第04讲有理数的加法与减法 2026年人教版七年级数学上册暑假预习（知识点+题型精讲）

第04讲 有理数的加法与减法 目录 知识点1 有理数的加法法则（核心重点） 2 知识点2 有理数加法运算律（简便运算必考） 2 知识点3 有理数的减法法则 2 知识点4 有理数加减混合运算规则 3 题型1 有理数加法运算 3 题型2 有理数加法中的符号问题 5 题型3 有理数加法在生活中的应用 6 题型4 有理数加法运算律 12 题型5 有理数减法运算 14 题型6 有理数减法的实际应用 15 题型7 有理数的加减混合运算 18 题型8 有理数加减中的简便运算 21 题型9 有理数加减混合运算的应用 23 题型10 省略加号和括号的形式 25 1. 知识目标：理解并熟记有理数加法、减法的运算法则，掌握有理数加法交换律、结合律，明确有理数加减运算的核心逻辑，区分小学算术运算与有理数运算的差异。 2. 能力目标：能熟练进行有理数加法、减法单独运算，掌握加减混合运算方法，会省略加减混合运算中的加号和括号；能灵活运用运算律进行简便运算，精准规避符号易错问题。 3. 应用目标：能将生活中的实际问题转化为有理数加减运算模型，解决温度、海拔、收支、行程等实际应用题，提升数学建模与运算求解能力。 4. 素养目标：初步建立分类讨论、转化的数学思想，养成“先定符号、再算绝对值”的规范运算习惯，降低运算出错率。 知识点1 有理数的加法法则（核心重点） 有理数加法运算核心口诀：先定符号，后算绝对值 1. 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。 示例：(+3)+(+5)=+8，(-3)+(-5)=-8 2. 异号两数相加（绝对值不相等）：取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 示例：(+7)+(-4)=+3，(+4)+(-7)=-3 3. 互为相反数的两个数相加得0。 示例：(+6)+(-6)=0 4. 一个数同0相加，仍得这个数。 示例：0+(-9)=-9，0+8=8 知识点2 有理数加法运算律（简便运算必考） 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。字母表示：a+b = b+a 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。字母表示：(a+b)+c = a+(b+c) 拓展：多个有理数相加，可任意交换加数位置、任意分组结合运算，和不变。 知识点3 有理数的减法法则 核心法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 字母通用公式：a - b = a + (-b) 运算转化要点：减法变加法，减数变相反数，被减数保持不变。 示例：5-8=5+(-8)=-3，(-4)-(-2)=(-4)+2=-2 知识点4 有理数加减混合运算规则 1. 统一转化：将所有减法运算转化为加法运算，把算式变成纯加法和式。 2. 省略符号规则：在和式中，可省略各个加数的括号和前面的加号，写成省略加号和括号的最简形式。 3. 两种读法：①按和式读：读作“正几、负几、正几……的和”；②按运算读：读作“几加几减几……”。 示例：(-3)+(+5)+(-2)-(+4) 转化为：-3+5-2-4，读作“负3、正5、负2、负4的和”或“负3加5减2减4”。 题型1 有理数加法运算 解题技巧：严格遵循“两步运算法则”。第一步：分类判断加数符号（同号、异号、含0、互为相反数）；第二步：先确定结果符号，再通过绝对值加减计算数值。杜绝直接计算、忽略符号的错误。多个数相加时，优先凑0、凑整，简化计算。 易错提醒：异号相加是“绝对值相减”，同号相加是“绝对值相加”，切勿混淆。 【典例1】．下列各数中比大3的数是（     ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据题意列出加法算式，计算结果后匹配选项即可． 【详解】解：根据题意，要求比大的数，可列式计算得到 ∴所求的数是． 【变式1】．计算：______． 【答案】 【详解】解： 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 【答案】(1)3 (2)0 (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： . 【变式3】．计算： (1)； (2) (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型2 有理数加法中的符号问题 解题技巧：符号是有理数运算的核心易错点，牢记三大判断规则： 1. 同号相加，结果符号与原数符号一致； 2. 异号相加，结果符号跟随绝对值更大的数； 3. 两数互为相反数，和为0，无正负符号。 专项避坑：多个有理数相加时，不要逐个硬算，可先统计正数、负数总和，再进行异号相加，减少符号失误。 【典例2】．如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 根据有理数的加法性质，分析求解，即可解题． 【详解】解：设两个有理数为a和b，且． 因为若且，则，与矛盾， 所以至少有一个加数大于0，即两个加数中至少一个是正数． 故选：B． 【变式1】．如果的值是负数，则a与b的值 （     ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定是一个正数，一个负数 D．至少有一个是负数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法，根据理数的加法的法则判断即可． 【详解】解：的值是负数， a与b的值中至少有一个是负数． 故选：D． 【变式2】．若且a，b异号，，则a_______0． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据有理数的加法法则，异号相加，取绝对值大的数的符号，再用大的绝对值减去小的绝对值，进行判断即可． 【详解】解：∵且a，b异号，， ∴； 故答案为：． 【变式3】．与的和取___________号；与的和取___________号；和的和取___________号．（填“正”或“负”） 【答案】 负 正 负 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解本题的关键． 根据有理数的加法法则，“同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，当绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”逐一计算即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：负正 负 题型3 有理数加法在生活中的应用 解题技巧：核心是建模转化。第一步：设定正负数意义（如上升、收入、零上为正，下降、支出、零下为负）；第二步：将生活中的变化量转化为有理数；第三步：列加法算式计算总结果；第四步：结合实际场景作答，注明单位。 常见场景：温度变化、海拔升降、账目收支、水位涨跌、货物增减。 【典例3】．某地一天早晨的气温是，到中午升高了，则中午的气温是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得 ：． 【变式1】．某兴趣小组有3件打印模型需要制作，每个模型都要按四道工序的顺序完成．现安排甲、乙、丙3名同学来做，甲只负责A、D工序，乙只负责B工序，丙只负责C工序．同一模型同一时间只能进行一道工序，完成一道工序后才能开始下一道工序．一个人只有完成一个模型的一道工序后，才能进行下一个模型的工序．各工序耗时（单位：分钟）如下表： （1）只完成模型1和模型3的制作，最少需要________分钟； （2）要完成这3件模型的制作，最少需要________分钟． 【答案】 19 30 【分析】（1）分别计算先制作模型1后制作模型3，以及先制作模型3后制作模型1的总耗时，比较得出最小值； （2）根据工序先后顺序及人员分工，依次分析关键路径，计算各工序完成时刻得出总耗时，通过比较即可得出结果． 【详解】解：（1）由题意知， 若先制作模型1，后制作模型3： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型1为，模型3为， 丙完成C工序时间：模型1为，模型3为， 甲完成D工序时间：模型1为，模型3为， ∴总耗时20分钟； 若先制作模型3，后制作模型1： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型3为，模型1为， 丙完成C工序时间：模型3为，模型1为， 甲完成D工序时间：模型3为，模型1为， ∴总耗时19分钟， ∵， ∴最少需要19分钟； （2）要完成3件模型的制作，则有“模型1-模型2-模型3”、“模型1-模型3-模型2”、“模型2-模型1-模型3”、“模型2-模型3-模型1”、“模型3-模型1-模型2”“模型3-模型2-模型1”共六种顺序制作： ①模型1-模型2-模型3： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型1为，模型2为，模型3为， 丙完成C工序时间：模型1为，模型2为，模型3为， 甲完成D工序时间：模型1为，模型2为，模型3为， ∴总耗时31分钟； ②模型1-模型3-模型2： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型1为，模型3为，模型2为， 丙完成C工序时间：模型1为，模型3为，模型2为， 甲完成D工序时间：模型1为，模型3为，模型2为， ∴总耗时33分钟； ③模型2-模型1-模型3： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型2为，模型1为，模型3为， 丙完成C工序时间：模型2为，模型1为，模型3为， 甲完成D工序时间：模型2为，模型1为，模型3为， ∴总耗时30分钟； ④模型2-模型3-模型1： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型2为，模型3为，模型1为， 丙完成C工序时间：模型2为，模型3为，模型1为， 甲完成D工序时间：模型2为，模型3为，模型1为， ∴总耗时30分钟； ⑤模型3-模型1-模型2： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时刻：模型3为，模型1为，模型2为， 丙完成C工序时间：模型3为，模型1为，模型2为， 甲完成D工序时间：模型3为，模型1为，模型2为， ∴总耗时33分钟； ⑥模型3-模型2-模型1： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型3为，模型2为，模型1为， 丙完成C工序时间：模型3为，模型2为，模型1为， 甲完成D工序时间：模型3为，模型2为，模型1为， ∴总耗时31分钟， 综上所述，要完成这3件模型的制作，最少需要30分钟． 【变式2】．足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位： ）： ， ， ， ， ， ， ， ．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过 （不包括 ），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【答案】(1)守门员最后回到了球门线上 (2)25米 (3)4次，理由如下： 由（2）可知守门员每次离开球门线的距离分别为：10米，8米，13米，25米，19米，10米，14米，0，则符合题意的有：13，25，19，14． ∴对方球员有4次挑射破门的机会． 【分析】（1）根据有理数加减法的规则进行计算，因为初始位置为球门线，对应数值0，所以只需将所有跑动记录的数值相加，判断和是否为0即可； （2）如果要找离开球门线的最远距离，那么需要依次计算每次跑动后守门员相对于球门线的位置，取最大值； （3）因为需要统计距离超过10m的次数，所以需逐一核对每次跑动后位置，统计其中大于10的次数即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 米， ∴守门员最后回到了球门线上； （2）解：第一次跑距离开球门线10米 ； 第二次距离开球门线 （米）； 第三次距离开球门线 （米）； 第四次距离开球门线 （米）； 第五次距离开球门线 （米）； 第六次距离开球门线 （米）； 第七次距离开球门线 （米）； 第八次距离开球门线 （米）． ∴守门员离开球门线的最远距离为25米； （3）略． 【变式3】．有一批水果，包装质量为每筐26千克，现抽取8筐样品进行检测，结果称重如下（单位：千克）27，24，23，28，21，26，22，27，为了求8筐样品的总质量，我们可以选取一个恰当的基准数进行简化运算． (1)你认为选取的一个恰当的基准数为________ (2)根据你选取的基准数，用正、负数填写下表（单位：千克）： 原质量 27 24 23 28 21 26 22 27 与基准数的差距 (3)这8筐水果的总质量是多少？平均每筐质量是多少？ 【答案】(1) (2)从左到右依次为，，，，，，， (3)总质量为198千克，平均每筐质量为千克． 【分析】（1）根据包装质量的要求，即可选出基准数． （2）将每个数减去基准数，即可求出每筐质量与基准数的相差数． （3）利用有理数的加法法则即可求出总质量，根据总质量筐数即可求出每筐的质量． 【详解】（1）解：包装质量为每筐26千克， 选取的恰当基准数为26． （2）解：选取的基准数为26千克， ，，，，，，，， 从左往右依次是，，，，，，，． （3）解：， 8筐水果的总质量为（千克）． 平均每筐的质量为（千克）． 题型4 有理数加法运算律 解题技巧：运算律核心作用是分组简化运算，优先固定分组规律： 1. 互为相反数的数优先结合（凑0）； 2. 同号数优先结合（统一符号，减少出错）； 3. 能凑整数、凑整十数的数优先结合； 4. 分数与分数、小数与小数分别结合。 注意：交换加数位置时，必须连带数字前面的符号一起移动。 【典例4】．小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法，在进行加法运算时，往往利用加法交换律和结合律，进行凑整计算． 小慧同学将原式中的加数顺序改变，并将后两个加数结合，同时运用了加法交换律和结合律． 【详解】原式为，小慧将其变为， ∵交换了加数4的位置， ∴使用了加法交换律； ∵将和结合， ∴使用了加法结合律， 综上，运用了加法交换律与结合律． 故选：C． 【变式1】．计算的结果是（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的加法，根据加法结合律进行解答即可． 将正负数分组结合，利用加法结合律简化计算过程． 【详解】解： 故选：A 【变式2】．是应用了______律． 【答案】结合 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握有理数加减混合运算法则进行求解是解决本题的关键． 应用有理数加减混合运算法则进行判断即可得出答案． 【详解】解：是应用了结合律． 故答案为：结合． 【变式3】．计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)18 (2) (3) 【详解】（1）解：； ． （2）解： ． （3）解： ． 题型5 有理数减法运算 解题技巧：牢记“一变一不变”万能口诀： 1. 不变：被减数的符号和数值保持不变； 2. 改变：减号变加号，减数变为它的相反数。 所有减法统一转化为加法运算，再套用加法法则计算，彻底规避减法运算易错问题。无论正数减负数、负数减正数、负数减负数，全部统一转化，无需单独记忆复杂规则。 【典例5】．下列数中比小1的数是（     ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意列出算式，按照有理数减法法则计算即可得到结果． 【详解】解：， 即符合要求的数是． 【变式1】．计算：________． 【答案】13 【详解】解：． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】．计算： 【答案】 【分析】根据有理数的减法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 题型6 有理数减法的实际应用 解题技巧：适用于“求差值、求变化量”类问题。步骤： 1. 明确题目中“大数、小数”（如最高温、最低温，最高海拔、最低海拔）； 2. 套用公式：变化量=终止量-初始量，差值=最大值-最小值； 3. 将实际数值代入，转化为有理数减法运算，统一为加法后计算； 4. 根据结果正负判断变化趋势（正为增加、上升，负为减少、下降）。 【典例6】．某地今年1月1日至4日每天的最高气温与最低气温如下表： 日期 1月1日 1月2日 1月3日 1月4日 最高气温 最低气温 其中温差最大的是（     ） A．1月1日 B．1月2日 C．1月3日 D．1月4日 【答案】A 【分析】温差为最高气温与最低气温的差，先根据有理数减法计算出每天的温差，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵ 温差最高气温最低气温， 分别计算每天的温差： 1月1日：， 1月2日：， 1月3日：， 1月4日：， ∵， ∴温差最大的是1月1日． 【变式1】．为确保北江干流航运安全，水利部门实施“上补下蓄”联合调度．其中，飞来峡水库的航运安全临界水位为23.5米，被设定为调度基准点（即0点），在一次调度中，若监测到水库水位上升至24.8米，记作+1.3米．那么，当水位降至22.9米时，应记作__________米． 【答案】 【分析】本题考查正负数的意义，解题思路为以米作为基准0点，高于基准水位的差值记为正数，低于基准水位的差值记为负数，计算目标水位与基准水位的差值即可求解． 【详解】解：由题意可知，调度基准水位为米，即点，高于基准水位记为正，低于基准水位记为负． 当水位降至 米时，计算得： 因此水位降至 米时，应记作米． 【变式2】．小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖．如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）： ，，，，，． (1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ (2)小李距集合点最远为______千米． (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶12千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 【答案】(1)小李在集合点的南边，距集合点1千米 (2) (3)能，理由见解析 【分析】（1）将题中所记录的数据相加求和即可得出答案； （2）分别求出这6次行驶距离集合点的路程，比较即可； （3）分别求出这6个数的绝对值，相加求和，然后与12进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解： （千米）， 答：小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的南边，距集合点1千米； （2）第一次距离集合点（千米）， 第二次距离集合点（千米）， 第三次距离集合点（千米）， 第四次距离集合点（千米）， 第五次距离集合点（千米）， 第六次距离集合点（千米）， 因为， 所以小李距集合点最远为2千米， 故答案为：2； （3）能，理由： （千米）千米， 所以在中间不充电的情况下，他能完成上面的行程． 【变式3】．“十一”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如表：（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）（单位：万人），已知9月30日游客为2万． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 (1)求10月2日游客的人数为多少？ (2)请判断7天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ 【答案】(1)10月2日游客的人数为4.4万人 (2)3日人数最多，7日人数最少，它们相差2.2万人 【分析】（1）将9月30日游客人数加上1日和2日增加的人数就是10月2日的游客人数； （2）先计算出这7天每天的人数，比较得到人数最多和最少的天数，计算出相差多少万人即可； 【详解】（1）解：10月2日游客的人数为：（万人）； （2）解：10月1日有游客：（万人）； 10月2日游客的人数为（万人）； 10月3日游客的人数为（万人）； 10月4日游客的人数为（万人）； 10月5日游客的人数为（万人）； 10月6日游客的人数为（万人）； 10月7日游客的人数为（万人）； 所以游客最多的是10月3日，最少的是10月7日，它们相差（万人）； 题型7 有理数的加减混合运算 解题技巧：遵循“先统一、后运算”标准流程： 1. 化减为加：将算式中所有减法全部转化为加法，写成全部带符号的和式； 2. 整理式子：去除多余括号，整理简洁算式； 3. 分步运算：可从左到右依次计算，也可结合运算律分组计算； 4. 核验结果：重点核对符号，避免漏符号、错符号。 基础要求：初学阶段严禁跳步，步骤完整可大幅降低错误率。 【典例7】．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】．计算∶ (1) ； (2) 【答案】(1)3 (2)4 【分析】（1）根据有理数加减法从左往右计算即可； （2）利用加法交换律和加法结合律计算即可． 【详解】（1）解： （2） 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： ． 【变式3】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，相反数，解题的关键是掌握有理数的加减混合运算法则，相反数的定义． （1）先去括号，再把减法化为加法，最后运算加法，即可作答． （2）把小数化为分数，再根据加法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型8 有理数加减中的简便运算 解题技巧：在混合运算中，优先用运算律简化计算，四大黄金简便思路： 1. 凑零法：互为相反数的数先结合相加得0； 2. 凑整法：将能凑成整数、整十数的小数、分数结合运算； 3. 同号归类法：所有正数、所有负数分别结合求和，再做一次异号相加； 4. 同分母结合法：分数运算中，同分母分数优先结合。 核心原则：不硬算、不盲算，优先观察数字特征，再选择简便方法。 【典例8】．计算：的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法．观察每个分母为两个连续整数的乘积，利用裂项法将每个分数拆分为两个分数的差，然后求和时中间项相互抵消，从而简化计算. 【详解】解：∵，，，，， ∴原式. 故选：C． 【变式1】．“数形结合思想”是数学学习中非常重要的一种数学思想，我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”在计算时，可以联想到图（1），则．请观察图（2），计算_____． 【答案】 【分析】直接根据图（2）作答即可． 【详解】解：由图（2）可知． 【变式2】．计算： 【答案】 【分析】运用加法交换律和结合律，将分母相同的带分数分组计算，简化运算过程． 【详解】解：原式 ． 【变式3】．先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 上面的计算方法叫做拆项法． （2）请用拆项法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．根据（1）的拆项法即可解答本题． 【详解】解： ． 题型9 有理数加减混合运算的应用 解题技巧：复杂实际问题专属解题步骤： 1. 审题建模：提取题目中的变化数据，规定正负方向； 2. 列式转化：根据“初始量+所有变化量”列出加减混合算式； 3. 简便运算：统一为加法后，用简便算法计算结果； 4. 结果分析：结合实际意义解读结果，判断最终状态（盈利/亏损、上升/下降、达标/不达标）。 高频考点：股市涨跌、路程位移、物品质量偏差、水库水位变化等。 【典例9】．在综合实践课中，同学们探究得出，某地日出、日落时刻关于正午时刻对称．若该地日出时刻为，日落时刻为，则当天太阳高度达到最大值的时间为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，太阳高度达到最大值的时刻为正午时刻，且日出与日落关于正午对称，因此正午时刻是日出和日落时刻的平均值，计算即可得到结果． 【详解】解：∵日出、日落时刻关于正午对称，太阳高度最大值出现在正午， ∴正午时刻为日出时刻与日落时刻的平均值， ∵，， ∴当天太阳高度达到最大值的时间为． 【变式1】．一天早晨的气温是，中午上升了，半夜又下降了，则半夜的气温是 _______． 【答案】 【分析】根据有理数加减运算法则计算即可 【详解】解：根据题意可得，半夜的气温为：， 【变式2】．某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米）． (1)收工时该检修小组距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 【答案】(1)收工时该检修小组在A地的东边，距离A地5千米 (2)该检修小组这一天行驶的总路程为千米 【详解】（1）解：（千米）， 答：收工时该检修小组在A地的东边，距离A地5千米； （2）解：（千米）， 答：该检修小组这一天行驶的总路程为千米． 【变式3】．食堂管理：下表是实验小学食堂库存大米在这个星期内的变化情况．（运进为正，运出为负） 星期 日 一 二 三 四 五 六 运进和运出仓库的大米质量/千克 (1)星期四运进大米（    ）千克，运出大米（    ）千克． (2)星期（    ）只运出大米，而没有运进大米；星期（    ）运出的大米和运进的大米同样多． (3)如果上个星期六剩余大米200千克，那么到这个星期六食堂剩余多少千克大米？ 【答案】(1)180，90 (2)五，一 (3)660千克 【分析】（1）根据表格即可解答； （2）根据表格即可解答； （3）对表格中所有数据求和再加200即可解答； 【详解】（1）解：根据表格可知，星期四运进大米180千克，运出大米90千克； （2）解：根据表格可知，星期五只运出大米，而没有运进大米；星期一运出的大米和运进的大米同样多． （3）解： 千克， 答：如果上个星期六剩余大米200千克，那么到这个星期六食堂剩余660千克大米． 题型10 省略加号和括号的形式 解题技巧：掌握转化规则和两种读法，规避读写错误： 1. 转化规则：括号前是“+”，去括号后括号内符号不变；括号前是“-”，去括号后括号内全部变号；所有式子最终化简为“数字+符号”的最简排列形式。 2. 规范读法：①和式读法（严谨通用，考试首选）；②运算读法（日常计算使用）。 3. 避坑要点：省略符号后，每个数字的符号归自身所有，移动数字时必须连带符号，切勿丢符号。 【典例10】．不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、， A错误； B、， B正确； C、， C错误； D、， D错误． 【变式1】．将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】去括号时，括号前是正号，去掉括号后括号内各项不变号；括号前是负号，去掉括号后括号内各项变号． 【详解】解：∵原式为， ∴按去括号法则变形得． 【变式2】．把算式改写成省略括号和加号的形式：______． 【答案】 【分析】根据有理数的减法法则进行变形，即可得到结果． 【详解】解：． 【变式3】．把写成省略加号和括号的形式______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 先将减法转化为加法，再省略加号和括号即可得到省略形式． 【详解】解：原式． 故答案为：． 1．规定：（→）表示向右移动，记作，则按照（→），（←）移动两次，可以用算式表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意确定相反方向移动的记数规则，将两次移动的记数相加即可得到所求算式． 【详解】解：∵规定向右移动记作，向右与向左是相反意义的方向， ∴向左移动记作负数， ∵两次移动分别为向右移动，向左移动， ∴向右移动记作，向左移动记作，列算式得． 2．已知为有理数，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数比较大小，有理数加法，根据题意得到，进而根据有理数的大小比较法则分析得出结论即可． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 3．电动汽车的续航里程与能耗密切相关，若将“充电增加的续航里程”记为正，则“行驶消耗的续航里程”为其相反意义的量．某车型充电后获得公里续航（记为公里），行驶中消耗的续航里程记为该数值的相反数，此时剩余续航里程变化后对应的数值为（     ） A．公里 B．公里 C．公里 D．公里 【答案】C 【分析】根据正负数的意义与相反数的概念，先根据题意得到消耗续航的计数，再计算得到最终结果． 【详解】解：∵充电后获得的续航记为公里， ∴消耗的续航里程记为公里， ∴变化后对应的数值为公里． 4．杂货商有12种不同整数重量的砝码，从到．她将它们分成三组，每组四个砝码．第一组的总重量是，第二组的总重量是．以下哪个重量的砝码和重的砝码在同一组？（   ） A． B． C． D． E． 【答案】C 【分析】先求出第三组的总重量为，根据最轻的四个砝码的重量是判断出第三组的砝码；根据最重的四个砝码的重量是判断出第一组的砝码，从而判断出第二组的砝码，即可求解． 【详解】解：所有砝码的重量为， 又第一组的总重量是，第二组的总重量是， ∴第三组的总重量为， ∵最轻的四个砝码的重量是， ∴第三组四个砝码为，，，，总重量为， ∵最重的四个砝码的重量是， ∴第一组四个砝码为，，，，总重量为， ∴第二组四个砝码为，，，，总重量为， ∴各选项中与重的砝码在同一组是． 5．如图，数轴上点表示的数为2，将点向左移动5个单位长度得到点，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：依题意，点表示的数是． 6．如图，某工程队测得点的海拔为，点的海拔为，则点与点之间的高度差为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：点与点之间的高度差为：， 7．决定在方格表中的各个单元格内填入数，使得四个可能的正方形内的各数的总和相同．如图所示，其中三个角落处单元格内的数已经写好了．问她应该在位于第四个角落的单元格里写什么数？（   ） A．0     B．1      C．4      D．5        E．6 【答案】B 【分析】用分别方格中另外5个数，设第四个角落的单元格里的数为，根据题意列出相应的式子即可求解． 【详解】解：如图，用分别方格中另外5个数，设第四个角落的单元格里的数为， ∵四个可能的正方形内的各数的总和相同， ∴，即， ∴， 同理，，即， ∴， ∴第四个角落的单元格里的数为1． 8．请指出下面计算从哪一步开始出错（   ） ① ② ③ ．④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据计算过程并结合运算法则分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 由计算过程可得，计算错在第②步， 故选：B． 9．2025年全国多地开展“城市地下水位监测”工作，某监测站记录的一周内地下水位变化量（均与前一天进行对比，上升为正，下降为负）如下表所示： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 水位变化量／m 其中水位最低的一天是（   ） A．周二 B．周四 C．周五 D．周日 【答案】B 【分析】设上周日水位为初始值，根据每天的水位变化量依次计算出本周每天的水位，再比较大小即可得出水位最低的一天． 【详解】解：设上周日的水位为， 依次计算本周每天的水位： 周一水位：， 周二水位：， 周三水位：， 周四水位：， 周五水位：， 周六水位：， 周日水位：， ∵ ∴， ∴周四的水位最低． 10．式子有下面的两种读法 读法一：负3，负，正5与的和 读法二：负3减4加5减8 关于这两种读法，正确的选项是（   ） A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都正确 D．两种读法都不正确 【答案】B 【分析】本题考查有理数加减混合运算的两种读法规则，需区分运算符号与性质符号的读法逻辑． 【详解】解：① 按运算符号读取：将式子中的“”“”看作运算符号，即“负3减4加5减8”，对应题目中的读法二，该读法正确； ② 按性质符号读取：可将原式转化为，即读作“负3、负4、正5、负8的和”，题目中读法一的“负”为书写笔误； ∴只有读法二正确， 故选：B． 11．从这12个数中取若干个数，使得任意两个数之和既不等于也不等于，则这若干数字和的绝对值最大值为______． 【答案】 【分析】因为所有数均为负数，若干个数和的绝对值等于取出各数的绝对值之和，要使和的绝对值最大，需使取出各数的绝对值之和最大，同时满足任意两个数之和既不为也不为，将数按和为分组，每组最多选取一个数，因此最多选取个数，再选择每组中绝对值更大的数计算即可． 【详解】解：将这个数按两数和为分为组： 由题意，任意两个数之和不能为，因此每组最多只能选取个数，即最多选取个数． 因为所有数都是负数，要使取出数和的绝对值最大，只需每组中选取绝对值更大的数，即选取． 验证：任意两个选中数的和最小为，不存在和为或的两个数，符合条件． ∴这若干数字和的绝对值最大值为． 12．如图，数轴上，两点分别对应数、，则___________0．（用＞，＜或＝填空） 【答案】 【分析】绝对值不相等的异号两数相加，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同，再结合，，可得答案. 【详解】解：由题意可得：，， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题考查的是有理数的加法运算中的符号确定，掌握“绝对值不相等的异号两数相加，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同”是解本题的关键. 13．一游客计划从A地出发到B，C，D三地旅游，然后回到A地．该游客到三地的先后顺序不确定，且每个地方只到1次，如．若图中两地间连线上的数字表示两地之间单次通行的交通费用（单位：百元），则此次旅游的交通费用最少为_________百元． 【答案】 【分析】根据题意列举出所有可能的旅游路线，分别利用有理数加法法则计算各条路线的交通费用，通过比较大小得出最小值． 【详解】解：根据题意，从地出发到，，三地旅游，然后回到地，且每个地方只到1次，共有以下不同的路线方案： 方案一：路线为，交通费用为：（百元）； 方案二：路线为，交通费用为：（百元）； 方案三：路线为，交通费用为：（百元）； 方案四：路线为，交通费用为：（百元）； 方案五：路线为，交通费用为：（百元）； 方案六：路线为，交通费用为：（百元）； 因为， 所以此次旅游的交通费用最少为21百元． 14．下列是我校初一年级5名学生的体重情况， 姓名 小颖 小明 小刚 小京 小宁 体重（千克） 34 45 与平均体重的差 0 最重的与最轻的相差_________千克． 【答案】11 【分析】先根据小颖的体重和与平均体重的差求出平均体重，再得到所有学生的体重，找出最重体重和最轻体重，计算二者的差值即可． 【详解】解：由题意得平均体重为千克， 则小明体重为千克，小京的体重为千克，小宁的体重为千克， ∵， ∴小颖的体重最轻，小刚的体重最重， ∴最重的与最轻的相差千克． 15．一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动1个单位长度，第二次向负方向移动2个单位长度，第三次向正方向移动3个单位长度，第四次向负方向移动4个单位长度，…，按这样的规律，则蜗牛第2024次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是_____． 【答案】 【详解】本题考查了数轴上点的平移、有理数的运算，理解题意是解题的关键．数轴上点的移动规律是“左减右加”，依据规律列式计算即可． 【分析】解：由题意得，蜗牛第2024次移动后在数轴上的位置所表示的有理数为： ， 故答案为：． 16．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题关键是掌握有理数的加减混合运算． （1）先写成省略加号的和式，再计算； （2）先写成省略加号的和式，再计算； （3）先写成省略加号的和式，再化为同分母的分数，然后计算即可； （4）先写成省略加号的和式，再化为同分母的分数，然后计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 17．定义：表示不超过的最大整数． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】根据题干提供的信息列式计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．． 小李的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据小李的计算过程，回答下列问题： (1)小李在进行第二步计算时，运用的运算律是_______； (2)请指出他从第_______步开始出现错误； (3)将错误的一步改正并写出之后正确的解答过程． 【答案】(1)加法的交换律、结合律 (2)三 (3)解：原式 ． 【详解】（1）解：小李在进行第二步计算时，运用的运算律是加法的交换律、结合律． （2）解：第三步两个负数相加计算错误． （3）略 19．某玩具厂计划一天生产300个马年玩偶，但由于各种原因，实际每天生产马年玩偶的数量与计划每天生产马年玩偶的数量相比有出入．下表是某一周的生产情况（超过计划数量的部分记作正数，不足计划数量的部分记作负数，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录可知这一周生产马年玩偶最多的一天是星期______，比生产马年玩偶最少的一天多生产______个； (2)该玩具厂这一周前三天共生产了多少个马年玩偶？ (3)求该玩具厂这一周平均每天生产马年玩偶的数量． 【答案】(1)六，19 (2)910个 (3)301个 【分析】（1）根据表格中每天生产玩偶与计划数量的差值，找出最多和最少的一天，再计算差值； （2）先求出前三天生产玩偶与计划数量的差值总和，再加上前三天计划生产的数量； （3）先求出着一周生产玩偶与计划数量的差值总和，再计算平均每天的生产数量． 【详解】（1）解：根据题意可知，周六那天生产的玩偶最多，比计划多生产12个，生产最少的一天比计划少生产7个， 则周六那天比生产马年玩偶最少的一天多生产个． （2）解：（个）， 答：该玩具厂这一周前三天共生产了910个马年玩偶． （3）解：（个）． 答：该玩具厂这一周平均每天生产301个马年玩偶． 20．随着科技的迅猛发展，机器人正以前所未有的速度渗透进各行各业，逐渐取代工人承担起诸多重复性、高强度以及危险环境下的工作任务．某钢铁生产车间有一机器人在一条东西走向的流水线上来回走动进行调试设备、检测温度等工作．机器人从点A出发，规定向东为正，向西为负，下表是某一段时间内从点A出发的行走记录（单位：米）． 第次 第次 第次 第次 第次 (1)该机器人第5次完成工作后在出发点的什么方向？距离出发点多远？ (2)若该机器人每千米耗电千瓦时，在这段行走过程中机器人共耗电多少千瓦时？ 【答案】(1)西边，米 (2)千瓦时 【分析】本题考查了正负数的实际意义，有理数的运算，熟练掌握相关运算和定义是解题的关键． （1）将5次运动的行走记录相加，即可求解； （2）将表格中所给数据的绝对值相加，求得总行走距离，再乘以每千米耗电量，即可得到总耗电量，注意单位换算． 【详解】（1）解：（米）， 该机器人第5次完成工作后在出发点的西边，距离出发点米． （2）解：（米）， 则（千瓦时）． 答：在这段行走过程中机器人共耗电千瓦时． 21．如图，在一张纸上画出一条水平的数轴，在数轴上放置一枚黑棋、一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，5，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲移动黑棋，乙移动白棋）． 两人先同时出示“石头、剪刀、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果进行移动（石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头；若手势相同，则结果为平局），移动规则如下： ①若甲赢，则甲将黑棋向右移动2个单位长度，同时乙将白棋向右移动1个单位长度； ②若乙赢，则甲将黑棋向左移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动2个单位长度； ③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动1个单位长度． 前四局的部分情况如下表所示． 局次 第一局 第二局 第三局 第四局 甲的手势 石头 剪刀 布 布 乙的手势 石头 布 石头 (1)从起始位置开始，第一局后黑棋所对应的数是_____，白棋在数轴上的位置所对应的数是_____； (2)规定每局结束时，若黑棋的位置离原点更近，则甲获胜，若白棋的位置离原点更近，则乙获胜，那么第三局结束时获胜的是谁？请说明理由． (3)若第四局结束后，黑棋和白棋在数轴上的位置相距5个单位长度，请通过分析回答：乙第四局的手势是什么？ 【答案】(1)，4 (2)第三局结束时获胜的是甲，此时黑棋在数轴上的位置所对应的数是0． (3)石头或剪刀 【分析】本题主要考查了数轴上表示有理数、数轴上动点问题，有理数的加减的应用等知识点，理解题意、灵活运用数形结合思想是解题的关键． （1）根据移动规则，向右移动则运用加法，向左移动则运用减法，计算即可解答； （2）根据移动规则，向右移动则运用加法，向左移动则运用减法，计算第二、三局，黑棋对应点数即可求解； （3）由（2）可得第三局结束时，黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是0，6；然后分甲赢、乙赢、平局三种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，5，第一局是平局， ∴， ∴第一局后黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别为和4． 故答案为：，4． （2）解：∵第一局结束时黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，4，第二局是甲赢， ∴，， ∵第二局结束时黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，5，第三局是甲赢， ∴， 答：第三局结束时获胜的是甲，此时黑棋在数轴上的位置所对应的数是0． （3）解：由（2）可得，第三局结束时，黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是0，6， ∵黑棋和白棋在数轴上的位置相距5个单位长度， ①若甲赢（甲出布，乙出石头），则黑棋表示的数2，白棋表示的数7，则，符合题意；即乙出石头； ②若乙赢（甲出布，乙出剪刀），则黑棋表示的数，白棋表示的数4，则，符合题意；即乙出剪刀； ③若平局（甲出布，乙出布），则黑棋表示的数1，白棋表示的数5，则，不符合题意． 综上，乙第四局的手势是石头或剪刀． 22．一名快递员从快递站点出发，派送四个包裹，路线如下： 先向北行驶6千米到客户A家； 然后向南行驶9千米到客户B家； 接着向北行驶4千米到客户C家； 再向北行驶千米到客户D家； 最后返回快递站点0． （规定向北为正方向，单位长度1千米，电动车每千米耗电度．） 【问题1】画出数轴，并在数轴上标出0，A，B，C，D的位置，并写出它们对应的数． 【问题2】在派送过程中，快递员离站点最远是___________千米，此时离客户B家有___________， 【问题3】出发时电量满格（度电），全程能否不充电完成？计算总耗电量． 【探究一】如果出发时电量只剩度，按原路线派送，他最远能派送完前几家客户就必须返回？（回程走直线） 【探究二】如果快递员可以自由安排拜访A，B，C，D四个客户的顺序（从0出发最后回到0），但每个客户必须去一次，能否在只剩度电的情况下完成全部派送？如能，请给出一种顺序及总路程；如不能，请说明理由． 【答案】【问题1】，数轴见解析【问题2】6，9【问题3】能不充电完成，总耗电量度【探究一】最远能派送前三家就必须返回【探究二】能，顺序是，总路程为 【分析】本题考查有理数的运算，掌握算理是解决问题的关键． 【问题1】根据题意可确定各点对应的数据，在数轴上标出即可； 【问题2】由数轴可知，离站点最远是A点距离，此时离客户B家； 【问题3】先计算出总路程，可求得总耗电量，可知总耗电量小于度，则答案可求； 【探究一】由【问题3】可知，送完全部4家再返回电量不够，计算度电最远可走的距离，与送完前三家就返回的路程比较即可； 【探究二】选取一种总路程尽量小的派送方式，沿数轴从左至右依次派送，即，通过计算可得度电能够派送完所有客户． 【详解】解：【问题1】 由题意知： ，，，，， 则； 【问题2】 由数轴可知，离站点最远是A点，距离站点， 此时离客户B家， 故答案为：6，9； 【问题3】 ， ， ， ， ， 总路程：， 耗电：度， ∵， ∴ 能不充电完成，总耗电量度； 【探究一】由【问题3】可知，送完全部4家再返回需度电，故度电不能送完全程， 度电可行驶路程：， 送完前三家就返回的总路程为：， ∵， ∴最远能派送 A、B、C 三家就必须返回； 【探究二】 沿以下路线派送：， 总路程：， 耗电：度 ， ∴存在顺序可以完成全部派送，，总路程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 有理数的加法与减法 目录 知识点1 有理数的加法法则（核心重点） 2 知识点2 有理数加法运算律（简便运算必考） 2 知识点3 有理数的减法法则 2 知识点4 有理数加减混合运算规则 3 题型1 有理数加法运算 3 题型2 有理数加法中的符号问题 5 题型3 有理数加法在生活中的应用 6 题型4 有理数加法运算律 12 题型5 有理数减法运算 14 题型6 有理数减法的实际应用 15 题型7 有理数的加减混合运算 18 题型8 有理数加减中的简便运算 21 题型9 有理数加减混合运算的应用 23 题型10 省略加号和括号的形式 25 1. 知识目标：理解并熟记有理数加法、减法的运算法则，掌握有理数加法交换律、结合律，明确有理数加减运算的核心逻辑，区分小学算术运算与有理数运算的差异。 2. 能力目标：能熟练进行有理数加法、减法单独运算，掌握加减混合运算方法，会省略加减混合运算中的加号和括号；能灵活运用运算律进行简便运算，精准规避符号易错问题。 3. 应用目标：能将生活中的实际问题转化为有理数加减运算模型，解决温度、海拔、收支、行程等实际应用题，提升数学建模与运算求解能力。 4. 素养目标：初步建立分类讨论、转化的数学思想，养成“先定符号、再算绝对值”的规范运算习惯，降低运算出错率。 知识点1 有理数的加法法则（核心重点） 有理数加法运算核心口诀：先定符号，后算绝对值 1. 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。 示例：(+3)+(+5)=+8，(-3)+(-5)=-8 2. 异号两数相加（绝对值不相等）：取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 示例：(+7)+(-4)=+3，(+4)+(-7)=-3 3. 互为相反数的两个数相加得0。 示例：(+6)+(-6)=0 4. 一个数同0相加，仍得这个数。 示例：0+(-9)=-9，0+8=8 知识点2 有理数加法运算律（简便运算必考） 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。字母表示：a+b = b+a 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。字母表示：(a+b)+c = a+(b+c) 拓展：多个有理数相加，可任意交换加数位置、任意分组结合运算，和不变。 知识点3 有理数的减法法则 核心法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 字母通用公式：a - b = a + (-b) 运算转化要点：减法变加法，减数变相反数，被减数保持不变。 示例：5-8=5+(-8)=-3，(-4)-(-2)=(-4)+2=-2 知识点4 有理数加减混合运算规则 1. 统一转化：将所有减法运算转化为加法运算，把算式变成纯加法和式。 2. 省略符号规则：在和式中，可省略各个加数的括号和前面的加号，写成省略加号和括号的最简形式。 3. 两种读法：①按和式读：读作“正几、负几、正几……的和”；②按运算读：读作“几加几减几……”。 示例：(-3)+(+5)+(-2)-(+4) 转化为：-3+5-2-4，读作“负3、正5、负2、负4的和”或“负3加5减2减4”。 题型1 有理数加法运算 解题技巧：严格遵循“两步运算法则”。第一步：分类判断加数符号（同号、异号、含0、互为相反数）；第二步：先确定结果符号，再通过绝对值加减计算数值。杜绝直接计算、忽略符号的错误。多个数相加时，优先凑0、凑整，简化计算。 易错提醒：异号相加是“绝对值相减”，同号相加是“绝对值相加”，切勿混淆。 【典例1】．下列各数中比大3的数是（     ） A． B． C．0 D．2 【变式1】．计算：______． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 【变式3】．计算： (1)； (2) (3)； 题型2 有理数加法中的符号问题 解题技巧：符号是有理数运算的核心易错点，牢记三大判断规则： 1. 同号相加，结果符号与原数符号一致； 2. 异号相加，结果符号跟随绝对值更大的数； 3. 两数互为相反数，和为0，无正负符号。 专项避坑：多个有理数相加时，不要逐个硬算，可先统计正数、负数总和，再进行异号相加，减少符号失误。 【典例2】．如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 【变式1】．如果的值是负数，则a与b的值 （     ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定是一个正数，一个负数 D．至少有一个是负数 【变式2】．若且a，b异号，，则a_______0． 【变式3】．与的和取___________号；与的和取___________号；和的和取___________号．（填“正”或“负”） 题型3 有理数加法在生活中的应用 解题技巧：核心是建模转化。第一步：设定正负数意义（如上升、收入、零上为正，下降、支出、零下为负）；第二步：将生活中的变化量转化为有理数；第三步：列加法算式计算总结果；第四步：结合实际场景作答，注明单位。 常见场景：温度变化、海拔升降、账目收支、水位涨跌、货物增减。 【典例3】．某地一天早晨的气温是，到中午升高了，则中午的气温是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．某兴趣小组有3件打印模型需要制作，每个模型都要按四道工序的顺序完成．现安排甲、乙、丙3名同学来做，甲只负责A、D工序，乙只负责B工序，丙只负责C工序．同一模型同一时间只能进行一道工序，完成一道工序后才能开始下一道工序．一个人只有完成一个模型的一道工序后，才能进行下一个模型的工序．各工序耗时（单位：分钟）如下表： （1）只完成模型1和模型3的制作，最少需要________分钟； （2）要完成这3件模型的制作，最少需要________分钟． 【变式2】．足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位： ）： ， ， ， ， ， ， ， ．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过 （不包括 ），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【变式3】．有一批水果，包装质量为每筐26千克，现抽取8筐样品进行检测，结果称重如下（单位：千克）27，24，23，28，21，26，22，27，为了求8筐样品的总质量，我们可以选取一个恰当的基准数进行简化运算． (1)你认为选取的一个恰当的基准数为________ (2)根据你选取的基准数，用正、负数填写下表（单位：千克）： 原质量 27 24 23 28 21 26 22 27 与基准数的差距 (3)这8筐水果的总质量是多少？平均每筐质量是多少？ 题型4 有理数加法运算律 解题技巧：运算律核心作用是分组简化运算，优先固定分组规律： 1. 互为相反数的数优先结合（凑0）； 2. 同号数优先结合（统一符号，减少出错）； 3. 能凑整数、凑整十数的数优先结合； 4. 分数与分数、小数与小数分别结合。 注意：交换加数位置时，必须连带数字前面的符号一起移动。 【典例4】．小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 【变式1】．计算的结果是（    ） A．0 B．2 C． D． 【变式2】．是应用了______律． 【变式3】．计算： (1)； (2)； (3)； 题型5 有理数减法运算 解题技巧：牢记“一变一不变”万能口诀： 1. 不变：被减数的符号和数值保持不变； 2. 改变：减号变加号，减数变为它的相反数。 所有减法统一转化为加法运算，再套用加法法则计算，彻底规避减法运算易错问题。无论正数减负数、负数减正数、负数减负数，全部统一转化，无需单独记忆复杂规则。 【典例5】．下列数中比小1的数是（     ） A． B．1 C． D．3 【变式1】．计算：________． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【变式3】．计算： 题型6 有理数减法的实际应用 解题技巧：适用于“求差值、求变化量”类问题。步骤： 1. 明确题目中“大数、小数”（如最高温、最低温，最高海拔、最低海拔）； 2. 套用公式：变化量=终止量-初始量，差值=最大值-最小值； 3. 将实际数值代入，转化为有理数减法运算，统一为加法后计算； 4. 根据结果正负判断变化趋势（正为增加、上升，负为减少、下降）。 【典例6】．某地今年1月1日至4日每天的最高气温与最低气温如下表： 日期 1月1日 1月2日 1月3日 1月4日 最高气温 最低气温 其中温差最大的是（     ） A．1月1日 B．1月2日 C．1月3日 D．1月4日 【变式1】．为确保北江干流航运安全，水利部门实施“上补下蓄”联合调度．其中，飞来峡水库的航运安全临界水位为23.5米，被设定为调度基准点（即0点），在一次调度中，若监测到水库水位上升至24.8米，记作+1.3米．那么，当水位降至22.9米时，应记作__________米． 【变式2】．小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖．如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）： ，，，，，． (1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ (2)小李距集合点最远为______千米． (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶12千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 【变式3】．“十一”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如表：（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）（单位：万人），已知9月30日游客为2万． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 (1)求10月2日游客的人数为多少？ (2)请判断7天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ 题型7 有理数的加减混合运算 解题技巧：遵循“先统一、后运算”标准流程： 1. 化减为加：将算式中所有减法全部转化为加法，写成全部带符号的和式； 2. 整理式子：去除多余括号，整理简洁算式； 3. 分步运算：可从左到右依次计算，也可结合运算律分组计算； 4. 核验结果：重点核对符号，避免漏符号、错符号。 基础要求：初学阶段严禁跳步，步骤完整可大幅降低错误率。 【典例7】．计算： (1) (2) 【变式1】．计算∶ (1) ； (2) 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3) (4)； 【变式3】．计算： (1)； (2)． 题型8 有理数加减中的简便运算 解题技巧：在混合运算中，优先用运算律简化计算，四大黄金简便思路： 1. 凑零法：互为相反数的数先结合相加得0； 2. 凑整法：将能凑成整数、整十数的小数、分数结合运算； 3. 同号归类法：所有正数、所有负数分别结合求和，再做一次异号相加； 4. 同分母结合法：分数运算中，同分母分数优先结合。 核心原则：不硬算、不盲算，优先观察数字特征，再选择简便方法。 【典例8】．计算：的值为（  ） A． B． C． D． 【变式1】．“数形结合思想”是数学学习中非常重要的一种数学思想，我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”在计算时，可以联想到图（1），则．请观察图（2），计算_____． 【变式2】．计算： 【变式3】．先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 上面的计算方法叫做拆项法． （2）请用拆项法计算：． 题型9 有理数加减混合运算的应用 解题技巧：复杂实际问题专属解题步骤： 1. 审题建模：提取题目中的变化数据，规定正负方向； 2. 列式转化：根据“初始量+所有变化量”列出加减混合算式； 3. 简便运算：统一为加法后，用简便算法计算结果； 4. 结果分析：结合实际意义解读结果，判断最终状态（盈利/亏损、上升/下降、达标/不达标）。 高频考点：股市涨跌、路程位移、物品质量偏差、水库水位变化等。 【典例9】．在综合实践课中，同学们探究得出，某地日出、日落时刻关于正午时刻对称．若该地日出时刻为，日落时刻为，则当天太阳高度达到最大值的时间为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．一天早晨的气温是，中午上升了，半夜又下降了，则半夜的气温是 _______． 【变式2】．某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米）． (1)收工时该检修小组距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 【变式3】．食堂管理：下表是实验小学食堂库存大米在这个星期内的变化情况．（运进为正，运出为负） 星期 日 一 二 三 四 五 六 运进和运出仓库的大米质量/千克 (1)星期四运进大米（    ）千克，运出大米（    ）千克． (2)星期（    ）只运出大米，而没有运进大米；星期（    ）运出的大米和运进的大米同样多． (3)如果上个星期六剩余大米200千克，那么到这个星期六食堂剩余多少千克大米？ 题型10 省略加号和括号的形式 解题技巧：掌握转化规则和两种读法，规避读写错误： 1. 转化规则：括号前是“+”，去括号后括号内符号不变；括号前是“-”，去括号后括号内全部变号；所有式子最终化简为“数字+符号”的最简排列形式。 2. 规范读法：①和式读法（严谨通用，考试首选）；②运算读法（日常计算使用）。 3. 避坑要点：省略符号后，每个数字的符号归自身所有，移动数字时必须连带符号，切勿丢符号。 【典例10】．不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．把算式改写成省略括号和加号的形式：______． 【变式3】．把写成省略加号和括号的形式______． 1．规定：（→）表示向右移动，记作，则按照（→），（←）移动两次，可以用算式表示为（     ） A． B． C． D． 2．已知为有理数，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．电动汽车的续航里程与能耗密切相关，若将“充电增加的续航里程”记为正，则“行驶消耗的续航里程”为其相反意义的量．某车型充电后获得公里续航（记为公里），行驶中消耗的续航里程记为该数值的相反数，此时剩余续航里程变化后对应的数值为（     ） A．公里 B．公里 C．公里 D．公里 4．杂货商有12种不同整数重量的砝码，从到．她将它们分成三组，每组四个砝码．第一组的总重量是，第二组的总重量是．以下哪个重量的砝码和重的砝码在同一组？（   ） A． B． C． D． E． 5．如图，数轴上点表示的数为2，将点向左移动5个单位长度得到点，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 6．如图，某工程队测得点的海拔为，点的海拔为，则点与点之间的高度差为（     ） A． B． C． D． 7．决定在方格表中的各个单元格内填入数，使得四个可能的正方形内的各数的总和相同．如图所示，其中三个角落处单元格内的数已经写好了．问她应该在位于第四个角落的单元格里写什么数？（   ） A．0     B．1      C．4      D．5        E．6 8．请指出下面计算从哪一步开始出错（   ） ① ② ③ ．④ A．① B．② C．③ D．④ 9．2025年全国多地开展“城市地下水位监测”工作，某监测站记录的一周内地下水位变化量（均与前一天进行对比，上升为正，下降为负）如下表所示： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 水位变化量／m 其中水位最低的一天是（   ） A．周二 B．周四 C．周五 D．周日 10．式子有下面的两种读法 读法一：负3，负，正5与的和 读法二：负3减4加5减8 关于这两种读法，正确的选项是（   ） A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都正确 D．两种读法都不正确 11．从这12个数中取若干个数，使得任意两个数之和既不等于也不等于，则这若干数字和的绝对值最大值为______． 12．如图，数轴上，两点分别对应数、，则___________0．（用＞，＜或＝填空） 13．一游客计划从A地出发到B，C，D三地旅游，然后回到A地．该游客到三地的先后顺序不确定，且每个地方只到1次，如．若图中两地间连线上的数字表示两地之间单次通行的交通费用（单位：百元），则此次旅游的交通费用最少为_________百元． 14．下列是我校初一年级5名学生的体重情况， 姓名 小颖 小明 小刚 小京 小宁 体重（千克） 34 45 与平均体重的差 0 最重的与最轻的相差_________千克． 15．一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动1个单位长度，第二次向负方向移动2个单位长度，第三次向正方向移动3个单位长度，第四次向负方向移动4个单位长度，…，按这样的规律，则蜗牛第2024次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是_____． 16．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．定义：表示不超过的最大整数． (1)求的值； (2)求的值． 18．． 小李的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据小李的计算过程，回答下列问题： (1)小李在进行第二步计算时，运用的运算律是_______； (2)请指出他从第_______步开始出现错误； (3)将错误的一步改正并写出之后正确的解答过程． 19．某玩具厂计划一天生产300个马年玩偶，但由于各种原因，实际每天生产马年玩偶的数量与计划每天生产马年玩偶的数量相比有出入．下表是某一周的生产情况（超过计划数量的部分记作正数，不足计划数量的部分记作负数，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录可知这一周生产马年玩偶最多的一天是星期______，比生产马年玩偶最少的一天多生产______个； (2)该玩具厂这一周前三天共生产了多少个马年玩偶？ (3)求该玩具厂这一周平均每天生产马年玩偶的数量． 20．随着科技的迅猛发展，机器人正以前所未有的速度渗透进各行各业，逐渐取代工人承担起诸多重复性、高强度以及危险环境下的工作任务．某钢铁生产车间有一机器人在一条东西走向的流水线上来回走动进行调试设备、检测温度等工作．机器人从点A出发，规定向东为正，向西为负，下表是某一段时间内从点A出发的行走记录（单位：米）． 第次 第次 第次 第次 第次 (1)该机器人第5次完成工作后在出发点的什么方向？距离出发点多远？ (2)若该机器人每千米耗电千瓦时，在这段行走过程中机器人共耗电多少千瓦时？ 21．如图，在一张纸上画出一条水平的数轴，在数轴上放置一枚黑棋、一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，5，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲移动黑棋，乙移动白棋）． 两人先同时出示“石头、剪刀、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果进行移动（石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头；若手势相同，则结果为平局），移动规则如下： ①若甲赢，则甲将黑棋向右移动2个单位长度，同时乙将白棋向右移动1个单位长度； ②若乙赢，则甲将黑棋向左移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动2个单位长度； ③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动1个单位长度． 前四局的部分情况如下表所示． 局次 第一局 第二局 第三局 第四局 甲的手势 石头 剪刀 布 布 乙的手势 石头 布 石头 (1)从起始位置开始，第一局后黑棋所对应的数是_____，白棋在数轴上的位置所对应的数是_____； (2)规定每局结束时，若黑棋的位置离原点更近，则甲获胜，若白棋的位置离原点更近，则乙获胜，那么第三局结束时获胜的是谁？请说明理由． (3)若第四局结束后，黑棋和白棋在数轴上的位置相距5个单位长度，请通过分析回答：乙第四局的手势是什么？ 22．一名快递员从快递站点出发，派送四个包裹，路线如下： 先向北行驶6千米到客户A家； 然后向南行驶9千米到客户B家； 接着向北行驶4千米到客户C家； 再向北行驶千米到客户D家； 最后返回快递站点0． （规定向北为正方向，单位长度1千米，电动车每千米耗电度．） 【问题1】画出数轴，并在数轴上标出0，A，B，C，D的位置，并写出它们对应的数． 【问题2】在派送过程中，快递员离站点最远是___________千米，此时离客户B家有___________， 【问题3】出发时电量满格（度电），全程能否不充电完成？计算总耗电量． 【探究一】如果出发时电量只剩度，按原路线派送，他最远能派送完前几家客户就必须返回？（回程走直线） 【探究二】如果快递员可以自由安排拜访A，B，C，D四个客户的顺序（从0出发最后回到0），但每个客户必须去一次，能否在只剩度电的情况下完成全部派送？如能，请给出一种顺序及总路程；如不能，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $