2026-2027学年初升高数学提前课1.2集合间的基本关系第三课时

课时三　集合的表示 第一章　集合与常用逻辑用语 1 导入新课 如果把“马”和“白马”视为两个集合,那么这两个集合中的元素有什么关系? 你还能举出类似的例子吗? 精彩课堂 1.子集 如果一个班级中,所有同学组成的集合记为S,所有女同学组成的集合记为F,你觉得集合S和F之间有怎样的关系? 你能从集合元素的角度分析它们间的关系吗? 仔细观察下面的例子,你能发现集合间的关系吗? A={1,3},B={1,3,5,6}. 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素. 集合A与集合B有包含关系. 一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B 中的元素,就称集合A为集合B的子集,记作A⊆B(或B⊇A),读作“A包含于B”(或“B 包含A”). 请同学们想一想,∈与⊆表达的含义相同吗?请举例说明. 2.相等 观察下面各题中的两个集合A,B,并指出它们的元素之间的关系. (1)A={x|x是有两条边相等的三角形}, B={x|x是等腰三角形}; (2)A={x|(x+1)(x+2)=0}, B={-1,-2}. 一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作A=B. 也就是说,若A⊆B,且B⊆A,则A=B. 3.真子集 分析集合A={1,2}, B={1,2,3,4}之间的关系,可知A是B的子集(A⊆B),即A中的元素都在B中.那么,B中的元素都在A中吗?B是A的子集吗? 3∈B但3∉A,所以B不是A的子集.A是B的真子集. 如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集,记作A⫋B(或B⫌A),读作“A真包含于B”(或“B真包含A”). 在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.这样,上述集合A与集合B的包含关系,可用下图表示.你能用Venn图表示子集与真子集吗? 你认为它们之间有什么区别与联系? 子集包括真子集与相等. B A 4.空集 观察各题并指出集合中的元素分别是什么. (1)既是三角形又是平行四边形的集合; (2)当两圆相离时,两圆的公共点组成的集合. 请举出你认为是空集的例子. 可以规定空集是任意一个集合的子集吗?为什么? 一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为⌀,并规定:空集是任何集合的子集,即⌀⊆A. ∅与0，{0}的关系   ∅与0 ∅与{0} 相同点 都表示无的意思 都是集合 不同点 ∅是集合；0是实数 ∅不含任何元素；{0}含一个元素0 关系 0∉∅ ∅ {0} ⫋ 5.子集的性质 根据子集的定义判断,如果A={1,2,3},那么A⊆A吗? 对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆C成立吗? 如果成立,你能用Venn图来解释这些性质吗? 子集的性质： (1)任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A; (2)对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆C. 6.例题探究 例1 写出集合的所有子集和真子集. 分析:集合A含有3个元素,因此它的子集含有的元素个数为0,1,2,3. 解: (1)写出元素个数为0的子集,即⌀; (2)写出元素个数为1的子集,即{6},{7},{8}; (3)写出元素个数为2的子集,即{6,7},{6,8},{7,8}; (4)写出元素个数为3的子集,即{6,7,8}. 在上述子集中,除去集合A本身,即{6,7,8},剩下的都是A的真子集. 如何才能一个不漏地写出这个集合的所有子集呢? 例2、写出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|0＜x＜5}； 【解】　方法一：集合B中的元素都在集合A中，但集合A中有些元素(比如0，－0.5)不在集合B中，故有BA. 方法二：在数轴上表示出集合A，B，可知BA. (2)A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}； 【解】因为集合A是偶数集，集合B是4的倍数集 (3)A＝{x|x是正方形}，B＝{x|x是矩形}． 【解】正方形是特殊的矩形 判断集合间关系的常用方法 变式：已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x＜8，x∈N}，用适当的符号填空： (1)A________B； (2)A________C； _____C；（4）2_____C 解析：集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1，2}，而C＝{x|x＜8，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}． 　 例3、下列四个集合中，是空集的为(　　) A．{0}　　　　　　　　　 B．{x|x＞8，且x＜5} C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x＞4} 解析：满足x＞8且x＜5的实数不存在， 故{x|x＞8，且x＜5}＝∅. 例4、已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1<x<m}(m>1)，且B⊆A， 则实数m的取值范围是________． 【解析】由于B⊆A，结合数轴分析可知，m≤4. 又m>1，所以实数m的取值范围是{m|1<m≤4}． 【答案】　1<m≤4 变式：(变条件)本例若将“B＝{x|1<x<m}(m>1)”改为“B＝{x|1<x<m}”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？ 解：若m≤1，则B＝∅，满足B⊆A. 若m>1，则由例题解析可知1＜m≤4. 综上可知m≤4. 例4、已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1<x<m}(m>1)，且B⊆A，则实数m的取值范围是_____ 例5．下列六个关系式：①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}⊆{b，a}；③∅={∅}；④{0}＝∅；⑤∅{0}；⑥0∈{0}．其中正确的个数是(　　) A．1    B．3    C．4    D．6 解析：①②⑤⑥正确，③④错误，故选C. 答案：C 7.课堂练习 1．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的最适合的关系是(　　) A．A⊆B B．A⊇B C．AB D．BA 解析：集合A是能被3整除的整数组成的集合，集合B是能被6整除的整数组成的集合，所以BA. 答案：D 2．现有以下三组集合： ①{a，b}和{b，a}；②{1，0}和{(1，0)}； ③{y|y＝，x∈R}和{x|y＝，x∈R}． 其中，满足集合相等的有(　　) A．3组 B．2组 C．1组 D．0组 解析：①中元素相同，集合相等；②中元素个数不同，且一个是数集，一个是点集，集合不相等；③中两集合都是用描述法表示的，代表元素不一样，这两个集合不相等． 答案：C 3．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}． (1)若AB，则a的取值范围为________； (2)若B⊆A，则a的取值范围为________． 解析：(1)若AB，则集合A中的元素都在集合B中，且B中有不在A中的元素，则a>2. (2)若B⊆A，则集合B中的元素都在集合A中， 则a≤2.因为a≥1，所以1≤a≤2. 答案：(1){a|a>2}　(2){a|1≤a≤2} 学 习 目 标 核 心 素 养 1.在具体情境中，了解空集的含义． 2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 3.能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用． 1.数学抽象：子集、真子集的概念，空集的含义及应用． 2.逻辑推理、直观想象：集合间基本关系的推断． 小结： 课 时 结 束 $