专题1.1 正数和负数（暑假预习讲义） 2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题1.1 正数和负数 【本节预习目标】 1.理解正数、负数的概念，能正确识别正负数，明确0既不是正数也不是负数。 2.理解具有相反意义的量的含义，掌握用正负数表示相反意义的量的方法。 3.能运用正负数解决生活中的达标统计、产品偏差、数量变化等实际问题。 4.了解正负数的数学文化背景，体会数的扩展与生活实际的联系，初步建立数感。 【前置旧知回顾】 知识模块 小学已学旧知 本节新知关联 数的认识 自然数、分数、小数，用于表示物品数量、长度、价格等非负的量 在小学数的基础上扩展出负数，用于表示相反意义的量，数的范围正式扩充到有理数 数量比较 用“多、少、高、低”描述数量差异，以0为起点计数 引入正负数后，可以用正负号规范表示高于或低于基准的量，描述更简洁，计算更便捷 生活应用 用具体数值描述温度、海拔、收支等场景 通过正负数统一表示成对的相反意义的生活量，如零上/零下、收入/支出、高于/低于海平面 知识点1：正数和负数的概念 1.基本定义 数的类型 定义 示例 注意事项 正数 大于0的数叫做正数 ，1.8%，， 正数前面的“+”（正号）可以省略不写 负数 在正数前面加上符号“-”（负号）的数叫做负数 ，，， 负数前面的“-”（负号）不能省略 0 正数与负数的分界 0既不是正数，也不是负数 2. 0的多重意义 0可以表示“没有”，如0个物品； 0是正负数的分界点，是确定正负的基准； 0可以表示具体的量，如表示标准大气压下冰水混合物的温度，不是没有温度。 知识点2：具有相反意义的量 1.核心特征 成对性：相反意义的量是成对出现的，单独一个量不能称为相反意义的量； 同类性：必须是同一类别的量，如“向东走5米”与“向西走8米”是同类量，“收入”与“身高”不是同类量； 不唯一性：具有相反意义的量，数量不一定相等，如与“盈利300元”相反的可以是亏损400元，也可以是亏损100元。 2.表示方法 先确定基准，规定其中一种意义的量为正（用正数表示），则与其意义相反的量为负（用负数表示）； 选择的基准不同，表示的结果也不同，如以山脚为基准和以海平面为基准，山高的表示结果不同。 【基础巩固题型】 【题型1】正负数的识别与分类 1.核心知识点 正数、负数、0的定义；数的符号书写规则 2.解题方法技巧 ①根据定义判断：大于0的数是正数，正数前加负号的数是负数，0既不是正数也不是负数； ②注意省略正号的正数，如和都属于正数； ③数的分类中0单独归类，不可归入正数或负数集合。 【例题1】.（25-26六年级下·云南楚雄·期中）在、、0、、、、263、中，正数有( )个，负数有( )个，( )既不是正数，也不是负数． 【答案】 4 3 0 【详解】解：正数：，，，，共个； 负数：，，，共个； 既不是正数，也不是负数． 【变式题1-1】.（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在，，，，，，中，负数有（  ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】在，，，，，，中， 负数：，，， ∴负数共有个． 【变式题1-2】.（2026·贵州黔东南·二模）在实数，，0，6中，负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据“负数小于0”的定义逐一判断给定数即可得到结果． 【详解】解：∵负数是小于的实数， 对给出的数逐一判断：，是负数；，是负数；既不是正数也不是负数；，是正数；∴一共有个负数． 【变式题1-3】.（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测），，0，，3这几个数中，正数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题根据正数的定义进行判断，大于0的数是正数，0既不是正数也不是负数，逐个判断给定的数，统计正数的个数即可得到结果． 【详解】解：∵正数的定义为大于0的数，0既不是正数也不是负数 给定的数分别为，，0，，3， 其中大于0的数为，，，共3个 ∴正数有3个． 【题型2】相反意义的量的判断 1.核心知识点 相反意义的量的三大特征：成对性、同类性、意义相反 2.解题方法技巧 ①先判断两个量是否属于同一类别，不同类的一定不是相反意义的量； ②再判断意义是否相反，如“上升”对应“下降”，“收入”对应“支出”； ③单纯的反义词不一定对应相反意义的量，如“黑色”和“白色”只是颜色差异，无数量层面的相反意义。 【例题2】.（25-26六年级下·云南楚雄·期中）我国古代《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，指在解决实际问题时，常会遇到两种意义相反的“量”，如盈利与亏损、增加与减少等，为了区分这两种相反意义的量，需要用正负数来表示．下面表示互为相反意义的量的是（     ） A．比标准体重多4千克与低于标准身高4厘米 B．足球比赛中，进5个球与失3个球 C．向南走100米与向东走100米 【答案】B 【分析】先明确互为相反意义的量的判定条件：属于同一类量，且意义相反，据此逐一判断选项即可. 【详解】解：∵互为相反意义的量需要同时满足两个条件：①属于同一范畴的同一类量；②意义相反. 对选项A：两个量分别是体重和身高，不属于同一类量，不满足条件； 对选项C：向南和向东不是相反意义，向南的相反意义是向北，不满足条件； 对选项B：进球和失球是描述足球得分得失的同一类量，且意义相反，满足互为相反意义的量的要求. 【变式题2-1】.（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各对量中，不具有相反意义的量是（    ） A．收入100元与支出50元 B．气温上升与下降 C．前进5米和后退3米 D．身高增加与体重减少 【答案】D 【分析】本题考查相反意义的量的概念，一对具有相反意义的量需是同一类量，且意义相反，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：选项A、收入100元与支出50元，是同一类量，意义相反，具有相反意义，不符合要求； 选项B、气温上升与下降，是同一类量，意义相反，具有相反意义，不符合要求； 选项C、前进米和后退米，是同一类量，意义相反，具有相反意义，不符合要求； 选项D、身高增加与体重减少，身高和体重是不同类的量，不具有相反意义，符合要求． 【变式题2-2】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）下面哪对量是具有相反意义的量？如何用正负数来表示它们？ (1)在知识竞赛中，得20分和扣10分． (2)一座水库蓄水量增加和减少． (3)一辆公共汽车在一个停车站下去10名乘客和上来8名乘客． (4)长方形的周长是和面积是． 【答案】(1)具有相反意义，得20分记为分，扣10分记为分 (2)具有相反意义，增加记为，减少记为 (3)具有相反意义，下去10名记为名，上来8名记为名 (4)无相反意义 【分析】根据正负数的意义，相反意义的量的特点，逐项进行判断即可． 【详解】（1）解：∵ 得20分表示分数增加，扣10分表示分数减少， ∴它们是具有相反意义，得20分记为，扣10分记为． （2）解：∵蓄水量增加表示水量增加，减少表示水量减少， ∴具有相反意义，增加记为，减少记为． （3）解：∵下去10名乘客表示乘客减少，上来8名乘客表示乘客增加， ∴具有相反意义．下去10名记为名，上来8名记为名； （4）解：∵周长是长度量，面积是面积量， ∴两者无相反方向含义，故无相反意义． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·甘肃张掖·阶段检测）写出与下面各量具有相反意义的量，并用正负数表示． (1)高于海平面74.6米，高于海平面为正； (2)转动转盘，顺时针转动4圈，顺时针旋转为正； (3)气温是零下，零下为负． 【答案】(1)低于海平面74.6米，记作米 (2)逆时针转动4圈，记作圈 (3)零上，记作 【分析】本题考查相反意义的量，用正负数表示变化的量，先规定其中一个用正（或负）表示，则其相反意义的量就用负（或正）表示． （1）高于海平面为正，则低于海平面为负； （2）顺时针转动为正，则逆时针转动为负； （3）零下温度为负，则零上温度为正． 【详解】（1）解：低于海平面74.6米，记作米； （2）解：逆时针转动4圈，记作圈； （3）解：零上，记作． 【题型3】用正负数表示相反意义的量 1.核心知识点 正负数的表示规则；基准的确定 2.解题方法技巧 ①先明确题干规定的正方向与基准，如“海平面为基准，高于海平面记正”； ②高于基准用正数表示，低于基准用负数表示，恰好等于基准记为0； ③书写结果时注意带上对应单位，不可只写数字。 【例题3】.（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）月球表面昼夜温差非常大，白天平均温度零上，夜间平均温度零下．若将零上记作，则零下可记作（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正负数表示一对相反意义的量，根据题干对零上温度的记法，即可推出零下温度的记法． 【详解】∵题干规定零上温度记作正数， ∴与零上意义相反的零下温度记作负数， ∴零下可记作． 【变式题3-1】.（2026·广东清远·二模）在一次环保公益活动中，志愿者们记录塑料瓶的收集和捐赠情况．如果把收集到8个塑料瓶记作个，那么捐赠出去8个塑料瓶记作（     ） A．个 B．0个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】用正负数可以表示一对具有相反意义的量，根据题目给定的记法即可推导结果． 【详解】解：∵把收集到个塑料瓶记作个，收集和捐赠出去是一对相反意义的量， ∴相反意义的量需要用相反符号表示， 因此捐赠出去个塑料瓶记作个． 【变式题3-2】.（2026·吉林长春·二模）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果表示向东走，那么表示（     ） A．向东走 B．向西走 C．向东走 D．向西走 【答案】D 【详解】解：因为表示向东走，则向东走用正数表示，负数表示与向东相反的方向，即向西，即可得到 表示向西走． 【变式题3-3】.（2026·广东梅州·二模）中国古代数学著作《九章算术》中最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算．若向东走记作，则向西走可记作（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵向东记为正， ∴向西记为负， ∴向西走记作． 【题型4】产品允许偏差类问题 1.核心知识点 正负数表示误差范围；合格区间的计算 2.解题方法技巧 ①先计算合格范围：标准值-偏差下限到标准值+偏差上限，如对应合格区间为； ②判断产品是否合格，只需看数值是否落在合格区间内； ③最大合格值与最小合格值的差=2×允许偏差值。 【例题4】.（25-26七年级上·浙江金华·期末）某规格金华火腿的质量标识为“千克”，则下列火腿中合格的是（   ） A．4.70千克 B．4.85千克 C．5.25千克 D．5.30千克 【答案】B 【分析】根据质量标识计算出合格质量的取值范围，再判断各选项是否在该范围内即可得出答案． 本题主要考查了具有相反意义的量，正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 【详解】解：∵质量标识为“千克”， ∴合格质量的最小值为（千克）， 最大值为（千克）， ∵，，，， ∴只有选项B的火腿质量在合格范围内； 故选：B． 【变式题4-1】.（2026·河南三门峡·三模）如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，这表示乒乓球的标准直径是，允许偏差是．那么下列选项中的乒乓球直径合格的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， 所以满足题意的范围是， 观察各选项，只有B符合题意．． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·全国·阶段检测）一产品的直径在图纸上标明的加工要求是，则直径尺寸为是___________产品；填“合格”或“不合格” 【答案】不合格 【分析】本题考查了正负数的应用，由于产品的直径加工要求是，则这种产品的标准尺寸为，合格产品的最大直径是，最小直径是，然后进行判断即可，正确计算表示出直径的范围是解题的关键． 【详解】解：∵产品的直径加工要求是， ∴这种产品的标准尺寸为，合格产品的最大直径是，最小直径是， ∵加工成的产品的直径尺寸为， ∴这个产品是“不合格”产品， 故答案为：不合格． 【变式题4-3】.（2026·江苏淮安·一模）一种面粉的质量标识为“千克”，则下列面粉的质量中合格的是（    ） A．10.1千克 B．9.7千克 C．11.2千克 D．9.2千克 【答案】A 【分析】先根据标识求出合格面粉的质量范围，再逐一判断选项即可． 【详解】解：∵面粉的质量标识为千克， ∴合格面粉的最大质量为千克， 合格面粉的最小质量为千克， 即合格质量的范围是9.8千克面粉质量 10.2 千克， ∵，其余选项质量均不在该范围内， ∴10.1千克的面粉合格． 【培优提升题型】 【题型5】逐日变化类正负数计算 1.核心知识点 相对前一时刻的变化量；累计值的计算 2.解题方法技巧 ①明确变化量的基准：“比前一天多/少”是以上一天的数量为基准，而非以第一天为基准； ②逐日累加变化量，依次算出每天的实际数量，再查找最大值、最小值或计算总和； ③计算最终总变化量时，可将所有变化量直接相加，再结合初始值得到最终数量。 【例题5】.（25-26七年级上·广东广州·期中）外卖小哥小张某天骑电动车在东西走向的路上送外卖，往东行驶的路程记作正数，往西行驶的路程记作负数．全天行程的记录如下（单位：）： ，，，，，，，，，． (1)当小张将最后一个外卖送到目的地时，距出发地的距离为多少千米？ (2)若小张的电动车充满电能行驶，在该电动车一开始充满电而途中不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 【答案】(1)4千米 (2)他能完成上面的行程，理由见解析 【分析】本题考查了正负数的实际应用，正负数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）把行程中的正负数相加即可解答； （2）求出所行驶的路程后进行比较即可． 【详解】（1）解：， 答：当小张将最后一个外卖送到目的地时，距出发地的距离为4千米． （2）解：， 因此他能完成上面的行程． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·陕西渭南·期中）为加强校园周边治安综合治理，治安巡逻车从地出发在学校旁边的一条南北方向的公路上执行治安巡逻，规定向南为正．巡逻车先向北行驶4千米，然后折回向南行驶5千米，又折回向北行驶7千米，最后折回向南行驶3千米．此时巡逻车在地的什么方向？距地多远？ 【答案】巡逻车在地的北边，距地千米． 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加、减、运算，掌握正负数的意义是解题的关键． 【详解】解：由题意得向南为正， 则巡逻车行驶距离为： 答：巡逻车在地的北边，距地千米． 【变式题5-2】.（24-25七年级上·河北石家庄·阶段检测）在机器人社团活动中，小明通过编程使一只电子蚂蚁从点处出发，在一直线上连续匀速左右爬行6趟，若向右爬行记为正，向左爬行记为负．电子蚂蚁爬行情况依次记为（单位：厘米）：，，，，，． (1)电子蚂蚁最后位于起点的右侧还是左侧？距起点多少厘米？ (2)电子蚂蚁离开起点最远是多少厘米？ (3)若电子蚂蚁共用了28秒完成上面的路程，求电子蚂蚁的速度． 【答案】(1)电子蚂蚁最后位于起点的左侧，距起点是4厘米 (2)电子蚂蚁离开起点最远是14厘米 (3)电子蚂蚁的速度为1.5厘米/秒 【分析】本题考查正负数的概念，关键是掌握正负数表示的实际意义． （1）各数据相加来求解； （2）通过计算，即可解决问题； （3）计算出电子蚂蚁爬行的总路程即可求解． 【详解】（1）解：， 所以电子蚂蚁最后位于起点的左侧，距起点是4厘米． （2）解：，，，，， 即电子蚂蚁离开起点最远是14厘米． （3）解：，（厘米/秒）， 即电子蚂蚁的速度为厘米/秒． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）一个病人每天要测量5次体温，该病人某一天5次所测体温变化情况（与前一次的温度比较，升高为正，降低为负，前一天最后一次测量的体温是）如表所示： 时间 体温变化/℃ 实际体温/℃ _________ _________ _________ _________ _________ (1)补全上面的表格； (2)计算该病人这一天的平均体温． 【答案】(1) 表格见解析 (2) 【分析】本题考查了有理数的加减、平均数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据每天的体温变化计算即可； （2）根据平均数的计算方法解题即可． 【详解】（1）解：，，，，； 表格如下： 时间 体温变化 实际体温 _________ _________ _________ _________ _________ （2）解：平均体温为：． 【题型6】跨学科情境正负数应用 1.核心知识点 正负数在地理、历史、物理等学科中的应用；跨学科基准的含义 2.解题方法技巧 ①读懂学科背景，明确对应的基准（如海平面、公元元年、0刻度等）； ②将学科问题转化为正负数的加减计算问题； ③计算完成后将结果还原回学科实际意义，保证结论符合学科常识。 【例题6】.（25-26七年级上·江西上饶·阶段检测）10袋小麦以每袋为准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，分别记为：． (1)这10袋小麦中质量最大的是多少千克？质量最小的是多少千克？ (2)这10袋小麦总质量是多少千克？ 【答案】(1)质量最大的是54千克，质量最小的是45千克 (2)500 【分析】本题考查正负数在实际生活中的应用，解题的关键是正确理解正负数的意义． （1）根据正负的含义，求出各袋小麦的质量对比求解即可； （2）先计算总的10袋小麦超过或不足的情况，再计算总质量即可． 【详解】（1）解： 第一袋：； 第二袋：； 第三袋：； 第四袋：； 第五袋：； 第六袋：； 第七袋：； 第八袋：； 第九袋：； 第十袋：； ， 所以质量最大的是，质量最小的是； 答：质量最大的是54千克，质量最小的是45千克； （2）解：（千克）， 所以总质量为． 答：这10袋小麦总质量是500千克． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·云南昆明·期中）国庆黄金周到来之际，小明欲到美丽的“兰茂故里”嵩明开启一段美妙旅行！为更好地规划行程，临行前特意查找了该地区一周内（月1日至月7日）每日的平均气温情况；若以为标准，超过或不足的气温度数分别用正数、负数来表示，记录如下： 日期 月1日 月2日 月3日 月4日 月5日 月6日 月7日 日平均气温（℃） 0 (1)求这一周内的最高气温与最低气温相差多少摄氏度？ (2)求这一周内的平均气温是多少摄氏度？ (3)若小明希望气温在以上时进行户外活动，那么这一周中有几天适合户外活动？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)3天 【分析】本题主要考查正负数的实际应用、平均数的计算以及不等式的简单应用．根据记录值与标准温度的关系，计算实际温度，进而求解最高与最低温差、平均温度以及适合户外活动的天数． （1）根据正负数的意义判断出月5日气温最高，月7日气温最低，然后列式计算即可得解； （2）准确将每日记录值转换为实际气温（实际值记录值），再用平均数公式计算七日平均值； （3）明确“以上”的标准（），从转换后的气温数据中筛选符合条件的日期数量． 【详解】（1）解：由题意得，月5日平均气温最高，当日平均气温为（）， 月7日平均气温最低，当日平均气温为（）， ∴这一周内的最高气温与最低气温相差（）． 故答案为：； （2）解：月1日平均气温为（）， 月2日平均气温为（）， 月3日平均气温为（）， 月4日平均气温为（）， 月5日平均气温为（）， 月6日平均气温为， 月7日平均气温为（）， ∴这一周内的平均气温是（）． 故答案为； （3）解：由（2）可知，10月3日、10月4日和10月5日的气温分别为、和，均在以上，适合户外活动 故这一周中有3天适合户外活动． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·山西临汾·阶段检测）某超市2025年1−6月份的营业额与2024年同月营业额相比，其增长率如下表所示．请根据表格信息回答下列问题： 月份 1 2 3 4 5 6 相比年同月营业额的增长率 0 0.4 (1)该超市年月份的营业额与年同月营业额相比，哪几个月是增长的？ (2)年1月和4月相比年同月营业额的增长率是负数分别表示什么意义？ 【答案】(1)3月、5月、6月 (2)2025年1月和4月的营业额与2024年1月和4月的营业额相比分别降低了和 【分析】本题主要考查了正负数在实际增长率问题中的应用，熟练掌握正负数表示相反意义的量是解题的关键． （1）找增长率为正的月份； （2）解释增长率为负的含义． 【详解】（1）解：3月（增长率）、5月（增长率）、6月（增长率）是增长的． （2）解：年1月和4月相比年同月营业额的增长率是负数表示2025年1月和4月的营业额与2024年1月和4月的营业额相比分别降低了和． 【变式题6-3】.（24-25七年级上·贵州遵义·阶段检测）阅读下列材料并解答问题． 素材 为了进一步加强对学生的劳动教育，某校将学校劳动实践基地划分区域，分给每个班级自主管理．七年级一班的同学们在本班的种植区域中种植了花生，经过精心耕种，同学们一共收获了8筐花生，以每筐为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重后记录如下： 筐号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 重量 2.5 0 1 2 任务1 （1）求这8筐花生的实际重量分别为多少千克？ 任务2 （2）在学校的组织下，同学们对收获的花生以市场价7元/千克的价格全部售出，已知七年级一班在播种时，以10元/千克的价格购进花生种子15千克，请你帮七年级一班同学算一算，他们此次耕种花生获利了多少元？ 【答案】 （1）① ②③④ ⑤ ⑥⑦ ⑧ （2）669元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，理解正负数的意义是解题的关键． （1）根据正负数的意义解题即可； （2）分别算出销售额和成本即可． 【详解】解：（1）∵每筐以为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数， ∴筐号①的实际重量为：； 筐号②的实际重量为：； 筐号③的实际重量为：； 筐号④的实际重量为：； 筐号⑤的实际重量为：； 筐号⑥的实际重量为：； 筐号⑦的实际重量为：； 筐号⑧的实际重量为：； （2）销售额为：元， 成本为：元， ∴获利元． 易错点 1、对负数概念理解片面：误认为带“-”号的数都是负数，忽略字母可以表示任意数；或将0归为正数或负数，忽略0是正负数的分界。 2、判断相反意义的量出错：忽略“同类量”的要求，将不同类的反义词（如黑白、快慢）当作相反意义的量；或认为数量必须相等才是相反意义的量。 3、逐日变化类计算混淆基准：误将每天的变化量当作相对于初始值的偏差，直接与初始值相加，导致后续天数的计算结果错误。 重点 1、正数、负数和0的定义，能正确识别与分类正负数。 2、用正负数表示具有相反意义的量，解决生活中的达标、偏差、数量变化等实际问题。 难点 1、理解基准的意义，灵活选择基准表示相反意义的量。 2、正负数的规律探究与跨学科综合应用，结合实际情境的方案设计。 一、单选题 1．我国自主研制的“海斗一号”潜水器最大下潜深度为10907米，“极目一号”型浮空艇最高升空至海拔9050米．若将海平面以下10907米记作米，则海平面以上9050米记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】解：根据正数和负数表示具有相反意义的量，可知海平面以上9050米记作米． 2．一袋大米包装上标有：，表示它最轻是（     ）kg． A． B．15 C． D．16 【答案】A 【分析】理解标注的含义，计算最轻质量即可得到答案． 【详解】解：∵的含义是：这袋大米的标准净重为，实际净重允许的范围是上下浮动，即最轻比少， ∴最轻质量为． 3．我国很早就开始使用负数，《九章算术注》中用不同颜色的算筹分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．若红色算筹“”表示的数是“”，则黑色算筹“”表示的数是（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据红色算筹的表示规则确定横线、竖线代表的数字，再结合黑色算筹代表负数的规则求解． 【详解】 解：已知红色算筹表示， 可得：3条横线代表十位数字3，2条竖线代表个位数字2， 因此黑色算筹：4条横线是十位4，3条竖线是个位3， 又因为黑色算筹表示负数，所以该数为． 二、填空题 4．某工厂加工一种精密零件，图纸上标明该零件的标准直径是，超过标准直径记为正，不足标准直径记为负．现检验员抽检一个零件，测得直径相对标准的误差为，则该零件的实际直径是______． 【答案】29.92 【详解】解：由题意可得，该零件的实际直径为：． 5．在、、、0、、、1和这些数中，正数有( )个，负数有( )个． 【答案】 4 3 【分析】根据正负数的定义解答即可． 【详解】解：正数有：、、、1，共4个， 负数有：、、，共3个． 6．如盈利记为正，则亏本记为负，元表示______，元表示_______． 【答案】 盈利3000元 亏本240元 【分析】本题考查正负数的意义，题目已规定盈利记为正，亏本记为负，只需根据规定判断正负数对应的实际意义即可． 【详解】解：根据正负数表示具有相反意义的量， 由题意得，盈利记为正，则正号表示盈利，负号表示亏本， 因此元表示盈利元，元表示亏本元． 三、解答题 7．如果向东走3米记作米，那么向西走5米记作什么？原地不动记作什么？ 【答案】向西走5米记作米，原地不动记作0米 【分析】本题考查正负数的实际应用，具有相反意义的量，0的实际意义，掌握相关知识是解决问题的关键．向东走为正，那么与向东相反的方向即向西走就应该用负数表示．原地不动记作0米． 【详解】解：题目中规定向东走为正，那么与向东相反的方向即向西走就应该用负数表示， ∴向西走5米记作米； 原地不动没有移动距离，根据0的意义，记作0米． 8．某公司去年第一季度（1月到3月）共亏损万元，第二季度（4月到6月）平均每月盈利万元，说明这个公司去年上半年总的盈亏情况． 【答案】这个公司上半年总共盈利万元 【分析】本题考查了正负数的定义，理解题意并列出算式是解题的关键． 根据正负数的定义进行解题． 【详解】解： ， ∴盈利万元． 答：这个公司上半年总共盈利万元． 9．下面哪对量是具有相反意义的量? (1)在知识竞赛中，得20分和扣10分． (2)一座水库蓄水量增加和减少． (3)一辆公共汽车在一个停车站下去10名乘客和上来8名乘客． (4)长方形的周长是和面积是． 【答案】(1)是 (2)是 (3)是 (4)否 【分析】本题主要考查相反意义的量的定义，掌握 “相反意义的量需同时具备‘相反意义’和‘同类量’两个条件” 是解题的关键．依据相反意义的量的定义判断即可． 【详解】（1）∵ 得20分表示分数增加，扣10分表示分数减少， ∴ 得分为正，扣分为负，具有相反意义． （2）∵ 蓄水量增加表示水量增加，减少表示水量减少， ∴ 增加为正，减少为负，具有相反意义． （3）∵ 下去10名乘客表示乘客减少，上来8名乘客表示乘客增加， ∴ 下去为负，上来为正，具有相反意义． （4）∵ 周长是长度量，面积是面积量， ∴ 两者无相反方向含义，故无相反意义． 10．请用正数、负数表示下列各题中的量： (1)冥王星离太阳非常远，接受的太阳能也非常少，表面温度一般在零下左右，甚至可能低至约零下． (2)位于南美洲安第斯山区的喀喀湖是世界上海拔最高的大淡水湖之一，湖面高于海平面．位于阿拉伯半岛的死海是世界上海拔最低的湖泊，湖面低于海平面． 【答案】(1)零下记作，零下记作 (2)高于海平面记作，低于海平面记作 【分析】本题考查正数和负数表示温度和高度的实际意义，会利用正数和负数表示相反意义的量是解题的关键． （1）温度的表示以为基准，高于用正数，低于则用负数，据此即可解答； （2）海平面高度为基准，记为，高于海平面用正数，低于海平面用负数，据此即可解答． 【详解】（1）解：零下记作，零下记作； （2）高于海平面记作，低于海平面记作． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 正数和负数 【本节预习目标】 1.理解正数、负数的概念，能正确识别正负数，明确0既不是正数也不是负数。 2.理解具有相反意义的量的含义，掌握用正负数表示相反意义的量的方法。 3.能运用正负数解决生活中的达标统计、产品偏差、数量变化等实际问题。 4.了解正负数的数学文化背景，体会数的扩展与生活实际的联系，初步建立数感。 【前置旧知回顾】 知识模块 小学已学旧知 本节新知关联 数的认识 自然数、分数、小数，用于表示物品数量、长度、价格等非负的量 在小学数的基础上扩展出负数，用于表示相反意义的量，数的范围正式扩充到有理数 数量比较 用“多、少、高、低”描述数量差异，以0为起点计数 引入正负数后，可以用正负号规范表示高于或低于基准的量，描述更简洁，计算更便捷 生活应用 用具体数值描述温度、海拔、收支等场景 通过正负数统一表示成对的相反意义的生活量，如零上/零下、收入/支出、高于/低于海平面 知识点1：正数和负数的概念 1.基本定义 数的类型 定义 示例 注意事项 正数 大于0的数叫做正数 ，1.8%，， 正数前面的“+”（正号）可以省略不写 负数 在正数前面加上符号“-”（负号）的数叫做负数 ，，， 负数前面的“-”（负号）不能省略 0 正数与负数的分界 0既不是正数，也不是负数 2. 0的多重意义 0可以表示“没有”，如0个物品； 0是正负数的分界点，是确定正负的基准； 0可以表示具体的量，如表示标准大气压下冰水混合物的温度，不是没有温度。 知识点2：具有相反意义的量 1.核心特征 成对性：相反意义的量是成对出现的，单独一个量不能称为相反意义的量； 同类性：必须是同一类别的量，如“向东走5米”与“向西走8米”是同类量，“收入”与“身高”不是同类量； 不唯一性：具有相反意义的量，数量不一定相等，如与“盈利300元”相反的可以是亏损400元，也可以是亏损100元。 2.表示方法 先确定基准，规定其中一种意义的量为正（用正数表示），则与其意义相反的量为负（用负数表示）； 选择的基准不同，表示的结果也不同，如以山脚为基准和以海平面为基准，山高的表示结果不同。 【基础巩固题型】 【题型1】正负数的识别与分类 1.核心知识点 正数、负数、0的定义；数的符号书写规则 2.解题方法技巧 ①根据定义判断：大于0的数是正数，正数前加负号的数是负数，0既不是正数也不是负数； ②注意省略正号的正数，如和都属于正数； ③数的分类中0单独归类，不可归入正数或负数集合。 【例题1】.（25-26六年级下·云南楚雄·期中）在、、0、、、、263、中，正数有( )个，负数有( )个，( )既不是正数，也不是负数． 【变式题1-1】.（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在，，，，，，中，负数有（  ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式题1-2】.（2026·贵州黔东南·二模）在实数，，0，6中，负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题1-3】.（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测），，0，，3这几个数中，正数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【题型2】相反意义的量的判断 1.核心知识点 相反意义的量的三大特征：成对性、同类性、意义相反 2.解题方法技巧 ①先判断两个量是否属于同一类别，不同类的一定不是相反意义的量； ②再判断意义是否相反，如“上升”对应“下降”，“收入”对应“支出”； ③单纯的反义词不一定对应相反意义的量，如“黑色”和“白色”只是颜色差异，无数量层面的相反意义。 【例题2】.（25-26六年级下·云南楚雄·期中）我国古代《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，指在解决实际问题时，常会遇到两种意义相反的“量”，如盈利与亏损、增加与减少等，为了区分这两种相反意义的量，需要用正负数来表示．下面表示互为相反意义的量的是（     ） A．比标准体重多4千克与低于标准身高4厘米 B．足球比赛中，进5个球与失3个球 C．向南走100米与向东走100米 【变式题2-1】.（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各对量中，不具有相反意义的量是（    ） A．收入100元与支出50元 B．气温上升与下降 C．前进5米和后退3米 D．身高增加与体重减少 【变式题2-2】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）下面哪对量是具有相反意义的量？如何用正负数来表示它们？ (1)在知识竞赛中，得20分和扣10分． (2)一座水库蓄水量增加和减少． (3)一辆公共汽车在一个停车站下去10名乘客和上来8名乘客． (4)长方形的周长是和面积是． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·甘肃张掖·阶段检测）写出与下面各量具有相反意义的量，并用正负数表示． (1)高于海平面74.6米，高于海平面为正； (2)转动转盘，顺时针转动4圈，顺时针旋转为正； (3)气温是零下，零下为负． 【题型3】用正负数表示相反意义的量 1.核心知识点 正负数的表示规则；基准的确定 2.解题方法技巧 ①先明确题干规定的正方向与基准，如“海平面为基准，高于海平面记正”； ②高于基准用正数表示，低于基准用负数表示，恰好等于基准记为0； ③书写结果时注意带上对应单位，不可只写数字。 【例题3】.（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）月球表面昼夜温差非常大，白天平均温度零上，夜间平均温度零下．若将零上记作，则零下可记作（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（2026·广东清远·二模）在一次环保公益活动中，志愿者们记录塑料瓶的收集和捐赠情况．如果把收集到8个塑料瓶记作个，那么捐赠出去8个塑料瓶记作（     ） A．个 B．0个 C．个 D．个 【变式题3-2】.（2026·吉林长春·二模）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果表示向东走，那么表示（     ） A．向东走 B．向西走 C．向东走 D．向西走 【变式题3-3】.（2026·广东梅州·二模）中国古代数学著作《九章算术》中最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算．若向东走记作，则向西走可记作（     ） A． B． C． D． 【题型4】产品允许偏差类问题 1.核心知识点 正负数表示误差范围；合格区间的计算 2.解题方法技巧 ①先计算合格范围：标准值-偏差下限到标准值+偏差上限，如对应合格区间为； ②判断产品是否合格，只需看数值是否落在合格区间内； ③最大合格值与最小合格值的差=2×允许偏差值。 【例题4】.（25-26七年级上·浙江金华·期末）某规格金华火腿的质量标识为“千克”，则下列火腿中合格的是（   ） A．4.70千克 B．4.85千克 C．5.25千克 D．5.30千克 【变式题4-1】.（2026·河南三门峡·三模）如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，这表示乒乓球的标准直径是，允许偏差是．那么下列选项中的乒乓球直径合格的是（     ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·全国·阶段检测）一产品的直径在图纸上标明的加工要求是，则直径尺寸为是___________产品；填“合格”或“不合格” 【变式题4-3】.（2026·江苏淮安·一模）一种面粉的质量标识为“千克”，则下列面粉的质量中合格的是（    ） A．10.1千克 B．9.7千克 C．11.2千克 D．9.2千克 【培优提升题型】 【题型5】逐日变化类正负数计算 1.核心知识点 相对前一时刻的变化量；累计值的计算 2.解题方法技巧 ①明确变化量的基准：“比前一天多/少”是以上一天的数量为基准，而非以第一天为基准； ②逐日累加变化量，依次算出每天的实际数量，再查找最大值、最小值或计算总和； ③计算最终总变化量时，可将所有变化量直接相加，再结合初始值得到最终数量。 【例题5】.（25-26七年级上·广东广州·期中）外卖小哥小张某天骑电动车在东西走向的路上送外卖，往东行驶的路程记作正数，往西行驶的路程记作负数．全天行程的记录如下（单位：）： ，，，，，，，，，． (1)当小张将最后一个外卖送到目的地时，距出发地的距离为多少千米？ (2)若小张的电动车充满电能行驶，在该电动车一开始充满电而途中不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·陕西渭南·期中）为加强校园周边治安综合治理，治安巡逻车从地出发在学校旁边的一条南北方向的公路上执行治安巡逻，规定向南为正．巡逻车先向北行驶4千米，然后折回向南行驶5千米，又折回向北行驶7千米，最后折回向南行驶3千米．此时巡逻车在地的什么方向？距地多远？ 【变式题5-2】.（24-25七年级上·河北石家庄·阶段检测）在机器人社团活动中，小明通过编程使一只电子蚂蚁从点处出发，在一直线上连续匀速左右爬行6趟，若向右爬行记为正，向左爬行记为负．电子蚂蚁爬行情况依次记为（单位：厘米）：，，，，，． (1)电子蚂蚁最后位于起点的右侧还是左侧？距起点多少厘米？ (2)电子蚂蚁离开起点最远是多少厘米？ (3)若电子蚂蚁共用了28秒完成上面的路程，求电子蚂蚁的速度． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）一个病人每天要测量5次体温，该病人某一天5次所测体温变化情况（与前一次的温度比较，升高为正，降低为负，前一天最后一次测量的体温是）如表所示： 时间 体温变化/℃ 实际体温/℃ _________ _________ _________ _________ _________ (1)补全上面的表格； (2)计算该病人这一天的平均体温． 【题型6】跨学科情境正负数应用 1.核心知识点 正负数在地理、历史、物理等学科中的应用；跨学科基准的含义 2.解题方法技巧 ①读懂学科背景，明确对应的基准（如海平面、公元元年、0刻度等）； ②将学科问题转化为正负数的加减计算问题； ③计算完成后将结果还原回学科实际意义，保证结论符合学科常识。 【例题6】.（25-26七年级上·江西上饶·阶段检测）10袋小麦以每袋为准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，分别记为：． (1)这10袋小麦中质量最大的是多少千克？质量最小的是多少千克？ (2)这10袋小麦总质量是多少千克？ 【变式题6-1】.（25-26七年级上·云南昆明·期中）国庆黄金周到来之际，小明欲到美丽的“兰茂故里”嵩明开启一段美妙旅行！为更好地规划行程，临行前特意查找了该地区一周内（月1日至月7日）每日的平均气温情况；若以为标准，超过或不足的气温度数分别用正数、负数来表示，记录如下： 日期 月1日 月2日 月3日 月4日 月5日 月6日 月7日 日平均气温（℃） 0 (1)求这一周内的最高气温与最低气温相差多少摄氏度？ (2)求这一周内的平均气温是多少摄氏度？ (3)若小明希望气温在以上时进行户外活动，那么这一周中有几天适合户外活动？请说明理由． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·山西临汾·阶段检测）某超市2025年1−6月份的营业额与2024年同月营业额相比，其增长率如下表所示．请根据表格信息回答下列问题： 月份 1 2 3 4 5 6 相比年同月营业额的增长率 0 0.4 (1)该超市年月份的营业额与年同月营业额相比，哪几个月是增长的？ (2)年1月和4月相比年同月营业额的增长率是负数分别表示什么意义？ 【变式题6-3】.（24-25七年级上·贵州遵义·阶段检测）阅读下列材料并解答问题． 素材 为了进一步加强对学生的劳动教育，某校将学校劳动实践基地划分区域，分给每个班级自主管理．七年级一班的同学们在本班的种植区域中种植了花生，经过精心耕种，同学们一共收获了8筐花生，以每筐为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重后记录如下： 筐号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 重量 2.5 0 1 2 任务1 （1）求这8筐花生的实际重量分别为多少千克？ 任务2 （2）在学校的组织下，同学们对收获的花生以市场价7元/千克的价格全部售出，已知七年级一班在播种时，以10元/千克的价格购进花生种子15千克，请你帮七年级一班同学算一算，他们此次耕种花生获利了多少元？ 易错点 1、对负数概念理解片面：误认为带“-”号的数都是负数，忽略字母可以表示任意数；或将0归为正数或负数，忽略0是正负数的分界。 2、判断相反意义的量出错：忽略“同类量”的要求，将不同类的反义词（如黑白、快慢）当作相反意义的量；或认为数量必须相等才是相反意义的量。 3、逐日变化类计算混淆基准：误将每天的变化量当作相对于初始值的偏差，直接与初始值相加，导致后续天数的计算结果错误。 重点 1、正数、负数和0的定义，能正确识别与分类正负数。 2、用正负数表示具有相反意义的量，解决生活中的达标、偏差、数量变化等实际问题。 难点 1、理解基准的意义，灵活选择基准表示相反意义的量。 2、正负数的规律探究与跨学科综合应用，结合实际情境的方案设计。 一、单选题 1．我国自主研制的“海斗一号”潜水器最大下潜深度为10907米，“极目一号”型浮空艇最高升空至海拔9050米．若将海平面以下10907米记作米，则海平面以上9050米记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．一袋大米包装上标有：，表示它最轻是（     ）kg． A． B．15 C． D．16 3．我国很早就开始使用负数，《九章算术注》中用不同颜色的算筹分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．若红色算筹“”表示的数是“”，则黑色算筹“”表示的数是（  ）． A． B． C． D． 二、填空题 4．某工厂加工一种精密零件，图纸上标明该零件的标准直径是，超过标准直径记为正，不足标准直径记为负．现检验员抽检一个零件，测得直径相对标准的误差为，则该零件的实际直径是______． 5．在、、、0、、、1和这些数中，正数有( )个，负数有( )个． 6．如盈利记为正，则亏本记为负，元表示______，元表示_______． 三、解答题 7．如果向东走3米记作米，那么向西走5米记作什么？原地不动记作什么？ 8．某公司去年第一季度（1月到3月）共亏损万元，第二季度（4月到6月）平均每月盈利万元，说明这个公司去年上半年总的盈亏情况． 9．下面哪对量是具有相反意义的量? (1)在知识竞赛中，得20分和扣10分． (2)一座水库蓄水量增加和减少． (3)一辆公共汽车在一个停车站下去10名乘客和上来8名乘客． (4)长方形的周长是和面积是． 10．请用正数、负数表示下列各题中的量： (1)冥王星离太阳非常远，接受的太阳能也非常少，表面温度一般在零下左右，甚至可能低至约零下． (2)位于南美洲安第斯山区的喀喀湖是世界上海拔最高的大淡水湖之一，湖面高于海平面．位于阿拉伯半岛的死海是世界上海拔最低的湖泊，湖面低于海平面． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $