精品解析：山东省济南市天桥区2025-2026学年八年级下学期数学期末试卷

2025−2026学年第二学期八年级学业质量监测 数学试题 注意事项： 本试题满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上． 答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 2. 若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴、，该选项错误． 、，该选项正确． 、，该选项错误． 、，该选项错误． 3. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形就是因式分解，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A中，变形是整式乘法，由整式乘积得到多项式，不符合因式分解的定义，故A不符合题意； 选项B中，等式右边的不是整式，不符合因式分解的要求，故B不符合题意； 选项C中，等式右边 是和的形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解的定义，故C不符合题意； 选项D中，左边是多项式，右边是整式的乘积，符合因式分解的定义，故D符合题意． 4. 在平面直角坐标系中，将点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律和象限的坐标特征，利用平移规律计算出平移后点的坐标，再根据坐标符号判断所在象限即可． 【详解】平面直角坐标系中点的平移规律为：横坐标左移减右移加，纵坐标下移减上移加 ， ∵坐标为，向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度 ∴ 平移后点的横坐标为，纵坐标为， 即平移后点的坐标为 ∴ 该点位于第四象限． 5. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的定义，分子与分母没有公因式的分式为最简分式． 根据最简分式的定义逐一判断各选项的分子分母是否存在公因式即可． 【详解】解：选项A中，的分子分母有公因式，约分后为，不是最简分式； 选项B中，无法分解因式，与分母无公因式，是最简分式； 选项C中，，的分子分母有公因式，约分后为，不是最简分式； 选项D中，分母，分子分母有公因式，约分后为，不是最简分式； 故选：B． 6. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】先根据判别式＞0，求出m的范围，进而即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：m＜9， m的值可能是：8． 故选：A. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，掌握一元二次方程有两个不等的实数解，则，是解题的关键． 7. 若关于x的方程有增根，则m的值是（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先确定使分式分母为0的增根，再将分式方程化为整式方程，最后将增根代入整式方程求出的值. 【详解】解：∵ 分式方程的增根是使分式分母为0的根， 原方程分母为，令，得增根为， 给原方程两边同乘去分母，得 ， 把代入整式方程，得 ， ∴. 8. 如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据一次函数的图象确定不等式的解集，解题关键是能根据不等式结合函数图象求解． 根据不等式的意义，及它们的交点，即可得出不等式的解集． 【详解】解：直线与直线， 当时，直线在直线的上方， 直线与直线相交于点， 在点的右侧直线在直线的上方， 所以的解集为， 故选：C． 9. 如图，在正方形中，点在对角线上，连接，于点，交于点，连接，已知，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作交于点，交于点，证明，求出的长，进而得到，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点，  四边形是正方形，  ， ，， ，  ， ， 四边形是矩形， ，，， 在中，，   是等腰直角三角形，  ∴， ∵，即， 解得，  ，  ，  ， ， 又，  ， 在和中，  ，  ，  ，  ， 在中，． 10. 如图，是等边三角形，，在上且，是直线上一动点，线段绕点逆时针旋转，得到线段．当点运动时，则线段的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，证明，则，求出，即点到直线的距离为，证明，得到，则，即点到直线的距离为，当三点共线时，取得最小值，即可求出答案． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，过点A作于点M， 由旋转可得，，， 则， ∵ ∴， ∴， ， ∵ ， ， 是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， 即点到直线的距离为， ∵ ∴， ∵是的中点， ∴ ∴， 即点到直线的距离为， ∵线段绕点逆时针旋转，得到线段． ∴点F在直线的右侧， ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 1．第Ⅱ卷必须用0.5mm黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效． 2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 因式分解：__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 用平方差公式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 若分式的值为零，则x的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式值为0的条件，明确分式的值为0时，分子为0，分母不为0是解题的关键； 根据分式的值为0时，分子为0，分母不为0求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， 解得：； 故答案为：1． 13. 随着“互联网+教育”的发展，某市逐步推出空中课堂，为学生提供线上授课．据统计，受益学生人次逐批增长，第一批受益学生万人次，第三批受益学生万人次．设第一批到第三批受益学生人次的平均增长率为，则根据题意可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握增长率模型是解题关键．设增长率为，根据“第一批受益学生万人次，第三批受益学生万人次”可列方程． 【详解】解：设增长率为， 根据题意，得， 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，，，点在上，于点，于点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质可知，，利用勾股定理可以求出，根据矩形的性质可知，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， 又 ， ， ． 15. 如图，将菱形纸片折叠，使得点恰好落在边的中点处，折痕为．若菱形的边长为，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据菱形性质和证明是等边三角形，利用等腰三角形三线合一性质得出，结合平行线性质得出，设，利用折叠性质和勾股定理列方程求解． 【详解】解：连接、，  四边形是菱形，，  ，，，  是等边三角形，  点是边的中点，  ，， 在中，，  ，  ，即， 设 ，则， 由折叠的性质可知，， 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 解得， ∴． 三、解答题（本大题10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解不等式组：，并写出所有整数解． 【答案】，整数解为，，． 【解析】 【详解】解：， 由①得，； 由②得，， ∴不等式组的解为，其中整数解为，，． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；2 【解析】 【分析】本题考查了分式的加法及乘除法运算，分式的化简求值，熟练掌握各运算法则是解题关键． 先利用通分计算括号里的分式加法运算，再计算分式的乘除法，最后将的值代入求解即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 18. 按要求解答下列问题： （1）因式分解：． （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解； （2）利用因式分解法将原方程转化为两个一次方程求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 对方程左边因式分解，得 ， ∴ 或 ， 解得 ． 19. 已知：在平行四边形中，，是对角线上的两点，且，，分别是边，上的点，且．求证：． 【答案】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， 即 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 【解析】 【分析】先利用平行四边形的性质得到，，；再由推出，结合已知，证明，得到；最后利用，通过线段的和差关系推出 【详解】略 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若经过平移后得到，已知点的对应点的坐标为，请画出，并求出线段平移的距离_____； （2）将绕坐标原点按顺时针方向旋转得到，请画出； （3）若将绕点旋转可得到，则点的坐标为____． 【答案】（1）作图见解析， （2）作图见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由点平移后对应的点的坐标为，得出平移方式为先向右平移5个单位长度，再向下平移3单位长度，据此作图即可，再根据平移的方式，结合勾股定理即可求出平移的距离； （2）将的三个顶点分别绕坐标原点O按顺时针方向旋转得到对应点，再顺次连接即可； （3）画出的垂直平分线，其交点即为所求，根据坐标系写出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵点的对应点的坐标为， ∴先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到， 如图，即为所求， ∵点的对应点的坐标为， ∴线段先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到线段， ∴线段平移的距离为． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 【小问3详解】 解：如图，若将绕点旋转可得到，则点的坐标为． 21. 在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的速度都是．连接，，．设点，运动的时间为． （1）________，________．（分别用含有的式子表示） （2）当为何值时，四边形是矩形． （3）当为何值时，四边形是菱形． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据点的运动速度和时间，结合的长度，用路程公式直接写出、的表达式； （2）先判断四边形已有一个角是直角，要使其为矩形，只需满足一组对边相等，即，因此列关于的方程求解即可； （3）先根据、的运动状态，判断四边形是平行四边形，要使其为菱形，只需满足邻边相等，即，结合勾股定理表示出的长度，列关于的方程求解即可． 【小问1详解】 点Q速度为，运动时间为， ∴； ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵四边形为矩形， ∴，，， 点速度为， ∴，则， 由，当时，四边形是平行四边形， 又，有一个角是直角的平行四边形是矩形， ∴  解得， 即时，四边形是矩形； 【小问3详解】 由，， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形； 在中，由勾股定理得：  令，即， ∴   化简得， 解得， ∴当时，四边形是菱形． 22. 下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：甲商品进价乙商品进价=20 任务： （1）解法一所列方程中的x表示______，解法二所列方程中的x表示_______．（填序号） ①甲种商品每件进价x元； ②乙种商品每件进价x元； ③甲种商品购进x件； （2）根据以上解法可求出甲种商品的进价为_______元/件，乙种商品的进价为_______元/件； （3）若商店将甲种商品每件的售价定为80元，乙种商品每件的售价定为45元．商店计划用不超过1420元的资金购进甲、乙两种商品共40件，若购进的甲、乙两种商品全部售出，请求出该商店获得最大的利润W．（利润=售价一进价） 【答案】（1）①，③ （2）50，30 （3）765元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用，分式方程的应用； （1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）选择第一个方程，再解方程即可得到答案； （3）设购进甲种商品m件，则购买乙种商品件，根据题意列出W与m的关系式，根据所给条件得出m的取值范围，利用一次函数的性质可得出结论． 【小问1详解】 解：由甲商品数量=乙商品数量， 可得中的x表示甲种商品每件进价x元， 由甲商品进价乙商品进价，可得中的x表示甲种商品购进 x件； 故答案为：①，③； 【小问2详解】 解： 去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意； ∴， 故答案为：50，30； 【小问3详解】 解：设购进甲种商品m件，则购买乙种商品件，商品所获总利润为W元， 根据题意可知，． ∵， ∴． ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，W可取得最大值，此时W的最大值为：． ∴最大利润W为765元． 23. 配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，是“和谐数”，理由：因为，所以是“和谐数”． 【解决问题】 （1）判断是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”） 【探究问题】 （2）若可配方成（，为常数），则的值________． （3）已知（，是整数，是常数），要使为“和谐数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展应用】 （4）已知实数，满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 【答案】（1）是 （2） （3）符合条件的一个k值为9，理由如下： 对M配方：      ， 当时，， ∴， ∵，是整数， ∴和都是整数， ∴M是两个整数的平方和，即M为“和谐数”； （4）当时，的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据“和谐数”的定义，判断40能否写成两个整数的平方和即可； （2）利用配方法对代数式变形，对比得到，的值，即可计算； （3）对M进行配方，将其整理为两个平方和的形式，即可得到符合条件的k值； （4）先写出的表达式，再利用配方法结合非负数的性质，即可求出最小值． 【小问1详解】 解：∵，且6，2都是整数， ∴40是“和谐数”； 【小问2详解】 解：， 对比得，， ∴； 【小问3详解】 解： 略 【小问4详解】 解：， ∵对于任意实数x，都有， ∴当，即时，取得最小值，最小值为． 24. 如图，直线：与轴交于点，直线：经过定点且与轴交于点．直线，交于点． （1）求直线的解析式； （2）在直线上是否存在一点，使．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）解：过点C作，轴于点N，当点E在上方时，延长交于点H，如图： 直线：，令，得， 解得， ， 由（1）得， ，， ，轴 ，， ，， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ，， 的横坐标为：，纵坐标为， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 将直线的解析式和直线的解析式联立，得：， 解得， 点E的坐标为； 同理，当点E在下方时，可得点E的坐标为， 综上可得，点E的坐标为或； （3）解：点的坐标为或或． 由（1）得直线：， 令得，解得， ， ， 如图： 当为平行四边形的边时，，， 点的横坐标为：或，纵坐标为5， 点的坐标为或； 当为平行四边形的对角线时， ，， 点B向右平移5个单位，向下平移5个单位到点A， 点向右平移5个单位，向下平移5个单位到点Q， 点的坐标为，即， 综上可得，点的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）先求直线的解析式，进而求出点C的坐标，再将点C的坐标代入直线的解析式，利用待定系数法求解； （2）有两种情况：点E在上方，点E在下方，解题思路为：过点C作构造等腰直角三角形，再作轴构造一线三等角，联立两条直线的解析式求交点坐标； （3）分情况讨论：为平行四边形的边，为平行四边形的对角线，利用平行四边形的性质求点Q的坐标． 【小问1详解】 解：直线：经过定点， ， 解得， 直线：， 直线，交于点， ， ， 将代入，得：， 解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 按要求解答下列问题： （1）【知识回顾】 本学期我们研究了三角形的中位线的性质．如图，中，是的中位线，则与的关系为：________（用符号语言表达）． （2）【特例感知】 如图，已知是等腰直角三角形，，，点是线段上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转至，连接．取的中点为点，连接．延长至点，使，连接．请写出与的数量关系：________，与的数量关系：________，并证明． （3）【拓展应用】 如图，已知在中，点是线段上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转至，连接．取的中点为点，连接．已知，，，．在点运动过程中，求线段的最小值． 【答案】（1），， （2）解：，， 证明：，， ， 由旋转得，， ， 又， ， 在与中， ， ， 的中点为点，， 为的中位线， ； （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线的性质求解； （2）由旋转得，，结合是等腰直角三角形，证明，推出，再证为的中位线，根据中位线的性质可得； （3）在线段上作， 连接， 延长至点F， 使得， 连接，同（2）可证；当时，最短， 此时取得最小值． 【小问1详解】 解：中，是的中位线，则与的关系为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，在线段上作， 连接， 延长至点F， 使得， 连接， ，， ， 由旋转得，， ， 又， ， 在与中， ， ， 的中点为点，， 为的中位线， ； ∵点在线段上运动， ∴当时，最短， 此时取得最小值，如图： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即线段的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年第二学期八年级学业质量监测 数学试题 注意事项： 本试题满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上． 答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 7. 若关于x的方程有增根，则m的值是（ ） A. B. C. 3 D. 4 8. 如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点在对角线上，连接，于点，交于点，连接，已知，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是等边三角形，，在上且，是直线上一动点，线段绕点逆时针旋转，得到线段．当点运动时，则线段的最小值是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 1．第Ⅱ卷必须用0.5mm黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效． 2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 因式分解：__________ 12. 若分式的值为零，则x的值为______． 13. 随着“互联网+教育”的发展，某市逐步推出空中课堂，为学生提供线上授课．据统计，受益学生人次逐批增长，第一批受益学生万人次，第三批受益学生万人次．设第一批到第三批受益学生人次的平均增长率为，则根据题意可列方程为________． 14. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，，，点在上，于点，于点，则__________． 15. 如图，将菱形纸片折叠，使得点恰好落在边的中点处，折痕为．若菱形的边长为，，则_____． 三、解答题（本大题10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解不等式组：，并写出所有整数解． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 按要求解答下列问题： （1）因式分解：． （2）解方程：． 19. 已知：在平行四边形中，，是对角线上的两点，且，，分别是边，上的点，且．求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若经过平移后得到，已知点的对应点的坐标为，请画出，并求出线段平移的距离_____； （2）将绕坐标原点按顺时针方向旋转得到，请画出； （3）若将绕点旋转可得到，则点的坐标为____． 21. 在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的速度都是．连接，，．设点，运动的时间为． （1）________，________．（分别用含有的式子表示） （2）当为何值时，四边形是矩形． （3）当为何值时，四边形是菱形． 22. 下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：甲商品进价乙商品进价=20 任务： （1）解法一所列方程中的x表示______，解法二所列方程中的x表示_______．（填序号） ①甲种商品每件进价x元； ②乙种商品每件进价x元； ③甲种商品购进x件； （2）根据以上解法可求出甲种商品的进价为_______元/件，乙种商品的进价为_______元/件； （3）若商店将甲种商品每件的售价定为80元，乙种商品每件的售价定为45元．商店计划用不超过1420元的资金购进甲、乙两种商品共40件，若购进的甲、乙两种商品全部售出，请求出该商店获得最大的利润W．（利润=售价一进价） 23. 配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，是“和谐数”，理由：因为，所以是“和谐数”． 【解决问题】 （1）判断是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”） 【探究问题】 （2）若可配方成（，为常数），则的值________． （3）已知（，是整数，是常数），要使为“和谐数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展应用】 （4）已知实数，满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 24. 如图，直线：与轴交于点，直线：经过定点且与轴交于点．直线，交于点． （1）求直线的解析式； （2）在直线上是否存在一点，使．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 按要求解答下列问题： （1）【知识回顾】 本学期我们研究了三角形的中位线的性质．如图，中，是的中位线，则与的关系为：________（用符号语言表达）． （2）【特例感知】 如图，已知是等腰直角三角形，，，点是线段上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转至，连接．取的中点为点，连接．延长至点，使，连接．请写出与的数量关系：________，与的数量关系：________，并证明． （3）【拓展应用】 如图，已知在中，点是线段上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转至，连接．取的中点为点，连接．已知，，，．在点运动过程中，求线段的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $