2.1 平方根(讲义，2大知识9大题型+刷好题)数学新教材苏科版八年级上册

本讲义聚焦“平方根”核心知识点，系统梳理算术平方根（正数平方等于a的正数，记为√a，非负性）与平方根（数的平方等于a，记为±√a，正负成对）的定义、符号及性质，明确两者区别联系，构建从概念到运算（平方与开平方互逆）再到应用的学习支架。 该资料以实际情境（如正方形面积、礼品袋包装）为载体，通过“即学即练+典例精析+变式巩固”分层设计，培养抽象能力（符号意识）、运算能力和模型意识。例如利用规律探究题型发展推理思维，课中辅助分层教学，课后通过基础与素养练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第二章 实数 2.1 平方根 课标要点 1. 结合正方形面积等实际情境理解平方根、算术平方根的概念，能用符号正确表示平方根与算术平方根。 2. 分清平方根与算术平方根的区别、联系。 3. 会求非负数的平方根、算术平方根，利用平方与开平方互逆关系完成简单计算、逆向求底数。 学习重难点 重点： 1.平方根、算术平方根的定义与符号书写。 2.已知非负数求平方根、算术平方根的基础运算。 3.理解平方与开平方互为逆运算。 难点： 1.区分平方根（两个互为相反数）和算术平方根（仅非负正根）。 2.隐含条件：被开方数\(a\ge0\)，含参数代数式有平方根时求参数取值范围。 3.结合实际问题理解算术平方根的实际意义，舍去无意义负根。 知识点一 算术平方根 定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根.例如，169的算术平方根是13.（规定0的算术平方根是0） 表示方法：a的算术平方根记为，2是根指数，通常将这个“2”省略不写， 记为，读作“根号a”，a叫做被开方数. 性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根. 特别提醒 算术平方根等于它本身的数只有0和1 教材延伸 由于任何一个数的平方都是非负数，所以在求算术平方根时，被开方数必须是非负数，它的算术平方根也一定是非负数，即在式子中，a≥0且≥0（双重非负性）. 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏·期末）若，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查非负数的性质，根据非负数的性质，两个非负数的和为零，则每个非负数都为零据此列式解答即可． 【详解】解：∵且， 又∵， ∴且， ∴ ，， 解得，， ∴． 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）化简___________． 【答案】2026 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的性质即可求解． 【详解】解：， 故答案为：2026． 3．（25-26八年级上·四川广安·期中）已知a，b，c为的三边长，且，则的形状是______． 【答案】等边三角形 【分析】此题考查了算术平方根和绝对值的非负性，等边三角形的定义， 根据非负数的性质，算术平方根和绝对值都非负，它们的和为零，则每个部分都为零，进而得到且，求出，即可得到是等边三角形． 【详解】∵，，且， ∴且， ∴且， 解得，， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 知识点二 平方根 定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果，那么x叫做a的平方根. 表示方法：非负数a的平方根记作±，读作“正、负根号a”，其中a叫做被开方数. 性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. 开平方定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.其中数a叫做被开方数. 即学即练特别提醒 平方根等于本身的数只有0. 易错提醒 有时候题目会故意没有去根号，这时候就要注意千万不要把的平方根当作a的平方根，要先把去根号，再求平方根． 教材延伸 由于平方与开平方互为逆运算，因此我们可以利用平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，也经常用平方运算来检验所求得的平方根是否正确. 1．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）64的平方根是__________． 【答案】 【分析】根据平方根的定义，一个数的平方等于64，则该数是64的平方根．熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵且， ∴64的平方根是． 故答案为：． 2．（2026七年级下·全国·专题练习）若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为________． 【答案】36 【分析】根据平方根的性质，两个平方根互为相反数，列方程求解． 本题主要考查了平方根，掌握平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意，两个平方根互为相反数，故 ． 化简得 ，解得 ． 代入得平方根为 和 ， 因此这个正数为 ． 故答案为：36． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）正数m的一个平方根是，则另一个平方根是__________（用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的性质“正数的两个平方根互为相反数”进行求解即可． 【详解】解：因为正数 的一个平方根是 ，所以另一个平方根是它的相反数，即 ． 故答案为： ． 题型01 求一个数的算术平方根 解题贴士 1.熟记常用的平方数可帮助迅速求一个非负数的算术平方根； 2.当被开方数为带分数或其中含有运算时，应先将其化为假分数或进行整理，再求其算术平方根； 3.对于开方开不尽的数，求其算术平方根时，直接根据定义进行表示，如5的算术平方根是，然后利用计算器计算出其算术平方根，注意精确度. 典｜例｜精｜析 例1．（25-26八年级上·江苏常州·期中）的值为（   ） A．5 B．625 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的定义，理解定义是解决本题的关键． 根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵，且算术平方根为非负数， ∴． 故选A． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）的算术平方根是______． 【答案】 【分析】本题主要考查求算术平方根，依据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵=， ∴的算术平方根是， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，则______． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）的算术平方根是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义． 利用算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 题型02 利用算术平方根的非负性求解 解题贴士 解决此类题目的基本方法是根据算术平方根的意义，得各被开方数都是非负数，由此得方程或不等式(组)，通过方程或不等式(组)确定出一个字母的取值，再根据题意，确定另一字母的取值. 典｜例｜精｜析 例2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）若是一个数的算术平方根，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的定义. 根据算术平方根的定义即可列出不等式求出a的范围. 【详解】解：∵非负数有算术平方根，且该数的算术平方根大于或等于0， ∴ ∴ 故选D 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）若，则的值是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】此题主要考查了算术平方根的非负性和完全平方公式因式分解，正确得出的值是解题关键．直接利用非负数的性质得出的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， 解得：， ∴． 故选：A． 2．（25-26八年级上·甘肃张掖·期末）若x，y为实数，且满足，则的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，有理数的乘方运算． 利用绝对值和算术平方根的非负性，求出和的值，再代入表达式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴且， 由，得，解得：， 则可化为，即，解得：， ∴． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）若实数x、y满足，则以x、y的值为边长的等腰三角形的周长为______． 【答案】15 【分析】本题考查了非负数的性质，三角形三边的关系，以及等腰三角形的定义． 根据非负数的性质，求出和的值，再根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系确定三角形的边长，最后计算周长． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，． 当腰长为6，底边长为3时，三边长为6、6、3，满足三角形三边关系，周长为； 当腰长为3，底边长为6时，三边长为3、3、6，但，不满足三角形三边关系，故不成立． 因此，等腰三角形的周长为15． 故答案为：15． 题型03 与算术平方根有关的规律探究问题 典｜例｜精｜析 例3．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）小明利用计算器得到，．根据这些数据猜想：______． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根的规律计算，理解题意，找出计算规律是关键．根据材料提示找出规律即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·湖南衡阳·阶段检测）通过观察后再回答问题． 200 (1)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决问题： 已知，，则______； (2)已知，，用含m的代数式表示n（请写出解答过程）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根的理解和规律的应用，熟练掌握算术平方根定义，是解题的关键． （1）从表格中可发现当的值扩大到原来的倍时，的值扩大到原来的倍，从到被开方数扩大到原来的倍，结果扩大到原来的倍，即可得到答案； （2）根据题意可得：，可得到，进而得到答案． 【详解】（1）解：从表格中可发现当的值扩大到原来的倍时，的值扩大到原来的倍， ∴从到被开方数扩大到原来的倍， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25七年级下·海南三亚·阶段检测）先填写表，通过观察后再回答问题． (1)表格中______，______． (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______． 【答案】(1)，； (2)①；②； 【分析】本题主要考查算术平方根的理解和规律的应用． （1）填写表格，通过计算，即可得到答案； （2）观察规律，从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍，①从到被开方数扩大到原来倍，结果扩大到原来倍，即可得到答案；②根据题意可得：，可得到，进而得到答案． 【详解】（1）解：根据表格可得：∵，， ∴； ∵，， ， 故答案为：；． （2）解：①从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍， ∴从到被开方数扩大到原来倍， ∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25七年级下·全国·暑假作业）观察下列两组算式，解答下列问题第一组：． 第二组：． (1)由第一组可得结论：对于任意实数a，有______； (2)由第二组可得结论：当时，______； (3)利用（1）（2）的结论计算： ______；______． (4)当时，计算的值． 【答案】(1) (2)a (3)； (4) 【分析】此题主要考查了算术平方根的计算以及与实数有关的规律问题，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键，此题重点培养学生的归纳应用能力． （1）根据题干数据规律即可求解； （2）根据题干数据规律即可求解； （3）由（1）的结论计算即可； （4）由（1）的结论计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴可得， 故答案为：； （2）解：∵， ∴当时，， 故答案为：； （3）解：；， 故答案为：；； （4）解：∵ ∴． 题型04 算术平方根的实际应用 解题贴士 1.把实际问题转化为数学问题，一般是转化成求一个数的算术平方根； 2.根据算术平方根的定义，列出方程，利用方程思想解决. 典｜例｜精｜析 例4．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）小雅在手工课上制作了一块面积为的正方形刺绣杯垫．她准备了一个面积为的长方形礼品袋进行包装，礼品袋的长与宽之比为． (1)请问这个礼品袋的长和宽分别是多少厘米（结果保留根号）？ (2)小雅能否不折叠就将这块正方形杯垫平整地放入礼品袋中？请说明理由． 【答案】(1)礼品袋的长为，宽为 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，解题的关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形刺绣杯垫的边长． （1）设这个礼品袋的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （2）先求出正方形刺绣杯垫的边长，然后与礼品袋的宽比较即可． 【详解】（1）解：∵礼品袋的长与宽之比为， ∴设这个礼品袋的长为，宽为， 由题意得：， 解得：，（舍去）， ∴礼品袋的长为，宽为； （2）解：∵正方形刺绣杯垫的面积为， ∴设正方形刺绣杯垫的边长为， 即， ∴解得：，（舍去）， ∴正方形刺绣杯垫的边长为， ∵， ∴， ∴， 即礼品袋的宽大于正方形刺绣杯垫的边长， ∴小雅能不折叠就将这块正方形杯垫平整地放入礼品袋中． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图是小红购买的用来放照片的长方形相框，若这个相框的长是宽的2倍，且这个相框的面积是．求这个相框的长和宽． 【答案】这个相框的长为2.4m，宽为1.2m 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，根据题意列出方程，并解出即可获解． 【详解】解：设这个相框的宽为，则长为． 根据题意，得， （负值已舍去），． 这个相框的长为，宽为． 2．（21-22八年级上·河南平顶山·期末）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者能看到的最远距离为，则，其中是地球半径，通常取． (1)小晨站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为，他观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)小哲说“泰山海拔约为，泰山顶部到海边的距离约，天气晴朗时站在泰山之巅（人的身高忽略不计）可以看到大海”请判断其结论是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2)说法错误，见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，理解题意是解题的关键； （1）将已知数据代入公式，即可求解； （2）根据题意，求得，进而比较和，即可求解． 【详解】（1）解：由可得： ； 答：此时d的值为． （2）说法错误，理由如下： 站在泰山之巅，人的身高可以忽略不计，此时， ， ， ， ， ∴天气晴朗时站在泰山之巅看不到大海． 3．（20-21七年级下·河北沧州·期中）如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．    (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 【分析】本题考查了算术平方根，能根据题意列出算式是解此题的关键． （1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可； （2）先求出长方形的边长，利用长与正方形边长比较大小再判断即可． 【详解】（1）解：由题意得，大正方形的面积， 大正方形的边长； （2）设长方形纸片的长为，宽为． 由题意，得，即． 此时． 不能裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 题型05 求一个数的平方根 解题贴士 1.先观察这个数是正数、0，还是负数； 2.如果是非负数，对于易求出平方根的数，通常先写出哪个数的平方等于已知数，然后写出这个数的平方根； 3.如果是非负数，对于不易求出平方根的数，可以用计算器直接得出. 典｜例｜精｜析 例5．（25-26八年级上·海南海口·期中）下列结论中，正确的是（   ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 【答案】C 【分析】本题考查平方根和算术平方根的定义，解题的关键是掌握平方根、算术平方根的概念． 根据平方根和算术平方根的定义，逐一判断各选项的正误． 【详解】解：A、因为负数没有平方根，而是负数，所以没有平方根，故A错误； B、因为0的平方根是0，故B错误； C、因为若一个非负数的平方等于，即，则叫做的算术平方根，，所以1的算术平方根是1，故C正确； D、先计算，因为4的平方根是，所以的平方根是，故D错误． 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（22-23八年级上·江苏南京·期末）下列说法正确的是（    ） A．是的平方根 B．0.3是0.9的平方根 C．是的平方根 D．是的平方根 【答案】D 【分析】根据平方根的定义求解即可，平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫a的平方根． 【详解】解：A、，，，故该选项不正确，不符合题意； B、，故不是的平方根，故该选项不正确，不符合题意； C、没有平方根，故该选项不正确，不符合题意； D、，，故是的平方根，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根的定义，理解平方根的定义是解题的关键． 2．（24-25七年级下·北京·期末）的平方根是__________． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的平方根，根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：的平方根是， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）若，则a的值是______． 【答案】 【分析】本题考查平方根，根据平方根的概念即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 4．（22-23八年级上·贵州毕节·期末）的平方根______，的算术平方根是______． 【答案】 【分析】根据平方根和算术平方根的定义求解即可． 【详解】∵， ∴4的平方根是， ∵， 即的算术平方根是， 故答案为：， 【点睛】本题考查的是平方根、算术平方根的计算，如果一个数的平方等于a，这个数就叫a的平方根，如果一个正数的平方等于a，这个数就叫a的算术平方根，0的算术平方根是0．掌握定义是解题的关键． 题型06 已知一个数的平方根求这个数 典｜例｜精｜析 例6．（25-26八年级上·江苏常州·期中）一个正数的平方根是和，则这个正数是__________． 【答案】121 【分析】本题考查了平方根的性质． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，由此列出方程求出a的值，再代入求出一个平方根，进而求出这个正数． 【详解】解：由题意，得， 解得． 则一个平方根为， 所以这个正数为． 故答案为：121． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江西九江·期中）若一个正数m的两个平方根分别为和，则的值为______． 【答案】 8 【分析】本题主要考查了平方根，根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，由此列方程求出a的值，再求出m 的值，最后求出代数式的值． 【详解】解：∵正数m的两个平方根分别为和， ∴， 解得． 当时，， ∴， ∴． 故答案为：8． 2．（24-25八年级下·江苏南京·阶段检测）若一个正数的平方根在数轴上分别对应A，B两点，且，则这个正数为（　　） A．36 B．9 C．0 D．12 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，平方根，根据一个正数的平方根互为相反数，结合，得到这个正数的两个平方根为和，进行求解即可． 【详解】解：∵一个正数的平方根在数轴上分别对应A，B两点，且， ∴这个正数的两个平方根为和， ∴这个正数为； 故选B． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知数有平方根． (1)求x的取值范围； (2)数A的两个不同的平方根是和，求A的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）利用平方根的非负性列不等式求解； （2）依据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求出a，再求． 【详解】（1）解：根据题意可知，， 解得：； （2）解：根据题意可知，， 解得：， 将代入，得其中一个平方根为， 所以． 题型07 求代数式的平方根 典｜例｜精｜析 例7．（25-26七年级上·全国·期中）已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的求值以及求平方根，解题的关键是根据平方根的性质求出的值，再整体代入计算． 先由求出的值，再将变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：因为， 所以， 对进行变形可得：， 当时，代入上式可得：， 当时，代入上式可得：， 所以，代数式的值是9或1， 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河南周口·期中）若，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的性质，利用平方和的非负性求解是解题的关键． 由方程 ，利用平方根的性质，得到两个关于 的方程，再根据平方和的非负性排除无效解． 【详解】解：由 ， 根据平方根的性质，得： 或 ， 若 ，则 ； 若 ，则 ． 由于 是平方和，具有非负性，即 ， 因此 不成立，舍去； 故 ． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·四川成都·开学考试）如果，求的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及平方差公式、开平方等知识，熟记平方差公式、开平方运算是解决问题的关键．先将恒等变形得到，进而得到，开平方即可得到答案． 【详解】解：， ， 即， 则， 故答案为：． 3．（22-23八年级上·四川巴中·阶段检测）若，求的平方根是___________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：，， ， 的平方根是． 故答案为： 【点睛】本题考查了非负数的性质与求代数式的平方根，即几个非负数的和为0，则每个非负数都是0．现阶段学习的非负数的形式主要有三种：，，（为正整数）． 题型08 利用平方根解方程 解题贴士 利用平方根的概念解方程时，先将方程转化的形式，再利用开平方法求解.当a>0时，其平方根有两个，所以对应方程有两个根. 典｜例｜精｜析 例8．（25-26八年级上·上海·期末）方程的解是____________． 【答案】 ．/． 【分析】本题主要考查了运用平方根解方程，灵活运用平方根解方程是解题的关键．通过移项和开平方解方程，运用平方根的性质求解． 【详解】解：移项得， 开平方得，即， 当时，解得； 当时，解得． 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·黑龙江黑河·阶段检测）如果，那么_____． 【答案】或 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方根的定义解方程．设，将原方程转化为，利用平方差公式求解． 【详解】解：设，则原方程化为，即， 所以， 因此， 即或． 故答案为：或． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）解方程： 【答案】或． 【分析】整理后，利用平方根的性质求解即可． 【详解】解：整理得， 开方得， 解得或． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）解方程： (1) (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以9，最后把方程两边同时开平方即可得到答案； （2）先把方程两边同时除以4，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴或． 题型09 平方根的应用 典｜例｜精｜析 例9．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，用图1中的两个面积为的小正方形纸片拼成图2中的一个大正方形； (1)求图2中拼成的大正方形纸片的边长； (2)如图3，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？请你通过计算说明理由． 【答案】(1)10cm (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的应用，正确理解题意是关键； （1）先得到图2的大正方形的面积为，再计算100的算术平方根即可； （2）若能够剪出符合题意的长方形，不妨设长方形的宽为xcm，则长为cm，根据题意可得，求出x的值后再与正方形的边长进行比较即可得到答案． 【详解】（1）解：∵图2的大正方形是由两个面积为的小正方形纸片拼成， ∴图2的大正方形的面积为 ∴图2中拼成的大正方形纸片的边长； （2）解：不能剪出长、宽之比为且面积为的长方形，理由如下： 若能够剪出符合题意的长方形，不妨设长方形的宽为xcm，则长为cm， 则， ∴， ∴或（不合题意，舍去） ∴长方形的宽为6cm，长为12cm， ∵， ∴不能剪出长、宽之比为且面积为的长方形． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·山西临汾·阶段检测）在驾车行驶过程中，若司机发现前方道路有异常，从踩下刹车到汽车最终停止，汽车行驶的距离叫制动距离．小智收集的实验数据：制动距离（单位：）与行驶速度（单位：）满足关系式．某天王叔叔开车在公路上行驶时，突然发现前方有异常情况，立即采取了刹车措施．经测量，王叔叔的刹车制动距离为．已知该段公路最高限速为，请你判断王叔叔是否超速，并说明理由． 【答案】王叔叔没有超速，理由见解析 【分析】本题考查平方根的实际应用，熟练应用平方根的性质计算是解题的关键．根据题意，将代入，求出速度，即可解答． 【详解】解：王叔叔没有超速．理由如下： 将代入，得． ， ， 是正数， ． ， 王叔叔没有超速． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，一个容积为的正方体容器中装满水，现要将其中的水全部倒入另一个长方体容器中，若长方体容器的长与宽相等且高是，则这个长方体容器的长与宽至少是多少？（结果保留根号） 【答案】这个长方体容器的长与宽至少是 【分析】此题主要考查长方体容积（体积）公式，平方根关键是熟记公式． 设这个长方体容器的长与宽至少为，根据长方体容积（体积）公式列式，再由平方根的定义计算，即可解答． 【详解】解：设这个长方体容器的长与宽至少为，则 ， 解得或（不符合题意，舍去）． 答：这个长方体容器的长与宽至少是． 3．（24-25七年级下·广西南宁·期中）在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为的正方形区域修改为面积为的长方形区域，且长、宽之比为． (1)求原来正方形区域的边长； (2)求修改后长方形的周长； (3)铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】(1) (2) (3)够用 【分析】本题考查算术平方根，利用开平方解方程，实数的估算，熟练根据题意列出等式并利用开平方求解长方形边长是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式即可得出答案； （2）设长方形的长为，宽为，由其面积为，所以，利用开平方求解即可； （3）比较正方形的周长与长方形周长的大小关系即可． 【详解】（1）解：由题意得原来正方形区域的边长为， （2）解：由（1）得这根铁丝长为， 由修改后的长方形的长、宽之比为， 设长方形的长为，宽为， 由其面积为， 所以， 即， 解得（负值舍）， 长方形的周长为， （3）解：， ∴， ∴铁丝够用． 基础通关 1．（25-26八年级上·江西九江·阶段检测）已知，则的算术平方根是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的算术平方根，根据算术平方根和绝对值的非负性得到关于的二元一次方程组，求解后，根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴的算术平方根是1； 故选B． 2．（24-25八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，……；第n个单项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的探究规律，准确分析计算是解题的关键． 观察序列的根号部分和指数部分，根号下数字对应项数，的指数为奇数序列，可表示为． 【详解】第项: , 第项: , 第项: , …… 根号部分为，的指数为， 第n个单项式为； 故选． 3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（    ） A．一定没有平方根 B．立方根等于它本身的数是0，1 C．的算术平方根是6 D．25的平方根是 【答案】D 【分析】本题考查平方根、算术平方根和立方根的概念，需注意负数没有平方根，算术平方根是非负数，立方根包括负数．根据平方根、算术平方根和立方根的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、可能是非负数，可能有平方根，原说法错误，不符合题意； B、立方根等于它本身的数是0，，原说法错误，不符合题意； C、的算术平方根是，原说法错误，不符合题意； D、25的平方根是，正确，符合题意； 故选D． 4．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）下列说法正确的是（   ） A．9的平方根是3 B．是的平方根 C．是的平方根 D．3是9的算术平方根 【答案】D 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念．平方根包括正负两个值（正数），算术平方根为非负值；负数没有平方根． 根据平方根和算术平方根的概念逐一判断即可． 【详解】解：A．9的平方根是，原说法错误； B．是的其中一个平方根，原说法错误； C．负数没有平方根，原说法错误； D．3是9的算术平方根，原说法正确； 故选：D． 5．（25-26八年级上·河南南阳·期中）有平方根，则x满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义，解一元一次不等式．根据平方根的定义，被开方数必须为非负数，因此需满足，解此不等式即可． 【详解】解：有平方根， ， ， ． 故选：D． 6．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）16的平方根是，用数学符号表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根，16的平方根是，用数学符号表示，即可作答． 【详解】解：依题意，16的平方根是，用数学符号表示， 故选：D 7．（25-26八年级上·江苏南京·期中）若方程的解分别为a，b，且，下列说法正确的是（   ） A．是3的平方根 B．是3的平方根 C．是3的算术平方根 D．是3的算术平方根 【答案】D 【分析】本题考查了方程解的定义，算术平方根的定义，熟记定义，灵活运用定义是解题的关键．根据方程解的定义和算术平方根的意义判断即可． 【详解】解：∵ 方程 的解分别为 ，且， ∴ ，， ∴ 和是3的平方根， ∵ ， ∴ ， ∴ 是3的算术平方根（非负的平方根）． 故选：D． 8．（22-23八年级上·河南驻马店·期中）的算术平方根是_____． 【答案】3 【分析】本题考查了求算术平方根，先计算的值，再求其算术平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 故的算术平方根是， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图是两个面积为1的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形，则大正方形的边长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、正方形的面积公式，根据题意可得大正方形的面积为，再根据正方形的边长等于其面积的算术平方根即可求解． 【详解】解：∵两个面积为1的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）一个正数的平方根是和，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数，得出，即可求出的值． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故答案为：． 素养提升 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）已知实数满足的平方根等于它本身，则的值为________． 【答案】0 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，代数式求值，平方根的定义，解题的关键是熟练掌握相关知识点． 根据算术平方根的被开方数非负，求出a的值，进而求出b的值；再由平方根的定义求出c的值，代入表达式计算即可． 【详解】解：∵被开方数，且， ∴， ∴，即， 代入原式得， ∴， ∵的平方根等于它本身， ∴， 则， 故答案为：． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了平方的非负性、绝对值的非负性、算术平方根的非负性、有理数的加法运算． 由于平方、绝对值和算术平方根都具有非负性，且它们的和为零，因此每个部分都必须为零，从而可求出，，的值，代入计算即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴． 故选：B． 3．（25-26八年级上·江苏常州·期中）已知等腰三角形的两边长分别为、，且、满足，则此等腰三角形的周长为（） A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质，三角形三边关系等，熟练掌握这些知识点是解题关键． 根据非负数的性质，求出a和b的值，再根据等腰三角形的性质分类讨论边长组合，利用三角形三边关系判断是否成立，最后计算周长． 【详解】解：∵，且，， ∴且， ∴，， 当腰长为2，底边为3时，三边为2、2、3， ∵，，， ∴能组成三角形，周长为； 当腰长为3，底边为2时，三边为3、3、2， ∵，，， ∴能组成三角形，周长为； 故此等腰三角形的周长为7或8， 故选A 4．（25-26九年级上·天津红桥·期中）若是方程的一个实数根，且，则估计的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】本题考查的是平方根的应用及无理数的估算，通过解方程得到，然后比较相邻整数的平方以确定 的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又 ∵， ∴， 即m在4和5之间， 故选：C． 5．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）已知函数则当时，的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了分段函数． 根据分段函数的定义，分别考虑和两种情况，求解方程并验证解是否满足条件． 【详解】解：当时，函数为， 令，得， 即， 解得或（不符合，舍去）； 当时，函数为， 令，得， 即， 解得（不满足，舍去）； 因此，当时，x的值为． 故答案为：． 迁移创新 1．（24-25九年级下·海南省直辖县级单位·阶段检测）定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，=2，=3，=6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； (2)已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 【答案】(1)见解析，最小算术平方根是4，最大算术平方根是12 (2)1或100 【分析】此题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是关键． （1）根据“和谐组合”的定义分别求解算术平方根即可； （2）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，分别列方程求解即可． 【详解】（1）证明：，，， ，8，18这三个数是“和谐组合”， 故最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； （2）解：分三种情况：①当时，可得，解得：（舍去）， ②当时，可得，解得：，经检验符合题意， ③当时，可得，解得：，经检验符合题意． 综上所述，的值为1或100． 2．（25-26八年级上·河北唐山·期末）如图，有四张卡片，第一张为边长为a的正方形，第二张为边长为b的正方形，其余两块均为长为a，宽为b的长方形，这四张卡片拼成的大正方形（记作图形A）的面积等于一块大长方形（记作图形B）的面积，已知图形B的长为． (1)图形A的面积为_______． (2)图形B的宽为_______．（用含a，b的最简单的式子表示） (3)若图形B的宽与相等，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了列代数式，因式分解的应用，求一个数的平方根，正确理解题意是解题的关键． （1）根据图形A的面积等于四张卡片的面积列式求解即可； （2）根据图形A的面积与图形B的面积相等得到图形B的面积，再根据长方形面积公式求解即可； （3）根据（2）所求可得，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，图形A的面积为； （2）解：由（1）得图形A的面积为， ∵图形A的面积等于图形B的面积， ∴图形B的面积为， ∵图形B的长为， ∴图形B的宽为； （3）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴符合题意． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 实数 2.1 平方根 课标要点 1. 结合正方形面积等实际情境理解平方根、算术平方根的概念，能用符号正确表示平方根与算术平方根。 2. 分清平方根与算术平方根的区别、联系。 3. 会求非负数的平方根、算术平方根，利用平方与开平方互逆关系完成简单计算、逆向求底数。 学习重难点 重点： 1.平方根、算术平方根的定义与符号书写。 2.已知非负数求平方根、算术平方根的基础运算。 3.理解平方与开平方互为逆运算。 难点： 1.区分平方根（两个互为相反数）和算术平方根（仅非负正根）。 2.隐含条件：被开方数\(a\ge0\)，含参数代数式有平方根时求参数取值范围。 3.结合实际问题理解算术平方根的实际意义，舍去无意义负根。 知识点一 算术平方根 定义：一般地，如果一个正数x的______等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根.例如，169的算术平方根是13.（规定0的算术平方根是0） 表示方法：a的算术平方根记为，2是根指数，通常将这个“2”省略不写， 记为，读作“根号a”，a叫做被开方数. 性质：正数____________算术平方根；0的算术平方根是______；负数______算术平方根. 特别提醒 算术平方根等于它本身的数只有0和1 教材延伸 由于任何一个数的平方都是非负数，所以在求算术平方根时，被开方数必须是非负数，它的算术平方根也一定是非负数，即在式子中，a≥0且≥0（双重非负性）. 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏·期末）若，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）化简___________． 3．（25-26八年级上·四川广安·期中）已知a，b，c为的三边长，且，则的形状是______． 知识点二 平方根 定义：一般地，如果一个数的______等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果，那么x叫做a的平方根. 表示方法：非负数a的平方根记作±，读作“正、负根号a”，其中a叫做被开方数. 性质：正数有两个平方根，且它们____________；0的平方根是______；负数______平方根. 开平方定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.其中数a叫做被开方数. 即学即练特别提醒 平方根等于本身的数只有0. 易错提醒 有时候题目会故意没有去根号，这时候就要注意千万不要把的平方根当作a的平方根，要先把去根号，再求平方根． 教材延伸 由于平方与开平方互为逆运算，因此我们可以利用平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，也经常用平方运算来检验所求得的平方根是否正确. 1．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）64的平方根是__________． 2．（2026七年级下·全国·专题练习）若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为________． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）正数m的一个平方根是，则另一个平方根是__________（用含a的代数式表示）． 题型01 求一个数的算术平方根 解题贴士 1.熟记常用的平方数可帮助迅速求一个非负数的算术平方根； 2.当被开方数为带分数或其中含有运算时，应先将其化为假分数或进行整理，再求其算术平方根； 3.对于开方开不尽的数，求其算术平方根时，直接根据定义进行表示，如5的算术平方根是，然后利用计算器计算出其算术平方根，注意精确度. 典｜例｜精｜析 例1．（25-26八年级上·江苏常州·期中）的值为（   ） A．5 B．625 C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）的算术平方根是______． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，则______． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）的算术平方根是_____． 题型02 利用算术平方根的非负性求解 解题贴士 解决此类题目的基本方法是根据算术平方根的意义，得各被开方数都是非负数，由此得方程或不等式(组)，通过方程或不等式(组)确定出一个字母的取值，再根据题意，确定另一字母的取值. 典｜例｜精｜析 例2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）若是一个数的算术平方根，则（　　） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）若，则的值是（　　） A． B．0 C．1 D．2 2．（25-26八年级上·甘肃张掖·期末）若x，y为实数，且满足，则的值是_______． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）若实数x、y满足，则以x、y的值为边长的等腰三角形的周长为______． 题型03 与算术平方根有关的规律探究问题 典｜例｜精｜析 例3．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）小明利用计算器得到，．根据这些数据猜想：______． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·湖南衡阳·阶段检测）通过观察后再回答问题． 200 (1)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决问题： 已知，，则______； (2)已知，，用含m的代数式表示n（请写出解答过程）． 2．（24-25七年级下·海南三亚·阶段检测）先填写表，通过观察后再回答问题． (1)表格中______，______． (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______． 3．（24-25七年级下·全国·暑假作业）观察下列两组算式，解答下列问题第一组：． 第二组：． (1)由第一组可得结论：对于任意实数a，有______； (2)由第二组可得结论：当时，______； (3)利用（1）（2）的结论计算：______；______． (4)当时，计算的值． 题型04 算术平方根的实际应用 解题贴士 1.把实际问题转化为数学问题，一般是转化成求一个数的算术平方根； 2.根据算术平方根的定义，列出方程，利用方程思想解决. 典｜例｜精｜析 例4．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）小雅在手工课上制作了一块面积为的正方形刺绣杯垫．她准备了一个面积为的长方形礼品袋进行包装，礼品袋的长与宽之比为． (1)请问这个礼品袋的长和宽分别是多少厘米（结果保留根号）？ (2)小雅能否不折叠就将这块正方形杯垫平整地放入礼品袋中？请说明理由． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图是小红购买的用来放照片的长方形相框，若这个相框的长是宽的2倍，且这个相框的面积是．求这个相框的长和宽． 2．（21-22八年级上·河南平顶山·期末）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者能看到的最远距离为，则，其中是地球半径，通常取． (1)小晨站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为，他观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)小哲说“泰山海拔约为，泰山顶部到海边的距离约，天气晴朗时站在泰山之巅（人的身高忽略不计）可以看到大海”请判断其结论是否正确，并说明理由． 3．（20-21七年级下·河北沧州·期中）如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．    (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 题型05 求一个数的平方根 解题贴士 1.先观察这个数是正数、0，还是负数； 2.如果是非负数，对于易求出平方根的数，通常先写出哪个数的平方等于已知数，然后写出这个数的平方根； 3.如果是非负数，对于不易求出平方根的数，可以用计算器直接得出. 典｜例｜精｜析 例5．（25-26八年级上·海南海口·期中）下列结论中，正确的是（   ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 变｜式｜巩｜固 1．（22-23八年级上·江苏南京·期末）下列说法正确的是（    ） A．是的平方根 B．0.3是0.9的平方根 C．是的平方根 D．是的平方根 2．（24-25七年级下·北京·期末）的平方根是__________． 3．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）若，则a的值是______． 4．（22-23八年级上·贵州毕节·期末）的平方根______，的算术平方根是______． 题型06 已知一个数的平方根求这个数 典｜例｜精｜析 例6．（25-26八年级上·江苏常州·期中）一个正数的平方根是和，则这个正数是__________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江西九江·期中）若一个正数m的两个平方根分别为和，则的值为______． 2．（24-25八年级下·江苏南京·阶段检测）若一个正数的平方根在数轴上分别对应A，B两点，且，则这个正数为（　　） A．36 B．9 C．0 D．12 3．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知数有平方根． (1)求x的取值范围； (2)数A的两个不同的平方根是和，求A的值． 题型07 求代数式的平方根 典｜例｜精｜析 例7．（25-26七年级上·全国·期中）已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河南周口·期中）若，则__________． 2．（25-26八年级上·四川成都·开学考试）如果，求的值为__________． 3．（22-23八年级上·四川巴中·阶段检测）若，求的平方根是___________． 题型08 利用平方根解方程 解题贴士 利用平方根的概念解方程时，先将方程转化的形式，再利用开平方法求解.当a>0时，其平方根有两个，所以对应方程有两个根. 典｜例｜精｜析 例8．（25-26八年级上·上海·期末）方程的解是____________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·黑龙江黑河·阶段检测）如果，那么_____． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）解方程： 3．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）解方程： (1) (2)． 题型09 平方根的应用 典｜例｜精｜析 例9．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，用图1中的两个面积为的小正方形纸片拼成图2中的一个大正方形； (1)求图2中拼成的大正方形纸片的边长； (2)如图3，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？请你通过计算说明理由． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·山西临汾·阶段检测）在驾车行驶过程中，若司机发现前方道路有异常，从踩下刹车到汽车最终停止，汽车行驶的距离叫制动距离．小智收集的实验数据：制动距离（单位：）与行驶速度（单位：）满足关系式．某天王叔叔开车在公路上行驶时，突然发现前方有异常情况，立即采取了刹车措施．经测量，王叔叔的刹车制动距离为．已知该段公路最高限速为，请你判断王叔叔是否超速，并说明理由． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，一个容积为的正方体容器中装满水，现要将其中的水全部倒入另一个长方体容器中，若长方体容器的长与宽相等且高是，则这个长方体容器的长与宽至少是多少？（结果保留根号） 3．（24-25七年级下·广西南宁·期中）在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为的正方形区域修改为面积为的长方形区域，且长、宽之比为． (1)求原来正方形区域的边长； (2)求修改后长方形的周长； (3)铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 基础通关 1．（25-26八年级上·江西九江·阶段检测）已知，则的算术平方根是（   ） A．0 B．1 C． D． 2．（24-25八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，……；第n个单项式为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（    ） A．一定没有平方根 B．立方根等于它本身的数是0，1 C．的算术平方根是6 D．25的平方根是 4．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）下列说法正确的是（   ） A．9的平方根是3 B．是的平方根 C．是的平方根 D．3是9的算术平方根 5．（25-26八年级上·河南南阳·期中）有平方根，则x满足的条件是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）16的平方根是，用数学符号表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·江苏南京·期中）若方程的解分别为a，b，且，下列说法正确的是（   ） A．是3的平方根 B．是3的平方根 C．是3的算术平方根 D．是3的算术平方根 8．（22-23八年级上·河南驻马店·期中）的算术平方根是_____． 9．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图是两个面积为1的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形，则大正方形的边长为___________． 10．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）一个正数的平方根是和，则的值是______． 素养提升 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）已知实数满足的平方根等于它本身，则的值为________． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2 3．（25-26八年级上·江苏常州·期中）已知等腰三角形的两边长分别为、，且、满足，则此等腰三角形的周长为（） A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10 4．（25-26九年级上·天津红桥·期中）若是方程的一个实数根，且，则估计的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 5．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）已知函数则当时，的值为________． 迁移创新 1．（24-25九年级下·海南省直辖县级单位·阶段检测）定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，=2，=3，=6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； (2)已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 2．（25-26八年级上·河北唐山·期末）如图，有四张卡片，第一张为边长为a的正方形，第二张为边长为b的正方形，其余两块均为长为a，宽为b的长方形，这四张卡片拼成的大正方形（记作图形A）的面积等于一块大长方形（记作图形B）的面积，已知图形B的长为． (1)图形A的面积为_______． (2)图形B的宽为_______．（用含a，b的最简单的式子表示） (3)若图形B的宽与相等，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $