2026-2027学年高一上学期1.4 充分条件与必要条件

**基本信息** 本同步练以“分层递进+概念深化”为特色，通过基础辨析、情境应用到综合证明的梯度设计，系统巩固充分条件与必要条件概念，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|充分/必要条件概念辨析|单选题1-5直接考查定义判断，填空题10-11强化概念应用，夯实抽象能力| |提升层|集合与条件结合、情境化判断|单选题6结合迷宫情境，多选题7-9融合集合与命题真假辨析，发展数学眼光| |综合层|充要条件证明、含参问题|解答题13-16涉及逻辑证明与参数范围讨论，深化推理能力与模型意识|

1.4 充分条件与必要条件 姓名：___________班级：___________ 思维导图 知识清单 1．充分条件与必要条件的概念 若，则是的充分条件，q是p的必要条件； 且 是的充分不必要条件 且 是的必要不充分条件 是的充要条件 且 是的既不充分也不必要条件 2．集合判断法判断充分条件、必要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即， 是的充分条件 是的必要条件 是的充分不必要条件 是的必要不充分条件 是的充要条件 且 是的既不充分也不必要条件 一、单选题 1．（25-26高二下·浙江·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【详解】若，则，故充分性成立； 若，则或，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 2．（25-26高一下·山东潍坊·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【详解】记“”为条件，“”为条件， 因为，所以成立； 当时，，但，此时不能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）下列语句为命题的是（ ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【答案】D 【知识点】命题的概念 【分析】由命题的定义判断各个选项即可. 【详解】由命题的定义可知，能够判断真假的陈述句是命题，所以D为命题． A，B，C不能判断真假，所以不是命题. 4．（25-26高一上·四川成都·期中）努力学习不一定能够成功，不努力学习一定不会成功，在这句话中，努力学习是成功的什么条件？（    ） A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【详解】“努力学习不一定能够成功”，则“努力学习”不能推出“成功”，不满足充分性， “不努力学习一定不会成功”则“不努力学习”能推出“不成功”， 其逆否命题“成功”能推出“努力学习”，满足必要性， 故“努力学习”是“成功”的必要不充分条件． 5．（2026·山东烟台·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【详解】由或或. 所以时，必成立； 当时，可以不成立，如时，但不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 6．（2026·湖北武汉·模拟预测）现有一个迷宫如图所示，小球从，，三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据迷宫图形分析小球从各入口进入后的出口路径，进而判断命题之间的推出关系 【详解】由迷宫图形可知， 若小球Ω从口滚动进入， 根据通道走向，小球最终只能从口滚动出来， 所以“小球Ω从口滚动进入”能推出“小球Ω从口滚动出来”，充分性成立； 若小球Ω从口滚动出来，小球可能是从口滚动进入，也可能是从口滚动进入（由图可知从口进入最终也会从口出来）， 所以“小球Ω从口滚动出来”不能推出“小球Ω从口滚动进入”，必要性不成立． 综上所述，“小球Ω从口滚动进入”是“小球Ω从口滚动出来”的充分不必要条件． 二、多选题 7．（25-26高一上·全国·期末）已知集合，，若是的充分条件，则实数的值可能为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】ACD 【知识点】根据充分不必要条件求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】先根据题意得到，再分类讨论是空集、不是空集，利用集合的包含关系得到关于的不等式（组），解之即可得解. 【详解】因为是的充分条件，所以， 若是空集，显然满足题意，此时，解得， 若不是空集，由得，解得， 综上，或， 对比选项可知，ACD符合题意． 故选：ACD． 8．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．命题“若，则”是真命题 B．命题“”是真命题 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“且”是“”的充分不必要条件 【答案】ACD 【知识点】判断命题的必要不充分条件、判断命题的充分不必要条件、判断命题的真假 【分析】由命题的真假判断A、B，根据充分条件、必要条件的定义判断C、D. 【详解】对于A，当时，，故A正确； 对于B，因为时，， 又因为当时，恒成立，故命题“”是假命题，故B错误； 对于C，由，即，解得或； 所以由推不出，即充分性不成立， 由推得出，即必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确； 对于D，当且时，，即充分性成立， 当时，如，此时不满足且，即必要性不成立， 所以“且”是“”的充分不必要条件，故D正确． 故选：ACD 9．（24-25高一上·四川宜宾·期中）下列命题中为真命题的有（    ） A．“四边形是正方形”是“四边形是长方形”的充分不必要条件. B．若是无理数，则也是无理数. C．若，则实数的值为1或2. D．，则的子集个数是4个. 【答案】AD 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、交集的概念及运算、判断集合的子集（真子集）的个数、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据正方形、长方形的性质及充分、必要条件的定义，可判断A的正误；代入特殊值，可判断B的正误；根据集合的确定性及互异性，可判断C的正误；根据交集的定义及子集个数的求法，可判断D的正误. 【详解】选项A：若四边形是正方形，则四边形也是长方形； 若四边形是长方形，邻边可能不相等，则不能得到四边形是正方形， 所以“四边形是正方形”是“四边形是长方形”的充分不必要条件，故A正确； 选项B：若是无理数，则是有理数，故B错误； 选项C：若，则或， 若，则，不满足互异性，故舍去； 若，则或（舍），综上实数的值为2，故C错误； 选项D：由题意，有两个元素， 则的子集个数有个，故D正确. 三、填空题 10．（25-26高二·全国·暑假作业）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的充要条件，那么p是q的____________条件． 【答案】充分不必要 【知识点】判断命题的充分不必要条件、充分条件、必要条件 【分析】利用充分条件和必要条件的定义分析可得结果. 【详解】由已知得，．但由于r推不出p，所以q推不出p，故p是q的充分不必要条件． 11．（26-27高一·全国·暑假作业）“”是“”的_______________条件． 【答案】必要不充分 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【详解】“”，可以推出“”，满足必要性； “”，不能推出“”，不满足充分性； 故“”是“”的一个必要不充分条件． 12．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，，且是的充分不必要条件，则a的取值范围为____________. 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数 【详解】由题意知，，，即真包含于，所以，即a的取值范围为. 四、解答题 13．（2026高一·全国·专题练习）证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【答案】①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 【知识点】充要条件的证明 【分析】根据代入方程，因式分解即可求证充分性成立，将代入方程中即可求证必要性． 【详解】略 14．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【知识点】根据充分不必要条件求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】根据充分不必要条件列出不等式组，求解即得的取值范围. 【详解】若“”是“”的充分不必要条件，则⫋， 当时，即，则， 当时，，得， 综上，的取值范围为． 15．（25-26高二下·江苏·阶段检测）已知集合，集合或． (1)若， ，求实数的取值范围； (2)设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据充分不必要条件求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）由题意可得，解出即可得； （2）由题意可得 ，再分及计算即可得. 【详解】（1）若 ，则A的所有元素都不在B中，可得不等式组， 解得 ，即m的取值范围为； （2）若p是q的充分条件，则 ，即A的所有元素都属于B， ①，此时 ，解得； ②，此时，解得； 综上，的取值范围是或． 16．（25-26高一下·河北保定·期中）已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）根据交集的运算可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围； （2）分析可知，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）已知，或，若， 则A的所有元素都不在B中，可得不等式组： ， 解得，即m的取值范围为； （2）若p是q的充分条件，则，即A的所有元素都属于B， 因此有两种情况： ① ，此时，解得； ② ，此时，解得， 综上，m的取值范围是或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 充分条件与必要条件 姓名：___________班级：___________ 思维导图 知识清单 1．充分条件与必要条件的概念 若 ，则是的充分条件，q是p的必要条件； 且 是的 条件 且 是的 条件 是的充要条件 且 是的既不充分也不必要条件 2．集合判断法判断充分条件、必要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即， 是的充分条件 是的必要条件 是的充分不必要条件 是的必要不充分条件 是的 条件 且 是的既不充分也不必要条件 一、单选题 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列语句为命题的是（ ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 4．努力学习不一定能够成功，不努力学习一定不会成功，在这句话中，努力学习是成功的什么条件？（    ） A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．现有一个迷宫如图所示，小球从，，三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 7．已知集合，，若是的充分条件，则实数的值可能为（   ） A． B． C．0 D． 8．下列说法正确的是（   ） A．命题“若，则”是真命题 B．命题“”是真命题 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“且”是“”的充分不必要条件 9．下列命题中为真命题的有（    ） A．“四边形是正方形”是“四边形是长方形”的充分不必要条件. B．若是无理数，则也是无理数. C．若，则实数的值为1或2. D．，则的子集个数是4个. 三、填空题 10．已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的充要条件，那么p是q的____________条件． 11．“”是“”的_______________条件． 12．已知，，且是的充分不必要条件，则a的取值范围为____________. 四、解答题 13．证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 14．已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 15．已知集合，集合或． (1)若， ，求实数的取值范围； (2)设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 16．已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $