专题2.2 立方根【导图+知识卡片+知识梳理+6个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题】-2026-2027学年苏科版数学八年级上册同步培优精讲练

本讲义聚焦立方根核心知识点，系统梳理定义（若一个数的立方等于a，则这个数叫a的立方根）、特征（正数、负数、0的立方根符号规律）、性质（如³√(-a)=-³√a等公式）及小数点移动规律（被开方数移动3位，立方根移动1位），构建从概念到性质再到应用的完整学习支架。 资料含思维导图直观呈现知识结构，6个题型讲练（如规律探索题培养推理意识）、中考真题及分层训练（基础夯实与培优拔高），通过实际应用题提升应用意识，课中辅助教师系统授课，课后助力学生分层巩固，查漏补缺。

null 专题2.2 立方根『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+6个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 【苏科版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 立方根的定义 2 知识点二 立方根的特征 2 知识点三 立方根的性质 3 知识点四 立方根小数点位数移动规律 3 题型讲练 3 题型一 立方根概念理解 3 题型二 求一个数的立方根 3 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 4 题型四 与立方根有关的规律探索 4 题型五 立方根的实际应用 5 题型六 算术平方根和立方根的综合应用 5 中考真题演练 6 难度分层训练 6 【基础夯实】 6 【培优拔高】 8 知识点一 立方根的定义 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根。这就是说，如果，那么叫做的立方根。求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 【要点提示】一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 知识点二 立方根的特征 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 【要点提示】任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点三 立方根的性质 （1）； （2）； （3）. 【要点提示】第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 知识点四 立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 题型一 立方根概念理解 【典例精讲】（25-26八年级上·广东茂名·期中）下列结论中，正确的是（   ） A．1的平方根是1 B．的算术平方根是 C．0没有立方根 D．的平方根是 【变式训练1】（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）立方根等于它本身的数是（   ） A．0 B．1 C． D．0或 【变式训练2】（25-26八年级上·福建三明·期末）一个数的立方等于，那么这个数是_____． 题型二 求一个数的立方根 【典例精讲】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）8的立方根是（    ） A． B． C．2 D． 【变式训练1】（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）下列说法正确的是（    ） A．的立方根是3 B． C．25的平方根是5 D．的算术平方根是2 【变式训练2】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）求下列式子中未知数的值． (1)； (2)． 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 【典例精讲】（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）已知a的平方根是，b的立方根是，求的算术平方根． 【变式训练1】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知的平方根是，的立方根是2．求的算术平方根． 【变式训练2】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）求下列各式中的x． (1)； (2)． 题型四 与立方根有关的规律探索 【典例精讲】（25-26八年级上·重庆南岸·阶段检测）若，则___________． 【变式训练1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知，如果，则_____． 【变式训练2】（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）观察规律并回答下列问题：，，，…． (1)______，______； (2)若，，则______；（用含的代数式表示） (3)当时，根据上述规律比较与的大小关系． 题型五 立方根的实际应用 【典例精讲】（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）解方程，求x的值： (1)； (2)． 【变式训练1】（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）求下列式子中的的值： (1)； (2)． 【变式训练2】（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）一个棱长为的正方体的容器中盛满水，将这些水倒入另一个正方体容器时，还需再加水才满，求另一个正方体容器的棱长． 题型六 算术平方根和立方根的综合应用 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的算术平方根是2，求的立方根． 【变式训练1】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）已知的算术平方根是3，的立方根是1，求的平方根． 【变式训练2】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）已知的立方根是，的算术平方根是1．求的值． 【真题演练1】（2025·江苏连云港·中考真题）正整数、分别满足，，则（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 【真题演练2】（2025·北京通州·中考真题）下列结论①是9的平方根；②27的立方根是；③式子表示的是4的平方根；④2的平方根是；⑤16的算术平方根是4，其中正确的结论是（） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ 【真题演练3】（2025·陕西西安·中考真题）已知和是一个正数的两个平方根，的立方根是3，则的算术平方根是______ 【真题演练4】（2025·江西宜春·中考真题）已知，则的值为______. 【真题演练5】（2025·江西吉安·中考真题）已知有一个平方根是3，的立方根是，求的值． 【基础夯实】 1．（24-25八年级上·四川眉山·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东济南·期末）下列命题中，是真命题的是（　　） A．如果，则 B．如果，则 C．平方根等于本身的数有0和1 D．如果，则 3．（25-26八年级上·四川巴中·期末）下列说法正确的是（    ） A．的平方根是 B．64的立方根是4 C．若，则 D．的算术平方根是5 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）一个正数a的两个不同的平方根分别是和，则的立方根为________． 5．（25-26八年级上·山东青岛·周测）求下列各式中x的值 （1），________；（2），________． 6．（25-26八年级上·江西吉安·阶段检测）已知，则的立方根为_____． 7．（25-26八年级上·河南郑州·期中）若，则的立方根为：_____ ． 8．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）已知的平方根是，的立方根是3．求的平方根． 9．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 10．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点关于点的对称点为点，一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行3个单位长度到达点，设点所表示的数为． (1)___________； (2)求的值； (3)在数轴上，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的立方根． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）下列说法不正确的是（    ） A．是的平方根 B．9的算术平方根是3 C．0.4的平方根是 D．有立方根 2．（25-26八年级上·上海松江·期末）下列说法正确的是（   ） A．只有正数才有平方根 B．的立方根是 C．是的一个平方根 D．的算术平方根是 3．（25-26八年级上·山西长治·期末）若实数x的平方根为，y的立方根为，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 4．（25-26八年级上·福建泉州·期末）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫作a的n次方根．例如：，的四次方根是．则下列结论：①3是的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则S的三次方根是；④当时，整数a的二次方根有个．其中正确的是___________ （填序号）． 5．（25-26八年级上·四川眉山·期中）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么化简的结果____________． 6．（23-24七年级下·安徽亳州·期中）定义新运算“⊕”，对于任意实数a，b都有． （1）若，，则的立方根是________； （2）若不等式成立，则该不等式的解集是________． 7．（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知 、 都是实数，且满足 ，则 的立方根是_____． 8．（25-26八年级上·江苏南京·周测）（1）计算：； （2）求等式中的x：； 9．（25-26八年级上·江西九江·阶段检测）若关于x，y的二元一次方程组的解为，其中a，b，c为常数． (1)求的立方根； (2)若m，n满足二元一次方程组，求m，n的值． 10．（25-26八年级上·上海·期中）已知的立方根为3，求的平方根． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 立方根『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+6个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 【苏科版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 立方根的定义 2 知识点二 立方根的特征 2 知识点三 立方根的性质 3 知识点四 立方根小数点位数移动规律 3 题型讲练 3 题型一 立方根概念理解 3 题型二 求一个数的立方根 4 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 5 题型四 与立方根有关的规律探索 6 题型五 立方根的实际应用 8 题型六 算术平方根和立方根的综合应用 9 中考真题演练 11 难度分层训练 13 【基础夯实】 13 【培优拔高】 18 知识点一 立方根的定义 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根。这就是说，如果，那么叫做的立方根。求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 【要点提示】一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 知识点二 立方根的特征 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 【要点提示】任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点三 立方根的性质 （1）； （2）； （3）. 【要点提示】第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 知识点四 立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 题型一 立方根概念理解 【典例精讲】（25-26八年级上·广东茂名·期中）下列结论中，正确的是（   ） A．1的平方根是1 B．的算术平方根是 C．0没有立方根 D．的平方根是 【答案】D 【详解】解：A：∵，∴1的平方根是±1，A错误； B：∵负数没有算术平方根，是负数，∴不存在算术平方根，B错误； C：∵，∴0的立方根是0，C错误； D：先计算，∵，∴4的平方根是，即的平方根是，D正确． 【变式训练1】（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）立方根等于它本身的数是（   ） A．0 B．1 C． D．0或 【答案】D 【分析】本题考查立方根的定义，需根据立方根的定义找出立方根等于自身的数． 【详解】解：∵， ∴0的立方根是0，即0的立方根等于它本身． ∵， ∴1的立方根是1，即1的立方根等于它本身． ∵， ∴的立方根是，即的立方根等于它本身． 综上，立方根等于它本身的数是0或， 故选：D． 【变式训练2】（25-26八年级上·福建三明·期末）一个数的立方等于，那么这个数是_____． 【答案】 【分析】此题考查了立方根的概念，解题的关键是掌握立方根的概念． 根据立方根的定义求解． 【详解】解：因为， 所以这个数是． 故答案为：． 题型二 求一个数的立方根 【典例精讲】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）8的立方根是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】若一个数的立方等于，即，则是的立方根，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 根据立方根的定义，的立方根是． 【变式训练1】（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）下列说法正确的是（    ） A．的立方根是3 B． C．25的平方根是5 D．的算术平方根是2 【答案】D 【详解】解：选项A：，的立方根是，A错误； 选项B：表示16的算术平方根，结果为，即，B错误； 选项C：，的平方根是，C错误； 选项D：，的算术平方根是，的算术平方根是，D正确． 【变式训练2】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）求下列式子中未知数的值． (1)； (2)． 【答案】(1) 或 (2) 【分析】（1）利用平方根解方程即可； （2）等式两边同除以2，可得，再利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 或； （2）解：， ， ， ． 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 【典例精讲】（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）已知a的平方根是，b的立方根是，求的算术平方根． 【答案】的算术平方根是3 【分析】本题考查算术平方根和平方根，立方根的计算，代数式计算等．根据题意利用平方根、立方根定义，可得，然后再计算代数式的值，继而得到最后答案． 【详解】解：∵a的平方根是，b的立方根是， ∴， ， 的算术平方根是3． 【变式训练1】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知的平方根是，的立方根是2．求的算术平方根． 【答案】3 【分析】本题主要考查了根据平方根和立方根求原数，求一个数的算术平方根，根据立方根和平方根的定义求出m、n的值，进而求出的值，再根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴； ∵的立方根是2， ∴， ∴， ∴， ∵9的算术平方根是3， ∴的算术平方根是3． 【变式训练2】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）求下列各式中的x． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据平方根和立方根定义解方程，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根定义． （1）直接开平方，即可得出答案； （2）直接开立方得出，再求出x的值即可． 【详解】（1）解：， 开平方得：； （2）解：， 开立方得：， 解得：． 题型四 与立方根有关的规律探索 【典例精讲】（25-26八年级上·重庆南岸·阶段检测）若，则___________． 【答案】293.8 【分析】本题考查了立方根的规律题，将25360000分解为25.36与1000000的乘积，再利用立方根的性质和已知条件计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴， 故答案为：293.8． 【变式训练1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知，如果，则_____． 【答案】5230000 【分析】本题考查立方根，掌握知识点是解题的关键． 通过比较已知立方根与未知立方根之间的倍数关系，利用立方根的性质进行求解． 【详解】解：已知，且． 所以． 故答案为：5230000． 【变式训练2】（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）观察规律并回答下列问题：，，，…． (1)______，______； (2)若，，则______；（用含的代数式表示） (3)当时，根据上述规律比较与的大小关系． 【答案】(1)， (2) (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了立方根、与立方根有关的规律探索，正确发现一般规律是解题关键． （1）根据已知可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位，由此即可得； （2）根据上述规律和可得，由此即可得； （3）根据立方根的性质可得，，再根据上述规律可得，，则、和三种情况进行分析即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵，，且， ∴， ∴， 故答案为：． （3）（3）由题意知，，． ①当时，； ②当时，，此时； ③当时，． 综上，当时，；当时，；当时，． 题型五 立方根的实际应用 【典例精讲】（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）解方程，求x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 【变式训练1】（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）求下列式子中的的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， 直接开平方得或， 解得：； （2）解：， 直接开立方得， 解得：． 【变式训练2】（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）一个棱长为的正方体的容器中盛满水，将这些水倒入另一个正方体容器时，还需再加水才满，求另一个正方体容器的棱长． 【答案】 【分析】根据棱长为的正方体的容器的容积+=另一个正方体容器的容积求解即可． 【详解】解∶设另一个正方体容器的棱长为， 根据题意，得， 解得， 答∶ 另一个正方体容器的棱长为． 题型六 算术平方根和立方根的综合应用 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的算术平方根是2，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查平方根和立方根的性质，解二元一次方程组，利用正数的平方根互为相反数建立方程，结合算术平方根的定义求解参数，再计算表达式的值求立方根． 【详解】解：一个正数的两个平方根互为相反数， ，整理得 又的算术平方根是， 解方程组， 解得 则 的立方根为． 【变式训练1】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）已知的算术平方根是3，的立方根是1，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查平方根，立方根，解二元一次方程组，根据算术平方根和立方根的定义，列出二元一次方程组，求出的值，进而求出的值，再根据平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵的算术平方根是3，的立方根是1， ∴，解得， ∴， ∴的平方根为． 【变式训练2】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）已知的立方根是，的算术平方根是1．求的值． 【答案】9 【分析】本题考查了立方根的定义，算术平方根的定义，解二元一次方程组． 根据立方根和算术平方根的定义，列出关于和的方程，解方程组求出和的值，再计算． 【详解】解：∵的立方根是， ∴． ∵的算术平方根是， ∴． 于是，得方程组： ， 化简得： ， 将两方程相加： ， ， ， 代入： ， ， ∴． 【真题演练1】（2025·江苏连云港·中考真题）正整数、分别满足，，则（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的估算，通过估算立方根和平方根的范围，确定正整数 a 和 b 的值，然后计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵正整数a、b分别满足，， ∴， ∴， 故选：D． 【真题演练2】（2025·北京通州·中考真题）下列结论①是9的平方根；②27的立方根是；③式子表示的是4的平方根；④2的平方根是；⑤16的算术平方根是4，其中正确的结论是（） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，平方根，算术平方根，解题关键是理解立方根的意义，平方根的意义，算术平方根的意义． 根据一个正数有两个平方根，非负数有一个算术平方根，任何实数都有一个立方根，可得答案． 【详解】解：平方根有正负两个，立方根只有一个实数根，算术平方根为非负根； ①正确，是9的平方根； ②错误，27的立方根是3，不是； ③错误，表示4的算术平方根，不是平方根； ④正确，2的平方根是； ⑤正确，16的算术平方根是4. 故正确的结论是①④⑤. 故选：B． 【真题演练3】（2025·陕西西安·中考真题）已知和是一个正数的两个平方根，的立方根是3，则的算术平方根是______ 【答案】3 【分析】本题考查了平方根的定义，立方根的定义，求一个数的算术平方根． 利用平方根互为相反数的性质求a，利用立方根的定义求b，再计算，求其算术平方根即可． 【详解】解：和是一个正数的两个平方根， ， 解得， 又的立方根是3， ， 解得， ， 的算术平方根， 故答案为： 【真题演练4】（2025·江西宜春·中考真题）已知，则的值为______. 【答案】或1或0 【分析】本题主要考查立方根的概念，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键，正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0，根据立方根是本身的数是列式求解出的值，再代入求解即可． 【详解】解： ， 或或， 或或， ， 的值为：或1或0 故答案为：或1或0． 【真题演练5】（2025·江西吉安·中考真题）已知有一个平方根是3，的立方根是，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，立方根，代数式的求值，掌握相关知识点是解题的关键． 根据平方根，立方根的定义列式，求出的值，代入所求的式子，即可求解． 【详解】解：有一个平方根是3，的立方根是， ，， ，， ． 【基础夯实】 1．（24-25八年级上·四川眉山·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题需根据同底数幂的除法法则、积的乘方法则、立方根的定义、完全平方公式，对每个选项逐一计算判断． 【详解】解：A、同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，计算正确； B、积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘， ∴，计算错误； C、， ∴，计算错误； D、完全平方公式为， ∴，计算错误； 故选：A． 2．（25-26八年级上·山东济南·期末）下列命题中，是真命题的是（　　） A．如果，则 B．如果，则 C．平方根等于本身的数有0和1 D．如果，则 【答案】B 【分析】本题考查平方根、立方根的性质及命题真假的判断，需逐一分析各选项，结合相关性质判断命题是否为真命题． 【详解】解：A选项： ∵当时，，但 ∴该命题是假命题． B选项： ∵ ∴ 又∵ ∴ 根据立方根的唯一性，得 ∴ ∴该命题是真命题． C选项： ∵1的平方根是，不等于它本身，只有0的平方根是0，等于其本身， ∴该命题是假命题． D选项： ∵当，，时，，，但 ∴该命题是假命题． 故选B 3．（25-26八年级上·四川巴中·期末）下列说法正确的是（    ） A．的平方根是 B．64的立方根是4 C．若，则 D．的算术平方根是5 【答案】B 【分析】本题考查平方根、立方根、算术平方根的定义，需根据相关定义逐一分析各选项的正误，熟练掌握平方根、立方根、算术平方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、是负数，负数没有平方根，故原说法错误，不符合题意； B、，即64的立方根是4，故原说法正确，符合题意； C、当时，，，也满足，故原说法错误，不符合题意； D、，故的算术平方根是，故原说法错误，不符合题意； 故选：B． 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）一个正数a的两个不同的平方根分别是和，则的立方根为________． 【答案】2 【分析】本题考查了平方根的性质及立方根的计算，根据平方根的性质，正数的两个平方根互为相反数，列方程求解x，再求a，进而计算的立方根． 【详解】解：由题意知，一个正数的两个平方根互为相反数， ∴，即，解得， 则一个平方根为， ∴， ∴，8的立方根为2， 故答案为：2． 5．（25-26八年级上·山东青岛·周测）求下列各式中x的值 （1），________；（2），________． 【答案】 或 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程． （1）直接利用平方根性质求解； （2）先化简方程，再利用立方根性质求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或； 故答案为：或； （2）解：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·江西吉安·阶段检测）已知，则的立方根为_____． 【答案】2 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，代数式求值及立方根的定义，根据非负数的性质得到关于的二元一次方程组，求出的值，进而得到的值，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴得，， ∴， ∵， ∴的立方根为2． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·河南郑州·期中）若，则的立方根为：_____ ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了非负数的性质、代数式求值、立方根等知识点，掌握非负数的和为零则每个部分均为零是解题的关键． 先根据非负数的性质求得a和b的值，再求的立方根即可． 【详解】解：∵，，， ∴且，解得 ，． ∴，即的立方根是2． 故答案为2． 8．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）已知的平方根是，的立方根是3．求的平方根． 【答案】 【分析】根据平方根和立方根的定义求出x、y的值，然后代入求出的值，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， 解得． ∵27的立方根是3，的立方根是3， ∴， ∴． ∴的平方根是． 9．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先将方程变形，求出的值，再根据平方根的定义求出的值，进而得到x的值； （2）先将方程变形，求出的值，再根据立方根的定义求出x的值． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：，． （2）解：， ∴， ∴． 10．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点关于点的对称点为点，一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行3个单位长度到达点，设点所表示的数为． (1)___________； (2)求的值； (3)在数轴上，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的立方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式得到点、点的距离为，可知点表示的数为，根据“左减右加”可求的值； （2）先得到，，再根据非负数的性质计算即可； （3）根据相反数的定义得到，根据非负数的性质求出，求出的值，再求其立方根即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为，点表示的数为1， ∴点、点的距离为， ∵点关于点的对称点为点， ∴点表示的数为， ∵一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行3个单位长度到达点，设点所表示的数为， ∴； （2）解：， ，， ． （3）解：与互为相反数， ， ， ， 解得 ， 的立方根是． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）下列说法不正确的是（    ） A．是的平方根 B．9的算术平方根是3 C．0.4的平方根是 D．有立方根 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根、算术平方根、立方根，分清平方根、算术平方根、立方根是解题的关键． 根据平方根和立方根的定义判断各选项的正确性即可． 【详解】解：对于A：，是25的平方根，∴说法正确，不符合题意； 对于B：9的算术平方根是3，∴说法正确，不符合题意； 对于C：，∴不是0.4的平方根，∴说法不正确，符合题意； 对于D：任何实数都有立方根，∴有立方根，∴说法正确，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·上海松江·期末）下列说法正确的是（   ） A．只有正数才有平方根 B．的立方根是 C．是的一个平方根 D．的算术平方根是 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根、算术平方根和立方根，解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义．根据平方根定义和立方根的定义判断各选项． 【详解】解：A、平方根定义：正数有两个平方根，的平方根是，负数没有平方根，所以也有平方根，故此选项错误，不符合题意； B 、立方根定义：一个数的立方根唯一，的立方根是，故此选项错误，不符合题意； C 、是的算术平方根，是的一个平方根，故此选项正确，符合题意； D、，的算术平方根是，故此选项错误，不符合题意． 故选：C． 3．（25-26八年级上·山西长治·期末）若实数x的平方根为，y的立方根为，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】此题考查平方根、算术平方根、立方根．根据平方根和立方根的定义分别求出x和y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵实数x的平方根为，y的立方根为， ∴，， ∴， 故选：A． 4．（25-26八年级上·福建泉州·期末）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫作a的n次方根．例如：，的四次方根是．则下列结论：①3是的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则S的三次方根是；④当时，整数a的二次方根有个．其中正确的是___________ （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了对a的n次方根的定义的阅读理解能力，绝对值，平方差公式，掌握相关知识点是解题的关键． 根据n次方根的定义和性质，结合平方差公式和绝对值，判断各结论的正确性，即可求解． 【详解】解：， 是的四次方根，故结论①正确； 任何实数都有唯一的奇次方根，结论②正确； ， ， 的三次方根是，故结论③正确； ， ， 解得或， 无实数平方根，有两个平方根， 的二次方根有两个，故结论④错误； 综上所述，正确的结论为①②③． 故答案为：①②③． 5．（25-26八年级上·四川眉山·期中）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么化简的结果____________． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，符号确定，绝对值的化简，有理数的大小比较，立方根，熟练掌握绝对值的化简，有理数的大小比较是解题的关键．根据数轴上有理数的位置，有理数的运算法则，有理数的大小比较法则，立方根，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，且， ∴，， ∴， ， 故答案为：． 6．（23-24七年级下·安徽亳州·期中）定义新运算“⊕”，对于任意实数a，b都有． （1）若，，则的立方根是________； （2）若不等式成立，则该不等式的解集是________． 【答案】 2 【分析】本题考查立方根，解一元一次不等式，根据新定义得出式子是解题的关键： （1）由新运算的定义得出，再根据立方根得出答案； （2）由新运算的定义得出，解不等式即可得出答案． 【详解】解：（1）由新运算的定义知：， 把，代入，得， 所以8的立方根是2， 故答案为：2； （2）因为，， 所以， 所以， 所以， 解得， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知 、 都是实数，且满足 ，则 的立方根是_____． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，绝对值，立方根，掌握相关知识是解决问题的关键．因为且，可得，求出后代入求值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ， ． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江苏南京·周测）（1）计算：； （2）求等式中的x：； 【答案】（1）6；（2） 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，负整数指数幂．解题的关键在于正确的运算． （1）先分别计算算术平方根，立方根，然后进行加减运算即可； （2）原式整理得，即可得到． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ∴． 9．（25-26八年级上·江西九江·阶段检测）若关于x，y的二元一次方程组的解为，其中a，b，c为常数． (1)求的立方根； (2)若m，n满足二元一次方程组，求m，n的值． 【答案】(1)２ (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，整体思想，换元法解方程组，理解二元一次方程组的解的意义及解方程组的思想是解题的关键． （1）将代入方程组消去，转化为只含有的方程组，进一步消去字母即可求解； （2）设，将原方程组化为，结合条件可得，最后解关于的方程组即可． 【详解】（1）解：把代入方程组得，， ，得， 的立方根为2； （2）设，则原方程组化为， 关于二元一次方程组的解为， ，解得， ． 10．（25-26八年级上·上海·期中）已知的立方根为3，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查平方根和立方根，根据平方根和立方根的定义，得到关于的二元一次方程组，求出的值，再进行求解即可． 【详解】解：∵的立方根为3， ∴，解得， ∴， ∴的平方根为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null