 解题技巧：核心是正负建模+倍数运算。第一步：根据题意规定正负意义（如盈利、上升、增加为正，亏损、下降、减少为负）；第二步：提取题目中的基数和变化倍数、数量；第三步：根据“单量×数量=总量”列乘法算式；第四步：计算结果并结合实际场景解读，标注单位。 【典例3】．嘉嘉在美术课上了解到，用不同比例的红、黄两种颜料能调配出多种暖色调颜色．如图，根据红色颜料的占比，可以将调配出的颜色分为①、②、③、④等四类．用红色颜料和黄色颜料调配出的颜色属于（     ） A．①类 B．②类 C．③类 D．④类 【答案】C 【分析】先求出调配出的颜料总质量，再计算红色颜料的占比，最后结合数轴上的分类范围进行判断． 【详解】解：∵红色颜料质量为，黄色颜料质量为 ∴调配出的颜料总质量为 ∴红色颜料的占比为 ∵ ∴该颜色属于③类 ． 【变式1】．某地推出4种特色农产品，每种农产品货源充足，均为独立包装且不可拆分．各农产品每包的重量与价值如下表： 农产品 A B C D 重量（kg） 7 12 8 5 价值（元） 60 100 58 45 在某批农产品的销售中，根据客户需求，助农志愿者使用纸箱装运农产品，且每箱所装农产品的总重量不超过28kg． （1）若每箱只装同一种农产品，则一箱农产品的总价值最大是________元； （2）若每箱中每种农产品最多装包，则一箱农产品的总价值最大是________元． 【答案】 【分析】第一问，分别计算只装同一种农产品时，每箱最多可装的包数，计算对应总价值，比较得到最大值；第二问，根据每种农产品最多装2包的限制，列举所有符合总重量要求的组合，计算总价值后比较得到最大值． 【详解】解：（1）对于每箱只装同一种农产品的情况： 农产品A：总价值元； 农产品B：总价值元； 农产品C：总价值元； 农产品D：总价值元； 比较可知，一箱农产品的总价值最大为240元； （2）设装A，B，C，D的包数分别为a，b，c，d，满足，，，，a，b，c，d为非负整数， 且， 总价值，计算得： 当，，，时，，； 当，，，时，，； 当，，，时，，； 当，，，时，，； 其余符合重量限制的组合，总价值均小于223，因此第二问最大总价值为223元． 【变式2】．小北爸爸在聚餐饮酒后呼叫代驾返家，代驾收费分为两部分： ①起步价（分时段）7千米以内：为元；为35元；为55元． ②里程费：超出起步路程后每千米收费4.5元（不足1千米，按1千米计算）． 小北爸爸晚上呼叫代驾，车程共13.7千米，需要支付代驾费多少元？ 【答案】86.5元 【分析】根据题意里程费共要收取千米的费用，再加上起步价即可． 【详解】解：（千米）， 里程费共要收取千米的费用，每千米收费4.5元， 故需要支付代驾费（元）． 【变式3】．大连一名网约车司机从门店出发，在东西走向的道路接送乘客，向东为正，行驶记录（单位：）： ． (1)接送完最后一批乘客后，司机在门店的哪个方向？距离门店多远？ (2)该车每千米耗油，求总耗油量； (3)计价规则：行驶路程不超收费元，超过的部分每千米收费元，不足按算，求司机本次一共收到车费多少元． 【答案】(1)司机在门店东侧，距离门店 (2)总耗油量为 (3)司机本次一共收到车费为元 【分析】（1）根据题意，进行有理数加法即可得到答案； （2）根据总耗油量单位耗油量总路程，即可得到答案； （3）根据计价标准分别计算每位客人的车费，相加即可得到答案． 【详解】（1）解：， 答：司机在门店东侧，距离门店； （2）解：总路程： 总耗油量：； （3）解：第1单：行驶，超过的部分为，按计算，费用为（元）； 第2单：行驶，超过的部分为，按计算，费用为（元）； 第3单：行驶，超过的部分为，费用为（元）； 第4单：行驶，超过的部分为，按计算，费用为（元）； 第5单：行驶，超过的部分为，按计算，费用为（元）； 总车费：（元）． 题型4 倒数 解题技巧：牢记倒数核心定义和避坑要点，快速解题。1. 判定技巧：两数相乘为1即可判定互为倒数；2. 求倒数方法：整数n（n≠0）倒数为1/n，真分数、假分数直接颠倒分子分母，小数先化最简分数再求倒数；3. 核心避坑：0无倒数，倒数符号与原数一致，互为倒数的两数乘积恒为1；4. 题型应用：已知倒数求参数、化简含倒数的算式，直接代入乘积为1计算。 【典例4】．2026的倒数是（    ） A． B．2026 C． D． 【答案】D 【分析】根据倒数的定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴的倒数为． 【变式1】．下列说法正确的是（     ） A．0的相反数和倒数都不存在 B．的倒数是4 C．互为相反数的两个数的和一定为0 D．若一个数的倒数等于它本身，则这个数只能是1 【答案】C 【详解】解：A．0的相反数是0，0没有倒数，错误 ​B．乘积为1的两个数互为倒数，的倒数是，不是4，错误 ​C．相反数定义：只有符号不同的两个数互为相反数，相加结果恒为0，正确 ​D．倒数等于本身的数有1和，错误 【变式2】．的相反数是______，的绝对值是______，的倒数是______． 【答案】 【详解】解：的相反数是； ，即的绝对值是； 的倒数是． 【变式3】．当a，b满足___________，a，b互为相反数；当a，b满足___________，a，b互为倒数． 【答案】 【详解】解：根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，互为相反数的两个数和为，因此当，满足，，互为相反数． 根据倒数的定义：乘积为的两个数互为倒数，因此当，满足，，互为倒数． 题型5 有理数乘法的运算律 解题技巧：三大运算律针对性使用，精准简化运算。1. 交换律+结合律：优先结合互为倒数、能凑整、可约分的数，简化乘法计算；2. 分配律：适用于一个数乘多个数的和/差，拆分后分别相乘再加减，规避复杂通分、大数计算；3. 逆向分配律：多个乘法算式含相同因数时，提取公因数合并计算；4. 关键细节：移动因数时必须连带前面的符号，负数参与分配律运算时注意符号变化。 【典例5】．在用运算律计算时，题目变形合理的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 又 原式可变形为 ． 【变式1】．请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题． 利用运算律计算： 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【答案】(1)11988 (2)99900 【分析】（1）将所求式子变形为，再结合有理数的混合运算法则计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，再结合乘法运算律计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】．黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ (1)请将淇淇的解法补充完整； (2)计算：． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 【变式3】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用乘法分配律进行解答即可． 【详解】（1）解： （2）解： 题型6 有理数的除法运算 解题技巧：统一转化，一步简化所有除法运算。牢记核心思路：所有除法全部转化为乘法。第一步：将除号变乘号，除数变为它的倒数；第二步：套用有理数乘法法则，先定符号、再算绝对值乘积。特殊处理：0除以非0数直接得0，严禁0做除数。分数除法、小数除法统一化成分数倒数计算，降低出错率。 【典例6】．计算的结果等于（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值相除，即可计算出结果． 【详解】解：． 【变式1】．计算： __________． 【答案】 【详解】解： ． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的除法运算： （1）变除法为乘法，再约分化简即可； （2）变小数为分数，再变除法为分数乘法，最后约分化简； （3）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可； （4）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：. 【变式3】．计算： (1) (2) (3)． (4)； 【答案】(1)11 (2)1 (3) (4) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键； （1）根据有理数的除法及乘法可进行求解； （2）根据有理数的加减运算可进行求解； （3）先算乘方，然后再进行有理数的运算即可； （4）根据有理数的四则运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式． 题型7 有理数除法的应用 解题技巧：适用于平均分、求单价、求倍数、求变化率问题。解题步骤：1. 审题确定总量、份数、单量，明确所求未知量；2. 结合正负意义，将实际数据转化为有理数；3. 根据“总量÷份数=单量”“总量÷单量=份数”列除法算式；4. 转化为乘法运算求解，根据结果正负判断实际意义。 高频场景：平均分配物资、平均气温变化、商品单价计算、速度与时间计算。 【典例7】．安安想将7个相同的正方体放入一个底面为，初始水位为的水箱中．水位最高可以达到（     ）厘米（注：根据图示，小正方体的边长为） A． B． C． D． E． 【答案】D 【分析】先计算得水箱底面积，水的体积；正方体棱长，水箱一层最多可放个正方体，底层6个恰好填满的高度空间，剩余1个放在第二层，此时水的有效底面积为，可得水位再次上升的高度，即可得总水位高度． 【详解】解：由题意得，水箱底面积为， 水的初始体积为， 单个正方体体积为，单个底面积， 由题意得，水箱内长方向可放个，宽方向可放个，一层最多可放个正方体， ∵6个正方体的总体积为，而水箱高度的总容积为， ∴底层6个正方体刚好填满的空间，此高度内没有水， ∵第7个正方体放在第二层， ∴水的底面积水箱底面积第7个正方体的底面积为， ∵水的体积仍为， ∴以上的水位高度为：， ∴总水位高度． 【变式1】．观察下面的3幅图，在装水的杯中放入大球和小球，请问大球的体积是( )立方厘米． 【答案】7 【分析】由前两个图可知一个大球与一个小球的体积是9立方厘米，再由第三个图可知一个大球与五个小球的体积是17立方厘米，就用一个大球与五个小球的体积减去一个大球与一个小球的体积，就是四个小球的体积：立方厘米，再用四个小球的体积除以4就是一个小球的体积，据此求解即可． 【详解】解：四个小球的体积：立方厘米， 每一个小球的体积为立方厘米， 每一个大球的体积为立方厘米． 【变式2】．为积极响应国家推广节能减排的政策，王老师购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后，连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为_____，“●”处的数为_____； (2)求这辆新能源汽车这7天行驶的总路程； (3)该汽车行驶完这7天后，求行车电脑上显示的剩余电量的百分比． 【答案】(1)，； (2)这辆新能源汽车这7天行驶的总路程为； (3)行车电脑上显示的剩余电量的百分比为． 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用，解题关键是准确计算． （1）根据第三天行驶了，第六天行驶了列式求解即可； （2）根据表格中的数据列式求解即可； （3）用350减去7天行驶总路程，然后除以350即可求解． 【详解】（1）解：∵该汽车第三天行驶了，第六天行驶了 ∴，， ∴“■”处的数为，“●”处的数为； （2）解：， 答：这辆新能源汽车这7天行驶的总路程为； （3）解： ∴行车电脑上显示的剩余电量的百分比为． 【变式3】．【问题呈现】 为缓解百姓停车压力，政府新建多个公用停车场、小嘉同学家所在小区附近也建有一个．该停车场收费标准的指示牌如图所示． 【应用体验】 今年国庆期间，小嘉邀请同学小兴一家到家里做客，小兴爸爸将车停在了该停车场，从进场停车到取车驶离，共经过了小时，则小兴爸爸共花费了停车费___________元． 【深入思考】 今年秋假期间，小嘉妈妈的好友小禾阿姨到访，她也将车停在了该停车场，已知小禾阿姨的停车时长为整数小时，她一共花了15元停车费，求小禾阿姨的停车时长． 【答案】应用体验：8；深入思考：5小时 【分析】本题主要考查了有理数乘除法的实际应用，正确理解收费标准是解题的关键． 应用体验：停车时长为小时，那么需要按照4小时收费，据此列式求解即可； 深入思考：根据题意可推出小禾阿姨的停车时长一定大于4小时，小于6小时，根据停车费为15元列式求解即可． 【详解】解：应用体验：，元 ∴小兴爸爸共花费了停车费8元； 深入思考：停车4小时时，停车费为元， 停车6小时时，停车费为元， ∵ ∴小禾阿姨的停车时长一定大于4小时，小于6小时， ∵，且小禾阿姨的停车时长为整数小时， ∴小禾阿姨的停车时长为5小时． 题型8 有理数乘除混合运算 解题技巧：统一化乘、从左到右、分步运算。1. 第一步统一转化：将算式中所有除法全部转化为乘法，整理为纯乘法算式；2. 第二步定符号：统计所有负因数个数，偶正奇负；3. 第三步算数值：绝对值相乘，优先约分、凑整简化计算；4. 同级运算严格从左到右，禁止跳步、乱序计算，避免漏符号、漏数字。 【典例8】．( ) A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，关键是掌握同级运算从左到右依次进行，或把除法转化为乘法后再计算，注意符号的处理． 【详解】解： ． 故选：D． 【变式1】．计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算．先计算乘除运算，将除法转化为乘法，利用有理数运算法则，负负得正，最后计算数值． 【详解】解：原式 故答案为：． 【变式2】．计算： 【答案】 【详解】解： 【变式3】．计算： (1) (2) 【答案】(1)8 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型9 有理数乘除中的简便运算 解题技巧：五大简便思路快速提速降错。1. 倒数凑1法：互为倒数的因数优先结合相乘得1；2. 凑整约分法：小数与整数、分数优先约分，凑整十、整百数；3. 符号归类法：先统一判定整体符号，再计算绝对值；4. 分配律巧用法：带括号的乘除算式，拆分后简便计算；5. 0优先法：算式含0直接得结果0，无需多余计算。核心原则：先观察数字特征，再选择简便方法，不盲目硬算。 【典例9】．运用你学过的运算律、规律、性质等使计算简便，写出主要过程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行简便运算即可； 根据乘法运算律进行简便运算即可； 先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1】．用简便的方法计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查了四则运算和简便运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键； （1）利用加法交换律和结合律进行计算即可得解； （2）利用除法的性质和乘法分配律进行简便计算． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 【变式2】．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)499 (2)7 (3)885 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律及裂项法是解题的关键. （1）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （2）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （3）根据同分母分数加法运算法则进行计算，再变形，根据同分母分数加法运算法则，进行计算即可； （4）将原式变形为，然后裂项，再根据加法交换律和结合律，结合裂项法，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：                   ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的运算定律，进行简便计算； （1）运用乘法分配律计算即可； （2）运用乘法结合律计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ； 题型10 有理数四则混合运算 解题技巧：严守运算顺序，灵活简便运算。1. 优先级排序：括号>乘除>加减，逐层计算；2. 同级运算：从左到右依次进行；3. 分步化简：每一步运算单独定符号、算数值，避免混合出错；4. 简便优化：可运用乘法运算律简化乘除部分计算，再进行加减运算；5. 收尾核验：重点检查负号、括号、运算顺序三大易错点。 【典例10】．水的化学式是，其中氢元素的化合价是，氧元素的化合价是．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 【变式1】．定义新运算，则______________． 【答案】 【分析】根据题中新定义的运算规则，结合有理数混合运算法则计算即可求出值． 【详解】解： ． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ． 【变式3】．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)． (3)64 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 题型11 有理数四则混合运算的实际应用 解题技巧：复杂实际问题建模求解四步法。1. 审题建模：提取题目中的增减、收支、涨跌数据，规定正负方向；2. 列式构造：根据实际逻辑，列出含加减乘除的综合算式；3. 规范运算：按四则运算顺序计算，灵活使用简便算法；4. 结果解读：结合实际场景解释结果正负含义，完整作答、标注单位。 【典例11】．《九章算术》中对于“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何?”给出了“盈不足”的算法：将盈和不足的数值相加作为被除数，人出钱数的差作为除数，所得结果就是人数．则该问题中，物价是（   ） A．41 B．45 C．53 D．59 【答案】C 【详解】解：∵ 由题意可知：盈为3不足为4，两次每人出钱数分别为8和7， ∴根据题中给出的算法人数为， ∴物价为． 【变式1】．社区超市使用统一规格纸箱打包日用品，单个纸箱最大承重为20kg，所有商品均为独立包装、不可拆分．四种日用品单件重量与单件价值如下表： 商品类型 卷纸 洗衣液 洗洁精 香皂 单件重量（kg） 1.2 3.5 1.8 0.3 单件价值（元） 18 49 26 6 （1）现有卷纸4件、洗衣液4件、洗洁精3件、香皂5件，需将所有商品全部分装至两个纸箱中，每箱均不超重，两个纸箱的商品总价值之差的最小值为________元； （2）若要求整箱商品总件数恰好为8件，在不超重的前提下，这箱商品的总价值最高为________元． 【答案】 0 284 【分析】（1）先算出商品总价值，目标是让两箱价值尽可能接近总价值的一半，同时满足单箱重量不超过，验证存在两箱价值相等的合规分装方案，即可得最小差值为； （2）属于限定件数的最值问题，优先选择单件价值高的商品，按价值从高到低枚举高价值商品的数量，结合重量不超过搭配剩余件数，对比计算即可得出最高总价值． 【详解】解：（1）所有商品的总重量为， 总价值为元， 要让两个纸箱的商品总价值之差最小，需尽量让两箱价值接近总价值的一半元，同时每箱重量不超过， 存在可行分装方案：第一箱装件洗衣液、件洗洁精和件香皂， 重量为， 价值为元； 第二箱装件洗衣液、件卷纸和件香皂， 重量为， 价值为元； 两箱价值相等，差值最小为元； （2）要求整箱总件数恰好件且不超重，求总价值最高值，优先选择单件价值更高的商品，按洗衣液、洗洁精、卷纸、香皂的价值从高到低枚举验证， 当选择件洗衣液时重量为，剩余件总重量需不超过，选择件洗洁精和件卷纸，总重量为，刚好符合不超过， 此时总价值为元； 若选择件洗衣液重量为，剩余件最高价值组合为件洗洁精加件香皂，总价值为元，低于元， 其余数量组合的总价值均更低，因此这箱商品总价值最高为元． 【变式2】．某班计划开展团建活动，了解到多数同学都喜欢吃哈密瓜．于是班级采购小组到市场调查，发现华星超市在搞促销活动，其中有一批大小差不多的哈密瓜也在促销．促销员说：这些瓜每个重量大约都在5斤左右，之前卖3.5元一斤的，现在搞活动全部卖15元一个．采购小组商量后买了10个回来．验货小组想知道这次购买的10个瓜的实际重量，于是将10个瓜逐个称重，以5斤为标准，超过记为正，不足记为负，记录结果如下：，，，，，，，，，．问： (1)最重的瓜比最轻的瓜重多少斤？ (2)该班采购的10个哈密瓜实际总重量为多少斤？ (3)如果按原价购买这10个瓜需付多少元？该班此次购买省了多少元？ 【答案】(1)最重的瓜比最轻的瓜重斤 (2)该班采购的个哈密瓜的总重量为斤 (3)按原价购买这个瓜需付元，此次购买省了元 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的应用，正确列出算式是解答本题的关键． （1）用最重的减去最轻的即可； （2）实际总重量等于10个瓜的标准质量加上10个瓜与标准质量的差的总和； （3）用总重量乘以单价可得原总价，再计算活动时的总价，两者相比较即可求出省了多少元． 【详解】（1）解：（1） 答：最重的瓜比最轻的瓜重0.85斤； （2）解： 答：该班采购的10个哈密瓜的总重量为斤； （3）活动前总价： 活动时总价： 此次购买省了： 答：按原价购买这10个瓜需付元，此次购买省了元． 【变式3】．研学实践：为了解家庭每月的固定收入及日常生活支出情况，某校研学小组以建立“家庭生活收支账目”为主题展开学习． 数据搜集：为记录生活一周的收支账目，把收入记为正数，支出记为负数，计算当日的结余、一周的总收入、总支出及一周的平均结余情况． 2024年9月2日至8日某家庭生活收支统计 日期 收入（元，记为） 支出（元，记为） 结余（元） 2日 350 _______ 3日 240 160 4日 300 _______ 5日 260 140 6日 350 _______ 7日 200 120 8日 400 200 合计 2100 _______ _______ 数据应用： (1)计算9月2日、4日和6日这三天每日的结余（每日结余=收入+支出）． (2)求这一周的总支出和这一周的平均结余． 【答案】(1)元，0元，元 (2)这一周的总支出为元，这一周的平均结余为元 【分析】（1）根据收入加上支出即可得到结余； （2）先算出一周的总支出，再用总支出加上总收入得到总结余后除以一周得到平均结余． 【详解】（1）解：元，元，元； （2）解：元， 所以这一周的总支出为元， 元． 答：这一周的总支出为元，这一周的平均结余为元． 题型12 根据点在数轴的位置判断式子的正负 解题技巧：数形结合，三步精准判断。1. 定范围：根据数轴点的位置，判断数的正负、绝对值大小（原点左负右正，离原点越远绝对值越大）；2. 判运算：根据加减乘除运算规则，判断式子整体正负；3. 特殊结论：正数乘除正数为正，负数偶数个相乘为正、奇数个为负；大数减小数为正，小数减大数为负。可赋值法辅助验证，快速秒杀选择题。 【典例12】．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴判断的符号及绝对值的大小． 【详解】解：由数轴可知， ， ，故选项A错误，不符合题意； ， ，故选项B错误，不符合题意； 由数轴观察可知，b到原点的距离大于c到原点的距离，即， 故选项D正确，符合题意； ，且， ∴， ∴，故选项C错误，不符合题意． 【变式1】．如果两个有理数、在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（     ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据数轴上点的位置判断两个数的符号，再利用有理数除法法则判断商的符号即可． 【详解】解：∵有理数，在数轴上对应的点分别在原点的两侧， ∴和一个是正数，一个是负数，即，异号， 又∵有理数除法法则为：两数相除，同号得正，异号得负， ∴这两个数相除所得的商一定是负数． 【变式2】．如图，数轴上点，，表示的数分别是，，，且，则________（填“，或”）． 【答案】 【分析】根据数轴中点的定义，由是线段的中点，则点表示的数满足，再结合数轴上数的正负性判断与的大小关系． 【详解】解：， 点是线段的中点， 根据中点公式：， 等式两边同时乘以，得：， 由数轴可知：， ，即． 【变式3】．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是________（填序号）． ①；②；③；④． 【答案】④ 【分析】根据数轴上点的位置确定的取值范围及正负性，再结合有理数的运算法则及绝对值的意义逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知，， 对于①，∵在原点左侧，，故①错误 对于②，∵，，∴，根据有理数加法法则，∴，故②错误 对于③，∵，∴，故③错误 对于④，∵，，根据有理数乘法法则，∴，故④正确 综上所述，结论正确的是④ 题型13 数轴上的翻折 解题技巧：核心抓翻折中点公式，通用解题步骤。1. 核心原理：数轴翻折后，重合两点到折点的距离相等，折点为两点的中点；2. 中点公式：若点a、点b关于点c翻折重合，则c=(a+b)÷2；3. 解题流程：先根据已知点求翻折中心，再结合距离公式求对应重合点；4. 拓展应用：多段翻折、多次翻折问题，逐次利用中点公式推导，结合有理数运算求解。 【典例13】．数轴上有，，三点，其中点，分别表示数，，现以点为折点将数轴向右对折（如图），若点的对应点刚好与点重叠，则点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质可知点到点的距离等于点到点的距离，即点是线段的中点，利用中点公式计算即可求解． 【详解】解：以点为折点将数轴向右对折，点的对应点刚好与点重叠， ，即点是线段的中点， 点表示，点表示， 点表示的数为． 【变式1】．小亮在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示（    ）的点重合 A．10 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】先确定折叠处（对称中心）表示的数，再根据对称点到对称中心的距离相等计算对应点表示的数． 【详解】解：∵折叠后数轴上表示的点与表示的点重合， ∴折叠处（对称中心）表示的数为， ∵表示的点与所求点关于对称， ∴所求点表示的数为． 【变式2】．如图，在一条可以折叠的数轴上，，两点表示的数分别是，，以点为折点，将此数轴向右对折，若对折点在点的右边，且，两点相距，则点表示的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、折叠的性质，关键是熟练应用知识点解题； 先求出折叠后表示的数，由折叠可得是中点，即可求得它表示的数． 【详解】解：由题意得， ∵点表示的数为，点在点的右边，且， ∴折叠后的点表示的数为． ∵折叠前点表示的数为， ∴， 即点表示的数为． 故答案为：． 【变式3】．在一条可以折叠的数轴上，点A和点B表示的数分别是和5，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A落在点B的右侧，且，则C点表示的数是_______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，折叠的性质，先求出折叠前，再结合折叠后得出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由条件可得，折叠前， ∵折叠后， ∴， ∴点表示的数是， 故答案为：． 1．2026年3月20日是春分，这一天全球昼夜等长，白昼时长为12小时．则数据12的倒数是（   ） A．12 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的倒数是. 2．的相反数的倒数是（   ） A． B． C． D．2026 【答案】B 【分析】根据绝对值，相反数，倒数的定义，逐步计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴， 则的相反数为，的倒数为． 因此所求结果为． 3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数轴可知：，然后根据绝对值的性质和有理数的加减乘除法则对各个选项进行判断即可． 【详解】解：由数轴可得， 所以，，，， 故A、B、D错误，C正确， 故选：C． 4．小明的妈妈买了 4 筐萝卜，以每筐 25 千克为标准，超过的千克数记为正数， 不足的千克数记为负数，称重后的记录分别为，小红快速准确地算出了 4 筐萝卜的总质量为（    ） A．千克 B．1千克 C．99千克 D．101千克 【答案】C 【分析】每筐相对于标准超过为正数，不足为负数，称重后记为正或负，都是相对于标准的，因此把标准质量乘以筐数，再加上各筐相对于标准的质量即可． 【详解】解：4 筐萝卜的总质量为千克． 5．快递公司为客户运送500只玻璃杯．为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，如果快递公司损坏一只玻璃杯，不但得不到运费，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱．如果快递公司共得运费87元，请问快递公司损坏（     ）只玻璃杯． A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】先假设500只玻璃杯都没有损坏时应得的运费，进而求得损坏的玻璃杯数量． 【详解】解：2角元，8角元， 假设500只玻璃杯都没有损坏，此时应得运费：（元）， （元）， 每损坏一只玻璃杯，少得的费用为运费损失0.2元加上赔偿的0.8元，即：（元）， 损坏的玻璃杯数量：（只）， 故快递公司损坏13只玻璃杯． 6．如图，杆秤是中国传统的计量工具．已知秤钩到提纽的水平距离是，秤砣质量是．用杆秤称苹果，当秤砣与提纽的水平距离为时，杆秤左右平衡，此时苹果质量是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据杠杆原理得：秤钩到提纽的水平距离苹果质量秤砣与提纽的水平距离秤砣质量，即可求解． 【详解】解：苹果质量为：． 7．某馄饨店每碗有10个馄饨．其中虾仁馄饨14元/碗，鲜肉馄饨10元/碗．现计划推出“双拼”馄饨，其中含虾仁馄饨、鲜肉馄饨各5个，这种馄饨每碗合理定价为（    ） A．24元 B．22元 C．14元 D．12元 【答案】D 【分析】先分别计算单个虾仁馄饨和单个鲜肉馄饨的单价，再计算5个两种馄饨的总价，即可得到双拼馄饨的合理定价． 【详解】解：∵每碗馄饨共10个，虾仁馄饨14元/碗，鲜肉馄饨10元/碗， ∴单个虾仁馄饨价格为元，单个鲜肉馄饨价格为元， ∵双拼馄饨含两种馄饨各5个， ∴总定价为元． 8．若”!”是一种数学运算符号，并且，，，，…，且公式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：依题意可得： = ． 9．斑马和长颈鹿的奔跑情况如图所示，15分钟时斑马和长颈鹿相距（   ）千米． A．6.6 B．6 C．6.5 D．6.8 【答案】B 【分析】此题考查用图象表示变量之间的关系，首先根据速度路程时间，分别求出斑马和长颈鹿的奔跑的速度，然后计算即可． 【详解】解：根据题意得：斑马的速度为：（千米/分），长颈鹿的速度为（千米/分）， 故15分钟时斑马和长颈鹿相距：（千米）． 10．从个元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．已知“！”是一种数学运算符号，且；……；若公式（为正整数），则为（    ） A．56 B．42 C．34 D．28 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义运算，需根据题目给出的组合数公式和阶乘的运算规则，代入数值计算求解即可． 【详解】解：∵（为正整数）， ∴ ， 故选：D． 11．绝对值不大于的所有整数的积等于______． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义，可得绝对值不大于的所有整数中包含，结合有理数乘法法则即可得到结果． 【详解】解：由绝对值的定义可知，绝对值不大于的所有整数中包含因数0， 根据有理数乘法法则，任何数与相乘的积都为， 因此绝对值不大于的所有整数的积等于． 12．若，则的倒数是___． 【答案】 【分析】根据有理数乘法法则求出x的值，再根据乘积为1的两个数互为倒数即可求解． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 13．若，，且，则_________ ． 【答案】7或 【分析】直接利用绝对值的性质以及有理数乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴时；时， 则或． 14．如图是一个计算机的运算程序，若一开始输入的x值为，则输出的结果y是____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了程序图与有理数的运算，根据程序要求先计算，若结果输出，若结果，再次代入，循环计算即可． 【详解】解：当输入x为时，，，将再次输入； 当输入的数为时，，，所以输出的结果为． 故答案为：． 15．结绳计数又名结绳记事，起源于大约300万年前．如图所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，右边绳子上的结每满8个则在左边的绳子上打一个结，请计算该部落在这段时间内所擒获的猎物总数为_______． 【答案】726 【分析】把八进制转换十进制计算即可； 【详解】解：根据题意，得这段时间内所擒获的猎物总数为： ． 16．如图，已知点，，在数轴上对应的数分别是，，，小明通过探究得到如下结论：①若，则；②若，则；③若，则原点一定在点的右侧；④．其中正确的结论是________．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】根据、、的大小关系，以及中点的位置情况，对各结论依次进行判断即可． 【详解】解：若， 则， 又∵点在中点右边， ∴， 故，结论①正确； 若， 则、异号， ∵， ∴， ∴， 即，故结论②正确； 若， 即到原点的距离大于到原点距离， 则原点可能在右侧，也可能在点到中点之间，故结论③错误； ∵， ∴，， ∴，故结论④正确； 综上，正确的结论有①②④． 17．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先算乘法，除以转化为乘4，算出结果； （2）式子含乘数0，任何数乘0都得0，结果直接为0； （3）除法转乘法，提取公因数，括号内化简后相乘； （4）带分数化为假分数，约分后相乘得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．符号“”表示一种运算，它对一些数的运算如下：，，，， (1)根据以上的运算规律， ； (2)计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题干所列一系列式子，归纳总结出的表达式，再计算； （2）分别代入的具体数值，各项先通分去括号后，再约分计算即可. 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， 故答案为：； （2）解： ． 19．已知m，n为有理数，如果规定一种新运算#，定义．解答下列各题． (1) ； (2) ； (3)探索：任意选取两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列〇和◇内，并比较两个运算结果，你能发现什么？ 和 【答案】(1) (2)44 (3)见解析，和的运算结果相同 【分析】（1）根据题中新运算法则计算即可； （2）先根据题中新运算法则计算，再根据新运算法则计算即可； （3）任意选符合条件的两个数计算，进而可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：设〇为2，◇为， ∴，， ∴和的运算结果相同． 20．某登山队员以营地为基地，向距离营地3千米的顶峰进行冲击．由于天气变化无常，他们不得不几次下撤保障自身安全．将队员向上爬升的海拔高度记为正数，向下撤退时下降的海拔高度记为负数，行进过程记录如下（单位：千米）： ． (1)这次冲击，登山队员有没有登上顶峰？ (2)在登山过程中，海拔高度每上升或下降1千米，每名队员平均消耗600千卡的能量，每名队员在这次登山中，消耗了多少千卡的能量？ 【答案】(1)这次冲击，登山队员登上了顶峰 (2)每名队员在这次登山中消耗了2748千卡的能量 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的加减法和乘法运算，掌握其运算法则是解此题的关键． （1）将题干中的数据相加进行计算即可得出答案； （2）首先将题干中的数据的绝对值相加，再根据有理数乘法计算即可． 【详解】（1）解：（千米）， ∴这次冲击，登山队员登上了顶峰； （2）解：（千米） （千卡） ∴每名队员在这次登山中消耗了2748千卡的能量． 21．近几年，新能源汽车产销量大幅增加．明明家把家中的燃油车换成了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程，如表，以50km为标准，多于50km的部分记为正，不足50km的部分记为负，刚好50km的记为零． 第天 1 2 3 4 5 6 7 路程/km (1)请求出明明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少千米？ (2)已知燃油车每行驶100km需用汽油8升，汽油价8元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为16度，每度电为0.5元，请计算这7天明明家换成新能源汽车比开燃油车节省多少钱？ 【答案】(1)/天 (2)元 【分析】（1）先求出7天总路程，再求平均数即可； （2）先分别求出燃油车和电动车的费用，再比较可得答案． 【详解】（1）解：总路程：，平均：/天； 所以这七天平均每天行驶了60千米； （2）解：燃油车费用：元， 电动车费用：元； 节省：元， 所以这7天明明家换成新能源汽车比开燃油车节省235.2元． 22．小海骑变速自行车上坡时，拨一下变速器，脚蹬会变轻；想骑快时再拨一下，后轮转速就会提升，这是如何实现的？ 秘密藏在自行车的齿轮组里：如图，前后两个齿轮通过链条连接，前侧连接脚蹬的齿轮组是牙盘（动力轮），后侧连接后轮轴心的齿轮组是飞轮（从动轮），自行车后轮转速与后飞轮一致．齿轮—链条啮合的传动原理与齿轮直接啮合一致（链条改变了飞轮转动方向），通过前（后）拨器切换链条卡在牙盘/飞轮的不同齿轮上，即可改变后轮转速，相同蹬车速度下，后轮速度越慢越省力． 小海观察自己的变速自行车，发现后飞轮有四层不同齿数的齿轮，由外到内的齿数分别为30（1档）、24（2档）、20（3档）、16齿（4档），前牙盘最外层有36齿． (1)小海在小区平路骑行时，将自行车飞轮拨至20齿，前牙盘调到最外层36齿，此时，后轮的速度_______小海蹬车速度（填“大于”“小于”），如果小海蹬车速度为40圈/分钟，那么后轮的转速为_______圈/分钟，齿轮—链条的升（降）速率为_______． (2)已知自行车后轮直径为，在一段上坡路上，小海将飞轮拨至24齿（牙盘36齿），车后轮转了150圈，这段坡路有多少米？（结果保留） (3)在（2）的条件下，小海认为此段坡路骑起来还是费力，于是保留后飞轮24齿，将前牙盘拨到另一齿轮档位，保持40圈/分钟的蹬车速度，他想用不超过5分钟骑完该坡路，并希望尽可能省力，请问他应该把前牙盘调到多少齿？（  ） A．15齿    B．18齿    C．20齿    D．24齿 【答案】(1)大于，，； (2)这段坡路有米； (3)B 【分析】（1）由题意可知，飞轮的齿轮齿数比前牙盘的齿轮齿数少，速度更大；再根据蹬车速度和齿数求解即可； （2）根据圆的周长计算即可； （3）结合（2）条件可得若用不超过5分钟骑完该坡路，则前牙盘需不小于齿，再结合相同蹬车速度下，后轮速度越慢越省力，即可得解． 【详解】（1）解：将自行车飞轮拨至20齿，前牙盘调到最外层36齿，此时，后轮的速度大于小海蹬车速度， 如果小海蹬车速度为40圈/分钟，那么后轮的转速为圈/分钟，齿轮—链条的升（降）速率为； （2）解：， 答：这段坡路有米； （3）解：由（2）可知，车后轮转了150圈， 若5分钟骑完该坡路，则后轮保持圈/分钟， 则前牙盘齿数为（齿）， 若用不超过5分钟骑完该坡路，则前牙盘需不小于齿， 又因为相同蹬车速度下，后轮速度越慢越省力， 所以他应该把前牙盘调到18齿． 23．根据以下素材，探索完成任务． 实验探究：钢球在“磁悬浮”轨道上如何运动 素材1 我国上海的“磁悬浮”列车，依靠“磁悬浮”技术使列车悬浮在轨道上行驶，从而减小阻力，因此列车时速可超过400公里．可利用钢球在“磁悬浮”轨道架上的运动模拟“磁悬浮”列车在轨道行驶，实验中钢球大小忽略不计．假设钢球的运动都是匀速的． 素材2 现有一个长为的“磁悬浮”轨道架，如图所示，轨道架上安置了三个大小和质量完全相同的钢球A、B、C，左右各有一个钢制挡板D和E，其中C到左挡板的距离为，B到右挡板的距离为，A、B两球相距． 素材3 在钢球碰撞实验中（相撞时间不计），当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动． 问题解决 任务1 根据素材2，若A球在数轴上表示坐标原点，B球表示的数为40，则C球表示的数为______．右挡板E表示的数为______． 任务2 在任务1的位置条件下，当A球以每秒的速度向左匀速运动，请回答下列问题： ①经过______秒，C球第一次撞到左挡板D；②经过______秒，C球第二次撞到左挡板D；③经过______秒，C球第n次（n为正整数）撞到左挡板D． 任务3 在任务1的位置条件下，如果A、B两球同时开始运动，A球向左运动，B球向右运动，A球速度是每秒，B球速度是每秒，试探究经过多长时间A、B两球相撞？相撞时在数轴上所对应的数是多少？ 【答案】任务1：，70；任务2：11，47，；任务3：经过8秒A、B两球相撞，此时在数轴上所对应的数为20． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，数轴两点间的距离、数轴和动点问题，理解题意是解决本题的关键． 任务1：根据素材2结合题意求解即可； 任务2：①先算出A球到C球的时间，再算出C球到挡板的时间即可求解； ②根据素材3可得，所有小球的运动可以看作一个小球在运动，则可以算出小球从D挡板到E挡板，再从E挡板到D挡板所花的时间即可求解； ③根据②即可求解； 任务3： A球向左运动速度，B球向右运动速度，A球到C球的时间为秒，B球到右挡板的时间为秒，C球到左挡板再到A球位置所花时间为秒， C球到左挡板再到A球位置，且A球开始运动时，B球的位置为，故，则，，即经过8秒A、B两球相撞，此时在数轴上所对应的数为20． 【详解】解：任务1：∵总长度为且到左挡板的距离为，B到右挡板的距离为，、两球相距， ∴， 又∵球在数轴上表示坐标原点， ∴球表示的数为，右挡板表示的数为， 故答案为：，70； 任务2：①∵A球以每秒的速度向左匀速运动，A球到C球的距离为， ∴所花时间为（秒）， ∵C球到D挡板的距离为， ∴所花时间为（秒）， ∴第一次撞到D挡板的时间为秒， 故答案为：11； ②根据素材3可得，所有小球的运动可以看作一个小球在运动， ∴小球从D挡板到E挡板，再从E挡板到D挡板所花的时间为：（秒）， ∴球第二次撞到左挡板所花时间为：（秒）， 故答案为：47； ③由②可得，第n次撞到左挡板D的时间为：（秒）， 故答案为：； 任务3：∵A球向左运动速度，B球向右运动速度，球表示的数为，右挡板表示的数为， 根据题意得，A球到C球的时间为（秒）， B球到右挡板的时间为（秒）， C球到左挡板再到A球位置所花时间为（秒）， C球到左挡板再到A球位置，且A球开始运动时，B球的位置为 ∴， 则， ∴经过8秒A、B两球相撞，此时在数轴上所对应的数为20． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $