第1章 有理数 单元复习（暑假预习讲义） 2026-2027学年人教版七年级数学上册

第1章 有理数 知识点1：正数与负数 1.核心定义 正数：大于的数，正数前的“+”可以省略不写。 负数：在正数前加上符号“-”的数，负数前的“-”不能省略。 既不是正数，也不是负数；它是正负数的分界，也可作为实际问题中的基准量。 2.相反意义的量 用正数和负数表示一对具有相反意义的量，通常规定其中一种意义的量为正，与其意义相反的量为负（如收入为正、支出为负，上升为正、下降为负）。 知识点2：有理数的分类 1.定义：整数和分数统称为有理数；整数可以看作分母为的分数，有限小数和无限循环小数都属于分数。 2.两种分类方式 分类依据 具体分类 按定义分类 有理数分为整数（正整数、、负整数）和分数（正分数、负分数） 按性质符号分类 有理数分为正有理数（正整数、正分数）、、负有理数（负整数、负分数） 3.易混概念 非负数：正数和；非正数：负数和 非负整数：正整数和；非正整数：负整数和 知识点3：数轴 1.数轴三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 2.点与数的对应关系 所有有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数。 数轴上右边的数总比左边的数大；正数在原点右侧，负数在原点左侧。 知识点4：相反数 1.定义与几何意义 代数定义：只有符号不同的两个数互为相反数；的相反数是。 几何意义：数轴上到原点距离相等的两个点表示的数互为相反数。 2.多重符号化简 化简结果由“-”的个数决定：奇数个负号结果为负，偶数个负号结果为正，与“+”的个数无关。 知识点5：绝对值 1.代数意义 若，则（正数的绝对值是它本身） 若，则（的绝对值是） 若，则（负数的绝对值是它的相反数） 2.核心性质 绝对值具有非负性：对任意有理数，都有。 若几个非负数的和为，则每个非负数都为。 知识点6：有理数的大小比较 1.基本法则 正数大于，大于负数，正数大于负数； 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 2.常用方法 数轴比较法：数轴上左边的数小于右边的数； 作差比较法：若，则；若，则；若，则。 【基础必考题型】 【题型1】正负数的意义与相反意义的量 1.核心知识点: 正数、负数的定义 相反意义的量的表示方法 2.解题方法技巧: 先明确基准量与正负规定，再根据实际意义判断数的正负 判断相反意义的量时，需满足“同类量、意义相反”两个核心条件 【例题1】.（2026·山西长治·三模）2026年意大利冬奥会期间，位于阿尔卑斯山区的科尔蒂纳丹佩佐雪上赛场夜间温度较低，平均约在零下，而白天受阳光照射，温度可升至零上．若零上记作，则零下记作（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵题目规定零上温度记为正，零上记作， ∴与零上意义相反的零下温度记为负， 因此零下记作． 【变式题1-1】.（2026·四川成都·中考真题）某人转动转盘，如果用圈表示沿逆时针方向转了3圈，那么沿顺时针方向转了5圈记作（     ） A．圈 B．圈 C．圈 D．圈 【答案】A 【详解】解：∵顺时针方向与逆时针方向的意义相反， ∴如果用圈表示沿逆时针方向转了3圈，那么沿顺时针方向转了5圈记作圈． 【变式题1-2】.（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各数中：、、、、、，负数有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据小于0的数是负数，逐个判断给出的数，统计负数的个数即可得到结果． 【详解】解：，是负数； ，是负数； ，是负数； ，，都是正数； 既不是正数也不是负数， 负数共有个． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）把下列各数填在相应的横线上：，，，，，，，． (1)正数：______________________． (2)负数：______________________． (3)既不是正数也不是负数：___________． 【答案】(1)，，， (2)，， (3)0 【分析】本题考查了正负数的定义，解题关键是明确正负数的定义，大于0的数是正数，在正数前面添一个负号的数叫负数，0既不是正数也不是负数，解题时根据正负数的概念直接判断即可． 【详解】（1）解：根据正数和负数的概念知，正数有：，，，； （2）负数有：，，； （3）既不是正数也不是负数的是0． 故答案为：（1），，，；（2），，；（3）0． 【题型2】有理数的概念与分类 1.核心知识点: 有理数的定义与分类标准 整数、分数的识别 2.解题方法技巧: 按分类标准逐一判断，注意的特殊性：是整数，但既不是正数也不是负数 有限小数和无限循环小数都属于分数，是有理数；无限不循环小数不是有理数 【例题2】.（25-26七年级上·广东珠海·阶段检测）下列说法中，正确的是（　　） A．正有理数、负有理数统称为有理数 B．非负数就是正数 C．正有理数、负有理数和零统称为有理数 D．有理数包括小数和分数 【答案】C 【分析】有理数是分数和整数的统称，有理数分为正有理数，负有理数和零，非负数是大于或等于零的数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、正有理数，负有理数和零统称为有理数，原说法错误，故此选项不符合题意； B、非负数是正数或者零，原说法错误，故此选项不符合题意； C、正有理数、负有理数和零统称为有理数，原说法正确，故此选项符合题意； D、有理数包括整数和分数，原说法错误，故此选项不符合题意； 【变式题2-1】.（25-26七年级上·甘肃定西·阶段检测）下列说法中，正确的是（   ） A．有理数除了正数就是负数 B．带“”的数都是负数 C．如果是正数，那么一定是负数 D．不存在既不是正数，也不是负数的数 【答案】C 【分析】本题考查正数与负数的定义，有理数的分类，熟练掌握定义便不难解答． 根据大于0的数是正数，小于0的数是负数，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A．有理数分为正数、负数、0，故原说法不正确； B．若是负数，则是正数，故原说法不正确； C． a是正数，那么表示a的相反数，一定是负数，正确； D．0既不是正数也不是负数，故原说法不正确． 故选：C． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·广东佛山·期中）现有一组数：，，，，，，，，． (1)请你把上述各数填入下列表示它所在的数集的圈里； (2)判断正误：有理数可分为分数、正整数、负整数．___________（填“正确”或“错误”） 【答案】(1) ，，， ，， ，， 分数 正整数 负整数 (2)错误 【分析】本题主要查了有理数的知识，熟练掌握其分类及定义是解题的关键． （1）根据有理数的分类及分数，正整数，负整数定义即可求得答案． （2）根据有理数还包括0，然后即可求解； 【详解】（1）解：分数：，，，； 正整数：，； 负整数：，，； 故答案为： ，，， ，， ，， 分数 正整数 负整数 ； （2）解：分数，正整数，负整数和0才是全体有理数， ∴ “有理数可分为分数、正整数、负整数．”这句话错误， 故答案为：错误； 【变式题2-3】.（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）把下列各有理数填在相应的括号内： ，25，，，4.7，，0，， 正有理数集合{…}； 负有理数集合{…}； 正整数集合{…}； 负整数集合{…}； 整数集合{…}． 【答案】25，4.7，，；，，，；25；；25，，0 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键． 根据有理数的分类解答即可，有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． 【详解】解：正有理数集合{25，4.7，，，…}； 负有理数集合{，，，，…}； 正整数集合{25，…}； 负整数集合{，…}； 整数集合{25，，0，…}． 【题型3】数轴上的点与两点间距离计算 1.核心知识点: 数轴的三要素 数轴上点的位置与有理数的对应关系 2.解题方法技巧: 已知点的位置求数：根据单位长度和与原点的相对位置确定数值 求两点间距离：用右侧点表示的数减去左侧点表示的数，或直接计算两数差的绝对值 【例题3】.（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）如图，点到原点的距离是（     ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】观察数轴得：点A表示的数为，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：点A表示的数为， ∴点到原点的距离是3． 【变式题3-1】.（2026·陕西宝鸡·二模）在数轴上，点表示的数为1，数轴上与点的距离为3，且在点的左侧的点表示的数是____． 【答案】 【分析】根据数轴上点表示的数以及两点之间的距离求解即可． 【详解】解：∵点表示的数为1，数轴上与点的距离为3，且在点的左侧， ∴． 【变式题3-2】.（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，数轴上点P所表示的数为x，则下列说法正确的是（     ） A．在x和0之间有3个负数 B．与3相比，x离0更近一些 C．在x和之间有5个整数 D．x比大 【答案】C 【详解】解：A、在x和0之间有无数个负数，原说法不正确，该选项不符合题意； B、与3相比，x离0更远一些，原说法不正确，该选项不符合题意； C、在x和之间有5个整数，原说法正确，该选项符合题意； D、x比小，原说法不正确，该选项不符合题意． 【变式题3-3】.（25-26九年级下·河北廊坊·阶段检测）数轴上点A，C表示的数分别为，4．将刻度尺按如图所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，与点C对齐的刻度为，则与原点对齐的刻度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出对应数轴上9个单位长度，结合刻度尺上对应长度为，求出数轴1个单位长度对应刻度尺长度，即可解答． 【详解】解：∵数轴上点A表示，点C表示， ∴，即对应数轴上9个单位长度． ∵刻度尺上对应长度为， ∴数轴1个单位长度对应刻度尺长度为：， ∵原点到点A的距离为个单位长度， ∴原点对应的刻度为：． 【题型4】相反数的识别与多重符号化简 1.核心知识点: 相反数的定义 多重符号的化简规则 2.解题方法技巧: 求一个数的相反数，只需在这个数前面加上“-”号 多重符号化简只数负号个数，遵循“奇负偶正”原则，正号可直接忽略 【例题4】.（2026·广西南宁·三模）的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相反数的定义直接得出结果即可． 【详解】解：由题意得，的相反数是． 【变式题4-1】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）填空： （1）的相反数是________； （2）的相反数是________； （3）的相反数是________． 【答案】 / 【详解】解：（1）的相反数是； （2）的相反数是； （3）的相反数是． 【变式题4-2】.（2026·河北邢台·二模）下列数轴上的点，所表示的两个数，可能是一对相反数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在数轴上，表示一个非零数与它的相反数的两个点分别位于原点两侧，并且与原点的距离相等，观察可知，只有选项C符合题意． 【变式题4-3】.（26-27七年级·江苏·小升初衔接）填空： （1）2.5的相反数是___________； （2）___________是的相反数； （3）是___________的相反数；   （4）___________的相反数是； （5）8.2和___________互为相反数． （6）a和___________互为相反数． （7）___________的相反数比它本身大，___________的相反数等于它本身． 【答案】 100 1.1 负数 0 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数． 【详解】解：（1）2.5的相反数是 （2）是的相反数； （3）是的相反数；   （4）的相反数是； （5）8.2和互为相反数． （6）a和互为相反数． （7）负数的相反数比它本身大，0的相反数等于它本身． 【题型5】绝对值的概念与计算 1.核心知识点: 绝对值的代数意义 绝对值的几何意义 2.解题方法技巧: 求绝对值先判断数的正负，再根据对应法则计算 已知绝对值求原数时，注意原数有正负两个解（除外），避免漏解 【例题5】.（2025·广西·模拟预测）的绝对值是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的绝对值是2． 【变式题5-1】.（25-26七年级·全国·暑假作业）若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是（   ） A．负数或0 B．正数或0 C．负数 D．正数 【答案】A 【分析】本题考查绝对值与相反数的定义，根据绝对值的性质分情况讨论，即可判断符合条件的数． 【详解】解：设这个数为，根据题意得． ∵当时，，不满足； 当时，，的相反数是，满足； 当时，，满足条件； ∴这个数是负数或． 【变式题5-2】.（2026·河北·二模）在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且，，若点A在点B的左侧，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查绝对值与数轴的有关知识，解题的关键是掌握绝对值的定义；根据题意可得，；再根据表示的点在表示的点的左侧，说明比小，这样即可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵点A在点B的左侧， ∴， 分情况讨论： ①当时，要满足，则，此时； ②当时，要满足，则，此时（, 时，，不合题意，舍去）， 综上，的值为或． 【变式题5-3】.（2026·山东淄博·一模）点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，其中所表示的数的绝对值最大的点是（） A．M B．N C．P D．Q 【答案】A 【分析】根据绝对值的几何意义，离原点越远的点表示的数的绝对值越大，由各点到原点的距离进行判断即可． 【详解】解：观察数轴可知：点M到原点的距离最远， ∴所表示的数的绝对值最大的点是点M． 【题型6】有理数的大小比较 1.核心知识点: 有理数大小比较的基本法则 两个负数的大小比较方法 2.解题方法技巧: 异号两数比较：正数大于负数，可直接判断 两个负数比较：先求各自绝对值，再根据“绝对值大的反而小”判断 【例题6】.（2026·广西·中考真题）下列四个数中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数大小比较的性质：正数大于0，0大于负数，两个正数比较，数值大的数更大即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 四个数中最大的数是8． 【变式题6-1】.（2026·江苏扬州·中考真题）数轴上表示下列各数的点中，最接近原点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】数轴上一个数对应的点到原点的距离等于这个数的绝对值，要找最接近原点的点，只需比较各数的绝对值，绝对值最小的即为所求． 【详解】解：∵ 数轴上点到原点的距离等于该数的绝对值，，，， ∵ ∴对应的点到原点的距离最小，最接近原点． 【变式题6-2】.（2026·安徽阜阳·模拟预测）某气象站记录了以下四个地点当日的平均气温，如图所示，则其中平均气温最低的地区是（     ）      A．鼓浪屿 B．佳木斯 C．颐和园 D．北安 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据有理数大小比较规则：负数小于正数，两个负数比较，绝对值越大的负数数值越小进行比较即可． 【详解】解：首先整理四个地点的平均气温：鼓浪屿，佳木斯，颐和园，北安， 根据有理数大小比较规则：负数小于正数，两个负数比较，绝对值越大的负数数值越小， 可得大小关系：， ∴平均气温最低的地区是北安． 【变式题6-3】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）比较下列每组数的大小 (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：∵，， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴； （4）解：∵， ∴． 【培优高频题型】 【题型7】正负数的实际应用 1.核心知识点: 正负数表示误差的实际意义 绝对值的实际应用 2.解题方法技巧: 判断是否合格：误差的绝对值不超过规定范围即为合格 比较接近标准的程度：绝对值越小，对应数据越接近标准值 【例题7】.（25-26七年级上·湖南常德·期中）一位足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正，返回记作负，他的记录（单位：米）如下：，，，，，，． (1)守门员最后是否回到了球门线的位置？ (2)守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？ 【答案】(1)是 (2)米 【分析】本题考查了正负数的实际应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）把所有数据相加即可解答； （2）把跑过的路程相加即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， 答：守门员最后回到了球门线的位置． （2）解：由题意可得：， 答：守门员全部练习结束后，他共跑了米． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·全国·课后作业）某电商在网上销售一种水果，其每箱的标准质量为．现抽取6箱样品进行检测，结果如下表： 每箱样品的质量/ 如果规定高于标准质量的部分记作正，请分别用带“”或“”的数表示样品质量与标准质量的差． 【答案】，， ， ， ， 【分析】本题考查了正数和负数，解题关键是掌握正数和负数的意义，利用正数和负数的意义解答即可． 【详解】解：样品质量与标准质量的差分别为，， ， ， ， ． 【变式题7-2】.（2025七年级上·全国·专题练习）某面粉车间生产一批面粉，要求每袋面粉的质量为“”．这表明每袋面粉的标准质量是，只要每袋面粉的质量不超出，且不低于，就是合格的．现称得一袋面粉的质量是，这袋面粉的质量合格吗？请说明理由． 【答案】这袋面粉的质量合格，理由见详解 【分析】本题考查了正负数的应用，先理解题意，算出，，结合，故这袋面粉的质量合格． 【详解】解：这袋面粉的质量合格，理由如下： ∵只要每袋面粉的质量不超出，且不低于，就是合格的． 即，， ∵， ∴这袋面粉的质量合格． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“”，此时标记线对准的数是5，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转3个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“”，此时标记线对准的刻度线表示哪个数？如果一组开锁密码为“”，要想打开锁，应如何旋转锁盘？锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？ 【答案】对准的数是；先按顺时针方向转格，再按逆时针方向转格，再按顺时针方向转格，刻度线表示为． 【分析】本题考查了正负数的意义，根据开锁密码的意义即可得解，根据实际问题理解表示具有相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：∵按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，”，此时标记线对准的数是， ∴开锁密码为“，，”，表示先按顺时针方向转格，再按逆时针方向转格，再按顺时针方向转格， 所以标记线按顺时针转了格， 则锁打开时标记线对准的刻度线表示为． 【题型8】数轴上的整点与图形滚动问题 1.核心知识点: 数轴上整数点的分布规律 周期规律在数轴问题中的应用 2.解题方法技巧: 长线段覆盖整点：长度为的线段，最少覆盖个整点，最多覆盖个整点 圆形滚动问题：先确定滚动周期，再用总数除以周期看余数，确定对应点的数值 【例题8】.（2026·山东济南·二模）如图，数轴上被遮挡住的整数是（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【分析】在数轴上，原点右侧为正数，原点左侧为负数，且数轴上的点越往右数越大，越往左数越小． 【详解】解：因为被遮住的左边是整数，右边的整数是0， 因此被遮挡的整数是． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）如图，一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值．判断墨迹盖住的整数个数是_____． 【答案】10 【分析】本题主要考查了数轴上表示有理数， 先确定数轴上被盖住的整数，进而得出答案． 【详解】解：被盖住的整数有， 一共有10个． 故答案为：10． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·北京·期中）如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点与表示的点重合．圆沿着数轴向右滚动一周，此时点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的周长公式．可得出点与起始位置的距离，即可求解． 【详解】解：圆的半径为1， 周长为， 圆沿数轴向右滚动一周，即点A向右平移个单位长度， A点表示的数为． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正六边形在数轴上的翻转规律探究，关键是找出向左翻转顶点的循环规律．首先根据已知条件列举前几次翻转顶点对应的负数，发现每6个为一个循环，循环内顶点依次为、、、、、；再通过计算除以的余数，结合循环规律确定对应的顶点． 【详解】解：根据题意，第1次点对应，第2次点对应，第3次点对应，第4次点对应，第5次点对应，第6次点对应，第7次点对应， 由此可得，每次翻转对应的顶点为一个循环，循环内顶点顺序为、、、、、． 数轴上所对应的顶点是正六边形经过次翻转得到的， 计算， 根据循环规律，余数为时对应的顶点是， 因此数轴上所对应的顶点是． 故选：B． 【题型9】数轴、相反数与绝对值的综合化简 1.核心知识点: 数轴上数的大小关系 相反数、绝对值的化简规则 2.解题方法技巧: 先根据数轴判断各数的正负及大小关系，再判断绝对值内式子的正负 去绝对值时，正数直接保留原式，负数整体变相反数 【例题9】.（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，数轴上每个刻度为个单位长度． (1)请指出点、点所表示的数分别为______、______． (2)在数轴上有一点，它与点的距离为个单位长度，那么点表示的数为______； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，，． 【答案】(1)， (2)或 (3)见解析； 【分析】（1）根据数轴的定义求解即可； （2）根据数轴的定义求解即可； （3）首先化简绝对值和多重符号，然后在数轴上表示各数，再进行大小比较即可． 【详解】（1）解：点、点所表示的数分别为， （2）解：∵点C与点B的距离为3个单位长度，点B表示的数为， ∴点C表示的数为或， （3）解： ，， 如图， ∴ 【变式题9-1】.（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）“数轴”是数学中一个非常基础和重要的工具，有人称它是一把“尺子”，不仅能比较数的大小，还能表示方向，有人称它是一幅“地图”，能准确标明每一个实数的位置，有人说它是一座“桥梁”，把抽象的数与具体的形有机的联系起来．完成下列问题： (1)填空：规定了_______、_______和_______的直线叫作数轴； (2)画图：数x在数轴上对应点A的位置如图所示，在数轴上画出数和分别对应的点B和C； (3)计算：如图，数轴上标出了若干点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D所对应的数分别是a、b、c、d，且满足，求B点所表示的数，并在数轴上标出原点O． 【答案】(1)原点、正方向、单位长度 (2)见解析 (3)B点表示的数为4，见解析 【分析】此题考查了数轴上的点表示数和数轴的定义等知识，准确理解数轴的定义是关键． （1）根据数轴的定义进行解答即可； （2）根据点在数轴上的位置进行解答即可； （3）设，则，根据列方程并解方程即可得B点表示的数，再根据点B的位置找到原点的位置即可． 【详解】（1）解：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴， 故答案为：原点、正方向、单位长度 （2）如图即为所求， （3）解：设，则 ∵， ∴ 解得 所以B点表示的数为4. 如图，在数轴上标出原点O． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 【答案】(1) (2)0 (3)t的值为3或 【分析】本题考查两点之间的距离，用点表示数轴上的数，分情况讨论是解题的关键； （1）先求出之间的距离，再分别计算点P到达A点和返回时用的时间，相加即可； （2）根据P到达A点时用的时间确定路径，再计算所走路程，即可解答； （3）分两种情况计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动， ∴（秒），故点P到达A点时用的时间为秒； ∵当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， 故当点P返回到点B时，； （2）解：∵P到达A点时用的时间为（秒）， 当时，，即时，点P从A点返回； ； ∴当时，点P表示的有理数是：； （3）解：当点P第一次到达时，， 当点P运动到点A，然后向右运动到时， ， 综上所述，t的值为3或． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·山西大同·阶段检测）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立对应关系，是“数形结合”的基础． 如图，在1.2有理数（2）中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先向左爬了3个单位长度到达点A．数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)则B所表示的数是 ． (2)数轴上有点P，且P到A、B两点的距离相等，则P点表示的数为 ． (3)数轴上有点C，且与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为 ． (4)若点D表示数3，将点D先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度到达E，则点E表示的数是 ，D、E两点间的距离是 ． 【答案】(1)4 (2) (3)2或6 (4)4，1 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，掌握数轴上点与有理数的对应关系是解题的关键 ． （1）根据点A表示的数，确定原点，由此即可求解； （2）根据数轴上中点的计算即可求解； （3）根据题意，运用数轴上两点之间距离的计算方法，分类讨论即可； （4）首先根据移动方式求出点E表示的数，然后根据数轴上两点之间距离的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：点A表示的数是，则原点如图所示， ∴点B表示的数为4， 故答案为：4； （2）解：点A表示的数是，点B表示的数为4， ∴到A、B两点的距离相等的点表示的数为， ∴则P点表示的数为， 故答案为：； （3）解：点B表示的数为4， ∴当点C在点B左边时，点C表示的数为； 当点C在点B的右边时，点C表示的数为， 故答案为：2或6． （4）解：∵点D表示数3，将点D先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度到达E， ∴点E表示的数是； ∴D、E两点间的距离是． 【压轴素养题型】 【题型10】无限循环小数化分数 1.核心知识点: 有理数的分数形式本质 错位相减的数学方法 2.解题方法技巧: 纯循环小数：循环节有几位，就乘10的几次方，错位相减消去循环部分 混循环小数：先乘10的幂将非循环部分移到整数位，再按纯循环小数方法计算 【例题10】.（25-26七年级上·重庆·期中）观察下面将一个无限循环小数化为分数的过程，并解答问题．…是一个以47为循环节的无限循环小数，将它扩大到100倍，把第一个循环节移到小数点之前，得到…，发现小数点后依然是循环节为47的无限循环小数，即仍是原数（这是“无限”的奇妙特征——部分等于全部），即…，由此可知， 99个等于47，所以． 例：将无限循环小数化为分数． 解：设，则…，所以，得，所以． (1)将无限循环小数化为分数： ． (2)仿照上述解答过程，将无限循环小数化为分数； (3)已知无限循环小数m（），它的循环节有三位，且从小数点后第一位开始循环，循环节记为n．将无限循环小数m化为分数： （直接用含n的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是找出其中的规律，即通过方程形式，把无限小数化成整数形式．此题中根据循环节的位数来设置扩大的倍数，使得扩大后的小数部分刚好与原小数相等是解决该问题的重要技巧． （1）设，该小数循环节为位，故方程左右两边同时乘以，得到…，进而得到，求解一元一次方程即可得到答案． （2）设，该小数循环节为位，故方程左右两边同时乘以，得到…，进而得到，求解一元一次方程即可得到答案． （3）设，该小数循环节为位，故方程左右两边同时乘以，得到…，进而得到，求解一元一次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 则…， ∴， ∴， 答：． （2）解：设， 则…， ∴， ∴， 答：． （3）解：已知， 设， 则， ∴， ∴， ∴， 答：． 【变式题10-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）小明对无限循环小数转化成分数的过程进行了探究，以下是他以和为例进行了纯无限循环小数和混无限循环小数转化成分数的探究： 设 则， 而， 所以， 解得， 所以． 由左侧推导可知， 所以 ． (1)请仿照上述推导过程，将下列纯无限循环小数化为分数．（写出推导过程） ①；②；③． (2)请仿照上述推导过程，将下列混无限循环小数化为分数．（写出推导过程） ①；②． (3)根据（1）（2）所求结果，可归纳出无限循环小数转化成分数的规律：如果小数是纯无限循环小数，化为分数时，分数的分子是它的一个循环节的数字所组成的数，那么分母是______，如果小数是混无限循环小数，可以通过先扩大倍数再缩小的方法化为纯无限循环小数，然后再化为分数． (4)利用将化为分数形式． 【答案】(1)①；②；③ (2)①；② (3)由若干个9组成，9的个数与一个循环节的数字的个数相等 (4) 【分析】（1）根据题目给出的例子求解即可； （2）根据题目给出的例子求解即可； （3）对前两问的过程进行分析即可得到答案； （4）先将乘以再进行观察分析即可求解． 【详解】（1）解：①， 而， ， ， ； ②， 而， ， ， ； ③， 而， ， ， ； （2）解：①由（1）①可知，， ； ②由（1）②可知，， ； （3）解：由若干个9组成，9的个数与一个循环节的数字的个数相等； （4）解：， ， ． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·吉林长春·期中）“无限循环小数能化成分数吗？”受到教材中这个数学活动的启发，某同学对无限循环小数转化成分数的过程进行了探究．以下是他以和为例进行的纯无限循环小数和混无限循环小数转化成分数的探究： 设， 则． 因为， 所以， 解得， 所以． 由左侧推导可知， 所以 ． (1)请仿照上述推导过程，将纯无限循环小数化为分数；（写出推导过程） (2)将混无限循环小数化为分数为___________； (3)计算：___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了无限循环小数化为分数，一元一次方程的应用； （1）仿照例题推导过程，设未知数，列出方程，解方程，即可求解； （2）仿照例题推导过程，设未知数，列出方程，解方程，即可求解； （3）根据（1）的方法，分别将无限循环小数化为分数，再进行计算即可求解． 【详解】（1）解：设 ，则 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ （2）解：设 ， 则 ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ 故答案为：． （3）解：同（1）可得，， ∴ 。 故答案为：． 【变式题10-3】.（2025七年级上·全国·专题练习）小明对无限循环小数转化成分数的过程进行了探究，以下是他以和为例进行了纯无限循环小数和混无限循环小数转化成分数的探究： 因为， 而， 所以， 所以， 即， 所以． 由左侧推导可知， 所以 ． (1)请仿照上述推导过程，将下列纯无限循环小数化为分数．（写出推导过程） ①；②；③． (2)请仿照上述推导过程，将下列混无限循环小数化为分数．（写出推导过程） ①；②；③． (3)根据（1）（2）所求结果，可归纳出无限循环小数转化成分数的规律：如果小数是纯无限循环小数，化为分数时，分数的分子是它的一个循环节的数字所组成的数，那么分母是______________，如果小数是混无限循环小数，可以通过先扩大倍数再缩小的方法化为纯无限循环小数，然后再化为分数． (4)请计算：． (5)利用，将化为分数形式． 【答案】(1)①；②；③ (2)①；②；③ (3)由若干个9组成，9的个数与一个循环节的数字的个数相等 (4) (5) 【分析】本题考查了纯无限循环小数和混无限循环小数转化成分数的方法，理解题目给出的条件是解决本题的关键． （1）根据题目给出的例子求解即可； （2）根据题目给出的例子求解即可； （3）对前两问的过程进行分析即可得到答案； （4）由（3）的结论进行求解即可； （5）先将乘以1000再进行观察分析即可求解． 【详解】（1）解：①∵， 而， ∴， ∴， 即， ∴； ②∵， 而， ∴， ∴， 即， ∴， ③∵， 而， ∴， ∴， 即， ∴； （2）解：①由（1）中①可知：， ∴ ， ②由（1）中②可知：， ∴ ， ③由（1）中③可知：， ∴ ． （3）解：由（1）和（2）可得， 如果小数是纯无限循环小数，化为分数时，分数的分子是它的一个循环节的数字所组成的数，那么分母是由若干个9组成，9的个数与一个循环节的数字的个数相等， 故答案为：由若干个9组成，9的个数与一个循环节的数字的个数相等； （4）解：由（3）总结的规律，可知， ∴ ． （5）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【题型11】数轴上的绝对值最值问题 1.核心知识点: 绝对值的几何意义 数轴上距离和的最值规律 2.解题方法技巧: 表示数轴上数与数两点间的距离 奇数个定点时，取中间点对应的数，距离和最小；偶数个定点时，取中间两点之间（含端点），距离和最小 【例题11】.（25-26七年级上·江苏徐州·期中）阅读材料： 我们知道，即为，其几何意义是数轴上表示数的点到原点的距离．进一步推广，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离．例如，的几何意义是数轴上表示的点与表示5的点之间的距离，运用这一几何意义，可以巧妙地解决许多代数问题． (1)理解应用 等式的几何意义是：在数轴上表示数的点与表示数________的点之间的距离为2． (2)拓展延伸 ①当取不同的值时，代数式的值随之变化，当________时、的值最小为________． ②若使代数式的值最小，的值不可能是（   ） A．1    B．0    C． (3)创新应用 一条生产流水线上有三个工位，在数轴上对应的位置分别为1，2，4．现要设置一个配件库（对应数值为x），若工位使用频率是工位的2倍，则总运输距离可表示为：． ①配件库应设置在数轴何处，才能使总运输距离最小？请直接在图1，数轴上表示出来； ②求出此时的最小值． 【答案】(1)1 (2)①2，6；②C (3)①见详解；②3 【分析】本题考查绝对值的几何意义以及数轴的相关知识，掌握绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据绝对值的几何意义回答即可． （2）①根据数轴上两点之间的距离，以及绝对值的几何意义即可得出答案． ②根据数轴上两点之间的距离，以及绝对值的几何意义即可得出答案． （3）①根据工位使用频率是工位的2倍可得出点P的位置． ②总运输距离工位取最小值时P点，代入T值计算即可得出答案． 【详解】（1）解：表示数轴上表示数x的点与表示数1的点之间的距离是2， 故答案为：1； （2）解：①表示数轴上点x到点2、3、的距离之和， 将点按从小到大排列为、2、3，中间的点为2， 故当时，距离之和为，此时值最小， 故答案为：2，6； ②表示数轴上点x到点1、2、、的距离之和， 将点按从小到大排列为、、1、2，中间两个点之间的区间为到1，此时距离之和最小， 选项中1，0在区间内，不在区间内，故必的值不可能是C． 故答案为：C. （3）解：①配件库P应设置在数轴上的2处(即工位B的位置)， 在数轴上表示如下： ②当时，， 所以，此时T的最小值为3． 【变式题11-1】.（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． 例如数轴上表示数3和8的两点距离为__________； 的意义可理解为数轴上表示数__________和数__________的两点之间的距离； （2）探索材料2（填空）： ①如图，在工厂的一条流水线上有两个加工点和，要在流水线上设一个材料供应点往两个加工点输送材料，材料供应点应设在__________处才能使到的距离与到的距离之和最小？ ②如图，在工厂的一条流水线上有三个加工点，，，要在流水线上设一个材料供应点往三个加工点输送材料，材料供应点应设在__________处才能使到，，三点的距离之和最小？ ③如图，在工厂的一条流水线上有四个加工点，，，，要在流水线上设一个材料供应点往四个加工点输送材料，材料供应点应设在__________处才能使到，，，四点的距离之和最小？ （3）结论应用（填空）： ①代数式的最小值是__________，此时的范围是__________； ②代数式的最小值是__________，此时的值为__________； ③代数式的最小值是__________，此时的范围是__________． 【答案】（1）5，x，；（2）①点A、点B之间②点B③点B、点C之间；（3）①8；②8；③19，． 【分析】本题考查了数轴绝对值的性质，掌握点在数轴上的位置，一定分情况讨论，（3）的解题思路是在探究（2）的基础上进一步的延伸是解决此题的关键． （1）根据材料1填空，直接写出答案； （2）根据材料2填空，分情况讨论点P的位置，得出P到其他点的距离之和最小； （3）根据问题（2）得出的结论填空即可． 【详解】解：（1）； ，的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离； 故答案为：5，x，． （2）①当点P在点A、点B之间，， 当点P在点A左边，， 当点P在点B右边，． ∴当点P在点A、点B之间时才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小． 故答案为：点A、点B之间． ②当点P在点C右边，， 当点P在点C、点B之间时，， 当点P在点A左边，， 当点P在点A、点B之间时，， 当点P与点B重合时，，距离最小， ∴点P应设在点B时才能使P到A，B，C三点的距离之和最小． 故答案为：点B． ③当点P在点D右边时，， 当点P在点C、点B之间时，， 当点P在点A、点B之间时，， 当点P在点C、点D之间时，， 当点P在点A左边，， ∴当点P在点C、点B之间时，P到A，B，C，D四点的距离之和最小． 故答案为：点B、点C之间． （3）①由探究材料2得，当时，， ∴有最小值，最小值为8． 故答案为：8；． ②由探究材料2得，这是在求点x到三点的最小距离， ∴当时，有最小值为．即最小值为8， 故答案为：8；． ③由探究材料2得，这是在求点x到四点的最小距离， ∴当时，有最小值为，即最小值为19， 故答案为：19，． 【变式题11-2】.（25-26七年级上·吉林长春·期中）探索材料1： （1）数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，例如数轴上表示数2和5的两点距离为_____，数轴上表示数3和的两点距离为_____；则的意义可理解为数轴上表示数_____这两点的距离； 探索材料2： （2）①如图1、在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在何处才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？在图中画出一个满足条件的点即可． ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在何处才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？在图中画出满足条件的点即可． ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在何处才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？在图中画出一个满足条件的点即可． 结论应用(填空)： （3）①代数式的最小值是______，此时x的所有整数值是______； ②代数式的最小值是______，此时x的值为______； ③代数式的最小值是______，此时x的所有整数值是______． 【答案】（1）3，4，x，； （2）①作图见解析，A与B之间；②作图见解析，B处；③作图见解析，之间； （3）①1；3、4；②8，；③16；1、2、3、4． 【分析】本题主要考查数轴上两点间的距离的意义、绝对值化简等知识点，灵活运用数形结合思想求最小的距离之和是解决本题的关键． （1）根据两点间的距离以及绝对值的意义求解即可； （2）①通过观察，比较可得点P设在A与B之间时，可P到A的距离与P到B的距离之和最小，为线段长即可；②通过观察，比较可得点P应设在B处时，P到A，B，C三点的距离之和最小，为线段的长；③通过观察，比较可得点P应设在之间，才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小，为的长； （3）①结合（2）中的①，可得最小距离为3和4之间的距离；②结合（2）中的②，可得最小距离为和2之间的距离；③结合（2）中的③，可得最小距离为和6与1和4的距离之和． 【详解】解：（1）探索材料1（填空）： ，， 的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离． 故答案为：3，4，x，． （2）探索材料2（填空）： ①如图： 则当材料供应点P应设在A与B之间，P到A的距离与P到B的距离之和最小为； ②材料供应点P应设在B处时，P到A，B，C三点的距离之和为最小； ③材料供应点P应设在之间，才能使P到A，B，C，D四点的距离之和为最小， 故答案为：①A与B之间；②B处；③之间． （3）结论应用（填空）： ①代数式表示x到3的距离与x到4的距离之和， ∴的最小值是，所有x的整数值为3、4． 故答案为：1；3、4； ②代数式表示x到的距离与x到与x到2的距离之和， ∴的最小值是，此时x的值为． 故答案为：8，； ③代数式表示x到的距离与x到4与x到1与x到6的距离之和， ∴最小值是．此时x的所有整数值是1到4之间的整数，即1、2、3、4． 故答案为：；1、2、3、4． 【变式题11-3】.（25-26七年级上·辽宁锦州·期中）探索材料1（填空）： 数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． 例如数轴上表示数2和5的两点距离为_____． 数轴上表示数3和的两点距离为_____． 则的意义可理解为数轴上表示数_____和_____这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数_____和_____这两点的距离； 探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点和，要在流水线上设一个材料供应点往两个加工点输送材料，材料供应点应设在_____才能使到的距离与到的距离之和最小？ 图1 ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，，，要在流水线上设一个材料供应点在三个加工点输送材料、材料供应点应设在_____才能使到、、三点的距离之和最小？ 图2 ⑧如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点、、、．要在流水线上设一个材料供应点往四个加工点输送材料．材料供应点应设在_____，才能使到、、、四点的距离之和最小？ 图3 结论应用（填空）： ①代数式的最小值是_____； ②代数式的最小值是_____； ③代数式的最小值是_____，此时的最大值是_____． ④代数式的最小值是_____． 【答案】材料一：3；4；6；；； 材料二：点、点之间 点 点、点之间 结论应用：①．②．③，．④ 【分析】此题考查了数轴绝对值的性质，掌握点在数轴上的位置，一定分情况讨论，（3）的解题思路是在探究（2）的基础上知识进一步的延伸是解决此题的关键． 探索材料1：根据材料1填空，直接写出答案； 探索材料2：根据材料2填空，分情况讨论点P的位置，得出P到其他点的距离之和最小； 结论应用：根据问题材料2得出的结论填空即可． 【详解】解：探索材料1：数轴上表示数2和5的两点距离为， 数轴上表示数3和的两点距离为， 则的意义可理解为数轴上表示数6和这两点的距离， 的意义可理解为数轴上表示数和这两点的距离， 故答案为：3；4；6；；；； 探索材料2： ①当点P在点A左边时，； 当点P在点A、点之间时，； 当点P在点A右边时，． ∴当点P在点A、点B之间时才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小． 故答案为：点A、点B之间； ②当点P在点A左边，， 当点P在点A、点B之间时，， 当点P在点C、点B之间时，， 当点P在点C右边，， ∴点P应设在点B时才能使P到A，B，C三点的距离之和最小； 故答案为：点； ③当点P在点A左边时，， 当点P在点A、点B之间时，， 当点P在点C、点B之间时，， 当点P在点C、点D之间时，， 当点P在点D右边时，， ∴当点P在点C、点B之间时，P到A，B，C，D四点的距离之和最小． 故答案为：点B、点C之间； 结论应用（填空）： ①表示点数轴上表示数到数和的距离之和， 由探究材料2得，当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． ②表示点数轴上表示数到数三点距离之和， 由探究材料2得，当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． ③表示点数轴上表示数到数四点距离之和， 由探究材料2得，当时，有最小值，最小值为，此时的最大值是． 故答案为：，． ④表示点数轴上表示数到数共个点距离之和， 由探究材料2得奇数个距离之和的最小值时，的值为正中间的那一个数，即当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． 【题型12】有理数新定义题型（素养创新） 1.核心知识点: 阅读理解与知识迁移能力 有理数的基本性质与运算 2.解题方法技巧: 先读懂新定义的运算规则或概念内涵，圈出关键限制条件 将新定义问题转化为已学的有理数分类、大小比较、数轴等问题求解 【例题12】.（25-26七年级上·河南开封·期中）有理数和分别对应数轴上的点和点，定义为数、的中点数，定义为点、之间的距离，其中表示数、的差的绝对值．例如：数和3的中点数是，数轴上表示数和3的点之间的距离是． 请阅读以上材料，完成下列问题： (1)________，________； (2)已知，求的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1)3，2 (2)3 (3)0或8 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握的定义，的定义是解题关键． （1）根据的定义，的定义即可求解； （2）先根据新定义得出关于x的方程求得x，进一步根据的定义即可求解； （3）先根据新定义得出关于x的方程求得x即可求解． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：3；2； （2）解：∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ∴ 解得或8． 【变式题12-1】.（25-26七年级上·广东佛山·期中）老师说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”老师写出了一些按照※（加乘）运算法则进行运算的式子：；；；；；． 小明看完算式后说：我知道老师定义的※（加乘）运算法则了．聪明的你看出来了吗？请你帮忙归纳※（加乘）运算法则： (1)①归纳※（加乘）运算法则：两数进行※（加乘）运算时，同号得______，异号得______，并把绝对值______；特别是0和任何数进行※（加乘）运算时都等于另一个数的绝对值； ②计算：的值； (2)若，求的值． (3)用字母a、b的绝对值表示． 【答案】(1)①正，负，相加；② (2)或1 (3)当同号时，； 当异号时，； 当时，或当时，． 【分析】本题考查了新定义运算的理解与应用，解题的关键是通过已知算式归纳运算规则，并结合规则进行计算． （1）通过已知算式归纳※运算法则，再按法则计算式子的值； （2）根据※运算结果为0的条件，求解的值并计算； （3）用绝对值表示※运算的一般形式． 【详解】（1）解：①，同号得正，绝对值相加 ※，同号得正，绝对值相加 ，异号得负，绝对值相加 ，异号得负，绝对值相加 故两数进行※运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加 故答案为：正；负；相加 ② ； （2）解：因为， 根据题意归纳的运算法则可知，当且仅当参与运算的两个数都为0时，运算结果为0， 所以且， 解得． 当时，， 当时，， 故的值为或1； （3）解：分情况讨论： 当同号时，； 当异号时，； 当时，或当时，． 【变式题12-2】.（25-26七年级上·广东深圳·期中）探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ； ； ； ； ； ； ； ． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算：_____； (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中作用一致，写出必要的运算步骤）； (3)若，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，正确理解新定义掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据题意得出：同号得正，异号得负，并把绝对值相加的运算法则依次计算即可． （2）根据零与任意数※（加乘）或任何数同零※（加乘），都得这个数的绝对值，结合前面的运算计算即可； （3）根据题意得出，确定，然后代入式子进行计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： = ； （3）∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ． 【变式题12-3】.（25-26七年级上·北京·阶段检测）将两个数轴平行放置，并使二者的刻度数上下对齐，再将两个数轴的原点连接起来，就构成一个“双轴系”．定义“双轴系”中两个点、的距离：如果、两点在同一个数轴上，则二者之间的距离定义和通常的距离一致，；如果、两点分别位于两个数轴上，定义． 利用“双轴系”定义一种“有向数”，记号是在通常数的右边加上“”或“”，例如，“”表示上层数轴中表示数“”的点，“”表示下层数轴中表示数“”的点，“”、“”分别表示上下两个数轴的原点． (1)在双轴系中与的距离为：________；与的距离为________； (2)现有只电子蚂蚁甲从“”所表示的点出发不断跳跃，依次跳至、、、、、、、、、…，另有一只电子蚂蚁乙从“”所表示的点出发，然后跳跃到，接着又跳回，其后再次跳到，下一步又跳回，按此规律在和之间来回跳动．假设两只蚂蚁同时跳跃同时落下，步调一致． ①当蚂蚁甲第次跳到所表示的点时，请问此时蚂蚁甲共跳跃了________次； ②当乙蚂蚁跳跃次时，在双轴系上是否存在一点，满足到甲蚂蚁的距离是到乙蚂蚁距离的倍．若存在，直接写出点表示的数，不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②存在，点表示的数为或 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，有理数混合运算的应用，解绝对值方程，数轴上的动点问题，解题的关键是数形结合，熟练掌握数轴上两点间距离． （1）根据题意列出算式，进行计算即可； （2）①根据跳跃规律，找出蚂蚁甲第次跳到所表示的点即可；②点表示的数为，根据题意得出，蚂蚁乙跳跃次时，即跳到，蚂蚁甲跳到，然后根据点的位置分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：由题意得， 与的距离为：， 与的距离为：． 故答案为：；． （2）①解：由题意及跳跃规律可得， 蚂蚁甲第次跳到所表示的点时，即跳到， 此时蚂蚁甲共跳跃了：（次）． 故答案为：． ②解：存在． 由题意及跳跃规律可得， 当蚂蚁乙跳跃次时，即跳到； 又， 此时蚂蚁甲跳到． 设点表示的数为，故分两种情况： 情况一：当点与蚂蚁甲同轴时， 由题意可得，， 此时方程无解； 情况二：当点与蚂蚁乙同轴时， 由题意可得，， 当时，即， 解得，； 当时，即， 解得，，不符合，故舍去； 当时，即， 解得，， 综上，或． 答：存在一点，满足到甲蚂蚁的距离是到乙蚂蚁距离的倍，点表示的数为或． 易错点 1.对的认识模糊：误认为是正数或负数，忽略在整数、非负整数等分类中的特殊位置。 2.有理数分类遗漏：分类时易漏掉，或误将无限不循环小数归为有理数。 3.两个负数比较大小出错：只比较绝对值大小，忽略“绝对值大的反而小”的法则，错误认为绝对值大的数更大。 4.绝对值相关漏解：已知一个数的绝对值求原数时，容易漏掉负数解；忽略绝对值等于的特殊情况。 5.多重符号化简混淆：误将正号个数纳入化简判断，或数错负号的个数导致符号错误。 6.实际问题忽略基准：用正负数表示相反意义的量时，未明确基准量导致正负判断错误。 重点 1.正数、负数的意义，以及用正负数表示相反意义的量。 2.有理数的分类标准，以及数轴、相反数、绝对值的相关概念与核心性质。 3.有理数大小比较的多种方法，以及绝对值非负性的应用。 4.利用数轴解决与距离、点的位置相关的问题，体会数形结合思想。 难点 1.绝对值几何意义的理解，以及利用绝对值求数轴上距离和的最值问题。 2.有理数相关的新定义、材料探究类题型，需要较强的阅读理解和知识迁移能力。 3.含字母的绝对值化简，需要结合数轴或条件判断式子的正负。 4.分类讨论思想在有理数相关问题中的应用，做到分类不重不漏。 【对应练习题】 一、单选题 1．我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将向南行走5步记作“”，则“”表示（     ） A．向东行走7步 B．向南行走7步 C．向北行走7步 D．向西行走7步 【答案】C 【详解】解：∵题目规定向南行走步记作， 又∵向南与向北是一对相反意义的方向， ∴表示向北行走步． 2．某种食品的广告词之一是“0添加”，这里的0可以（     ） A．表示“起点” B．用来“占位” C．表示“没有” D．表示“分界” 【答案】C 【详解】解：不同场景中0有不同含义： A选项，测量时刻度尺的0刻度表示起点，不符合题意； B选项，多位数中的0起到占位作用，不符合题意； C选项，“0添加”指没有添加额外成分，这里0表示“没有”，符合题意； D选项，0是正负数的分界，如温度中的表示分界，不符合题意． 3．下列四个数轴的画法中，规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】数轴要规定原点、正方向，单位长度要一致，由此求解． 【详解】解：A．所画数轴单位长度不一致，不合题意； B．所画数轴没有原点，不合题意； C．所画数轴规范，符合题意； D．所画数轴没有正方向，不合题意． 二、填空题 4．的相反数是______． 【答案】0.4/ 【详解】解：的相反数是． 5．比较大小：_____．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小比较，根据两个负数比较大小的法则，先求出两个数的绝对值，比较绝对值的大小，即可得到原数的大小关系． 【详解】解：将化为分数，得．分别计算两个数的绝对值，得， 因为，即， 所以． 6．如果，则______，如果，则______．化简：______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的定义与化简，根据绝对值的性质求解即可. 绝对值等于一个正数的数有两个，且互为相反数，化简绝对值需先判断绝对值内代数式的正负，再根据绝对值的性质去绝对值符号． 【详解】解：根据绝对值的定义，若，则. 当时， 解得． 当时， 由， 故， 因此． 因为，所以， 根据“负数的绝对值是它的相反数”，可得： ． 三、解答题 7．在数轴上方空格里填上适当的整数或分数． 【答案】如图所示： 【详解】略 8．将下列各数填入对应集合： ，，，，，，，，， 整数集合：｛　　　…｝ 分数集合：｛　　　…｝ 正数集合：｛　　　…｝ 负数集合：｛　　　…｝ 【答案】，，，，；，，，，；，，，，；，，， 【分析】根据整数，分数，正数，负数的定义，把各数填入相应的集合里面即可． 【详解】解：整数集合：｛，，，，…｝ 分数集合：｛，，，，…｝ 正数集合：｛，，，，…｝ 负数集合：｛，，，…｝ 9．已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 【答案】(1)；； (2)； (3)； (4)或； (5)有最大值和最小值 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式、绝对值的几何意义、绝对值的化简以及利用分类讨论思想求解绝对值表达式的最值问题，关键是将绝对值表达式转化为数轴上点与点之间的距离问题，借助几何意义简化计算与分析． （1）根据数轴上两点间距离的计算方式，将给定的、值代入，通过求两数差的绝对值，直接计算出、两点的距离； （2）从（1）的具体计算实例中归纳规律，提炼出数轴上两点间的距离与表示两点的数、的数量关系； （3）的几何意义是数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再根据几何特征确定当在和3之间(包括端点)时距离和最小，进而找出该范围内的整数即可； （4）先将转化为，明确其几何意义为数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再结合几何性质得出该距离和的最小值为两点间的距离，结合最小值为7列方程求解的值； （5）先明确和的几何意义，再根据在数轴上的位置分左侧、与6之间、6右侧三类情况进行绝对值的化简，计算每类情况下表达式的值或取值范围，最终确定式子的最大值和最小值． 【详解】（1）解：当，时，、两点的距离为； 当，时，、两点的距离为； 故答案为：；； （2）解：由数轴上两点距离的定义，可得和、的数量关系为；故答案为：； （3）解：表示数轴上表示的点到表示和的点的距离之和，当在和之间(包括端点)时，距离之和最小，此时整数为；故答案为：； （4）解：，其几何意义是数轴上表示的点到表示和的点的距离之和， 当在这两点之间时，距离之和最小， 最小值为， 则或，解得或； 故答案为：或； （5）解：表示数轴上点到的距离，表示数轴上点到的距离． ①当点在的左侧， ，， ； ②当点在与之间（包含端点）， ，， ， 此时； ③当点在的右侧， ，， ． 综上，式子有最值，最大值为，最小值为． 10．在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或秒． 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题，解决本题的关键是计算数轴上两点间的距离，进行分类讨论． (1)根据定义求值即可； (2)分线段在线段左侧和右侧两种情况求解； (3)根据点的运动方向和速度分情况讨论． 【详解】（1）解：（点，线段）， （点，线段）， 故答案为：，； （2）解：当线段在线段左侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 当线段在线段右侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 综上所述，或； （3）解：当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：(不符合题意)； 当时，点表示的数是，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时， 则有（线段，线段）； 综上所述，若（线段，线段），则有或或或秒． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 有理数 知识点1：正数与负数 1.核心定义 正数：大于的数，正数前的“+”可以省略不写。 负数：在正数前加上符号“-”的数，负数前的“-”不能省略。 既不是正数，也不是负数；它是正负数的分界，也可作为实际问题中的基准量。 2.相反意义的量 用正数和负数表示一对具有相反意义的量，通常规定其中一种意义的量为正，与其意义相反的量为负（如收入为正、支出为负，上升为正、下降为负）。 知识点2：有理数的分类 1.定义：整数和分数统称为有理数；整数可以看作分母为的分数，有限小数和无限循环小数都属于分数。 2.两种分类方式 分类依据 具体分类 按定义分类 有理数分为整数（正整数、、负整数）和分数（正分数、负分数） 按性质符号分类 有理数分为正有理数（正整数、正分数）、、负有理数（负整数、负分数） 3.易混概念 非负数：正数和；非正数：负数和 非负整数：正整数和；非正整数：负整数和 知识点3：数轴 1.数轴三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 2.点与数的对应关系 所有有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数。 数轴上右边的数总比左边的数大；正数在原点右侧，负数在原点左侧。 知识点4：相反数 1.定义与几何意义 代数定义：只有符号不同的两个数互为相反数；的相反数是。 几何意义：数轴上到原点距离相等的两个点表示的数互为相反数。 2.多重符号化简 化简结果由“-”的个数决定：奇数个负号结果为负，偶数个负号结果为正，与“+”的个数无关。 知识点5：绝对值 1.代数意义 若，则（正数的绝对值是它本身） 若，则（的绝对值是） 若，则（负数的绝对值是它的相反数） 2.核心性质 绝对值具有非负性：对任意有理数，都有。 若几个非负数的和为，则每个非负数都为。 知识点6：有理数的大小比较 1.基本法则 正数大于，大于负数，正数大于负数； 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 2.常用方法 数轴比较法：数轴上左边的数小于右边的数； 作差比较法：若，则；若，则；若，则。 【基础必考题型】 【题型1】正负数的意义与相反意义的量 1.核心知识点: 正数、负数的定义 相反意义的量的表示方法 2.解题方法技巧: 先明确基准量与正负规定，再根据实际意义判断数的正负 判断相反意义的量时，需满足“同类量、意义相反”两个核心条件 【例题1】.（2026·山西长治·三模）2026年意大利冬奥会期间，位于阿尔卑斯山区的科尔蒂纳丹佩佐雪上赛场夜间温度较低，平均约在零下，而白天受阳光照射，温度可升至零上．若零上记作，则零下记作（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（2026·四川成都·中考真题）某人转动转盘，如果用圈表示沿逆时针方向转了3圈，那么沿顺时针方向转了5圈记作（     ） A．圈 B．圈 C．圈 D．圈 【变式题1-2】.（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各数中：、、、、、，负数有（    ）个． A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）把下列各数填在相应的横线上：，，，，，，，． (1)正数：______________________． (2)负数：______________________． (3)既不是正数也不是负数：___________． 【题型2】有理数的概念与分类 1.核心知识点: 有理数的定义与分类标准 整数、分数的识别 2.解题方法技巧: 按分类标准逐一判断，注意的特殊性：是整数，但既不是正数也不是负数 有限小数和无限循环小数都属于分数，是有理数；无限不循环小数不是有理数 【例题2】.（25-26七年级上·广东珠海·阶段检测）下列说法中，正确的是（　　） A．正有理数、负有理数统称为有理数 B．非负数就是正数 C．正有理数、负有理数和零统称为有理数 D．有理数包括小数和分数 【变式题2-1】.（25-26七年级上·甘肃定西·阶段检测）下列说法中，正确的是（   ） A．有理数除了正数就是负数 B．带“”的数都是负数 C．如果是正数，那么一定是负数 D．不存在既不是正数，也不是负数的数 【变式题2-2】.（25-26七年级上·广东佛山·期中）现有一组数：，，，，，，，，． (1)请你把上述各数填入下列表示它所在的数集的圈里； (2)判断正误：有理数可分为分数、正整数、负整数．___________（填“正确”或“错误”） 【变式题2-3】.（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）把下列各有理数填在相应的括号内： ，25，，，4.7，，0，， 正有理数集合{…}； 负有理数集合{…}； 正整数集合{…}； 负整数集合{…}； 整数集合{…}． 【题型3】数轴上的点与两点间距离计算 1.核心知识点: 数轴的三要素 数轴上点的位置与有理数的对应关系 2.解题方法技巧: 已知点的位置求数：根据单位长度和与原点的相对位置确定数值 求两点间距离：用右侧点表示的数减去左侧点表示的数，或直接计算两数差的绝对值 【例题3】.（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）如图，点到原点的距离是（     ） A．3 B． C． D． 【变式题3-1】.（2026·陕西宝鸡·二模）在数轴上，点表示的数为1，数轴上与点的距离为3，且在点的左侧的点表示的数是____． 【变式题3-2】.（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，数轴上点P所表示的数为x，则下列说法正确的是（     ） A．在x和0之间有3个负数 B．与3相比，x离0更近一些 C．在x和之间有5个整数 D．x比大 【变式题3-3】.（25-26九年级下·河北廊坊·阶段检测）数轴上点A，C表示的数分别为，4．将刻度尺按如图所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，与点C对齐的刻度为，则与原点对齐的刻度为（    ） A． B． C． D． 【题型4】相反数的识别与多重符号化简 1.核心知识点: 相反数的定义 多重符号的化简规则 2.解题方法技巧: 求一个数的相反数，只需在这个数前面加上“-”号 多重符号化简只数负号个数，遵循“奇负偶正”原则，正号可直接忽略 【例题4】.（2026·广西南宁·三模）的相反数是（     ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）填空： （1）的相反数是________； （2）的相反数是________； （3）的相反数是________． 【变式题4-2】.（2026·河北邢台·二模）下列数轴上的点，所表示的两个数，可能是一对相反数的是（     ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（26-27七年级·江苏·小升初衔接）填空： （1）2.5的相反数是___________； （2）___________是的相反数； （3）是___________的相反数；   （4）___________的相反数是； （5）8.2和___________互为相反数． （6）a和___________互为相反数． （7）___________的相反数比它本身大，___________的相反数等于它本身． 【题型5】绝对值的概念与计算 1.核心知识点: 绝对值的代数意义 绝对值的几何意义 2.解题方法技巧: 求绝对值先判断数的正负，再根据对应法则计算 已知绝对值求原数时，注意原数有正负两个解（除外），避免漏解 【例题5】.（2025·广西·模拟预测）的绝对值是（     ） A．2 B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26七年级·全国·暑假作业）若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是（   ） A．负数或0 B．正数或0 C．负数 D．正数 【变式题5-2】.（2026·河北·二模）在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且，，若点A在点B的左侧，则的值为______． 【变式题5-3】.（2026·山东淄博·一模）点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，其中所表示的数的绝对值最大的点是（） A．M B．N C．P D．Q 【题型6】有理数的大小比较 1.核心知识点: 有理数大小比较的基本法则 两个负数的大小比较方法 2.解题方法技巧: 异号两数比较：正数大于负数，可直接判断 两个负数比较：先求各自绝对值，再根据“绝对值大的反而小”判断 【例题6】.（2026·广西·中考真题）下列四个数中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（2026·江苏扬州·中考真题）数轴上表示下列各数的点中，最接近原点的是（     ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（2026·安徽阜阳·模拟预测）某气象站记录了以下四个地点当日的平均气温，如图所示，则其中平均气温最低的地区是（     ）      A．鼓浪屿 B．佳木斯 C．颐和园 D．北安 【变式题6-3】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）比较下列每组数的大小 (1) (2) (3) (4)． 【培优高频题型】 【题型7】正负数的实际应用 1.核心知识点: 正负数表示误差的实际意义 绝对值的实际应用 2.解题方法技巧: 判断是否合格：误差的绝对值不超过规定范围即为合格 比较接近标准的程度：绝对值越小，对应数据越接近标准值 【例题7】.（25-26七年级上·湖南常德·期中）一位足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正，返回记作负，他的记录（单位：米）如下：，，，，，，． (1)守门员最后是否回到了球门线的位置？ (2)守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？ 【变式题7-1】.（25-26七年级上·全国·课后作业）某电商在网上销售一种水果，其每箱的标准质量为．现抽取6箱样品进行检测，结果如下表： 每箱样品的质量/ 如果规定高于标准质量的部分记作正，请分别用带“”或“”的数表示样品质量与标准质量的差． 【变式题7-2】.（2025七年级上·全国·专题练习）某面粉车间生产一批面粉，要求每袋面粉的质量为“”．这表明每袋面粉的标准质量是，只要每袋面粉的质量不超出，且不低于，就是合格的．现称得一袋面粉的质量是，这袋面粉的质量合格吗？请说明理由． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“”，此时标记线对准的数是5，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转3个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“”，此时标记线对准的刻度线表示哪个数？如果一组开锁密码为“”，要想打开锁，应如何旋转锁盘？锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？ 【题型8】数轴上的整点与图形滚动问题 1.核心知识点: 数轴上整数点的分布规律 周期规律在数轴问题中的应用 2.解题方法技巧: 长线段覆盖整点：长度为的线段，最少覆盖个整点，最多覆盖个整点 圆形滚动问题：先确定滚动周期，再用总数除以周期看余数，确定对应点的数值 【例题8】.（2026·山东济南·二模）如图，数轴上被遮挡住的整数是（    ） A．1 B． C． D．0 【变式题8-1】.（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）如图，一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值．判断墨迹盖住的整数个数是_____． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·北京·期中）如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点与表示的点重合．圆沿着数轴向右滚动一周，此时点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（   ） A． B． C． D． 【题型9】数轴、相反数与绝对值的综合化简 1.核心知识点: 数轴上数的大小关系 相反数、绝对值的化简规则 2.解题方法技巧: 先根据数轴判断各数的正负及大小关系，再判断绝对值内式子的正负 去绝对值时，正数直接保留原式，负数整体变相反数 【例题9】.（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，数轴上每个刻度为个单位长度． (1)请指出点、点所表示的数分别为______、______． (2)在数轴上有一点，它与点的距离为个单位长度，那么点表示的数为______； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，，． 【变式题9-1】.（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）“数轴”是数学中一个非常基础和重要的工具，有人称它是一把“尺子”，不仅能比较数的大小，还能表示方向，有人称它是一幅“地图”，能准确标明每一个实数的位置，有人说它是一座“桥梁”，把抽象的数与具体的形有机的联系起来．完成下列问题： (1)填空：规定了_______、_______和_______的直线叫作数轴； (2)画图：数x在数轴上对应点A的位置如图所示，在数轴上画出数和分别对应的点B和C； (3)计算：如图，数轴上标出了若干点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D所对应的数分别是a、b、c、d，且满足，求B点所表示的数，并在数轴上标出原点O． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·山西大同·阶段检测）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立对应关系，是“数形结合”的基础． 如图，在1.2有理数（2）中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先向左爬了3个单位长度到达点A．数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)则B所表示的数是 ． (2)数轴上有点P，且P到A、B两点的距离相等，则P点表示的数为 ． (3)数轴上有点C，且与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为 ． (4)若点D表示数3，将点D先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度到达E，则点E表示的数是 ，D、E两点间的距离是 ． 【压轴素养题型】 【题型10】无限循环小数化分数 1.核心知识点: 有理数的分数形式本质 错位相减的数学方法 2.解题方法技巧: 纯循环小数：循环节有几位，就乘10的几次方，错位相减消去循环部分 混循环小数：先乘10的幂将非循环部分移到整数位，再按纯循环小数方法计算 【例题10】.（25-26七年级上·重庆·期中）观察下面将一个无限循环小数化为分数的过程，并解答问题．…是一个以47为循环节的无限循环小数，将它扩大到100倍，把第一个循环节移到小数点之前，得到…，发现小数点后依然是循环节为47的无限循环小数，即仍是原数（这是“无限”的奇妙特征——部分等于全部），即…，由此可知， 99个等于47，所以． 例：将无限循环小数化为分数． 解：设，则…，所以，得，所以． (1)将无限循环小数化为分数： ． (2)仿照上述解答过程，将无限循环小数化为分数； (3)已知无限循环小数m（），它的循环节有三位，且从小数点后第一位开始循环，循环节记为n．将无限循环小数m化为分数： （直接用含n的代数式表示）． 【变式题10-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）小明对无限循环小数转化成分数的过程进行了探究，以下是他以和为例进行了纯无限循环小数和混无限循环小数转化成分数的探究： 设 则， 而， 所以， 解得， 所以． 由左侧推导可知， 所以 ． (1)请仿照上述推导过程，将下列纯无限循环小数化为分数．（写出推导过程） ①；②；③． (2)请仿照上述推导过程，将下列混无限循环小数化为分数．（写出推导过程） ①；②． (3)根据（1）（2）所求结果，可归纳出无限循环小数转化成分数的规律：如果小数是纯无限循环小数，化为分数时，分数的分子是它的一个循环节的数字所组成的数，那么分母是______，如果小数是混无限循环小数，可以通过先扩大倍数再缩小的方法化为纯无限循环小数，然后再化为分数． (4)利用将化为分数形式． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·吉林长春·期中）“无限循环小数能化成分数吗？”受到教材中这个数学活动的启发，某同学对无限循环小数转化成分数的过程进行了探究．以下是他以和为例进行的纯无限循环小数和混无限循环小数转化成分数的探究： 设， 则． 因为， 所以， 解得， 所以． 由左侧推导可知， 所以 ． (1)请仿照上述推导过程，将纯无限循环小数化为分数；（写出推导过程） (2)将混无限循环小数化为分数为___________； (3)计算：___________． 【变式题10-3】.（2025七年级上·全国·专题练习）小明对无限循环小数转化成分数的过程进行了探究，以下是他以和为例进行了纯无限循环小数和混无限循环小数转化成分数的探究： 因为， 而， 所以， 所以， 即， 所以． 由左侧推导可知， 所以 ． (1)请仿照上述推导过程，将下列纯无限循环小数化为分数．（写出推导过程） ①；②；③． (2)请仿照上述推导过程，将下列混无限循环小数化为分数．（写出推导过程） ①；②；③． (3)根据（1）（2）所求结果，可归纳出无限循环小数转化成分数的规律：如果小数是纯无限循环小数，化为分数时，分数的分子是它的一个循环节的数字所组成的数，那么分母是______________，如果小数是混无限循环小数，可以通过先扩大倍数再缩小的方法化为纯无限循环小数，然后再化为分数． (4)请计算：． (5)利用，将化为分数形式． 【题型11】数轴上的绝对值最值问题 1.核心知识点: 绝对值的几何意义 数轴上距离和的最值规律 2.解题方法技巧: 表示数轴上数与数两点间的距离 奇数个定点时，取中间点对应的数，距离和最小；偶数个定点时，取中间两点之间（含端点），距离和最小 【例题11】.（25-26七年级上·江苏徐州·期中）阅读材料： 我们知道，即为，其几何意义是数轴上表示数的点到原点的距离．进一步推广，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离．例如，的几何意义是数轴上表示的点与表示5的点之间的距离，运用这一几何意义，可以巧妙地解决许多代数问题． (1)理解应用 等式的几何意义是：在数轴上表示数的点与表示数________的点之间的距离为2． (2)拓展延伸 ①当取不同的值时，代数式的值随之变化，当________时、的值最小为________． ②若使代数式的值最小，的值不可能是（   ） A．1    B．0    C． (3)创新应用 一条生产流水线上有三个工位，在数轴上对应的位置分别为1，2，4．现要设置一个配件库（对应数值为x），若工位使用频率是工位的2倍，则总运输距离可表示为：． ①配件库应设置在数轴何处，才能使总运输距离最小？请直接在图1，数轴上表示出来； ②求出此时的最小值． 【变式题11-1】.（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． 例如数轴上表示数3和8的两点距离为__________； 的意义可理解为数轴上表示数__________和数__________的两点之间的距离； （2）探索材料2（填空）： ①如图，在工厂的一条流水线上有两个加工点和，要在流水线上设一个材料供应点往两个加工点输送材料，材料供应点应设在__________处才能使到的距离与到的距离之和最小？ ②如图，在工厂的一条流水线上有三个加工点，，，要在流水线上设一个材料供应点往三个加工点输送材料，材料供应点应设在__________处才能使到，，三点的距离之和最小？ ③如图，在工厂的一条流水线上有四个加工点，，，，要在流水线上设一个材料供应点往四个加工点输送材料，材料供应点应设在__________处才能使到，，，四点的距离之和最小？ （3）结论应用（填空）： ①代数式的最小值是__________，此时的范围是__________； ②代数式的最小值是__________，此时的值为__________； ③代数式的最小值是__________，此时的范围是__________． 【变式题11-2】.（25-26七年级上·吉林长春·期中）探索材料1： （1）数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，例如数轴上表示数2和5的两点距离为_____，数轴上表示数3和的两点距离为_____；则的意义可理解为数轴上表示数_____这两点的距离； 探索材料2： （2）①如图1、在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在何处才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？在图中画出一个满足条件的点即可． ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在何处才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？在图中画出满足条件的点即可． ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在何处才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？在图中画出一个满足条件的点即可． 结论应用(填空)： （3）①代数式的最小值是______，此时x的所有整数值是______； ②代数式的最小值是______，此时x的值为______； ③代数式的最小值是______，此时x的所有整数值是______． 【变式题11-3】.（25-26七年级上·辽宁锦州·期中）探索材料1（填空）： 数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． 例如数轴上表示数2和5的两点距离为_____． 数轴上表示数3和的两点距离为_____． 则的意义可理解为数轴上表示数_____和_____这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数_____和_____这两点的距离； 探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点和，要在流水线上设一个材料供应点往两个加工点输送材料，材料供应点应设在_____才能使到的距离与到的距离之和最小？ 图1 ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，，，要在流水线上设一个材料供应点在三个加工点输送材料、材料供应点应设在_____才能使到、、三点的距离之和最小？ 图2 ⑧如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点、、、．要在流水线上设一个材料供应点往四个加工点输送材料．材料供应点应设在_____，才能使到、、、四点的距离之和最小？ 图3 结论应用（填空）： ①代数式的最小值是_____； ②代数式的最小值是_____； ③代数式的最小值是_____，此时的最大值是_____． ④代数式的最小值是_____． 【题型12】有理数新定义题型（素养创新） 1.核心知识点: 阅读理解与知识迁移能力 有理数的基本性质与运算 2.解题方法技巧: 先读懂新定义的运算规则或概念内涵，圈出关键限制条件 将新定义问题转化为已学的有理数分类、大小比较、数轴等问题求解 【例题12】.（25-26七年级上·河南开封·期中）有理数和分别对应数轴上的点和点，定义为数、的中点数，定义为点、之间的距离，其中表示数、的差的绝对值．例如：数和3的中点数是，数轴上表示数和3的点之间的距离是． 请阅读以上材料，完成下列问题： (1)________，________； (2)已知，求的值； (3)当时，求的值． 【变式题12-1】.（25-26七年级上·广东佛山·期中）老师说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”老师写出了一些按照※（加乘）运算法则进行运算的式子：；；；；；． 小明看完算式后说：我知道老师定义的※（加乘）运算法则了．聪明的你看出来了吗？请你帮忙归纳※（加乘）运算法则： (1)①归纳※（加乘）运算法则：两数进行※（加乘）运算时，同号得______，异号得______，并把绝对值______；特别是0和任何数进行※（加乘）运算时都等于另一个数的绝对值； ②计算：的值； (2)若，求的值． (3)用字母a、b的绝对值表示． 【变式题12-2】.（25-26七年级上·广东深圳·期中）探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ； ； ； ； ； ； ； ． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算：_____； (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中作用一致，写出必要的运算步骤）； (3)若，计算：． 【变式题12-3】.（25-26七年级上·北京·阶段检测）将两个数轴平行放置，并使二者的刻度数上下对齐，再将两个数轴的原点连接起来，就构成一个“双轴系”．定义“双轴系”中两个点、的距离：如果、两点在同一个数轴上，则二者之间的距离定义和通常的距离一致，；如果、两点分别位于两个数轴上，定义． 利用“双轴系”定义一种“有向数”，记号是在通常数的右边加上“”或“”，例如，“”表示上层数轴中表示数“”的点，“”表示下层数轴中表示数“”的点，“”、“”分别表示上下两个数轴的原点． (1)在双轴系中与的距离为：________；与的距离为________； (2)现有只电子蚂蚁甲从“”所表示的点出发不断跳跃，依次跳至、、、、、、、、、…，另有一只电子蚂蚁乙从“”所表示的点出发，然后跳跃到，接着又跳回，其后再次跳到，下一步又跳回，按此规律在和之间来回跳动．假设两只蚂蚁同时跳跃同时落下，步调一致． ①当蚂蚁甲第次跳到所表示的点时，请问此时蚂蚁甲共跳跃了________次； ②当乙蚂蚁跳跃次时，在双轴系上是否存在一点，满足到甲蚂蚁的距离是到乙蚂蚁距离的倍．若存在，直接写出点表示的数，不存在，说明理由． 易错点 1.对的认识模糊：误认为是正数或负数，忽略在整数、非负整数等分类中的特殊位置。 2.有理数分类遗漏：分类时易漏掉，或误将无限不循环小数归为有理数。 3.两个负数比较大小出错：只比较绝对值大小，忽略“绝对值大的反而小”的法则，错误认为绝对值大的数更大。 4.绝对值相关漏解：已知一个数的绝对值求原数时，容易漏掉负数解；忽略绝对值等于的特殊情况。 5.多重符号化简混淆：误将正号个数纳入化简判断，或数错负号的个数导致符号错误。 6.实际问题忽略基准：用正负数表示相反意义的量时，未明确基准量导致正负判断错误。 重点 1.正数、负数的意义，以及用正负数表示相反意义的量。 2.有理数的分类标准，以及数轴、相反数、绝对值的相关概念与核心性质。 3.有理数大小比较的多种方法，以及绝对值非负性的应用。 4.利用数轴解决与距离、点的位置相关的问题，体会数形结合思想。 难点 1.绝对值几何意义的理解，以及利用绝对值求数轴上距离和的最值问题。 2.有理数相关的新定义、材料探究类题型，需要较强的阅读理解和知识迁移能力。 3.含字母的绝对值化简，需要结合数轴或条件判断式子的正负。 4.分类讨论思想在有理数相关问题中的应用，做到分类不重不漏。 【对应练习题】 一、单选题 1．我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将向南行走5步记作“”，则“”表示（     ） A．向东行走7步 B．向南行走7步 C．向北行走7步 D．向西行走7步 2．某种食品的广告词之一是“0添加”，这里的0可以（     ） A．表示“起点” B．用来“占位” C．表示“没有” D．表示“分界” 3．下列四个数轴的画法中，规范的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．的相反数是______． 5．比较大小：_____．（填“”“”或“”） 6．如果，则______，如果，则______．化简：______． 三、解答题 7．在数轴上方空格里填上适当的整数或分数． 8．将下列各数填入对应集合： ，，，，，，，，， 整数集合：｛　　　…｝ 分数集合：｛　　　…｝ 正数集合：｛　　　…｝ 负数集合：｛　　　…｝ 9．已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 10．在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $