第04讲 有理数加法与减法（暑假预习培优讲义，8题型技巧3重难拓展+中考真题+提分培优）新七年级数学新教材人教版

第04讲 有理数加法与减法（暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 有理数加法法则 2 知识点02 有理数减法法则 3 知识点03 有理数加减混合运算 3 知识点04 四大简便运算分组技巧（培优必考） 3 剖题型·讲技巧 题型1 有理数加法基础计算 4 题型2 有理数减法基础运算 5 题型3 加减混合简便运算 6 题型4 符号省略括号问题 8 题型5 数轴数形结合加减题 9 题型6 有理数加减实际应用题 10 题型7 培优：含绝对值加减综合题 12 题型8 培优：正负交替数列规律求和 14 释疑惑·重难拓展 题型1 绝对值非负性压轴小题 15 题型2 条件型绝对值分类讨论 16 题型3 新定义加减运算 17 知中考·真题探源 19 练好题·提分培优 20 课标要点 1.理解有理数加法、减法运算法则，熟练完成整数、分数、小数混合型有理数加减运算； 2.掌握加法交换律、结合律，能灵活选用运算律简化加减混合运算，规避计算易错点； 3.吃透减法转化为加法的核心转化思想，熟练将加减混合算式改写为代数和，规范省略括号、加号书写格式； 4.借助数轴数形结合，理解有理数加减运算几何意义，联动数轴动点题型； 5.结合温度、海拔、收支、行程等生活场景，列式求解有理数加减实际应用题。 ✅ 学习重点：有理数加减运算法则、加减混合简便运算、生活实际应用题 ⚠️ 学习难点：异号两数相加符号判定、多重符号化简、含绝对值加减综合计算、分类讨论题型 知识点01 有理数加法法则 ✅ 加法口诀：一看类型、二定符号、三算绝对值 同号两数相加：取相同符号，并把绝对值相加。示例：(-3)+(-5)=-(3+5)=-8 异号两数相加：取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0。示例：6+(-10)=-(10-6)=-4；7+(-7)=0 一个数与0相加：仍得这个数，即a+0=a 加法运算律（简便计算必考） 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 易错提醒：移动加数位置时，必须连带数字前方的正负符号一起移动，不可丢符号！ 练习 1．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 知识点02 有理数减法法则 核心公式：a-b=a+(-b) ✅ 减法核心两步变号法则：减号变加号，减数变为它的相反数，被减数保持符号、数值不变 速记口诀：减负加正，加负减正 示例：2-7=2+(-7)=-5；-4-(-6)=-4+6=2 练习 2．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 知识点03 有理数加减混合运算 1. 运算统一规则 所有减法全部转化为加法，式子改写为多个有理数相加的和式 2. 省略加号代数和 原式：(-4)+(+6)+(-5)-(-3)=0 化简为：-4+6-5+3 读法①：负4加6减5加3； 读法②：负4、正6、负5、正3的和 3. 标准四步解题法 标准四步解题流程：化减为加→去括号化简代数和→分组简便运算→分步求值作答 练习 3．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1) (2) 知识点04 四大简便运算分组技巧（培优必考） 1.凑零结合：互为相反数优先相加，和直接为0； 2.同号分组：正数归一组、负数归一组，分别求和再运算； 3.凑整结合：小数、整数配对凑整，简化口算； 4.同分母结合：分数优先合并同分母项，减少通分步骤。 练习 4．（25-26七年级上·广西崇左·期末）解答题： (1)． (2)． (3) ． (4)． 题型1 有理数加法基础计算 方法技巧 先判断同号/异号，优先定符号，后算绝对值，严禁先算数值后补符号 【典例1-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【典例1-2】计算： (1)； (2)． 【变式1-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式1-2】（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【变式1-3】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型2 有理数减法基础运算 方法技巧 严格落实两变原则：减号变加号、减数变相反数，被减数始终不变，不可改动 【典例2-1】计算： 【变式2-1】）计算： 【变式2-2】（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）计算：． 【变式2-3】（25-26七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4). 题型3 加减混合简便运算 方法技巧 拒绝从左至右硬算，先化简代数和，套用四大分组技巧配对计算 【典例3-1】计算： 【典例3-2】（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）计算：． 【典例3-3】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【变式3-1】计算：． 【变式3-2】计算： 【变式3-3】（25-26七年级上·江西吉安·期中）阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. (1)仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____； (2)用拆项法计算：． 题型4 符号与省略括号问题 【典例4-1】（25-26七年级上·福建漳州·期中）将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例4-2】（25-26七年级上·江西新余·期中）如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 【变式4-1】（24-25七年级上·天津·期中）把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．两个数的和一定大于每个加数 B．两个数的和等于0，则这两个数都是0 C．两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数 D．两个数的和为正数，则这两个数都是正数 题型5 数轴数形结合加减题 方法技巧 加正数数轴向右平移，加负数向左平移；终点数=起点数+移动数值 【典例5】（2026·河北保定·三模）如图，数轴上的点M，N分别表示数，1． (1)求点M，N之间的距离； (2)数x对应此数轴上的点A，若点A，N之间的距离为2，求x的值． 【变式5-1】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）在数轴上从左到右有点A，B，C，D，其中点为原点，A，D所对应的数分别为，如图所示． (1)请在图中标出点C的位置； (2)点B为AD的中点，请直接写出点所对应的数；若在数轴上另取点，且，两点间的距离是7，求A，B，C，D，E所对应数的和． 【变式5-2】（25-26七年级上·山西临汾·期末）已知数轴上点A、点B所表示的数分别为a，b (1)若，，A、B两点的距离为____________，点A、点B的中点C表示的数为____________． (2)到点A为3个单位长度的数可表示为____________． (3)A、B两点间的距离为____________． 【变式5-3】（25-26七年级上·河北保定·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合． （1）下列数轴画法正确的是（     ） A．   B． C． D． 【问题情境】如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点，其中．设点所对应数的和是． 【综合运用】 （2）若点为原点，则点对应的数是_____，点对应的数是_____，的值________； （3）若以为原点，的值________； （4）若原点O在图中数轴上，且，求． 题型6 有理数加减实际应用题 方法技巧 1.规定正负实际意义； 2.根据题意列出加减算式； 3.列式计算：位置/高低/盈亏直接加减；路程/耗油量全部取绝对值相加； 4.结合正负数值作答，解释实际含义。 【典例6】（25-26七年级上·宁夏中卫·期中）随着科技的迅猛发展，机器人正以前所未有的速度渗透进各行各业，逐渐取代工人承担起诸多重复性、高强度以及危险环境下的工作任务．某钢铁生产车间有一机器人在一条东西走向的流水线上来回走动进行调试设备、检测温度等工作．机器人从点A出发，规定向东为正，向西为负，下表是某一段时间内从点A出发的行走记录（单位：米）． 第次 第次 第次 第次 第次 (1)该机器人第5次完成工作后在出发点的什么方向？距离出发点多远？ (2)若该机器人每千米耗电千瓦时，在这段行走过程中机器人共耗电多少千瓦时？ 【变式6-1】（24-25七年级上·江苏·阶段检测）小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为___________，“●”处的数为___________； (2)已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【变式6-2】足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位： ）： ， ， ， ， ， ， ， ．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过 （不包括 ），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【变式6-3】（24-25六年级上·山东烟台·期中）有一批水果，包装质量为每筐26千克，现抽取8筐样品进行检测，结果称重如下（单位：千克）27，24，23，28，21，26，22，27，为了求8筐样品的总质量，我们可以选取一个恰当的基准数进行简化运算． (1)你认为选取的一个恰当的基准数为________ (2)根据你选取的基准数，用正、负数填写下表（单位：千克）： 原质量 27 24 23 28 21 26 22 27 与基准数的差距 (3)这8筐水果的总质量是多少？平均每筐质量是多少？ 题型7 培优：含绝对值加减综合题 方法技巧 先判绝对值内部正负，去绝对值符号，再做加减；无取值条件则分类讨论 【典例7】计算：． 【变式7-1】（24-25七年级上·河南南阳·阶段检测）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值去掉．例如：；；； (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ① ； ② ； ③ 其中． (2)根据你发现的规律完成计算： 【变式7-2】（25-26七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）［信息提取］ 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． ［初步体验］ （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①______；②______． ［拓广应用］ （2）计算：． 【变式7-3】（24-25七年级上·全国·期中）观察下列各式： ① ； ② ； ③ ； ④ ； (1)按上述规律写出第五个等式： ________． (2)写出第n个等式： ________． (3)根据上述规律，计算： 题型8 培优：正负交替数列规律求和 方法技巧 解题技巧：两两分组求和，锁定每组固定结果，计算组数快速求值，省去逐项计算 【典例8】计算． 【变式8-1】（23-24七年级上·广东佛山·阶段检测）（1）计算： ① ② （2）蚂蚁在数轴的原点处，第一次向右爬行1个单位，第二次向右爬行2个单位，第三次向左爬行3个单位，第四次向左爬行4个单位，第五次向右爬行5个单位，第六次向右爬行6个单位，第七次向左爬行7个单位…… ①按照这个规律，第1024次爬行后蚂蚁所在位置在原点左侧还是右侧？对应哪个数？ ②按照这个规律，第______次爬行后蚂蚁在数轴上表示751的位置． 【变式8-2】（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：…． 请回答下列问题： (1)按上述等式的规律，列出第5个等式：____________； (2)计算：． 【变式8-3】探索发现：；； 根据你发现的规律，回答下列问题： （1） ， ； （2）利用你发现的规律计算：； （3）计算： 题型1 绝对值非负性压轴小题 1．（25-26七年级上·广东河源·期中）若，则______ ． 2．（25-26七年级上·河南新乡·期中）若，则的值为_______． 3．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）若与互为相反数，则______． 4．（25-26七年级上·吉林四平·期中）若，则______． 5．（25-26七年级上·四川达州·期中）若，则_____． 题型2 条件型绝对值分类讨论 6．（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）已知，且，求的值． 7．按要求解答下列各题： (1)比较大小（用“ ”“ ”或“＝”填空） ①_________ ②_________ ③__________ (2)在（1）的基础上，嘉淇又举出若干个例子，并归纳得出以下结论，请你补充完整 ①当 ， ________（填“同号”或“异号”）时，有_______ ②当 ， ________（填“同号”或“异号”）时，有_______ ③当 ， 中至少有一个为0时，_______ (3)根据上述结论，请你直接写出当时， 的取值范围 8．（25-26七年级上·陕西西安·期末）同学们知道，表示与的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数与数两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数与数_____________两点间的距离； (2)的最小值是_____________； (3)计算的最小值． 9．（25-26七年级上·广东揭阳·期中）【定义新知】 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离和． 请根据数轴解决以下问题： 【举一反三】 （1）可理解为______与______在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）若，则的值为______； 【问题解决】 （3）请你结合数轴探究：的最小值是______； （4）借助数轴思考，当x为何值时，与的值相等． 【拓展应用】 （5）如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，请你求出点所对应的数是多少． 题型3 新定义加减运算 10．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义：表示不超过的最大整数． (1)求的值； (2)求的值． 11．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义新运算 “”，根据运算规律完成作答： ，，，，，． (1)归纳 “” 运算法则：两数进行运算时，_________；任何数与进行运算时，___________． (2)计算：； (3)判断交换律、结合律在该运算中是否适用． 12．（25-26七年级上·福建厦门·期中）对于有理数a，定义运算表示的意义如下： 将的绝对值的各位数字相加，若结果大于等于，则继续将结果的各位数字相加，直到得到一个个位数，这个数称为的“数字根”． 如果是负数，则就是这个数字根的相反数； 如果是正数，则就是这个数字根； 如果是，则特别地，的数字根是． 例：：，所以； ：，因为原数是负数，所以；． (1)______；若是一个两位数，且，写出满足条件的一个有理数的值：_______； (2)猜想：对任意整数，是否一定有成立？若成立，请说明理由，若不成立，请举一个例子说明． 一、单选题 1．（2026·四川南充·中考真题）计算结果是（     ） A． B． C．0 D．4 2．（2024·湖南长沙·中考真题）“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是、最高温度是，则它能够耐受的温差是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北·中考真题）从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   4．（2026·福建·中考真题）福建省首届“闽超”足球比赛正如火如荼进行中，在某轮比赛中甲队与乙队的比赛结果为，丙队与丁队的比赛结果为．若把这轮比赛中甲队的净胜球数记作，则丙队的净胜球数应记作（     ） A． B． C． D． 5．（2024·四川攀枝花·中考真题）一个自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身，这种数叫做完全数．例如，是一个完全数，．下列各数是完全数的是（   ） A． B．8 C．6 D．4 二、填空题 6．（2026·云南·中考真题）中国是历史上最早认识和使用负数的国家．某地某天最高气温为零上6摄氏度，最低气温为零下2摄氏度，则该地这天最高气温比最低气温高________摄氏度． 7．（2024·陕西·中考真题）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是________．（写出一个符合题意的数即可） 8．（2021·陕西·中考真题）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为______． -1 -6 1 0 a -4 -5 2 -3 一、单选题 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知数轴上的点、分别表示数，其中，，且，若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若，且，则的值为（   ） A．或 B．10或2 C．或2 D．10或 3．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）对于有理数，下列说法正确的有（     ） ①若，则与互为相反数； ②若，则一定异号； ③若且两数同号，则； ④若，两数异号，则； ⑤若，则． A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 二、填空题 4．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知表示不超过x的最大整数．如：．现定义：，如，则______． 5．（24-25七年级上·陕西西安·期中）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 _____________．（写出一个符合题意的数即可） 6．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）如图1，点是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的有理数为，，，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度，则数轴上点所对应的数为______． 7．（25-26七年级上·湖北孝感·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．在6进制中，数位上能显示的最大数字与最小数字之和为______． 8．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为___________． 9．（25-26七年级上·湖南娄底·期末）_____. 三、解答题 10．（24-25七年级上·四川南充·阶段检测）计算： (1)； (2)． 11．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）列式并计算： (1)减去与和，求所得的差； (2)求的绝对值的相反数与相反数的和． 12．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图是一种转盘型密码锁，共有40个小格．每次开锁时需要先把表示“0”的刻度与固定盘上的标记线对齐，再顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘6次．规定：逆时针旋转记为“”，顺时针旋转记为“”，例如“”表示顺时针旋转5小格，此时标记线对准的数为35． (1)若开锁密码为“，，，，，”（需旋转6次），请描述第一次的旋转过程，并求锁打开时标记线对准的刻度线所表示的数； (2)若转盘逆时针旋转1小格损耗单位零件寿命，顺时针旋转1小格损耗单位零件寿命，请计算第（1）问打开锁的过程中零件寿命总损耗． 13．（25-26七年级上·重庆巫山·期末）先阅读材料，再解决问题 【阅读】 表示5与2差的绝对值，也可以理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可以理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 解答问题： （1）数轴上表示和2两点之间的距离是_____；类似地，数轴上表示数和的两点之间的距离等于．如果表示数和－1的两点之间的距离是3，那么的值为_____； （2）若，，且数，在数轴上表示的点分别是点，点，则，两点间的最大距离是_____，最小距离是_____； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是_____； 【应用】 （4）小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作1，小明学校记作，求距离和的最小值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 有理数加法与减法（暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 有理数加法法则 2 知识点02 有理数减法法则 3 知识点03 有理数加减混合运算 4 知识点04 四大简便运算分组技巧（培优必考） 5 剖题型·讲技巧 题型1 有理数加法基础计算 6 题型2 有理数减法基础运算 9 题型3 加减混合简便运算 10 题型4 符号省略括号问题 13 题型5 数轴数形结合加减题 15 题型6 有理数加减实际应用题 18 题型7 培优：含绝对值加减综合题 21 题型8 培优：正负交替数列规律求和 24 释疑惑·重难拓展 题型1 绝对值非负性压轴小题 27 题型2 条件型绝对值分类讨论 29 题型3 新定义加减运算 32 知中考·真题探源 35 练好题·提分培优 37 课标要点 1.理解有理数加法、减法运算法则，熟练完成整数、分数、小数混合型有理数加减运算； 2.掌握加法交换律、结合律，能灵活选用运算律简化加减混合运算，规避计算易错点； 3.吃透减法转化为加法的核心转化思想，熟练将加减混合算式改写为代数和，规范省略括号、加号书写格式； 4.借助数轴数形结合，理解有理数加减运算几何意义，联动数轴动点题型； 5.结合温度、海拔、收支、行程等生活场景，列式求解有理数加减实际应用题。 ✅ 学习重点：有理数加减运算法则、加减混合简便运算、生活实际应用题 ⚠️ 学习难点：异号两数相加符号判定、多重符号化简、含绝对值加减综合计算、分类讨论题型 知识点01 有理数加法法则 ✅ 加法口诀：一看类型、二定符号、三算绝对值 同号两数相加：取相同符号，并把绝对值相加。示例：(-3)+(-5)=-(3+5)=-8 异号两数相加：取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0。示例：6+(-10)=-(10-6)=-4；7+(-7)=0 一个数与0相加：仍得这个数，即a+0=a 加法运算律（简便计算必考） 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 易错提醒：移动加数位置时，必须连带数字前方的正负符号一起移动，不可丢符号！ 练习 1．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 知识点02 有理数减法法则 核心公式：a-b=a+(-b) ✅ 减法核心两步变号法则：减号变加号，减数变为它的相反数，被减数保持符号、数值不变 速记口诀：减负加正，加负减正 示例：2-7=2+(-7)=-5；-4-(-6)=-4+6=2 练习 2．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 知识点03 有理数加减混合运算 1. 运算统一规则 所有减法全部转化为加法，式子改写为多个有理数相加的和式 2. 省略加号代数和 原式：(-4)+(+6)+(-5)-(-3)=0 化简为：-4+6-5+3 读法①：负4加6减5加3； 读法②：负4、正6、负5、正3的和 3. 标准四步解题法 标准四步解题流程：化减为加→去括号化简代数和→分组简便运算→分步求值作答 练习 3．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点04 四大简便运算分组技巧（培优必考） 1.凑零结合：互为相反数优先相加，和直接为0； 2.同号分组：正数归一组、负数归一组，分别求和再运算； 3.凑整结合：小数、整数配对凑整，简化口算； 4.同分母结合：分数优先合并同分母项，减少通分步骤。 练习 4．（25-26七年级上·广西崇左·期末）解答题： (1)． (2)． (3)． (4)． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 题型1 有理数加法基础计算 方法技巧 先判断同号/异号，优先定符号，后算绝对值，严禁先算数值后补符号 【典例1-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【详解】（1）解∶原式 ； （2）解∶原式 ； （3）解∶原式； （4）解∶原式 ； （5）解∶原式 ； （6）解∶原式 ． 【典例1-2】计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． （6）解：． 【变式1-2】（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-3】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解：； ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 题型2 有理数减法基础运算 方法技巧 严格落实两变原则：减号变加号、减数变相反数，被减数始终不变，不可改动 【典例2-1】计算： 【答案】 【详解】解： ． 【变式2-1】）计算： 【答案】 【详解】解： ． 【变式2-2】（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式2-3】（25-26七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4). 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： . 题型3 加减混合简便运算 方法技巧 拒绝从左至右硬算，先化简代数和，套用四大分组技巧配对计算 【典例3-1】计算： 【答案】1 【详解】解： ． 【典例3-2】（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【典例3-3】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【详解】解　原式 【变式3-1】计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式3-2】计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式3-3】（25-26七年级上·江西吉安·期中）阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. (1)仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____； (2)用拆项法计算：． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：拆为，拆为， 故答案为：，； （2）解： ． 题型4 符号与省略括号问题 【典例4-1】（25-26七年级上·福建漳州·期中）将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵原式为， ∴按去括号法则变形得． 【典例4-2】（25-26七年级上·江西新余·期中）如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 【答案】B 【详解】解：设两个有理数为a和b，且． 因为若且，则，与矛盾， 所以至少有一个加数大于0，即两个加数中至少一个是正数． 故选：B． 【变式4-1】（24-25七年级上·天津·期中）把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：第一个减号： 转化为 ； 第二个减号： 转化为 ； 因此，原式转化为： 故选 B． 【变式4-2】（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、， A错误； B、， B正确； C、， C错误； D、， D错误． 【变式4-3】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．两个数的和一定大于每个加数 B．两个数的和等于0，则这两个数都是0 C．两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数 D．两个数的和为正数，则这两个数都是正数 【答案】C 【详解】A. 当一个加数为负时，两个数的和小于最大的加数，原说法错误； B. 两个数的和等于0，则这两个数互为相反数，原说法错误； C. 两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数，原说法正确； D. 两个数的和为正数，这两个数不一定都是正数，例如 ，和为正数，但两个加数不都是正数，故原说法错误， 故选：C. 题型5 数轴数形结合加减题 方法技巧 加正数数轴向右平移，加负数向左平移；终点数=起点数+移动数值 【典例5】（2026·河北保定·三模）如图，数轴上的点M，N分别表示数，1． (1)求点M，N之间的距离； (2)数x对应此数轴上的点A，若点A，N之间的距离为2，求x的值． 【详解】（1）解：由数轴可知：点M，N之间的距离为； （2）解：∵点A，N之间的距离为2，且点N表示的数为1， ∴点A表示的数为或， 即x的值或3． 【变式5-1】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）在数轴上从左到右有点A，B，C，D，其中点为原点，A，D所对应的数分别为，如图所示． (1)请在图中标出点C的位置； (2)点B为AD的中点，请直接写出点所对应的数；若在数轴上另取点，且，两点间的距离是7，求A，B，C，D，E所对应数的和． 【详解】（1）解：∵A，D所对应的数分别为， ∴， ， 故每格为2个单位长度， 故点C在数轴表示如下所示： （2）解：∵点为的中点， ∴点表示的数为， 当点在点右侧时，∵两点间的距离是 7 ， ∴点表示的数为， ， ∴对应的数的和为； 当点在点左侧时，∵两点间的距离是 7 ， ∴点表示的数为， ， ∴对应的数的和为， 综上，对应的数的和为或． 【变式5-2】（25-26七年级上·山西临汾·期末）已知数轴上点A、点B所表示的数分别为a，b (1)若，，A、B两点的距离为____________，点A、点B的中点C表示的数为____________． (2)到点A为3个单位长度的数可表示为____________． (3)A、B两点间的距离为____________． 【详解】（1）解：∵，， ∴A、B两点的距离为：，点A、点B的中点C表示的数为：． （2）解：到点A为3个单位长度的数可表示为：或. （3）解：A、B两点间的距离为：. 【变式5-3】（25-26七年级上·河北保定·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合． （1）下列数轴画法正确的是（     ） A．   B． C． D． 【问题情境】如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点，其中．设点所对应数的和是． 【综合运用】 （2）若点为原点，则点对应的数是_____，点对应的数是_____，的值________； （3）若以为原点，的值________； （4）若原点O在图中数轴上，且，求． 【详解】解：（1）A选项没有正方向； B选项没有单位长度； C选项满足数轴的基本画法； D选项没有原点． 故选：C． （2）∵点为原点，且， ∴点对应的数为2，点对应的数为3， ∴点所对应数的和； 故答案为：2，3，5； （3）∵点为原点，且， ∴点对应的数为，点对应的数为1， ∴点所对应数的和； （4）当原点O在点的左侧时， 由，可得， ∴点对应的数为5，点对应的数为7，点对应的数为8， ∴点所对应数的和； 当原点O在点的右侧时， 由，可得， ∴点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， ∴点所对应数的和； 综上，的值为或． 题型6 有理数加减实际应用题 方法技巧 1.规定正负实际意义； 2.根据题意列出加减算式； 3.列式计算：位置/高低/盈亏直接加减；路程/耗油量全部取绝对值相加； 4.结合正负数值作答，解释实际含义。 【典例6】（25-26七年级上·宁夏中卫·期中）随着科技的迅猛发展，机器人正以前所未有的速度渗透进各行各业，逐渐取代工人承担起诸多重复性、高强度以及危险环境下的工作任务．某钢铁生产车间有一机器人在一条东西走向的流水线上来回走动进行调试设备、检测温度等工作．机器人从点A出发，规定向东为正，向西为负，下表是某一段时间内从点A出发的行走记录（单位：米）． 第次 第次 第次 第次 第次 (1)该机器人第5次完成工作后在出发点的什么方向？距离出发点多远？ (2)若该机器人每千米耗电千瓦时，在这段行走过程中机器人共耗电多少千瓦时？ 【答案】(1)西边，米 (2)千瓦时 【详解】（1）解：（米）， 该机器人第5次完成工作后在出发点的西边，距离出发点米． （2）解：（米）， 则（千瓦时）． 答：在这段行走过程中机器人共耗电千瓦时． 【变式6-1】（24-25七年级上·江苏·阶段检测）小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为___________，“●”处的数为___________； (2)已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】(1)； (2)会发出充电提示 【详解】（1）解：第三天行驶了， 故应记作， ∴“■”处的数为； 第六天行驶了， 故应记作， ∴“●”处的数为； 故答案为：；． （2）解：总行程为， 剩余电量占比， ∴会发出充电提示． 【变式6-2】足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位： ）： ， ， ， ， ， ， ， ．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过 （不包括 ），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【详解】（1）解：根据题意得： 米， ∴守门员最后回到了球门线上； （2）解：第一次跑距离开球门线10米 ； 第二次距离开球门线 （米）； 第三次距离开球门线 （米）； 第四次距离开球门线 （米）； 第五次距离开球门线 （米）； 第六次距离开球门线 （米）； 第七次距离开球门线 （米）； 第八次距离开球门线 （米）． ∴守门员离开球门线的最远距离为25米； (3)4次，理由如下： 由（2）可知守门员每次离开球门线的距离分别为：10米，8米，13米，25米，19米，10米，14米，0，则符合题意的有：13，25，19，14． ∴对方球员有4次挑射破门的机会． 【变式6-3】（24-25六年级上·山东烟台·期中）有一批水果，包装质量为每筐26千克，现抽取8筐样品进行检测，结果称重如下（单位：千克）27，24，23，28，21，26，22，27，为了求8筐样品的总质量，我们可以选取一个恰当的基准数进行简化运算． (1)你认为选取的一个恰当的基准数为________ (2)根据你选取的基准数，用正、负数填写下表（单位：千克）： 原质量 27 24 23 28 21 26 22 27 与基准数的差距 (3)这8筐水果的总质量是多少？平均每筐质量是多少？ 【答案】(1) (2)从左到右依次为，，，，，，， (3)总质量为198千克，平均每筐质量为千克． 【详解】（1）解：包装质量为每筐26千克， 选取的恰当基准数为26． （2）解：选取的基准数为26千克， ，，，，，，，， 从左往右依次是，，，，，，，． （3）解：， 8筐水果的总质量为（千克）． 平均每筐的质量为（千克）． 题型7 培优：含绝对值加减综合题 方法技巧 先判绝对值内部正负，去绝对值符号，再做加减；无取值条件则分类讨论 【典例7】计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式7-1】（24-25七年级上·河南南阳·阶段检测）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值去掉．例如：；；； (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ① ； ② ； ③ 其中． (2)根据你发现的规律完成计算： 【答案】(1)；；； (2) 【详解】（1）解：①， ； ②， ； ③， ； 故答案为：；；； （2）， ， ， ， ． 【变式7-2】（25-26七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）［信息提取］ 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． ［初步体验］ （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①______；②______． ［拓广应用］ （2）计算：． 【答案】（1）①；②． （2） 【详解】（1）解：根据题意，得①， 故答案为：； ②， 故答案为：． （2）解： ． 【变式7-3】（24-25七年级上·全国·期中）观察下列各式： ① ； ② ； ③ ； ④ ； (1)按上述规律写出第五个等式： ________． (2)写出第n个等式： ________． (3)根据上述规律，计算： 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）① ； ② ；③ ； ④ ； 第五个等式是：； 故答案为：； （2）由（1）归纳可得： 第n个等式：， 故答案为：； （3）解： 题型8 培优：正负交替数列规律求和 方法技巧 解题技巧：两两分组求和，锁定每组固定结果，计算组数快速求值，省去逐项计算 【典例8】计算． 【答案】1011 【详解】解：设是第个数， 第个数是， 第个数是， 第个数是， ， 第个数是， 解得：， 每两个数分为一组，共有组， ． 【变式8-1】（23-24七年级上·广东佛山·阶段检测）（1）计算： ① ② （2）蚂蚁在数轴的原点处，第一次向右爬行1个单位，第二次向右爬行2个单位，第三次向左爬行3个单位，第四次向左爬行4个单位，第五次向右爬行5个单位，第六次向右爬行6个单位，第七次向左爬行7个单位…… ①按照这个规律，第1024次爬行后蚂蚁所在位置在原点左侧还是右侧？对应哪个数？ ②按照这个规律，第______次爬行后蚂蚁在数轴上表示751的位置． 【答案】（1）①；②；（2）①第1024次爬行后蚂蚁所在位置在原点左侧，；②750 【详解】解：（1）① ； ② ； （2）① 所以第1024次爬行后蚂蚁所在位置在原点左侧，对应的数为； ②小蚂蚁在正半轴爬行的规律为：第5次爬行到表示1的位置， 第6次爬行到表示的位置； 第9次爬行到表示1的位置， 第10次爬行到表示的位置； 第13次爬行到表示1的位置， 第14次爬行到表示的位置， 故小蚂蚁爬行第次均在表示1的位置， ∵， ∴第749次爬行到表示1的位置，第750次爬行到表示的位置． 故答案为：750 【变式8-2】（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：…． 请回答下列问题： (1)按上述等式的规律，列出第5个等式：____________； (2)计算：． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：， 第5个等式：， 故答案为：，； （2）解： ． 【变式8-3】探索发现：；； 根据你发现的规律，回答下列问题： （1） ， ； （2）利用你发现的规律计算：； （3）计算： 【详解】解：（1）， ； 故答案为 （2）原式＝ ; （3） 题型1 绝对值非负性压轴小题 1．（25-26七年级上·广东河源·期中）若，则______ ． 【答案】1 【详解】解：∵， 则 ∴， 解得， ∴， 故答案为：1 2．（25-26七年级上·河南新乡·期中）若，则的值为_______． 【答案】3 【详解】解：∵，且，， ∴且， 即且， 解得，， ∴． 故答案为：3． 3．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）若与互为相反数，则______． 【答案】 【详解】解：∵与互为相反数，互为相反数的两个数的和为零， ∴， 解得 ∴ 故答案为： 4．（25-26七年级上·吉林四平·期中）若，则______． 【答案】或 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：或． 5．（25-26七年级上·四川达州·期中）若，则_____． 【答案】2 【详解】解：因为， 所以， 因为，，， 所以得,，， 所以，，， 因此； 故答案为2． 题型2 条件型绝对值分类讨论 6．（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）已知，且，求的值． 【答案】或 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，或，， 当，， 则； 当，， 则； 故的值为或． 7．按要求解答下列各题： (1)比较大小（用“ ”“ ”或“＝”填空） ①_________ ②_________ ③__________ (2)在（1）的基础上，嘉淇又举出若干个例子，并归纳得出以下结论，请你补充完整 ①当 ， ________（填“同号”或“异号”）时，有_______ ②当 ， ________（填“同号”或“异号”）时，有_______ ③当 ， 中至少有一个为0时，_______ (3)根据上述结论，请你直接写出当时， 的取值范围 【详解】（1）解：①，， ； ②，， ； ③ ， ， ． （2）解：根据小问（1）的结果可得出： ①当 ， 异号时，有， ②当 ， 同号时，有， ③当 ， 中至少有一个为0时，； （3）解：可整理成， 由小问2结论可得到，等式成立时，与同号或者， 即． 8．（25-26七年级上·陕西西安·期末）同学们知道，表示与的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数与数两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数与数_____________两点间的距离； (2)的最小值是_____________； (3)计算的最小值． 【详解】（1）解：由题意得：表示数轴上数与数两点间的距离； 故答案为：； （2）解：当时，，即； 当时，； 当时，，即； 综上：的最小值是； 故答案为：； （3）解：共项， 根据绝对值的几何意义，取中间项时，原式的值最小， 即：当时， 原式 ， ∴的最小值为：． 9．（25-26七年级上·广东揭阳·期中）【定义新知】 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离和． 请根据数轴解决以下问题： 【举一反三】 （1）可理解为______与______在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）若，则的值为______； 【问题解决】 （3）请你结合数轴探究：的最小值是______； （4）借助数轴思考，当x为何值时，与的值相等． 【拓展应用】 （5）如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，请你求出点所对应的数是多少． 【详解】（1）解：表示与的差的绝对值，可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 可理解为与在数轴上所对应的两点之间的距离， 故答案为：，； （2）解：，可理解为与在数轴上所对应的两点之间的距离为， 则或， 故答案为：或； （3）解：表示与和在数轴上所对应的两点之间的距离之和， 当时，的最小值是， 故答案为：； （4）解：和可看成数轴上表示数的点与表示的点和表示的点的距离， 又与的值相等， 如图所示：当表示数的点为线段的中点时，与的值相等，此时，               （5）解：，之间的距离为， 依题意有：秒，即秒后相遇， 即相同时间点运动路程为：（个单位）， 则从数向右运动个单位到数， 故点对应的数是． 题型3 新定义加减运算 10．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义：表示不超过的最大整数． (1)求的值； (2)求的值． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 11．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义新运算 “”，根据运算规律完成作答： ，，，，，． (1)归纳 “” 运算法则：两数进行运算时，_________；任何数与进行运算时，___________． (2)计算：； (3)判断交换律、结合律在该运算中是否适用． 【详解】（1）解：由已知运算可得，两数进行运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；任何数与进行运算时，结果为这个数的绝对值； （2）解： ； （3）解：交换律适用，结合律不适用， 设同号时， 则，，故； 设异号时， 则，，故； 设中，则，，故， ∴交换律适用； 对于结合律，不成立， 举例子，设， 则，，结果不同 故对于结合律不适用． 12．（25-26七年级上·福建厦门·期中）对于有理数a，定义运算表示的意义如下： 将的绝对值的各位数字相加，若结果大于等于，则继续将结果的各位数字相加，直到得到一个个位数，这个数称为的“数字根”． 如果是负数，则就是这个数字根的相反数； 如果是正数，则就是这个数字根； 如果是，则特别地，的数字根是． 例：：，所以； ：，因为原数是负数，所以；． (1)______；若是一个两位数，且，写出满足条件的一个有理数的值：_______； (2)猜想：对任意整数，是否一定有成立？若成立，请说明理由，若不成立，请举一个例子说明． 【详解】（1）解：∵：， ∴， ∵是一个两位数，且， ∴当两个数字之和小于时，或或或， 当两个数字之和大于时，或或或或或， 故答案为：；或或或或或或或或或（写一个即可）； （2）解：不一定成立，理由， 反例：取，， 所以：；：； ∴，， 所以左边； 右边， ∴左边右边，即， ∴原等式不一定成立． 一、单选题 1．（2026·四川南充·中考真题）计算结果是（     ） A． B． C．0 D．4 【答案】C 【详解】解：∵和互为相反数，根据有理数加法法则，互为相反数的两个数相加得． ∴． 2．（2024·湖南长沙·中考真题）“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是、最高温度是，则它能够耐受的温差是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：能够耐受的温差是， 故答案为：D． 3．（2025·河北·中考真题）从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】解： 故选：B． 4．（2026·福建·中考真题）福建省首届“闽超”足球比赛正如火如荼进行中，在某轮比赛中甲队与乙队的比赛结果为，丙队与丁队的比赛结果为．若把这轮比赛中甲队的净胜球数记作，则丙队的净胜球数应记作（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：净胜球数的计算规则为：净胜球数进球数失球数， ∵甲队与乙队的比赛结果为，即甲队进球数为，失球数为， ∴甲队的净胜球数为，记作， ∵丙队与丁队的比赛结果为，即丙队进球数为， 失球数为， ∴丙队净胜球数为，即丙队的净胜球数应记作． 5．（2024·四川攀枝花·中考真题）一个自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身，这种数叫做完全数．例如，是一个完全数，．下列各数是完全数的是（   ） A． B．8 C．6 D．4 【答案】C 【详解】解∶ A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项符合题意； D．，故本选项不符合题意． 故选∶C． 二、填空题 6．（2026·云南·中考真题）中国是历史上最早认识和使用负数的国家．某地某天最高气温为零上6摄氏度，最低气温为零下2摄氏度，则该地这天最高气温比最低气温高________摄氏度． 【答案】 【详解】解：规定零上温度为正，则该地这天最高气温为，最低气温为． ∴该地这天最高气温比最低气温高． 7．（2024·陕西·中考真题）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】0 【详解】解：由题意，填写如下： ，满足题意； 故答案为：0． 8．（2021·陕西·中考真题）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为______． -1 -6 1 0 a -4 -5 2 -3 【答案】-2 【详解】解：由表第一行可知，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均为， ∴， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知数轴上的点、分别表示数，其中，，且，若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，且， ∴点和点在与0之间，且点在点的左侧，， ∴， ∴点的位置在中间， 故满足题意的只有选项A； 故选A 2．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若，且，则的值为（   ） A．或 B．10或2 C．或2 D．10或 【答案】A 【详解】解：∵， ∴，， ∵， 当时，，，均不符合条件，舍去； 当时，，符合要求；，符合要求； 分两种情况计算： 当，时，； 当，时，； ∴的值为或，故A正确． 3．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）对于有理数，下列说法正确的有（     ） ①若，则与互为相反数； ②若，则一定异号； ③若且两数同号，则； ④若，两数异号，则； ⑤若，则． A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 【答案】A 【详解】解：①若，则与互为相反数，故①正确； ②若，举反例：取，，满足，但、同为负，是同号，故②错误； ③若且两数同号，根据同号两数相加的法则：同号相加取相同符号，若两数同为负，和一定为负，无法满足和大于0，因此两数只能同为正，即，故③正确； ④若且两数异号，举反例：取，，满足且两数异号，，不符合结论，故④错误； ⑤若，因为， 因此可得， 分类讨论：若，则，可得； 若，则，整理得， 因此无论取何值，都有，故⑤正确． 综上，正确的说法共3个． 二、填空题 4．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知表示不超过x的最大整数．如：．现定义：，如，则______． 【答案】 【详解】解：∵， ； ∵， ∴； ∴， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·陕西西安·期中）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 _____________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】0（答案不唯一） 【详解】解：根据题意可知， ，满足题意． 6．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）如图1，点是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的有理数为，，，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度，则数轴上点所对应的数为______． 【答案】 【详解】解：∵在数轴上点A表示的数为，点C表示的数为， ∴在数轴上点A与点C的距离为； ∵在刻度尺上，数字0对应点A，数字对应点C， ∴在刻度尺上点A与点C的距离为， ∴刻度尺上在数轴上表示个单位长度， ∵在刻度尺上点对应刻度， ∴在刻度尺上点A与点B的距离为， ∴在数轴上点A与点B的距离为， ∴． 7．（25-26七年级上·湖北孝感·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．在6进制中，数位上能显示的最大数字与最小数字之和为______． 【答案】5 【详解】解：∵在6进制中，数位上能显示的最大数字是5，最小数字是0， ∴它们的和为； 故答案为：5． 8．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为___________． 【答案】 【详解】解：， ， ， 则． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·湖南娄底·期末）_____. 【答案】 【详解】解：原式， ， 故答案为： ． 三、解答题 10．（24-25七年级上·四川南充·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）列式并计算： (1)减去与和，求所得的差； (2)求的绝对值的相反数与相反数的和． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：； （2）解：． 12．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图是一种转盘型密码锁，共有40个小格．每次开锁时需要先把表示“0”的刻度与固定盘上的标记线对齐，再顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘6次．规定：逆时针旋转记为“”，顺时针旋转记为“”，例如“”表示顺时针旋转5小格，此时标记线对准的数为35． (1)若开锁密码为“，，，，，”（需旋转6次），请描述第一次的旋转过程，并求锁打开时标记线对准的刻度线所表示的数； (2)若转盘逆时针旋转1小格损耗单位零件寿命，顺时针旋转1小格损耗单位零件寿命，请计算第（1）问打开锁的过程中零件寿命总损耗． 【答案】(1)过程见解析，刻度线所表示的数为 (2) 【详解】（1）解：根据题意，第一次旋转过程为：逆时针旋转15小格， ， ， ∴刻度线所表示的数为； （2）解：， ， ， ∴零件寿命总损耗为单位． 13．（25-26七年级上·重庆巫山·期末）先阅读材料，再解决问题 【阅读】 表示5与2差的绝对值，也可以理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可以理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 解答问题： （1）数轴上表示和2两点之间的距离是_____；类似地，数轴上表示数和的两点之间的距离等于．如果表示数和－1的两点之间的距离是3，那么的值为_____； （2）若，，且数，在数轴上表示的点分别是点，点，则，两点间的最大距离是_____，最小距离是_____； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是_____； 【应用】 （4）小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作1，小明学校记作，求距离和的最小值． 【答案】（1）5；2或；（2）13；1；（3）9；（4）4 【详解】解：（1）， ∴数轴上表示和2两点之间的距离是5； ∵数a和的两点之间的距离是3， ∴， ∴或， ∴a的值为2或； 故答案为：5；2或； （2）∵，， ∴，， ∴或，或， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； ∴A，B两点间的最大距离是13，最小距离是1， 故答案为：13；1； （3）表示的是数轴上表示数的点到表示数的点之间的距离， 表示的是数轴上表示数的点到表示数4的点之间的距离， ∴表示到数和4的点之间的距离之和等于5的点， 由数轴可得，表示数的点在数轴上表示数和4的点之间， ∴符合条件的整数点x为，0，1，2，3，4， ∴这些点表示的数的和是； 故答案为：9； （4）表示的是数轴上表示数的点到表示数1的点之间的距离， 表示的是数轴上表示数的点到表示数的点之间的距离， 表示数的点到数1和的点之间的距离之和， 由数轴可得，表示数的点在数轴上表示数1和的点之间时，距离和取得最小值，最小值为， ∴距离和的最小值为4． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $