专题03 实数相关压轴题分类训练（7种类型56道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版七年级下册

专题03 实数相关压轴题分类训练 （7种类型56道） 1．观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第9个数据应是（   ）地 城 类型01 实数相关规律性问题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律变化，二次根式的化简．根据数据可得第个数为，据此即可求解． 【详解】解：由数据可得，第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， ， ∴第个数为， ∴第9个数据应是， 故选：C． 2．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第11个数应是（    ） A． B． C． D．11 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，这一列数是从1开始的连续的自然数，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，据此规律求解即可； 【详解】解：，，，，，，，，， ……， 以此类推可知，这一列数是从1开始的连续的自然数，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根， ∵， ∴第11个数应是， 故选：A． 3．观察下列各式：，依次类推请你用发现的规律表示第2021个等式的结果，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数、规律题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．探究规律．利用规律即可解决问题． 【详解】解：∵… ∴用含的等式表示为， ∴第2021个等式为． 故选：C． 4．数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ，，；； 计算式子 的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的规律问题，根据所给算式总结规律计算即可，熟练掌握算术平方根是解题的关键． 【详解】解：由，，；； 则原式， ， 故选：． 5．按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究，根据已有数据，得到第个数为，进而求出第8个数即可． 【详解】解：，，，， ∴第个数为， ∴第8个数为； 故选C． 6．观察数据并寻找规律：，－2，，，，…则第个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的规律探索，发现规律是解题关键． 【详解】解：数据为，，，，，…，， ∴第个数是， 故选：D． 7．有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第10个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将这列数据改写成：，，，，，…，按照三步确定结果：一确定符号，二确定分子，三确定分母即可． 【详解】解：，，，，，…可写出： ，，，，，…， ∴第10个数为， 故选：D． 【点睛】本题考查数字类变化规律，解题的关键是把已知的一列数变形，找到变化规律． 8．已知按照一定规律排成的一列实数：则按此规律可推得这一列数中的第729个数应是（    ） A． B． C．27 D．9 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解．根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，从而可以得到这一列数中的第729个数． 【详解】解：一列实数：，，，，，，，，，，… 这些数每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根， 这一列数中的第个数应是， 故选D． 9．对于任意两个实数a，b，定义两种新运算：，，并且定义新运算的运算顺序仍然是先算括号内的，例如：，，，那么等于（    ）地 城 类型02 实数相关定义新运算 A．2 B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了新定义实数的运算，无理数估算，求立方根，先估算出的范围，再结合新定义运算规则进行计算即可得解，熟练掌握实数的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故选：C． 10．新定义对于实数a，b，定义的含义为：当时，，当时，，例如：，已知，，且x和y为两个连续正整数，则的算术平方根为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查新定义，算术平方根，根据题意求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得：，， 由于x和y为两个连续正整数，， ∴，， ∴ ∴的算术平方根为4， 故选：C． 11．对于任意两个实数定义两种运算： ， ，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，那么等于(      ) A． B．3 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据新定义先计算，进而计算，即可求解． 【详解】解：依题意，， ， ， ， ，， ， ∴． 故选：B 【点睛】本题考查了求一个数的立方根，无理数的大小比较，理解新定义和比较两数的大小是解题的关键． 12．现对实数，定义一种运算：．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数的混合运算，先化简算术平方根和立方根，再依据新定义规定的运算计算可得． 【详解】解：， 故选：A． 13．定义新运算“”，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了定义新运算，乘方，求算术平方根，理解新定义运算的运算法则是解题的关键． 根据新定义运算的运算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故选：A． 14．定义新运算“” ，，则（    ） A．9 B．10 C．14 D．6 【答案】D 【分析】本题考查定义新运算，根据新运算的法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ； 故选D． 15．定义一种新的运算：对于任意实数a，b，都有，则的值是（   ） A． B．0 C．10 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，正确理解题意是解题的关键． 根据题目所给的定义，求解即可． 【详解】解：． 故选C． 16．现对实数，定义一种运算：，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数的混合运算，先化简算术平方根和立方根，再依据新定义规定的运算计算可得． 【详解】解：， ， 故选：A． 17．如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入x为时，输出的值是 ．地 城 类型03 实数相关程序框图 【答案】 【分析】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握算术平方根，立方根，有理数是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得∵， ∴，是有理数， ∵， ∴，是有理数， ∵， ∴，是无理数，可以输出， ∴， 故答案为：． 18．小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入的值是64时，输出的值是 ． （2）分析发现，当非负数取 时，该程序无法输出值． 【答案】 0或1 【分析】本题考查了实数，立方根，算术平方根，关键是掌握立方根及算术平方根的求解． （1）按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可． （2）按照计算流程，探索即可得出答案解： 【详解】解：（1）当x值为64时，则64的算术平方根得8， ∴8的立方根是2， ∴2的算术平方根得是，是无理数， ∴输出的数为； 故答案为：． （2）依题意，按照计算流程发现最后都是无理数输出， ∴当非负数取0或1时该程序无法输出值， 故答案为：0或1． 19．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是27，则输出的的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数、平方根与立方根的应用，解题的关键是熟练掌握运算程序；根据题中所给的运算程序可直接进行求解． 【详解】解：若开始输入的的值是27， 由题可得：27的立方根为3，是有理数， 3的算术平方根是，是无理数，输出， 则输出的的值为． 故答案为：． 20．有一个数值转换器，流程如图：当输入的值为36时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，无理数，熟练掌握算术平方根的意义是解答本题的关键，根据流程图求算术平方根，再根据无理数的定义判断即可求解． 【详解】解：由题意得，的算术平方根是6，6不是无理数， 6的算术平方根是，是无理数， 则输出． 故答案为：． 21．如图所示的是小明用计算机设计的计算小程序，当输入的值为时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的计算，掌握求一个数的立方根，算术平方根是解题的关键．将代入程序进行计算即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，，输出， 故答案为： 22．小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入的值是时，输出的值是 ． （2）分析发现，当实数取 时，该程序无法输出值．（写出所有的情况） 【答案】 或或负数 【分析】本题考查了实数的运算，关键是掌握立方根及算术平方根的求解． ()按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可 ()按照计算流程，探索即可得出答案解． 【详解】解：()输入，则， 是有理数，的立方根是， 是有理数， 的算术平方根得是，是无理数， ∴输出的数为； 故答案为：； ()∵按照计算流程发现最后都是无理数输出， ∴①当能计算第一步的算术平方根时， 则陷入死循环，即不停的计算算术平方根和立方根， 计算结果一直是有理数， ∴此时或，该程序无法输出值， ②当不能计算第一步的算术平方根时， ∵负数没有算术平方根， ∴取负数时该程序无法输出值， 故答案为：或或负数． 23．按如图所示的流程操作，当输入时，输出的值是 ；当输出的值等于4时，输入的负数是 ． 【答案】 8 【分析】本题考查了流程图与实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先判断正负，再根据流程图计算即可． 【详解】解：当输入时，， ， ； 当输出的值等于4时，， 输入的负数是， 故答案为：8，． 24．有一个数值转换器，流程如图： 当输入的值为81时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，无理数，熟练掌握算术平方根的意义是解答本题的关键，根据流程图求算术平方根，再根据无理数的定义判断即可求解． 【详解】解：由题意得，的算术平方根是，不是无理数， 的算术平方根是，不是无理数， 的算术平方根是，是无理数， 则输出． 故答案为：． 25．阅读下面的文字，解答问题：地 城 类型04 整数部分与小数部分 是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部地写出来．因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，于是我们用来表示的小数部分，又例如：，即的整数部分为2，小数部分为． (1)如果的整数部分为a，的小数部分为b，则_______，_______； (2)已知的小数部分为a，的小数部分为b，求的值； (3)若，其中x是整数，且，求． 【答案】(1)3， (2)1 (3) 【分析】此题考查了实数的混合运算、无理数的估算等知识，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． （1）根据题意计算求解即可； （2）根据题意先求出a，b的值，代入求解即可； （3）求出，则，由，其中x是整数，得到，然后即可求出． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为3，即， ∵，即 ∴的小数部分为，即 故答案为：3，； （2）解：∵， ∴， ∴的小数部分为， 即； 由可得，， ∴， ∴的小数部分为， 即； ∴． （3）解：∵， 即， ∴， ∴的整数部分为12，小数部分为， ∴， 又∵，其中x是整数，且， ∴， ∴， ∴． 26．【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)，n分别是的整数部分和小数部分，求的值； (3)若，其中x是整数，且，则的值是______（直接写出）． 【答案】(1)4， (2) (3) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定m、n的值，再代入计算即可； （3）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得到的大小，确定x、y的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：，而， ， 的整数部分是4，小数部分为， 故答案为：4，； （2）解：，而， ， 的整数部分，小数部分为， ； （3）解：， ， 又，其中x是整数，且， ， ， 故答案为：. 27．阅读理解： 同学们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部地写出来，于是小伟用来表示的小数部分，事实上，小伟的表示方法非常有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是的小数部分，又如：，即，的整数部分是2，小数部分是． 请参考小伟思考问题的方法解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)如果的小数部分是a，的整数部分是b，求的值． (3)已知m是的整数部分，n是其小数部分，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)5 (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小和求代数式的值，能估算出无理数的大小是解此题的关键． （1）先估算出的范围，再求解即可； （2）先估算出和的范围，再求出、的值，最后求出代数式的值即可； （3）先求出的范围，再求出、的值，最后代入求出即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； （2）解：，， ，， ，， ； （3）解：， ， ，， ． 28．请阅读下面的文字，完成相应的任务 怎样表示无理数的小数部分 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来， 于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：要表示无理数的小数部分，我们可以先估算它的整数部分，再用它减去整数部分，就可得到其小数部分的表示．其过程如下： ∵， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为． 任务： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)已知x是的整数部分，y是的小数部分，求的值． 【答案】(1)2； (2) 【分析】本题考查无理数的估算，涉及二次根式性质、代数式求值，读懂文字材料，理解表示无理数整数部分与小数部分的方法是解决问题的关键． （1）先估算的范围，再由材料中的方法表示即可得到答案； （2）先估算的范围，再由材料中的方法表示，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为2，小数部分为； （2）解：， ， ∴， 是的整数部分，是的小数部分， ，， ． 29．我们知道是无理数，因此的小数部分不可能全部写出来．因为，即，所以的整数部分为2，将减去其整数部分，差就是小数部分，即的小数部分为． 根据以上材料请解答： (1)的整数部分是______________，小数部分是_______________． (2)已知的小数部分是，则______________，的小数部分是，则______________． (3)在（2）的条件下，若，求出满足条件的的值． 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是：熟练掌握估算无理数的大小的方法． （1）根据，得到，即可求解， （2），计算x，y的值，即可求解， （3）把，，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （3）解：由（2）知，，， ∵， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 30．【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)若，其中是整数，且，求的相反数； (3)已知的小数部分是，的小数部分是，求的值． 【答案】(1)4， (2) (3)1 【分析】本题主要考查了无理数的估算． （1）先估算的大小，然后求出其整数部分和小数部分即可； （2）先估算的大小，再根据不等式的性质估算的大小，求出整数部分x和小数部分y，从而求出的值，再求出它的相反数即可； （3）先估算和的大小，再根据不等式的性质估算和的大小，分别求出小数部分和，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是4，小数部分， 故答案为：4，； （2）解：∵，即， ∴，， ∴的整数部分是10，小数部分是：， ∵，其中是整数，且， ∴，， ∴， ∴的相反数为：； （3）解：∵，即， ∴，，即， ∴，即， ∵的小数部分是，的小数部分是， ∴，， ∴． 31．阅读理解：我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，小乐同学用来表示的小数部分，并给出了理由：因为，所以，则的整数部分为1，小数部分为，事实上，小乐同学的方法是正确的，请解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】(1)4； (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握估算的方法是解题的关键； （1）根据夹逼法可得，进而求解； （2）结合（1）题可得，进而可得x、y的值，进而求解． 【详解】（1）解：因为，即， 所以， 所以的整数部分是4，小数部分是； （2）解：因为， 所以， 所以的整数部分，小数部分， 所以． 32．阅读与思考 大家知道圆周率是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，因为的整数部分是3，于是小宇用表示出的小数部分．又例如：因为，即可得，所以的整数部分为2，小数部分为（说明：对于实数，其整数部分的定义是不大于的最大整数；小数部分大于0且小于1），请解答下列问题． (1)的整数部分是________，小数部分是________． (2)设的小数部分为的整数部分为，求的值． (3)已知是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分． ①的取值范围是_________． ②当是6的倍数时，且，求出的值． 【答案】(1)3， (2)4 (3)①；② 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，平方根的估算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）估算的范围后求解即可； （2）估算和，求出和的值后代入运算即可； （3）①根据题意可得的整数部分是5，即可得到；②根据是6的倍数，结合①可得，代入，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是； （2）解：， 的整数部分是， ∴， ， 的整数部分是，即， ； （3）解：①∵是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分， ∴的整数部分是5， ∴； ②是6的倍数，且， ， ， ， ． 33．已知是的算术平方根，是的立方根．地 城 类型05 平方根与立方根综合问题 (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，代数求值，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义． （1）根据算术平方根和立方根的定义，列出方程求出的值，再求a，b的值即可； （2）将a，b的值代入式子求值即可． 【详解】（1）解：根据是的算术平方根得，， 解得， ∴； 根据是的立方根得，， 解得， ∴； （2）解：将代入得， ． 34．李三同学遇到这样一道题目：“已知的平方根是，6是的算术平方根，求的立方根．”他费了很大的精力才做了出来，你能很快解决这个问题吗？请试一试！ 【答案】的立方根为，过程见解析 【分析】本题考查了算术平方根，平方根和立方根的综合，熟练掌握算术平方根，平方根和立方根的性质是解题的关键． 根据平方根及算术平方根的定义求得a，b的值，然后将其代入中计算后根据立方根的定义即可求得答案． 【详解】解：∵的平方根是，6是的算术平方根， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的立方根为． 35．已知4是的算术平方根，的立方根为． (1)求和的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）根据算术平方根、立方根的定义，得到，，求出和的值即可； （2）把和的值代入代数式求出代数式的值，根据平方根的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵4是的算术平方根， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 64的平方根为， ∴的平方根为． 【点睛】此题主要考查了平方根、算术平方根、立方根，解题关键是熟记平方根、算术平方根、立方根的定义． 36．若8的立方根是a，b的算术平方根是3，m的两个平方根分别是5和n． （1）求的平方根； （2）求的立方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】直接利用立方根以及算术平方根的定义得出a，b的值，根据平方根的定义可得m和n的值，最后将a，b，m和n的值代入计算，从而可解答． 【详解】解：（1）由题意可知： ，．    ∴． （2）由题意可知： ，．    ∴． 【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，解题的关键是正确理解算术平方根的定义，本题属于基础题型． 37．已知是9的算术平方根，. (1)求A，B的值； (2)求A+2B的立方根. 【答案】(1)A=3，B=-2， (2)-1 【分析】（1）根据是9的算术平方根，列出方程组求出a和b，进而求得A和B； （2）将（1）中求出的A和B代入A+2B计算求它的值，再求出它的立方根． 【详解】（1）解：∵是9的算术平方根，， ∴， 解得， ∴，； （2）解：∵A=3，B=-2， ∴， ∴的立方根为-1． 【点睛】本题考查的是立方根及算术平方根的定义，根据题意列出关于a、b的方程，求出a、b的值是解答此题的关键． 38．已知一个正数的平方根是与，2b+4的立方根是2． (1)求a、b的值； (2)求a+2b的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平方根的性质，即一个正数的两个平方根互为相反数和立方根的性质计算即可； （2）算出，再进行求解即可； 【详解】（1）∵一个正数的平方根是与， ∴， ∴， ∵2b+4的立方根是2， ∴， ∴， ∴，； （2）∵，， ∴， ∴a+2b的算术平方根为； 【点睛】本题主要考查了平方根的性质，立方根的性质和算术平方根的计算，准确计算是解题的关键． 39．已知一个正数的平方根分别是和，又的立方根为． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】（1）根据平方根的定义列出方程进行解答便可; （2）根据算术平方根进行计算便可; 【详解】（1）解：由题意得， 所以， 因为的立方根为−2， 所以， ； （2）因为，， 所以． 【点睛】本题主要考查了平方根，算术平方根，立方根，解题的关键是根据定义列出方程． 40．已知的两个平方根分别是，的立方根为2． (1)求的平方根； (2)若的算术平方根是3，求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方根和立方根的意义求出字母的值，再求的平方根即可； （2）求出的值，再求的立方根即可． 【详解】（1）解：∵的两个平方根分别是，的立方根为2． ∴，， 解得，，， ， ∵， ∴的平方根是． （2）解：∵的算术平方根是3， ∴，     ∵， ∴， ， ∵， ∴的立方根是． 【点睛】本题考查了平方根和立方根，解题关键是根据平方根和立方根的意义求出字母的值，会熟练求一个数的平方根和立方根． 41．估计的值在（   ）地 城 类型06 实数相关估值问题 A．3与4之间 B．0与1之间 C．1与2之间 D．2与3之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的大小估算，根据，即，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， 即， 故选：C． 42．估计的值应在（    ） A．8到9之间 B．7到8之间 C．6到7之间 D．5到6之间 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数取值范围的估计，判断无理数在有理数之间的范围是解题的关键．首先通过估算的近似值，再确定的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则， ∴估计的值应在6到7之间． 故选：C． 43．估计的值在（   ）． A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数估算，熟记夹逼法估算无理数的范围是解决问题的关键． 通过夹逼法估算的近似值，计算的范围，即可得到答案． 【详解】解：， ， 又∵， ∴， ∴，即， 故选：C． 44．估计的值在（   ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是掌握无理数估算的方法． 根据估算无理数的大小方法即可求解． 【详解】解：∵，即 ∴的值在4到5之间， 故选：C． 45．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】D 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键．直接利用估算无理数的大小的方法得出，进而得出答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， 故选：D． 46．估计的值应在（    ） A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的估计，掌握知识点是解题的关键． 通过比较算术平方根估算的范围，进而得到的区间即可． 【详解】解：∵，，且， ∴． ∴，即． ∴在3到4之间． 故选D． 47．估计的值应在（） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算，通过比较平方数确定根式的范围，进而计算表达式的值． 通过估算的值，计算的近似值，确定其所在区间． 【详解】解：，，且， ∴， ∵，， ∴， ∴即， ∴即， 因此，在和之间， 故选：B． 48．估计的大小应在（ ） A．7~8之间 B．8~9之间 C．9~10之间 D．不知道 【答案】B 【分析】： 此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出接近的有理数是解题关键． 直接得出接近的有理数进而得出答案． 【详解】 ． ． 故选：B． 49．阅读下列材料，解决问题：地 城 类型07 实数相关阅读材料题 材料一：设表示不大于的最大整数，如． 材料二：求的值： ，， ，． 材料三：2025数字构成的巧合：； ． 2025年是仅有的平方年、立方年，不能不珍惜这神奇的一年． (1) ； ； ． (2)已知n为正整数，化简（结果用含的代数式表示）． (3)已知 ，，令， 求 ． 【答案】(1)，6，2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，新定义，正确理解题意是解题的关键． （1）根据定义：表示不大于x的最大整数，即可解答； （2）根据可得，据此可得； （3）根据（2）的结论可得，由此求出a，b．代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ， ∴． 故答案为：，6，2； （2）解：∵n为正整数，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴． 50．阅读下列材料，解决问题： 材料一：若无理数的被开方数为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“最近整数区”为；同理规定无理数的“最近整数区”为．例如：因为，所以，所以的“最近整数区”为，的“最近整数区”为． 材料二：有趣的；，年是本世纪仅有的平方年和立方年，不能不珍惜这神奇的一年． (1)的“最近整数区”是 ；的“最近整数区”是 ； (2)若无理数为正整数）的“最近整数区”为，的“最近整数区”为，求的值； (3)实数，，满足关系式；，求的算术平方根的“最近整数区”． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据材料一的定义求出最近整数区； （2）利用最近整数区求出，的取值范围，得出的具体值，求出结论； （3）先根据，得出，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“最近整数区”的定义即可求解． 【详解】（1）解：， 的“最近整数区”是， ， 的“最近整数区”是， 故答案为：，； （2）解：最近整数区为 ， 最近整数区”为， ， ， ， 为正整数， ， ； （3）解：，，得出， ， ① ② ②①，得， ， ， 的算术平方根是， ， 的算术平方根的“最近整数区”是． 【点睛】本题考查算术平方根、立方根、不等式、无理数估值、解方程等知识点，题目较为新颖，解题的关键是理解题目中“最近整数区”的定义． 51．阅读下列材料，解决问题： 材料一：设表示不大于x的最大整数，如，． 材料二：求的值：∵，∴，∴，∴． 材料三：2025数字构成的巧合：；．2025年是仅有的平方年和立方年，不能不珍惜这神奇的一年． (1)直接写出结果：______，______，______； (2)已知n为正整数，化简（结果用含n的代数式表示）； (3)已知，，令，求． 【答案】(1)45，3，5 (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义的实数运算，无理数关于整数部分的计算，估计无理数大小是解题关键． （1）根据定义：表示不大于x的最大整数，即可解答； （2）根据可得，进而求解即可； （3）根据（2）的结论可得，然后求出，由此求出m，代入求值即可． 【详解】（1），，； （2）∵， ∴， ∵n为正整数， ∴， ∴； （3）∵， ， ， ∴， ∴． 52．【阅读材料】数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确的计算出结果吗?请你按下面的步骤试一试： 第一步：∵，，， ∴．∴能确定59319的立方根是个两位数． 第二步：∵的个位数是9，， ∴能确定59319的立方根的个位数是9． 第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59， 而，则，可得， 由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． 【解答问题】根据上面材料，解答下面的问题 (1)根据计算步骤，请计算12167的立方根，并书写详细过程． (2)填空：______． 【答案】(1)23 (2)0.81 【分析】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度． （1）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可； （2）可以先求的立方根，再把小数点往右移动两位即可； 【详解】（1）解：第一步：，，， ， 能确定12167的立方根是个两位数． 第二步：的个位数是7，， 能确定12167的立方根的个位数是3． 第三步：如果划去12167后面的三位167得到数12， 而，则，可得， 由此能确定12167的立方根的十位数是2，因此12167的立方根是23； （2）第一步：，，， ， 能确定531441的立方根是个两位数． 第二步：的个位数是1，， 能确定531441的立方根的个位数是1． 第三步：如果划去531441后面的三位441得到数531， 而，则，可得， 由此能确定531441的立方根的十位数是8，因此531441的立方根是81． 故， 故答案为：0.81． 53．阅读材料： 材料一：定义表示不大于的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对，若满足，则称该有序数对为“望一”数对；若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算： ． (2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号） ；；；；． (3)计算的值． 【答案】(1)； (2)；； (3)． 【分析】本题主要考查了新定义运算，算术平方根，无理数大小的估算，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的定义． （）根据题干中给出的信息进行计算即可； （）根据“望一”数对和“望音”数对的定义进行求解即可； （）根据题干中的信息找出规律，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， ∴是“望音”数对； ， ∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对； ， ∴是“望一”数对； ∴是“望一”数对； ， ∴是“望音”数对； 故答案为：；； （3）解：由，，； ，，，，； ，，，，，； ； ，， ∴ ， 设， ∴当不是完全平方数时，存在整数使得，此时，则该项的值为； 当是完全平方数时，设（为正整数），则， ∵是偶数， ∴必为偶数， 此时， ∴该项的值为， 因此，我们只需计算原式中值为的项的个数， ∵ 且 ， ∴ ， 又∵为偶数， ∴可取，的个数为个， ∴原式的值为． 54．阅读下列材料： 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题；两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，而， 所以，即． 小明：， 这就说明与都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个， 所以． 回答以下问题： (1)结合材料猜想．当时，直接写出和之间的关系？并运用你的结论．计算：； (2)解决实际问题：已知一个长方形的宽为，长为，求这个长方形的面积． 【答案】(1)，24． (2)18 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根的应用，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键． （1）当时，，据此计算即可； （2）根据当时，，计算即可． 【详解】（1）解：当时，； ∴． （2）解∵长方形的宽为，长为， ∴这个长方形的面积为 55．阅读下面的文字，解答问题： 【阅读材料】现规定：分别用和表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是，小数部分是；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以． (1)___________，_________；________，__________． (2)如果，，求的立方根． 【答案】(1)1，，3， (2)2 【分析】本题考查了估算无理数的大小和平方根的意义，求一个数的立方根，能够估算出无理数的范围是解决问题的关键． （1）先估算出和的范围，再根据题目规定的表示方法写出答案即可； （2）先估算出，的范围，即可求出，的值，进一步即可求出结果． 【详解】（1）解：，， ，，，， 故答案为：1，，3，； （2）解：，， ，， ， 的立方根是2． 56．阅读下列材料，并解决问题 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ ∵，， ∴是两位数， ∵的个位数是9 ∴的个位数是9， 如果划去后面的三位得到数，而，，由此确定的十位数是3， 所以． 请你应用以上方法计算的立方根（要求写出解答过程）． 【答案】67 【分析】本题主要考查了立方根的意义、数字变化的规律，熟练掌握题干中的解答方法是解题的关键． 利用题干中的解答步骤解答即可． 【详解】解：∵，， ∴是两位数， ∵的个位数是， ∴的个位数是， 如果划去后面的三位得到数， 而，，由此确定的十位数是， ∴，即的立方根是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03实数相关压轴题分类训练 (7种类型56道) 类型]实数相关规律性问题 类型2实数相关定义新运算 类型3实数相关程序框图 实数相关压轴题 类型4整数部分与小数部分 类型5平方根与立方根综合问题 类型6实数相关估值问题 类型7实数相关阅读材料题 目目 类型01 实数相关规律性问题 1.观察并分析下列数据，寻找规律：0,5，√6,3,2√5,5,3√2，，那么第9个数据应是() A.9V3 B.10√5 c.2√6 D.3√5 2.已知按照一定规律排成的一列实数：-1，√2，，-2,5,6，-万，8,9，-0，…则按 此规律可推得这一列数中的第11个数应是（) A.√i B.11 C.11 D.11 3.观察下列各式： 依次类推请你用发现的规律表示第2021 1/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 个等式的结果，正确的是() 1 1 A.2020 B.202 C.2022, 1 D.2021 1 2020 V2022 2023 2023 4.数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： 17 的值为() 81 A.1 B.9 C.0 D.1 9 5.按一定规律排列的一列数5,5，，压，其第8个数为() 2 3 4 A.3V3 B.V29 c.31 D.35 8 8 8 8 6.观察数据并寻找规律：√2，-2，√6，-2√2，√10，…则第2024个数是（) A.1714 B.-17√14 C.4V253 D.-4V253 7.有一列数按如下规律排列：-2,3,1。√5 6√万 21 4 4’16 32’64 则第10个数是() A.10 29 B.V10 C._vil D.v1i 29 210 210 8.已知按照一定规律排成的一列实数：-1，√2,5，-2，√5,6，-√万，√⑧，5，-0，…则按此规律可推得这一列 数中的第729个数应是() A.-729 B.-27 C.27 D.9 目目 类型02 实数相关定义新运算 aa≥b) b(azb) 9.对于任意两个实数a,b,定义两种新运算：a⊕b= b(a<b)' (aa<b’ 并且定义新运算的运 算顺序仍然是先算括号内的，例如：(-2)©3=3，(-2)⑧3=-2，[(-2)田3]⑧2=2，那么(V5⊕2)⑧27等 于() A.2 B.3 C.5 D.6 10.新定义对于实数a,b,定义min{a,b}的含义为：当a<b时，min{a,b}=a,当a>b时，min{a,b}=b, 例如：min1,-2}=-2,已知min5,x}=x,min{5,y=5,且x和y为两个连续正整数，则4x+y的 算术平方根为() 2/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.16 B.8 C.4 D.2 11.对于任意两个实数a,b定义两种运算：a△b= a(azb) avb= b(a<b) 〔ba之)，并且定义运算顺序仍然是 a(a<b) 先做括号内的，例如(-2)△3=3，(-2)V3=-2,(-2)△3)72=2，那么（√5V2)△27等于(） A.5 B.3 C.6 D.10 12.现对实数a,b定义一种运算：a※b=ab-a+b.则√9※-8的值为() A.-11 B.-10 C.-9 D.-7 13.定义新运算“☆”，a☆b=Va2+b2,则12☆(3☆4=() A.13 B.14 C.15 D.16 14.定义新运算“★”，a★b=√a+b,则9★(4★1)=() A.9 B.10 C.14 D.6 15.定义一种新的运算：对于任意实数a,b,都有a*b=(a-1)2+b2,则(3+1)*(-√7)的值是() A.-1 B.0 C.10 D.-4 16.现对实数a,b定义一种运算：a※b=ab-b,则√16※-8等于() A.-6 B.-10 C.10 D.6 目目 类型03 实数相关程序框图 17.如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入x为-64时，输出的值是」 是 是 输入x x≥0 y是有理数 否 →输出y 否 18.小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： 是有理数 取算术 是有理数 是无理数 输入的值 平方根 取立方根 输出y 是无理数 (1)当输入x的值是64时，输出的y值是」 3/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)分析发现，当非负数x取 时，该程序无法输出y值. 19.按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是27，则输出的y的值是 是无理数 输入x 取立方根 是有理数 是无理数 输出y 取算术平方根 是有理数 20.有一个数值转换器，流程如图：当输入x的值为36时，输出y的值是 输入x 是 取算术平方根 是否无理数 输出y 否 21. 如图所示的是小明用计算机设计的计算小程序，当输入x的值为-64时，输出y的值是 x=y 是 y=√ 是 输入x 有理数 香输出y 否 y=-x 22.小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： 是有理数 输入x值 取算术是有理数 是无理数 平方根 取立方根 输出y 是无理数 (1)当输入x的值是64时，输出的y值是 (2)分析发现， 当实数x取时，该程序无法输出y值.（写出所有的情况） 23.按如图所示的流程操作，当输入-29时，输出的值是；当输出的值等于4时，输入的负数是 是 输入 大于0 +2 ×2 算术平方根 输出 +1 ←相反数 24.有一个数值转换器，流程如图： 是 输入x 取算术平方根 <是个无理数 输出y 当输入x的值为81时，输出y的值是 4/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 目目 类型04 整数部分与小数部分 25.阅读下面的文字，解答问题： √2是无理数，无理数是无限不循环小数，因此√2的小数部分不可能全部地写出来.因为√2的整数部分是 1,将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，于是我们用√2-1来表示√2的小数部分，又例如： 4<7<9,即2<√万<3，.√万的整数部分为2，小数部分为万-2. (1)如果√13的整数部分为a,√10的小数部分为b,则a=,b= (2)已知6+√3的小数部分为a,6-√3的小数部分为b,求a+b的值： (3)若8+√19=x+y,其中x是整数，且0<y<1,求x-y. 26.【阅读理解】大家知道，√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此√2的小数部分我们不可能全 部写出来，于是小明用√2-1来表示√2的小数部分，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分， 差就是小数部分， 【解决问题】 (1)23的整数部分是一，小数部分是 (2)m,n分别是√13的整数部分和小数部分，求2m-n+√13的值； 3)若7+3=x+y,其中x是整数，且0<y<1,则x-y的值是 (直接写出). 27.阅读理解： 同学们知道√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此√2的小数部分不能全部地写出来，于是小伟 用√2-1来表示√2的小数部分，事实上，小伟的表示方法非常有道理，因为√2的整数部分是1，将这个数 减去其整数部分，差就是√2的小数部分，又如：22<5<32，即2<√5<3，√5的整数部分是2，小数 部分是V5-2. 请参考小伟思考问题的方法解答： (1)√0的整数部分是，小数部分是 (2)如果5的小数部分是a,37的整数部分是b,求a+b-5的值， (3)已知m是3+√7的整数部分，n是其小数部分，直接写出m-n的值. 28.请阅读下面的文字，完成相应的任务 怎样表示无理数的小数部分 5/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 我们知道√是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将√5的小数部分全部写出来， 于是小慧用√5-1来表示√3的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分， 例如：要表示无理数√万的小数部分，我们可以先估算它的整数部分，再用它减去整数部分，就可得到其小 数部分的表示.其过程如下： :√4<万<9， 2<7<3, “√万的整数部分为2，小数部分为V7-2. 任务： (1)√5的整数部分是-，小数部分是-： (2)已知x是8+√i的整数部分，y是8+√1的小数部分，求x-y的值 29.我们知道√万是无理数，因此√万的小数部分不可能全部写出来.因为√4<√万<√，即2<√万<3，所 以√万的整数部分为2，将√万减去其整数部分，差就是小数部分，即√万的小数部分为√万-2. 根据以上材料请解答： (1)√23的整数部分是 ,小数部分是 (2)已知6-√23的小数部分是x,则x=」 6+√23的小数部分是y,则y=」 (3)在(2)的条件下，若(m+1)2=x+y,求出满足条件的m的值。 30.【阅读理解】大家知道，√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此√2的小数部分我们不可能全 部写出来，于是小明用√2-1来表示√2的小数部分，因为√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分， 差就是小数部分 【解决问题】 (1)√23的整数部分是-，小数部分是- (2)若7+V3=x+y,其中x是整数，且0<y<1,求x-y的相反数： (3)已知5+√i的小数部分是a,5-√i的小数部分是b,求a+b的值. 31.阅读理解：我们知道√2是无理数，无理数是无限不循环小数，因此√2的小数部分不可能全部写出来， 小乐同学用√2-1来表示√2的小数部分，并给出了理由：因为12<2<22，所以1<√2<2，则√2的整数部 分为1，小数部分为、√2-1，事实上，小乐同学的方法是正确的，请解答： 6/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)9的整数部分是一，小数部分是 (2)若7-√9的整数部分是x,小数部分是y,求x-y的值. 32.阅读与思考 大家知道圆周率刀是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，因为 的整数部分是3，于是小宇用π-3表示出的小数部分.又例如：因为4<5<9，即可得2<√5<3，所 以√5的整数部分为2，小数部分为√5-2（说明：对于实数x,其整数部分的定义是不大于x的最大整数： 小数部分大于0且小于1)，请解答下列问题， (1)√3的整数部分是，小数部分是 (2)设√6的小数部分为a,41的整数部分为b,求a+b-√6的值 (3)已知m是正整数，√m是一个无理数，且√m-5表示√m的小数部分. ①m的取值范围是 ②当m是6的倍数时，且m+n-21=√6，求出m的值. 目目 类型05 平方根与立方根综合问题 33.已知a=m√2m-2是2m-2的算术平方根，b=+n-28是n-28的立方根. (1)求a,b的值 (2)化简：√a-b-4-b-a+4. 34.李三同学遇到这样一道题目：“已知3a-2的平方根是±4,6是2a+b+3的算术平方根，求-a+b)的立 方根.”他费了很大的精力才做了出来，你能很快解决这个问题吗？请试一试！ 35.已知4是3a-2的算术平方根，2-15a-b的立方根为-5. (1)求a和b的值； (2)求2b-a-4的平方根. 36.若8的立方根是a,b的算术平方根是3，m的两个平方根分别是5和n. (1)求b- 8a的平方根： (2)求5a+b-m-n的立方根 37.已知A=20-2a+5b是9的算术平方根，B=-3a-2b, (1)求A,B的值； 7/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)求A+2B的立方根. 38.已知一个正数的平方根是2a-3与5-a,2b+4的立方根是2. (1)求a、b的值： (2)求a+2b的算术平方根， 39.己知一个正数的平方根分别是2a+1和a-4,又b-4的立方根为-2. (1)求a,b的值； (2)求5a-b的算术平方根 40.已知5m-4的两个平方根分别是±4,4n-m的立方根为2. (1)求4m+3n的平方根： (2)若p+2m的算术平方根是3，求-10m-9n+3p的立方根. 目目 类型06 实数相关估值问题 41.估计√3-2的值在() A.3与4之间B.0与1之间 C.1与2之间 D.2与3之间 42.估计√18+2的值应在() A.8到9之间B.7到8之间 C.6到7之间 D.5到6之间 43.估计26-1的值在（). A.1和2之间B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 44.估计√20.3的值在(） A.2到3之间B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间 45.估计2+√3的值在() A.2和3之间B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 46.估计√7-1的值应在（) A.0到1之间B.1到2之间 C.2到3之间 D.3到4之间 47.估计213-2的值应在() A.4和5之间B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间 48.估计√76的大小应在() A.78之间 B.89之间 C.9~10之间 D.不知道 8/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 目目 类型07 实数相关阅读材料题 49.阅读下列材料，解决问题： 材料一：设[x表示不大于x的最大整数，如[3.15]=3，[4=4. 材料二：求V2x3的值： 22<2x3<32,V<2x3<3, 2<V2x3<3,:[V2x3]=2. 材料三：2025数字构成的巧合：(1+2+3+4+5+6+7+8+9)2=2025； 13+23+33+43+53+63+73+83+93=2025. 2025年是仅有的平方年、立方年，不能不珍惜这神奇的一年， -2=-[300]=-:[V-3×-2]=- 2)已知n为正整数，化简√n(n+(结果用含的代数式表示). B已知a=[2]+[2x可]++[2023x202],6=[V2o2可，令9=10i2+,求[： 50.阅读下列材料，解决问题： 材料一：若无理数√厅的被开方数T(T为正整数)满足n2<T<(n+)2(其中为正整数)，则称无理数√厅的“最 近整数区"为(n,+1);同理规定无理数√厅的“最近整数区”为（←n-1,-m).例如：因为12<2<22，所以 1<√2<2，所以√2的“最近整数区”为(1,2)，-√2的“最近整数区”为(-2，-1). 材料二：有趣的2025：1+2+3+4+5+6+7+8+9)2=452=2025；13+23+33+43+53+6+73+83+93=2025， 2025年是本世纪仅有的平方年和立方年，不能不珍惜这神奇的一年. (1)√7的“最近整数区”是-；-√23的“最近整数区”是-； (2)若无理数-Va(a为正整数)的“最近整数区"为(-3，-2)，√a+2的“最近整数区"为(3,4)，求a+1的值； (3)实数x,y,m满足关系式；√2x+3y+2m+√3x+4y+m=√：+y-2026+√2026-x-y，,求m的算术平方根 的“最近整数区” 51.阅读下列材料，解决问题： 材料一：设[x表示不大于x的最大整数，如2=2，[S=5. 9/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 材料二：求[V3x4的值：：32<3×4<42，V<5x4<V4,3<3x4<4,[「V3x4]=3. 材料三：2025数字构成的巧合：(1+2+3+4+5+6+7+8+9)2=452=2025； 13+23+3+43+53+6+73+8+93=2025.2025年是仅有的平方年和立方年，不能不珍惜这神奇的一年. 1)直接写出结果：[V2025]=一，[=一，-5列×(-6=； 2)已知n为正整数，化简Vnx(n-(结果用含n的代数式表示)： 已知x={[x2]+[2x3]+[3x4]++[V2024×2025]}+1012,y=[5o],令m=x-y,求[m]. 52.【阅读材料】数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题： 求59319的立方根.华罗庚脱口而出：39.邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙 你知道华罗庚是怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试： 第一步：：1000=10,1000000=100,1000<59319<1000000， 10<59319<100.能确定59319的立方根是个两位数. 第二步：：59319的个位数是9,93=729， ·.能确定59319的立方根的个位数是9. 第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59， 而27<59<64，则3<59<4，可得30<59319<40， 由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39. 【解答问题】根据上面材料，解答下面的问题 (1)根据计算步骤，请计算12167的立方根，并书写详细过程。 (2)填空：0.531441= 53.阅读材料： 材料一：定义[表示不大于x的最大整数，例如2.5=2，[3]=3，「V2]=1; 材料二：定义新运算a*b=[a-[bl,如2.5*2=[2.5]-[2]=2-2=0，对有序实数对(a,b),若满足a*b=1,则称 该有序数对为“望一"数对；若满足a*b=0,则称该有序数对为“望音"数对. (1)计算：4*√5=一 (2)下列数对是“望一“数对的有，是“望音”数对的有_·（填序号） 10/12