第11讲 函数的奇偶性（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

第11讲 函数的奇偶性 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 函数奇偶性的判断 题型2 利用函数的奇偶性求解析式与函数值 题型3 利用函数的奇偶性求参数值 题型4 利用函数的奇偶性比较大小 题型5 利用函数的奇偶性解不等式 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 奇函数 偶函数 函数奇偶性 1. 理解奇函数、偶函数的定义，了解奇函数、偶函数图象的特征； 2. 掌握判断函数奇偶性的方法，会根据函数奇偶性求函数值与求函数的解析式； 3. 能利用函数奇偶性求参数值、比较大小、解不等式等进行简单应用； 4. 能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的综合问题. 学习重点：理解奇函数、偶函数的定义，会利用奇偶性求参数值、解析式、函数值等. 学习难点：能利用奇偶性比较大小、解不等式，以及函数奇偶性结合函数其他性质的综合应用. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 函数的奇偶性 1.奇函数：如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 ，那么函数 是奇函数，图象关于原点对称. 2.偶函数：如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 ，那么函数 是偶函数，图象关于 轴对称. 偶函数 的性质：，可避免讨论. 3.奇函数、偶函数图象对称性的推广 在定义域内恒满足 的图象的对称轴（中心） 直线 直线 直线 点 点 点 即时即练 如图是函数f(x)＝在区间[0，＋∞)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据． 【方法总结】 利用函数奇偶性补全函数图象的方法： 在利用奇偶性补全图象时，通常先根据解析式判断函数的奇偶性，如果确认为偶函数，则作已知部分关于 y 轴的对称图形；如果确认为奇函数，则作已知部分关于原点的中心对称图形，两部分组合起来即为该函数的完整图象. 知识点02 判断奇偶性的常用方法 1.定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 与 之一是否相等. 【注意】判断 与 的关系时，也可以使用如下结论： （1）如果 或 ，则函数 为偶函数； （2）如果 或 ，则函数 为奇函数. 2.图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（ 轴）对称. 3.性质法：设 ， 的定义域分别是 ，，在它们的公共定义域上，一般具有下列结论： 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不确定 奇 偶 奇 偶 不确定 奇 偶 奇 奇 奇 偶 奇 【注意】在 中， 的值域是 定义域的子集. 4.分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断 与 的关系.首先要特别注意 与 的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中， 与 对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 即时即练 下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 定义法判断函数奇偶性的步骤： 知识点03 函数奇偶性与单调性的综合应用 1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. 2.区间 和 关于原点对称 （1）若 为奇函数，且在 上有最大值 ，则 在 上最小值 ； （2）若 为偶函数，且在 上有最大值 ，则 在 上最大值 . 3.利用函数的奇偶性与单调性比较函数值或自变量的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的同一个单调区间内，然后利用单调性比较. 【注意】由 或 及函数的单调性列出不等式（组）时，要注意定义域对参数的影响. 题型1 函数奇偶性的判断 【例1】判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4)； (5) 【方法总结】 判断函数是否具有奇偶性的方法有：定义法、图象法和性质法三种，具体请看知识点02. 【变式1-1】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． 题型2 利用函数的奇偶性求解析式与函数值 【例2】（1）已知，且，则等于（    ） A． B． C． D．10 （2）若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． （3）已知奇函数与偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 1、利用函数的奇偶性求解析式 类型1：已知函数的奇偶性及函数在某区间上的解析式，方法如下: （1）求哪个区间上的解析式，就设在那个区间上； （2）把对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中； （3）利用的奇偶性将用或表示，从而求出. 类型2：已知与两个函数的奇偶性求解析式，方法如下： （1）已知与相关的等式关系作为①式， （2）然后用代替所有的，再结合奇偶性，可得到关于与相关的另一个等式关系②式， （3）①②式联立，解方程组即可的得与各自的解析式. 2.利用函数的奇偶性求函数值： 利用或求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值. 【变式2-1】已知函数，且，则的值为______． 【变式2-2】设函数是定义在上的偶函数，且当时，.求的解析式. 【变式2-3】已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且. 求和的解析式. 题型3 利用函数的奇偶性求参数值 【例3】已知函数是偶函数，其定义域为，则____. 【方法总结】 利用函数的奇偶性求参数值的方法： 若函数解析式中含参数，则根据 或 ，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为 求参数. 【变式3-1】若是奇函数，则__________ 题型4 利用函数的奇偶性比较大小 【例4】设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 利用函数的奇偶性比较大小的方法： （1）自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； （2）自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小. 【变式4-1】已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型5 利用函数的奇偶性解不等式 【例5】（1）若定义在R的奇函数，若时，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）已知定义在上的偶函数在上是减函数，若，则实数的取值范围是___________. 【方法总结】 利用函数的奇偶性解不等式的方法： （1）将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系； （2）由已知或利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的对应法则“f”，转化为解不等式（组）的问题. 【变式5-1】若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 一、单选题 1．给定四个函数：①；②；③，；④，其中奇函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则等于（    ） A． B． C．0 D．2 3．已知函数是定义在区间上的奇函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 4．设偶函数的定义域为，当时，是增函数；则，，的大小关系（    ） A． B． C． D． 5．关于函数与的奇偶性，下列说法正确的是（ ） A．两函数均为偶函数 B．两函数都既是奇函数又是偶函数 C．函数是偶函数，是非奇非偶函数 D．函数既是奇函数又是偶函数，是非奇非偶函数 二、多选题 6．下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 7．已知定义在区间上的一个偶函数，它在上的图像如图，则下列说法正确的是（   ） A．这个函数有两个单调增区间 B．这个函数有三个单调减区间 C．这个函数在其定义域内有最大值7 D．这个函数在其定义域内有最小值 8．已知函数与的图象如图所示，则（    ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．的值域为 9．若函数同时满足：①对于定义域上的任意，都有在定义域上，且恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 10．函数f(x)在R上为偶函数，且x＞0时，f(x)＝＋1，则当x＜0时，f(x)＝________. 11．已知是定义在R上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，则______，______. 12．已知，是分别定义在上的奇函数和偶函数，且，则___________. 四、解答题 13．已知函数的图象关于原点对称，且当时， (1)试求在上的解析式； (2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间. 14．设是定义在上的奇函数，且对任意，当时，都有． （1）若，试比较与的大小关系； （2）若，求实数的取值范围． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 函数的奇偶性 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 函数奇偶性的判断 题型2 利用函数的奇偶性求解析式与函数值 题型3 利用函数的奇偶性求参数值 题型4 利用函数的奇偶性比较大小 题型5 利用函数的奇偶性解不等式 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 奇函数 偶函数 函数奇偶性 1. 理解奇函数、偶函数的定义，了解奇函数、偶函数图象的特征； 2. 掌握判断函数奇偶性的方法，会根据函数奇偶性求函数值与求函数的解析式； 3. 能利用函数奇偶性求参数值、比较大小、解不等式等进行简单应用； 4. 能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的综合问题. 学习重点：理解奇函数、偶函数的定义，会利用奇偶性求参数值、解析式、函数值等. 学习难点：能利用奇偶性比较大小、解不等式，以及函数奇偶性结合函数其他性质的综合应用. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 函数的奇偶性 1.奇函数：如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 ，那么函数 是奇函数，图象关于原点对称. 2.偶函数：如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 ，那么函数 是偶函数，图象关于 轴对称. 偶函数 的性质：，可避免讨论. 3.奇函数、偶函数图象对称性的推广 在定义域内恒满足 的图象的对称轴（中心） 直线 直线 直线 点 点 点 即时即练 如图是函数f(x)＝在区间[0，＋∞)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据． 【答案】作图见解析；说明见解析. 【详解】因为f(x)＝所以f(x)的定义域为R． 又对任意x∈R，都有f(－x)＝＝＝f(x)， 所以f(x)为偶函数． 所以f(x)的图象关于y轴对称，其图象如图所示． 【方法总结】 利用函数奇偶性补全函数图象的方法： 在利用奇偶性补全图象时，通常先根据解析式判断函数的奇偶性，如果确认为偶函数，则作已知部分关于 y 轴的对称图形；如果确认为奇函数，则作已知部分关于原点的中心对称图形，两部分组合起来即为该函数的完整图象. 知识点02 判断奇偶性的常用方法 1.定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 与 之一是否相等. 【注意】判断 与 的关系时，也可以使用如下结论： （1）如果 或 ，则函数 为偶函数； （2）如果 或 ，则函数 为奇函数. 2.图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（ 轴）对称. 3.性质法：设 ， 的定义域分别是 ，，在它们的公共定义域上，一般具有下列结论： 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不确定 奇 偶 奇 偶 不确定 奇 偶 奇 奇 奇 偶 奇 【注意】在 中， 的值域是 定义域的子集. 4.分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断 与 的关系.首先要特别注意 与 的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中， 与 对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 即时即练 下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的定义域为，因为，所以是奇函数，故A正确； 的定义域为，因为，所以不是奇函数，故B错误； 的定义域为，所以既不是奇函数也不是偶函数，故C错误； 的定义域为，因为，所以是偶函数，故D错误. 【方法总结】 定义法判断函数奇偶性的步骤： 知识点03 函数奇偶性与单调性的综合应用 1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. 2.区间 和 关于原点对称 （1）若 为奇函数，且在 上有最大值 ，则 在 上最小值 ； （2）若 为偶函数，且在 上有最大值 ，则 在 上最大值 . 3.利用函数的奇偶性与单调性比较函数值或自变量的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的同一个单调区间内，然后利用单调性比较. 【注意】由 或 及函数的单调性列出不等式（组）时，要注意定义域对参数的影响. 题型1 函数奇偶性的判断 【例1】判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4)； (5) 【答案】(1)奇函数；(2)既是奇函数又是偶函数；(3)既不是奇函数也不是偶函数；(4)奇函数；5)奇函数 【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称，且，则为奇函数． （2）对于函数，由可得， 其定义域为，关于原点对称．因为当时，都有， 满足，故既是奇函数又是偶函数． （3）由可得，即函数的定义域为，不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数． （4）由可得，且， 即函数的定义域为且，关于原点对称，此时． 因为，所以函数是奇函数． （5）因函数的定义域为，关于原点对称． 且当时，，则； 当时，，则． 综上所述，，所以函数是奇函数． 【方法总结】 判断函数是否具有奇偶性的方法有：定义法、图象法和性质法三种，具体请看知识点02. 【变式1-1】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)偶函数；(2)奇函数；(3)奇函数 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数． （2）因为的定义域为，它关于原点对称， 又， 所以为奇函数． （3）由题设得：，所以函数定义域为，关于原点对称， 且，所以， 所以， 所以， 所以是奇函数． 题型2 利用函数的奇偶性求解析式与函数值 【例2】（1）已知，且，则等于（    ） A． B． C． D．10 【答案】A 【详解】方法一：令， 易知是上的奇函数，从而， 又，∴，∴， ∴， ∴． 方法二：由已知条件，得 ①+②得． 又，∴． （2）若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，时，， 取，则，， 由奇函数性质可得：. （3）已知奇函数与偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得， 又分别为奇，偶函数， 所以， 由解得. 【方法总结】 1、利用函数的奇偶性求解析式 类型1：已知函数的奇偶性及函数在某区间上的解析式，方法如下: （1）求哪个区间上的解析式，就设在那个区间上； （2）把对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中； （3）利用的奇偶性将用或表示，从而求出. 类型2：已知与两个函数的奇偶性求解析式，方法如下： （1）已知与相关的等式关系作为①式， （2）然后用代替所有的，再结合奇偶性，可得到关于与相关的另一个等式关系②式， （3）①②式联立，解方程组即可的得与各自的解析式. 2.利用函数的奇偶性求函数值： 利用或求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值. 【变式2-1】已知函数，且，则的值为______． 【答案】 【详解】，令，函数定义域为R， ∵，∴为奇函数，∴． 则，． 故答案为：-10 【变式2-2】设函数是定义在上的偶函数，且当时，.求的解析式. 【答案】 【详解】设，则，所以， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以，则时，， 所以； 【变式2-3】已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且. 求和的解析式. 【详解】因为函数是上的偶函数，函数是上的奇函数， 所以，， 由，① 则， 即，② ①＋②得：， 则， ①－②得： 则， 所以. 题型3 利用函数的奇偶性求参数值 【例3】已知函数是偶函数，其定义域为，则____. 【答案】5 所以，即， 又，即， 则，所以， 则． 【方法总结】 利用函数的奇偶性求参数值的方法： 若函数解析式中含参数，则根据 或 ，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为 求参数. 【变式3-1】若是奇函数，则__________ 【答案】3 【详解】因为， 所以，解得且， 则的定义域为， 因为函数为奇函数， 所以的定义域关于原点对称，故，则， 当时，， 所以，满足题意， 所以. 题型4 利用函数的奇偶性比较大小 【例4】设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数为偶函数，，， 当时，是增函数，又， 所以，即. 【方法总结】 利用函数的奇偶性比较大小的方法： （1）自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； （2）自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小. 【变式4-1】已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵当时，恒成立， ∴当时，，即， ∴函数在上为单调减函数， ∵函数是偶函数，即， ∴函数的图像关于直线对称，∴， 又函数在上为单调减函数，∴， 即，∴. 题型5 利用函数的奇偶性解不等式 【例5】（1）若定义在R的奇函数，若时，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时， ，时，，时，，， 又是奇函数，所以时，，时，，且， 不等式或或，所以或， 综上． （2）已知定义在上的偶函数在上是减函数，若，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【详解】由于在上是减函数，且为偶函数，所以在上是增函数， 若，则，平方可得， 解得， 故答案为： 【方法总结】 利用函数的奇偶性解不等式的方法： （1）将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系； （2）由已知或利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的对应法则“f”，转化为解不等式（组）的问题. 【变式5-1】若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为函数是偶函数，所以， 因为在上是增函数，且， 所以，即 【变式5-2】若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为偶函数，所以， 所以，且，因为在上单调递减，且， 所以在上单调递增，且， 当时，则，故， 当时，则，故， 综上：的解集为. 一、单选题 1．给定四个函数：①；②；③，；④，其中奇函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】函数是R上的偶函数，①不是奇函数； 函数的定义域为，定义域关于数0不对称，②不是奇函数； 函数，，定义域关于数0不对称，③不是奇函数； 函数的定义域是R，而，④不是奇函数， 所以奇函数的个数为0. 2．若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则等于（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【详解】因为为奇函数， 所以. 3．已知函数是定义在区间上的奇函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【详解】函数是定义在区间上的奇函数， 则，解得，定义域为，，则， ，定义域为，，函数为奇函数，满足， 故. 4．设偶函数的定义域为，当时，是增函数；则，，的大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是偶函数，所以， 所以，， 又时，是增函数，且， 所以，即. 5．关于函数与的奇偶性，下列说法正确的是（ ） A．两函数均为偶函数 B．两函数都既是奇函数又是偶函数 C．函数是偶函数，是非奇非偶函数 D．函数既是奇函数又是偶函数，是非奇非偶函数 【答案】D =【详解】函数的定义域满足即，因此函数定义域为，关于原点对称.此时，满足，，所以函数既是奇函数又是偶函数.而函数的定义域为，不关于原点对称，因此函数是非奇非偶函数. 二、多选题 6．下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】的定义域是，故函数为非奇非偶函数，故A错误； 的对称轴为，故函数是偶函数且在区间上为增函数，故B正确； 令，则， 则是奇函数，故C错误； 令，则，则为偶函数， 当时，为增函数，故D正确. 7．已知定义在区间上的一个偶函数，它在上的图像如图，则下列说法正确的是（   ） A．这个函数有两个单调增区间 B．这个函数有三个单调减区间 C．这个函数在其定义域内有最大值7 D．这个函数在其定义域内有最小值 【答案】BC 【详解】由题意作出该函数在上的图象，如图所示． 由图象可知该函数有三个单调递增区间，三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不为， 8．已知函数与的图象如图所示，则（    ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．的值域为 【答案】ACD 【详解】由图象知定义域为，是偶函数，在上单调递增，在上单调递减； 定义域为，是奇函数，在上单调递增，在上单调递增； 对于A，定义域为， 又因为，所以是奇函数，故A正确； 对于B，令，则， ，但，，，故B错误； 对于C，， 由图象知， 因为在上单调递增，所以， 又因为在上单调递减，所以， 即在上单调递减，故C正确； 对于D，记与轴交于点 ，与轴交于点， 由图可知，当从趋近于时，的函数值从0趋近于， 的函数值从一个定值趋近于， 所以的值从0趋近于， 即的值可以取到， 又为奇函数， 所以的值域为，故D正确. 9．若函数同时满足：①对于定义域上的任意，都有在定义域上，且恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于定义域上的任意，都有在定义域上，且恒有，即，则是奇函数； 对于定义域上的任意，当时，恒有，则函数为减函数，所以满足既是奇函数又是减函数的函数为“理想函数”． 对于A，是奇函数，在定义域上不单调，不满足条件； 对于B，是奇函数，在定义域上是减函数，满足条件； 对于C，是偶函数，不满足条件； 对于D，作出函数的图象，如下图， 由图象知函数既是奇函数又是减函数，满足条件． 三、填空题 10．函数f(x)在R上为偶函数，且x＞0时，f(x)＝＋1，则当x＜0时，f(x)＝________. 【答案】 【详解】∵f(x)为偶函数，x＞0时，f(x)＝，∴当x＜0时，－x＞0，f(x)＝f(－x)＝，即x＜0时，f(x)＝,故填. 11．已知是定义在R上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，则______，______. 【答案】 / / 【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以， 所以， 又函数为偶函数，得， 所以， 所以，所以. 12．已知，是分别定义在上的奇函数和偶函数，且，则___________. 【答案】 【详解】 和已知条件相加得 故 故 四、解答题 13．已知函数的图象关于原点对称，且当时， (1)试求在上的解析式； (2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间. 【答案】(1)答案见解析.(2)答案见解析. 【详解】（1）解：因为函数的图像关于原点对称，所以为奇函数，则． 设，则，因为当时，． 所以当时，． 于是有. （2）解:先画出函数在轴右侧的图像，再根据对称性画出轴左侧的图像，如由图像可知函数的单调递增区间是，单调减区间是．   . 14．设是定义在上的奇函数，且对任意，当时，都有． （1）若，试比较与的大小关系； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【详解】解：（1）因为，所以， 由题意得， 所以． 又是定义在上的奇函数， 所以， 所以，即． （2）由（1）知为上的单调递增函数， 因为， 所以， 即， 所以， 所以． 所以实数的取值范围为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $