精品解析：江苏南通市2025-2026学年高一下学期6月期末考试数学试题

2026年高一期末考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知（，），则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以，所以. 2. 已知向量满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】已知模长与数量积的值求出夹角的余弦值，再结合向量夹角的取值范围确定夹角大小； 【详解】设与的夹角为，向量夹角的取值范围为， ，可得， 故选：A. 3. 函数的图象可由函数的图象（ ）个单位得到 A. 向右平移 B. 向右平移 C. 向左平移 D. 向左平移 【答案】D 【解析】 【分析】先将函数变形为，再根据函数图象平移变换可得. 【详解】因为， 根据图象平移规则，函数图象由的图象向左平移个单位得到. 因此函数的图象由函数的图象向左平移个单位得到. 4. 已知正三棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则它的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得正三棱台侧面是3个全等的等腰梯形， 该梯形上底，下底，腰为， 设梯形的高为，则， 故侧面积为． 5. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量投影向量的定义，先计算两向量的数量积、的模长，再代入投影向量公式求解即可。 【详解】根据向量投影向量的定义，在上的投影向量为 . 6. 一艘船从处出发，以的速度向正北方向航行．从处看灯塔位于船北偏东的方向上，后船航行至处，从处看灯塔位于船北偏东的方向上，则灯塔与之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算的长度，确定的各内角度数，再利用正弦定理求解灯塔与的距离可得. 【详解】因为船的航行速度为，航行时间为，因此（）. 如图，，由处看灯塔为北偏东，所以， . 在中，由正弦定理得，所以，即. 因此灯塔与之间的距离为. 7. 已知点到平面的距离是2，，，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取点在平面上的投影，利用投影性质及题目所给条件计算可得的最大值，再利用余弦定理计算即可得的最小值. 【详解】设点在平面上的投影为，则、， 故，则， 当且仅当、、三点共线时，等号成立， 故， 即的最小值是. 8. 在中，已知，，M为边上一点，平分，且，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先运用两次正弦定理推导出，进而得到的长度，再设，运用两次余弦定理，结合，即可得解. 【详解】 在中，由正弦定理：①，在中，由正弦定理：②， 因为是的角平分线，故有，又因为， 将①÷②，得，又因为，故. 设，则，由余弦定理可知， ，， 又因为，故， 即，整理得， 计算得，即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 10. 在正方体中，下列说法正确的是（ ） A. 与是异面直线 B. C. 平面∥平面 D. 与平面所成角是30° 【答案】AC 【解析】 【分析】通过证明因为平面，平面，且交点不在直线上，即可判断A ,先证明，结合，即可判断B，根据面面平行判定定理证明平面平面，即可判断C，结合线面角的定义求与平面所成角的正弦，即可判断D. 【详解】对于选项A，因为平面，平面，且交点不在直线上， 所以与是异面直线，A正确， 对于选项B，由正方体性质得，若，则必有， 在中，因为，，，所以​， 所以不是直角，即不垂直，因此不垂直，B错误， 对于选项C：正方体中， 平面，平面， 因此平面；同理可得，因此平面； 与是平面内的相交直线（交于）， 所以平面平面，C正确， 对于选项D：设与平面所成角为， 根据线面角定义可得，其中是到平面的距离， 设，因为， ， 是边长为的正三角形，面积 代入得：，解得，​ 因此，故，D错误. 11. 定义变换为：将向量绕点逆时针旋转得到向量，其中，．已知点，，若对作变换，则下列说法正确的是（ ） A. 作变换，得到 B. 作变换，得到点 C. 作，变换，分别得到，，若，则的最小值为2 D. 作变换得，若，则锐角的不同取值有1012种 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过题目所给的变换规律，将四个答案的代入，可以直接得到变换后的坐标，通过题意即可判断正误. 【详解】已知点，， 对于选项A，由，可得 所以，， 所以，选项A正确； 对于选项B，由，可得， 所以，， 所以，所以点坐标为，即，选项B错误； 对于选项C，由，可得，则，， 所以， 由，可得，则， ， 所以 因为，所以 即 所以，所以，所以， 因为，所以的最小值为，选项C正确； 选项D，由，可得， 所以，， 所以， 因为，所以， 即，所以，所以， 因为为锐角，所以， ，所以整数有1012个，选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式结合弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】因为. 故答案为：. 13. 在矩形中，，，点E为中点，点F在边上，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】建立如图所示的坐标系，得到点坐标，结合向量的数量积的坐标运算，列出方程，即可求解. 【详解】建立如图所示的坐标系，可得，，，， 设， ∴，， ∴，解得，即， ∴，， ∴. 14. 将一个弧长为，圆心角为120°的扇形卷成一个圆锥，则该圆锥的高为__________．若将该圆锥放入一个球内，则球的最小体积为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】借助圆心角定义与圆锥性质计算可得该圆锥的底面半径与母线长，即可得其高；再得到该圆锥的轴截面图形后，求出该圆锥的外接球半径，从而可得体积，即可得解. 【详解】设该圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 则有，，即，，； 则该圆锥的轴截面为腰长为，底边为的等腰三角形， 设该圆锥的外接球半径为，则， 解得，故外接球体积为， 即将该圆锥放入一个球内，球的最小体积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，． （1）若，求： （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入求出，进而求出，再利用向量模长公式计算求解； （2）已知，由数量积为零构造方程求出，再利用两角和的正切公式计算求解． 【小问1详解】 时，， 则， 故． 【小问2详解】 已知，则， 故，则， ． 16. 如图，在三棱锥中，是二面角的平面角． （1）证明：； （2）已知，，，若是的中点，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）因为是二面角的平面角，所以， 平面，所以平面， 因为平面，所以. （2） 【解析】 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 取中点，连接，则为异面直线夹角， ，，， 所以，，， ，， 在中，由余弦定理可得. 17. 已知函数． （1）证明：； （2）求图象的对称中心； （3）若为锐角，且，求． 【答案】（1） ， 所以 （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）可得，令， 所以图象的对称中心为. 【小问3详解】 ，令，则， 因为， 又，所以， 所以， 又， 所以. 18. 如图，在直三棱柱中，，D为的中点． （1）求证：平面平面； （2）已知，． （i）求点到平面的距离； （ii）若点在上，且∥平面，求的值． 【答案】（1）因为三棱柱为直三棱柱，所以底面， 平面，所以，又，， 平面，所以平面， 平面，所以平面平面. （2）（i） （ii） 【解析】 【分析】（1）先证明线面垂直，再根据面面垂直的判定定理证明； （2）（i）根据等积变换，利用求解； （ii）证明当为中点时，∥平面，从而得出的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由（1）平面平面，交线为，在上， ，故平面， 即到平面的高为. ， . 由（1）平面，所以， 中，， . 设点到平面的距离为，， ，所以. 所以点到平面的距离为. （ii）取的中点，连，因为是的中点， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面. 当为中点时，连，则，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面，， 所以平面平面，平面， 所以平面，所以. 19. 若一个三角形中存在一个内角是另一个内角的2倍，则称其为倍角三角形．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求证：是倍角三角形； （2）已知为锐角三角形，． （i）若的面积为1，求； （ii）若D点满足，求线段长度的取值范围． 【答案】（1）因为，由正弦定理，得， 又，所以， 所以， 即， 整理得，，因为为三角形内角， 所以或，即或（舍去）， 所以存在一个内角是另一个内角的2倍，所以是倍角三角形. （2）（i） （ii） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，将边化角，然后根据三角函数间的关系证明结论. （2）（i）根据正弦定理，将分别表示为，，再利用面积，建立关于角的三角方程求解； （ii）根据三角形为锐角三角形，求出角的范围，再由正弦定理将分别表示为，，将向量表示为，两边平方，将已知条件代入，通过换元求出长度的范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由（1），又，所以， 由正弦定理，得，，则， 因为， 所以，， 由， 即，所以， 整理得，，即， 两边平方得，， 所以，因为为锐角三角形， 解得（舍去）， 所以，所以. （ii）因为为锐角三角形，所以，即. 由正弦定理，得，即， 由（2）知， 所以，. 因为，所以， ， 所以. 又， 令，所以，. 所以，， 所以 . 令，则， 所以，令， ， 所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高一期末考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知（，），则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 2. 已知向量满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象可由函数的图象（ ）个单位得到 A. 向右平移 B. 向右平移 C. 向左平移 D. 向左平移 4. 已知正三棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则它的侧面积是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 一艘船从处出发，以的速度向正北方向航行．从处看灯塔位于船北偏东的方向上，后船航行至处，从处看灯塔位于船北偏东的方向上，则灯塔与之间的距离是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点到平面的距离是2，，，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，已知，，M为边上一点，平分，且，则（） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 10. 在正方体中，下列说法正确的是（ ） A. 与是异面直线 B. C. 平面∥平面 D. 与平面所成角是30° 11. 定义变换为：将向量绕点逆时针旋转得到向量，其中，．已知点，，若对作变换，则下列说法正确的是（ ） A. 作变换，得到 B. 作变换，得到点 C. 作，变换，分别得到，，若，则的最小值为2 D. 作变换得，若，则锐角的不同取值有1012种 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则___________. 13. 在矩形中，，，点E为中点，点F在边上，若，则__________． 14. 将一个弧长为，圆心角为120°的扇形卷成一个圆锥，则该圆锥的高为__________．若将该圆锥放入一个球内，则球的最小体积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，． （1）若，求： （2）若，求． 16. 如图，在三棱锥中，是二面角的平面角． （1）证明：； （2）已知，，，若是的中点，求异面直线与所成角的余弦值． 17. 已知函数． （1）证明：； （2）求图象的对称中心； （3）若为锐角，且，求． 18. 如图，在直三棱柱中，，D为的中点． （1）求证：平面平面； （2）已知，． （i）求点到平面的距离； （ii）若点在上，且∥平面，求的值． 19. 若一个三角形中存在一个内角是另一个内角的2倍，则称其为倍角三角形．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求证：是倍角三角形； （2）已知为锐角三角形，． （i）若的面积为1，求； （ii）若D点满足，求线段长度的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $