专题04 实数相关压轴问题 【暑期培优】 2025--2026学年人教版七年级数学下册（重庆专用）

**基本信息** 聚焦实数核心概念的7类压轴题型，56道题从基础应用到综合拓展，系统覆盖规律探究、估值运算、新定义及阅读材料等中考高频考点。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |规律问题|8道|数阵/数列规律探究|基于实数运算的抽象推理| |整数与小数部分|8道|无理数整数、小数部分确定|无理数估值的直接应用| |定义新运算|8道|自定义运算规则的实数应用|运算能力与符号意识结合| |程序框图|8道|流程图中的实数计算|数学语言表达与逻辑思维| |估值|8道|无理数范围确定|数感与估算能力的培养| |平方根与立方根综合|8道|概念应用与方程求解|实数概念的综合迁移| |阅读材料题|8道|无理数证明与方法迁移|数学思维与理性精神渗透|

专题04 实数相关压轴问题 （7种类型56道） 专题目录 【类型1 实数相关规律性问题】 1 【类型2整数部分与小数部分】 2 【类型3 实数相关定义新运算】 3 【类型4 实数相关程序框图】 3 【类型5 实数相关估值】 5 【类型6 平方根与立方根的综合应用】 5 【类型7 实数相关阅读材料题】 6 【类型1 实数相关规律性问题】 1．如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2021行从左向右数第2020个数是（   ） A．2020 B．2021 C． D． 2．小慧同学通过计算观察下列正数的算术平方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（  ） A． B． C． D． 3．现有一组有规律排列的数如下：0，，，1，按此规律排列后，第2025个数为（    ） A． B． C．44 D． 4．已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（    ） A． B． C． D．2026 5．下面是一个按某种规律排列的数阵： 第一行            1     第二行            2          第三行          3                第四行            4                ……           …… 根据数阵规律，第八行第十五个数是（   ） A． B． C． D． 6．小裴同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律； 运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（   ） A． B． C． D． 7．观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（    ）． A． B．4 C． D． 8．以下是按规律排列的一列数：，，，，，…，根据规律，其中的第个数是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【类型2整数部分与小数部分】 9．若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值为________． 10．已知是的整数部分，是的整数部分，则________． 11．若的整数部分为a，的整数部分为b，则______． 12．的整数部分是a，的整数部分是b，则_____________. 13．已知a是的整数部分，b是的整数部分，则a－b＝______． 14．阅读下面的文字，解答问题．例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为，请解答： （1）的整数部分是______． （2）的小数部分是______． 15．若的小数部分为，的整数部分为，则_________． 16．若的整数部分是m，小数部分是n，则_____________． 【类型3 实数相关定义新运算】 17．对于有理数x，y，定义新运算，其中a，b是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．如果，，则的值是（   ） A． B．12 C． D．24 18．定义新运算“”的运算法则为：，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 19．定义一种新运算：，则的值为（    ） A．25 B．1 C． D． 20．用“”定义新运算，对于任意非负实数，都有，例如，那么（   ） A．27 B．72 C．78 D．84 21．定义关于任意正整数的一种新运算：．若规定，则（   ） A．3 B．6 C．18 D．81 22．定义新运算“” ，，则（    ） A．9 B．10 C．14 D．6 23．已知均为有理数，现定义一种新运算：，则（ ） A．5 B． C． D．13 24．对于x，y定义一种新运算“*”： ，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知：，，那么1*2运算的结果为（    ） A．2 B． C．13 D．1 【类型4 实数相关程序框图】 25．如图，从“输入一个实数”到“结果是否大于”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作，若输入后程序操作进行一次就停止了，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 26．根据以下程序，当输入时，输出结果为（   ） A．1 B． C． D．2 27．如图所示的运算程序中，输入的值是16时，输出的值是（    ） A． B． C．2 D．8 28．在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（     ） A． B． C．2 D．8 29．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是81，则输出的y的值是（　　） A． B． C．2 D．4 30．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y值是（    ） A． B． C．5 D． 31．根据图中的程序，当输入为2时，输出的值是（   ） A． B． C．-2 D． 32．小吴设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是8，那么输出的值是，当输入的值是27时，输出的值是（   ） A．3 B． C． D． 【类型5 实数相关估值】 33．若，其中n为正整数，则_______． 34．若为正整数，且满足，则_____． 35．满足的整数的值可以是_____（写一个即可）． 36．已知：，则整数_________． 37．已知，则整数n的值可以是________（填一个值即可）． 38．满足的整数共有_____个． 39．若n为正整数，且满足，则______． 40．若n为正整数，且满足，则__________． 【类型6 平方根与立方根的综合应用】 41．已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 42．已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 43．已知：的平方根为，的算术平方根为它本身，的立方根是 (1)求的值； (2)求的平方根． 44．已知的算术平方根是2，的立方根是3． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 45．已知4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算术平方根是4 (1)求a，b的值． (2)求6a+3b的平方根． 46．已知5a＋2的立方根是3，3a＋b﹣1的算术平方根是4 (1)求a，b的值． (2)求4a﹣2b的平方根． 47．已知的立方根是3，的算术平方根是5． (1)求，的值； (2)求的平方根． 48．已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值． (2)求的平方根． 【类型7 实数相关阅读材料题】 49．人教版七年级下册数学课本第58页的“阅读与思考”：为什么不是有理数． (1)【阅读与思考】 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数、，使得． 两边平方，得， 即．① 由是偶数，得是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 因此可设（是正整数），代入①，得______，即______． 所以也是偶数．则，都是偶数，不互质，这与假设，互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． (2)【运用并解决】 类比上述的【阅读与思考】，推理说明：不是有理数． 50．人教版七年级下册数学教科书第58页“阅读与思考”：为什么不是有理数． (1)【阅读填空】假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是．两边平方得①．由是偶数，得是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 设（是正整数）代入①得，，即．所以也是偶数，这样，都是偶数，与假设，互质矛盾．这个矛盾说明，不能写成分数的形式，所以不是有理数． (2)【问题解决】类比（1）【阅读填空】，推理说明不是有理数． 51．阅读与思考某兴趣小组阅读教材中“为什么不是有理数”的内容后产生了很大的兴趣，在课后进行了衍生探究，形成如下研究性学习报告．请认真阅读并完成任务． 关于“无理数的衍生探究”的研究报告 教材部分内容：事实上，不是有理数是可以证明的，下面给出一种证明方法． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是， 两边平方，得， 由是偶数，得是偶数，所以也是偶数． 因此可设（是正整数），代入上式，得，即， 所以也是偶数，这样都是偶数，与假设互质矛盾， 即不是有理数． 方法拓展：根据上述的证明方法，进一步对是否为有理数展开了以下论证． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得于是， 两边立方，得 任务： (1)是___________．（填“无理数”或“有理数”） (2)根据前面的证明思路，补全剩余的证明过程． (3)若是无理数，且与互为相反数，直接写出的值． 52．数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一． 请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题： 问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得， ，b都是有理数，，也是有理数， 是无理数，，， ，， 解决问题：设m，n都是有理数，且满足，求的平方根． 53．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么样的关系？ 小南用自己的方法进行了探究，而，即． 任务： (1)结合材料，猜想：当时，请直接写出与存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算：； (3)运用上述规律，解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 54．阅读下面内容，并解答问题． 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求出它的立方根．华罗庚不假思索地给出了答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘． (1)请按照下面的分析试一试： ①由，，可知是______位数； ②由59319的个位上的数是9，可知的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，由此确定的十位上的数是______； ④因此，______． (2)求的值． 55．请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以，即， 所以． 根据阅读材料，解决问题： 设都是有理数，且满足，求的值． 56．【阅读材料】如何化简整式呢？数学教材第76页提示，可以把看成一个整体，进而．“看成一个整体”在数学中称为“整体思想”，它往往能把复杂问题简单化，在数学问题的解决中应用广泛．请参考阅读材料，解决以下问题： (1)填空：已知，，则______； 【拓展探究】 (2)若关于的一元一次方程的解是，求关于的方程的解是多少； 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 实数相关压轴问题 （7种类型56道） 专题目录 【类型1 实数相关规律性问题】 1 【类型2整数部分与小数部分】 5 【类型3 实数相关定义新运算】 9 【类型4 实数相关程序框图】 11 【类型5 实数相关估值】 15 【类型6 平方根与立方根的综合应用】 17 【类型7 实数相关阅读材料题】 22 【类型1 实数相关规律性问题】 1．如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2021行从左向右数第2020个数是（   ） A．2020 B．2021 C． D． 【答案】D 【分析】经观察发现，第1行有2个数且第1个数为1，第2行有4个数且第2个数为2，第3行有6个数且第3个数为3，由此可知推断第n行共有2n个数，且第n行的第n个数为，从而得出答案． 【详解】解：经观察发现，第1行有2个数且第1个数为1，第2行有4个数且第2个数为2，第3行有6个数且第3个数为3，由此可知推断第n行共有个数，且第n行的第n个数为， ∴第2021行从左向右数第2021个数是2021， ∴第2021行从左向右数第2020个数是． 2．小慧同学通过计算观察下列正数的算术平方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题干表格数据可总结算术平方根的规律，被开方数小数点每向某方向移动两位，算术平方根的小数点向同一方向移动一位，利用规律即可求解． 【详解】解：根据表格数据可得规律：在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向某一方向移动两位，对应的算术平方根的小数点就向同一方向移动一位， ∵，且是将的小数点向右移动两位得到， ∴需要将的小数点向右移动一位，即． 3．现有一组有规律排列的数如下：0，，，1，按此规律排列后，第2025个数为（    ） A． B． C．44 D． 【答案】C 【分析】本题考查了数列规律的探索与应用，先分析数列规律，通过整理可以发现，数列的规律是：第n个数为，再应用规律进行求解即可得到结果． 【详解】解：将数列重写为：，，，1，， 观察规律，第n个数为， 则第2025个数为， 因此，第2025个数为44． 故选：C． 4．已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（    ） A． B． C． D．2026 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，发现规律是解题的关键． 观察序列规律，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同． 【详解】解：由条件可知：这一列数是从开始的连续的自然数，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同， ∵ ， ∴ 第项为负平方根，即. 故选：B． 5．下面是一个按某种规律排列的数阵： 第一行            1     第二行            2          第三行          3                第四行            4                ……           …… 根据数阵规律，第八行第十五个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数阵的排列规律，需确定第八行第十五个数对应的被开方数．通过观察数阵，每行末尾数的被开方数为行数与的乘积，且每行有个数．利用此规律推导第八行的起始和末尾数，进而定位第十五个数的位置． 【详解】解：根据题中规律确定每行末尾数：， 则第行的末尾数为． 故第八行末尾数为． 根据题中规律每行数的个数是：， 则第行有个数， 故第八行共有个数． 定位第八行第十五个数：第十五个数为倒数第二个数（因总数为16）．末尾数的被开方数为，倒数第二个数的被开方数为，故该数为． 综上，第八行第十五个数为， 故选：B． 6．小裴同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律； 运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根，根据表格中的规律在立方根运算中，被开方数的小数点每向左移动三位，相应的立方根的小数点就向左移动一位，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：根据表格中的规律可知，在立方根运算中，被开方数的小数点每向左移动三位，相应的立方根的小数点就向左移动一位， ∵， ∴， 故选：． 7．观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（    ）． A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与实数规律有关的计算，根据已知等式，得到，进而求出的值，再进行求解即可． 【详解】解：∵，…， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是； 故选D． 8．以下是按规律排列的一列数：，，，，，…，根据规律，其中的第个数是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】根据数据得到规律求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， ∴该组数据的规律是：， ∴第个数是：， 故选：A； 【点睛】本题考查规律，解题的关键是根据题干数据得到数字规律． 【类型2整数部分与小数部分】 9．若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值为________． 【答案】 5 【分析】先估算出的取值范围，再分别求出和的整数部分和，最后代入计算的值即可． 【详解】解：，， ， ∴，， 的整数部分，的整数部分， 则． 10．已知是的整数部分，是的整数部分，则________． 【答案】 【分析】本题考查无理数的整数部分估算，掌握相关知识是解决问题的关键．通过比较无理数与相邻整数的平方，确定其整数部分，再计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分； ∵， ∴， ∴的整数部分； ∴． 故答案为：． 11．若的整数部分为a，的整数部分为b，则______． 【答案】5 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出、的范围是解此题的关键．先求出、的范围，求出a、b的值，再代入求出即可． 【详解】解：，， ，． 的整数部分为3，的整数部分为2． ，． ． 故答案为：5． 12．的整数部分是a，的整数部分是b，则_____________. 【答案】5 【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，首先对估算出大小，从而求出其的整数部分与的整数部分，得出a，b的值后代入所求式子计算即可，能够正确的估算出无理数的大小，是解答此类题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵的整数部分是a， 的整数部分是b， ∴， ， ∴． 故答案为：5． 13．已知a是的整数部分，b是的整数部分，则a－b＝______． 【答案】-1 【分析】由32<13<42可得3<<4，进而得出的整数部分，即可求得a值；由42<17<52可得4<<5，进而得出的整数部分．即可求得b值，从而求解． 【详解】解：∵32<13<42， ∴3<<4， ∴的整数部分是a=3； ∵42<17<52， ∴4<<5， ∴的整数部分是b=4． ∴a-b=3-4=-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，属于基础题，注意“夹逼法”的运用是关键． 14．阅读下面的文字，解答问题．例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为，请解答： （1）的整数部分是______． （2）的小数部分是______． 【答案】 3 【分析】（1）根据题意分别找出的左边第一个整数和右边第一个整数即可作答； （2）由（1）可知，则可求出的整数部分，再用减去它的整数部分即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴的整数部分为3． 故答案为：3 （2）∵， ∴1<<2， ∴的整数部分是1， ∴的小数部分是-1=． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了根据算术平方根的定义估算无理数的大小，熟练地掌握算术平方根的定义是解题的关键． 15．若的小数部分为，的整数部分为，则_________． 【答案】 【分析】先通过估算无理数的大小，得到和的值，再代入所求代数式计算即可. 【详解】解：∵ ∴ ∴的整数部分为，小数部分 ∵ ∴ ∴的整数部分 将，代入得： ． 16．若的整数部分是m，小数部分是n，则_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的估算，解决本题的关键是要熟练对二次根式进行估算． 先估算的范围，再估算的范围，可求出的整数部分，根据小数部分等于原数减去整数部分即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴整数部分是8，即， ∴小数部分=， ∴， 故答案为：． 【类型3 实数相关定义新运算】 17．对于有理数x，y，定义新运算，其中a，b是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．如果，，则的值是（   ） A． B．12 C． D．24 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和有理数的混合运算，利用已知的新定义对等式进行化简，求出a和b的值，原式再利用新定义化简后，将a与b的值代入计算即可求解． 【详解】解：根据新定义，由，得， ， 解得， 则， 故选：C． 18．定义新运算“”的运算法则为：，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题为新定义运算题，先理解运算法则，按照从内到外的顺序，根据给定的运算法则逐步代入求解即可． 【详解】解：新运算法则为 则， ∴， A选项符合题意． 19．定义一种新运算：，则的值为（    ） A．25 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算，直接根据新运算的定义代入数值计算即可． 将，代入即可求出答案． 【详解】∵ ， ∴ 故选A． 20．用“”定义新运算，对于任意非负实数，都有，例如，那么（   ） A．27 B．72 C．78 D．84 【答案】C 【详解】解：∵， ∴． 21．定义关于任意正整数的一种新运算：．若规定，则（   ） A．3 B．6 C．18 D．81 【答案】D 【分析】根据给定的运算规则，将变形为两个的乘积，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵对任意正整数，满足，且已知， 又∵， ∴． 22．定义新运算“” ，，则（    ） A．9 B．10 C．14 D．6 【答案】D 【分析】本题考查定义新运算，根据新运算的法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ； 故选D． 23．已知均为有理数，现定义一种新运算：，则（ ） A．5 B． C． D．13 【答案】D 【分析】本题考查新定义有理数运算，理解新定义运算是解决问题的关键．理解定义一种新运算：，按照运算规则代值求解即可得到答案． 【详解】解：， ， 故选：D． 24．对于x，y定义一种新运算“*”： ，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知：，，那么1*2运算的结果为（    ） A．2 B． C．13 D．1 【答案】C 【分析】由题意知，，解得，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，解得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组的应用，有理数的混合运算．解题的关键在于正确的解二元一次方程组． 【类型4 实数相关程序框图】 25．如图，从“输入一个实数”到“结果是否大于”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作，若输入后程序操作进行一次就停止了，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据运行程序，第一次运算结果大于，列出不等式，然后求解即可，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故选：． 26．根据以下程序，当输入时，输出结果为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】先计算的结果，若结果小于2，则输出结果，若结果大于或等于2，则把结果作为x的值重新输入到进行计算，据此逐步求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴输出的结果为． 27．如图所示的运算程序中，输入的值是16时，输出的值是（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】A 【详解】解：输入的值是16时，，是有理数，4的立方根为，是无理数， ∴输出的值是． 28．在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（     ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【分析】根据算术平方根，立方根，无理数等内容，按照程序框图求解即可． 【详解】解：输入x的值是64时，取算术平方根可得，， 是有理数，则取立方根，可得， 是有理数，则取算术平方根，可得， 为无理数，则输出， 即． 29．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是81，则输出的y的值是（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】计算81的算术平方根，若为无理数，则输出，若为有理数则继续取算术平方根判断，据此求解即可． 【详解】解：是有理数， 是有理数， 不是有理数，故输出的y的值为． 30．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y值是（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【详解】解： 25的算术平方根为5，5是有理数 取5的平方根，是无理数 输出值是． 31．根据图中的程序，当输入为2时，输出的值是（   ） A． B． C．-2 D． 【答案】B 【分析】根据程序框图，判断输入值 与的大小关系，选择对应的运算程序进行计算即可． 【详解】解：输入，且， ． 32．小吴设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是8，那么输出的值是，当输入的值是27时，输出的值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：输入的值是27时，取立方根为，为有理数， 则取算术平方根为，为无理数， 则输出的值是． 【类型5 实数相关估值】 33．若，其中n为正整数，则_______． 【答案】6 【分析】找到与相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，再结合已知不等式求出正整数的值． 【详解】解：， ， 即， 又，且为正整数， ． 34．若为正整数，且满足，则_____． 【答案】8 【分析】估算出的取值范围，确定其介于两个连续正整数之间，即可求解． 【详解】解：， ，即， 又，且为正整数， ． 35．满足的整数的值可以是_____（写一个即可）． 【答案】（答案不唯一，，，任选其一即可） 【分析】先估算无理数和的取值范围，再确定范围内的整数，任选一个整数即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且n是整数， ∴n的值可以是3或4或5， ∴满足题意的n的值可以是3． 36．已知：，则整数_________． 【答案】 【分析】先估算无理数的取值范围，再得到的取值范围，结合已知不等式确定整数的值. 【详解】解：，， ， ∴， ∴， ，且为整数， . 37．已知，则整数n的值可以是________（填一个值即可）． 【答案】5（答案不唯一） 【分析】先求得的取值范围，再根据为整数，选取一个符合条件的值即可． 【详解】解：， ，即， 为整数， 可取中任意一个． 38．满足的整数共有_____个． 【答案】 【分析】找出和之间的完全平方数，求出对应的算术平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴满足条件的整数为，，，共个． 39．若n为正整数，且满足，则______． 【答案】 【分析】本题考查估算无理数的大小，解题关键是先计算出的平方，通过相邻正整数的平方逼近确定的范围，即可求出的值． 【详解】解：， 又，且，， ，即， ， 对比可得， 故答案为． 40．若n为正整数，且满足，则__________． 【答案】6 【分析】估算的大小，确定其介于两个连续正整数之间，据此即可解答． 【详解】解：， 即， ，且为正整数， ． 【类型6 平方根与立方根的综合应用】 41．已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的定义是解决本题的关键． （1）根据算术平方根、立方根的定义解决此题； （2）根据平方根的定义解决此题． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4 ∴，． ∴，； （2）解：由（1）得，，， ∴ ， ∴的平方根为：． 42．已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根和平方根，掌握以上定义是解题的关键． （）根据立方根和算术平方根的定义可得，，解方程即可求解； （）由（）求出的值，进而根据平方根的定义解答即可； 【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根是， ∴，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为． 43．已知：的平方根为，的算术平方根为它本身，的立方根是 (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据平方根的运算可求出的，算术平方根的运算及的值可求出的值，立方根的运算可求出的值； （2）把（1）中的的值代入，根据平方根的运算即可求解． 【详解】（1）解：∵的平方根为， ∴，即，解得，， ∵的算术平方根为它本身，算术平方根等于其本身的有或，且， ∴，即，且， ∴，解得，， ∵的立方根是， ∴，即，解得，， ∴，，． （2）解：由（1）可知，，，， ∴， ∴的平方根为， ∴的平方根为：． 【点睛】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根的运算，掌握以上知识的综合运算方法是解题的关键． 44．已知的算术平方根是2，的立方根是3． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)14 (2)10 【分析】（1）根据已知条件，求出、的值，即可求出最终答案； （2）把x、y的值代入，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是2， ∴， 解得：， 又∵的立方根是3， ∴， 解得：， ∵， ∴的值为14. （2）解：由（1）可知，，， ∵， ∴的算术平方根是10． 【点睛】本题主要考查了算术平方根、立方根的概念，掌握算术平方根、立方根的概念是关键． 45．已知4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算术平方根是4 (1)求a，b的值． (2)求6a+3b的平方根． 【答案】(1)a=5，b=2； (2)6a+3b的平方根为±6． 【分析】（1）运用立方根和算术平方根的定义求解； （2）根据平方根，即可解答． 【详解】（1）解：∵4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算术平方根是4， ∴4a+7=27，2a+2b+2=16， ∴a=5，b=2； （2）解：由（1）知a=5，b=2， ∴6a+3b=6×5+3×2=36， ∴6a+3b的平方根为±6． 【点睛】本题考查了平方根、立方根、算术平方根．掌握一个正数的平方根有2个是解题的关键，不要漏解． 46．已知5a＋2的立方根是3，3a＋b﹣1的算术平方根是4 (1)求a，b的值． (2)求4a﹣2b的平方根． 【答案】(1)a=5，b=2 (2) 【分析】（1）运用立方根和算术平方根的定义求解； （2）根据平方根的定义即可解答． 【详解】（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b-1的算术平方根是4， ∴5a+2=27，3a+b-1=16， ∴a=5，b=2； （2）由（1）知a=5，b=2， ∴4a-2b=4×5-4=16， ∵16的平方根为， ∴4a-2b的平方根为． 【点睛】题考查了平方根、算术平方根、立方根，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根、立方根的定义． 47．已知的立方根是3，的算术平方根是5． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：的立方根是3，的算术平方根是5， ，， ，； （2）解：，， ， 的平方根为． 48．已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（1）根据平方根以及立方根的定义解决此题； （2）先将由（1）得，代入，再求解的平方根即可． 【详解】（1）∵的平方根是， ∴，解得：， ∵的立方根是， ∴，解得：； （2）∵由（1）得，， ∴， ∴的平方根为． 【类型7 实数相关阅读材料题】 49．人教版七年级下册数学课本第58页的“阅读与思考”：为什么不是有理数． (1)【阅读与思考】 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数、，使得． 两边平方，得， 即．① 由是偶数，得是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 因此可设（是正整数），代入①，得______，即______． 所以也是偶数．则，都是偶数，不互质，这与假设，互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． (2)【运用并解决】 类比上述的【阅读与思考】，推理说明：不是有理数． 【答案】(1)； (2)过程见解析 【分析】（1）根据题意进行填空即可； （2）类比题干的解法，先假设是有理数，则必定存在互质的两个正整数、，使得，变形得，容易判断也是的倍数．设（为正整数），则，也是的倍数，与假设矛盾，因此不是有理数． 【详解】（1）解：设（是正整数），代入①，得，即， 故答案为：；． （2）解：假设是有理数，那么必定存在一组互质的正整数、，使得， 两边立方，得， 即①， ∵是的倍数， ∴是的倍数，即包含质因数和， ∴也包含质因数和，即也是的倍数， 设（为正整数），代入①，得， ，即， 同理，也是的倍数，则与存在公因数，这与、互质矛盾， ∴假设不存在，不是有理数． 50．人教版七年级下册数学教科书第58页“阅读与思考”：为什么不是有理数． (1)【阅读填空】假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是．两边平方得①．由是偶数，得是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 设（是正整数）代入①得，，即．所以也是偶数，这样，都是偶数，与假设，互质矛盾．这个矛盾说明，不能写成分数的形式，所以不是有理数． (2)【问题解决】类比（1）【阅读填空】，推理说明不是有理数． 【答案】(1)；； (2) 证明：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得， 于是．两边立方得． 由是偶数，得是偶数，而只有偶数的立方才是偶数，所以也是偶数． 设（是正整数）代入得，，即．所以也是偶数，这样，都是偶数，与假设，互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，所以不是有理数． 【分析】本题考查了反证法．理解题意，类比作答是解题的关键． （1）按照步骤作答即可； （2）类比（1）的步骤作答即可． 【详解】（1）解：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是． 两边平方得①． 由是偶数，得是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 设（是正整数）代入①得，，即． 所以也是偶数，这样，都是偶数，与假设，互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式， 所以不是有理数． （2）略 51．阅读与思考某兴趣小组阅读教材中“为什么不是有理数”的内容后产生了很大的兴趣，在课后进行了衍生探究，形成如下研究性学习报告．请认真阅读并完成任务． 关于“无理数的衍生探究”的研究报告 教材部分内容：事实上，不是有理数是可以证明的，下面给出一种证明方法． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是， 两边平方，得， 由是偶数，得是偶数，所以也是偶数． 因此可设（是正整数），代入上式，得，即， 所以也是偶数，这样都是偶数，与假设互质矛盾， 即不是有理数． 方法拓展：根据上述的证明方法，进一步对是否为有理数展开了以下论证． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得于是， 两边立方，得 任务： (1)是___________．（填“无理数”或“有理数”） (2)根据前面的证明思路，补全剩余的证明过程． (3)若是无理数，且与互为相反数，直接写出的值． 【答案】(1)无理数 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据无理数的意义进行判断； （2）仿照阅读材料中的证明过程进行解答即可； （3）根据相反数的意义得，再根据立方根的意义求解即可． 【详解】（1）解：是无理数； （2）证明：假设是有理数， 那么存在两个互质的正整数，，使得， ∴， 两边立方，得：， ∵是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， 设（是正整数）， ∴，即， ∵是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， ∴，都是偶数，与假设矛盾， 即不是有理数； （3）解：∵是无理数，且与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴． 52．数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一． 请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题： 问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得， ，b都是有理数，，也是有理数， 是无理数，，， ，， 解决问题：设m，n都是有理数，且满足，求的平方根． 【答案】或 【分析】本题考查求一个数的平方根，实数的运算，仿照题干的解题思路，得到，进而求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得： ∵m，n都是有理数， ∴为有理数， ∵为无理数， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴的平方根为或． 53．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么样的关系？ 小南用自己的方法进行了探究，而，即． 任务： (1)结合材料，猜想：当时，请直接写出与存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算：； (3)运用上述规律，解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 【答案】(1)当时， (2)①；② (3) 【分析】（1）根据已知等式总结规律即可； （2）①利用所得规律计算即可； ②利用所得规律计算即可； （3）根据题意列式后利用所得规律计算即可． 【详解】（1）解：由已知等式可得当时，； （2）解：①原式 ； ②原式 ； （3）解： ， 即长方形的面积为15． 54．阅读下面内容，并解答问题． 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求出它的立方根．华罗庚不假思索地给出了答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘． (1)请按照下面的分析试一试： ①由，，可知是______位数； ②由59319的个位上的数是9，可知的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，由此确定的十位上的数是______； ④因此，______． (2)求的值． 【答案】(1)①两；②9；③3；④39 (2) 【分析】本题考查了立方根的估算方法（利用立方数的位数特征、个位数字规律及范围界定十位数字），解题的关键是掌握“立方数的位数对应原数位数”“立方数个位数字与底数个位数字的唯一对应关系”“通过划去后三位数字确定底数十位数字的范围”这三个核心规律． （1）①通过对比（1000）和（1000000）与59319的大小，确定的位数；②根据“只有个位为9的数，其立方个位为9”确定的个位数字；③划去59319后三位得59，对比（27）和（64）的范围，确定的十位数字；④综合个位与十位数字得的结果； （2）求时，同理先判位数（对比与），再根据“个位为3的立方数对应底数个位为7”定个位，划去后三位得50，对比与定十位，最终得结果． 【详解】（1））①解：∵，，且， ∴是两位数； 故答案为：两． ②解：∵只有个位数字为9的数，其立方的个位数字为9（），且59319的个位为9， ∴的个位为9； 故答案为：9． ③解：划去59319后面三位319得59， ∵，，且， ∴的十位为3； 故答案为：3． ④解：由①知是两位数，②知其个位为9，③知其十位为3， ∴；故答案为：39． （2）解：∵，，且， ∴， ∴是两位数； ∵只有个位数字为7的数，其立方的个位数字为3（），且50653的个位为3， ∴的个位为7；划去50653后面三位653得50， ∵，，且， ∴的十位为3； 综合得． 55．请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以，即， 所以． 根据阅读材料，解决问题： 设都是有理数，且满足，求的值． 【答案】的值为7或 【分析】本题主要考查实数运算，二次根式的运算，根据提供的方法，先变形为，从而得出，求出，最后代入求值即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以， 解得， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为7或． 56．【阅读材料】如何化简整式呢？数学教材第76页提示，可以把看成一个整体，进而．“看成一个整体”在数学中称为“整体思想”，它往往能把复杂问题简单化，在数学问题的解决中应用广泛．请参考阅读材料，解决以下问题： (1)填空：已知，，则______； 【拓展探究】 (2)若关于的一元一次方程的解是，求关于的方程的解是多少； 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，平方根，一元一次方程的解等，熟练运用“整体思想”是解题的关键． （）首先由得，然后将，，代入之中进行计算即可得出答案； （）首先设则方程可转化为 ，进而得，然后结合已知可得出，进而得 ，由此解出即可 【详解】（1）解：∵， ∴，即， 又∵， ∴ ， 故答案为：； （2）解：设， 则方程可转化为：， 即， ∵关于的一元一次方程的解是， ∴关于的一元一次方程的解是， ∴， 即， ∴， 即关于的方程的解是． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $