精品解析：江苏省如皋中学2024-2025学年高一下学期数学期末模拟试题02

如皋中学高一数学期末模拟卷02 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 复数与都是纯虚数，则的虚部为（ ） A. B. i C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】令，且，并化简纯虚数列方程求参数，即可得. 【详解】由题设，令，且， 则为纯虚数， 所以，可得，即的虚部为. 故选：C 2. 已知向量，则（ ） A. 10 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的四则运算进行求解. 【详解】由则. 故选：A. 3. 体育强则中国强，国运兴则体育兴．为备战2025年成都世运会，10名运动员进行特训，特训的成绩分别为9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的（    ） A. 众数为12 B. 平均数为14 C. 中位数为15 D. 第85百分位数为16 【答案】B 【解析】 【分析】由众数，中位数，平均数，第百分位数的定义求出即可. 【详解】成绩从小到大排列为：， 对于A，出现次数最多的数为，故A错误； 对于B，平均数，故B正确； 对于C，中位数为，故C错误； 对于D，第85百分位数为第， 即第位，为，故D错误. 故选：B. 4. 已知是三条不重合的直线，是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】指出结论不成立的情况，可判断ABC；根据线面平行的判定定理可判断D. 【详解】对于A，若，则两平面可能相交，A不正确； 对于B，若，因为直线不一定相交，根据面面平行的判定定理知两平面平行不一定成立，B不正确； 对于C，若，则与有可能相交，C不正确； 对于D，若，由线面平行的判定定理可知，D正确． 故选：D． 5. 设随机事件A，B满足，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用条件概率公式、互斥事件的概率的性质计算判断. 【详解】， ， ， 故选：B． 6. 在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理可求解或，即可判断AB,根据三角形内角和以及正弦定理求解，即可判断CD. 【详解】由正弦定理可得， 由于,故或，故AB错误， 若时，则, 此时， 若时，则,此时为三角形中最小的内角，故，故C错误，D正确， 故选:D 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用辅助角公式化简得 ，设，则，进而化简可得，根据二倍角公式即可求解. 【详解】， 设，则， 所以，， 因为， 所以. 故选：A 8. 如图，为直三棱柱，用一个平行于底面的平面截此三棱柱，记下列三个三棱锥，，在平面上方的部位体积为，，，并记三个三棱锥被平面截得的面积分别为，，，那么当时，（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据立体几何中直三棱柱的得性质，通过改变顶点的方式，简便计算棱锥体积，根据题意判断截面位置，求出结果. 【详解】 如图所示，设直三棱柱的底面积为,体积为, 如图所示，,所以,此时. 此时平面在直棱柱的中间高度上，故平面与，，相交于它们的中点处，此时截面如图所示 可知,. 故选:B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 设样本空间, 且每个样本点是等可能的, 已知事件, 则下列结论正确的是（ ） A. 事件A与B为互斥事件 B. 事件A,B,C两两相互独立. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据互斥事件、独立事件的概率公式即可解答. 【详解】对于选项A，因为，所以事件与不互斥，故A错误； 对于选项B，， ，故B正确； 对于选项C，表示，，即，故C正确； 对于选项D，交集为，则，故D错误. 故选：BC. 10. 在中，．则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 的面积为3 D. 的外接圆半径为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量线性运算可得判断A，由余弦定理求判断B，再由勾股定理判断三角形为直角三角形求面积判断C，求出三角形斜边判断D. 【详解】因为， 所以，故A错误； 如图， 因为，所以， 由余弦定理, 所以，故B正确； 因为，所以，即， 所以，故C错误； 由，所以（为三角形外接圆半径）， 故，故D正确. 故选：BD 11. 已知正方体的棱长为1，下列说法正确的是（ ） A. B. 与所成的角为 C. 与平面所成的角为 D. 到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】连接，由平面，可判断A，由，得为与所成的角，可判断，连接角与点，连接，得平面， 得到即为与平面所成的角，可判断C，由等体积可判断D. 【详解】连接，则， 在正方体中平面，在平面内， 所以，又为平面内两条相交直线， 所以平面，在平面内， 所以，A正确， 因为，所以为与所成的角， 又易知等边三角形， 所以， 所以与所成的角为，故B正确, 连接角与点，连接， ， 又平面，在平面内， 所以，又为平面两条相交直线， 所以平面， 所以即为与平面所成的角， 由, 所以，C错， ， 又， 设到平面的距离为， 由， 所以，D正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可得，即可得模长. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13. 记的内角的对边分别为a，b，c，，，，则边上的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理求解,即可根据等面积法求解. 【详解】设边上的高为， 由余弦定理可得, 又，故， 故答案为： 14. 在三棱锥中，是边长为的等边三角形，侧面底面，.若三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的表面积为__________，三棱锥体积的最大值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设的外接圆的圆心分别为，外接球的球心为O，取AB的中点为E，可证得四边形为矩形.通过勾股定理，列方程求解即可得外接球半径； 过作于点H，可证为三棱锥的高.问题转化为中最值问题，借助三角形外接圆可求得最大值为，从而求得三棱锥体积的最大值. 【详解】如图①，设的外接圆的圆心分别为，半径为，三棱锥的外接球的球心为O，半径为，取AB的中点为E，连接，. 在中，由正弦定理，得，即，同理可得. 因为侧面底面，侧面底面，面，所以底面，所以. 由外接球的性质可得底面侧面，所以四边形为矩形. 在中，， 因为，所以，所以球的表面积为. 设三棱锥的高为h，过作于点H， 由面面垂直的性质可得，底面，即为三棱锥的高. 及其外接圆如图②所示，由图可知，当位于劣弧的中点时，最大，最大值为， 所以三棱锥体积的最大值为. 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）若，且，求的值； （2）若点共线，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量垂直、数量积、模的坐标表示运算求解即可； （2）根据平面向量共线的坐标表示，结合三角恒等变换公式求解即可. 【小问1详解】 当时，， 因为， 所以，解得． 【小问2详解】 因为点共线，所以共线， 因为， 所以， 则， 所以． 16. 如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 【答案】（1）∵，且为棱的中点，∴， 又∵，∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面， ∴平面. （2） 平面，平面，， 连接，由题意，为棱的中点，， 知，且，则四边形为平行四边形， ，，又， 所以平行四边形为正方形，， 又，，又，平面， 平面，又平面，所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得线线平行，再根据线面平行的判定定理证明线面平行即可； （2）根据线面垂直的性质定理证明，进而证明，即可证明平面，再由面面垂直的判定定理，即可证明结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 记的内角所对的边分别为，已知. （1）求； （2）若为边上的一点，. （i）求； （ii）求的面积. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由已知及正弦边角关系得，再根据三角形内角的性质及三角恒等变换有，即可求大小； （2）（i）在中应用余弦定理求边长；（ii）在中应用余弦定理，结合平方关系、三角恒等变换求得，在中应用正弦定理得，最后应用三角形面积公式求面积. 【小问1详解】 因为， 所以， 即. 由正弦定理得. 因为，所以， 所以，即， 所以，又，所以， 所以，故. 【小问2详解】 （i）在中，由余弦定理得， 即， 解得或（舍去） （ii）在中，由余弦定理得， 所以. 因为，所以. 所以 . 在中，由正弦定理得，解得， 所以 18. 某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三个白球，五个小球除颜色外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回的抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖.班委会讨论了以下两种规则： 规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖； 规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数获三等奖，其余不获奖. （1）请以标号写出两次抽取小球的所有结果（其中x，y分别为第一、第二次抽到的小球标号）； （2）求两种规则下获得二等奖的概率； （3）请问哪种规则获奖概率更大，并说明理由. 【答案】（1）两次抽取小球的所有可能结果为： ，，，，， ，，，，， ，，，，， ，，，，， ，，，，， （2） （3）两种规则获奖的概率一样大.理由： 三等奖分别为事件，，, 事件包含，两个样本点，. 事件包含，，，，，，，，，，，十二个样本点， . 所以规则一获奖的概率 ， 事件包含，两个样本点，； 事件包含，，，，，，，，，，，，（在中已经记录，不再计算），十二个样本点，. 所以规则二获奖的概率 ， ∴所以两种规则获奖的概率一样大. 【解析】 【分析】（1）直接列举所有结果； （2）（3）根据古典概型求解概率即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记规则一中获得二等奖为事件，记规则二中获得二等奖为事件， 事件包含，，，，五个样本点， 故， 事件包含，，，，五个样本点， 故. 【小问3详解】 略 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点. （1）求证：平面平面； （2）试作出二面角，并求二面角的正切值； （3）点为对角线上的点，且，垂足为，求与平面所成的最大角的正弦值.（注：本题建系不得分） 【答案】（1）证明见解析 （2）作图见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）结合勾股定理，利用线线垂直证明线面垂直，进而证明面面垂直； （2）结合直角三角形边长可确定为等边三角形，取中点可得底面，再过点作于点，结合线线垂直可证线面垂直，进而可得二面角的平面角，进而确定二面角正切值； （3）（法一）作平面，可得，，共线，再在平面作交于点，可得平面，设线交线于点，则，进而可证平面，即可得，易知，因为，所以与平面所成的最大角的正弦值为； （法二）过点作交于点，连接，.设，，，可得.又，，，于是. 【小问1详解】 ，， 则， ； 又，，、平面， 平面，平面， 平面平面； 【小问2详解】 侧棱，点为中点， ， 又， 为正三角形，取中点，则，， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 过点作交延长线于点，连接，. 平面，所以， 又，，、平面， 所以平面，又平面，， 根据定义，即为二面角的平面角. ， . 【小问3详解】 （法一）作平面， 则，为在平面内的射影，所以点，，共线， 再在平面作交于点， 又，，、平面， 平面， 设线交线于点，则， 又，，、平面， 平面，平面，得， ，， 又因为， 所以与平面所成的最大角的正弦值为， 当点为线与的交点时取到最大角； （法二）过点作交于点，连接，. 设，，， 则，， 从而. ， ，， 于是， 当且仅当，即点为与交点时，等号成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 如皋中学高一数学期末模拟卷02 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 复数与都是纯虚数，则的虚部为（ ） A. B. i C. D. 1 2. 已知向量，则（ ） A. 10 B. C. 8 D. 3. 体育强则中国强，国运兴则体育兴．为备战2025年成都世运会，10名运动员进行特训，特训的成绩分别为9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的（    ） A. 众数为12 B. 平均数为14 C. 中位数为15 D. 第85百分位数为16 4. 已知是三条不重合的直线，是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 设随机事件A，B满足，，则（ ）． A. B. C. D. 6. 在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为直三棱柱，用一个平行于底面的平面截此三棱柱，记下列三个三棱锥，，在平面上方的部位体积为，，，并记三个三棱锥被平面截得的面积分别为，，，那么当时，（ ） A. B. C. 1 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 设样本空间, 且每个样本点是等可能的, 已知事件, 则下列结论正确的是（ ） A. 事件A与B为互斥事件 B. 事件A,B,C两两相互独立. C. D. 10. 在中，．则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 的面积为3 D. 的外接圆半径为 11. 已知正方体的棱长为1，下列说法正确的是（ ） A. B. 与所成的角为 C. 与平面所成的角为 D. 到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，则______． 13. 记的内角的对边分别为a，b，c，，，，则边上的高为______． 14. 在三棱锥中，是边长为的等边三角形，侧面底面，.若三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的表面积为__________，三棱锥体积的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）若，且，求的值； （2）若点共线，求的值． 16. 如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 17. 记的内角所对的边分别为，已知. （1）求； （2）若为边上的一点，. （i）求； （ii）求的面积. 18. 某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三个白球，五个小球除颜色外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回的抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖.班委会讨论了以下两种规则： 规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖； 规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数获三等奖，其余不获奖. （1）请以标号写出两次抽取小球的所有结果（其中x，y分别为第一、第二次抽到的小球标号）； （2）求两种规则下获得二等奖的概率； （3）请问哪种规则获奖概率更大，并说明理由. 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点. （1）求证：平面平面； （2）试作出二面角，并求二面角的正切值； （3）点为对角线上的点，且，垂足为，求与平面所成的最大角的正弦值.（注：本题建系不得分） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $